概率論與數(shù)理統(tǒng)計-隨機變量的函數(shù)的分布

§2.5隨機變量的函數(shù)的分布

離散型

連續(xù)型

定理及其應用返回主目錄隨機變量的函數(shù)§2.5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄例1§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄一、離散型隨機變量的函數(shù)的分布例1（續(xù)）§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄

設隨機變量

X

具有以下的分布律，試求

Y=X2

的分布律.pkX-10120.20.30.10.4

解:Y有可能取的值為0，1，4.P{Y=0}=P{X=0}=0.3,§5隨機變量的函數(shù)的分布例2返回主目錄P{Y=1}=P{X=-1}+P{X=1}=0.2+0.1=0.3,P{Y=4}=P{X=2}=0.4,pkY0140.30.30.4所以，Y=X2的分布律為：pkX-10120.20.30.10.4§5隨機變量的函數(shù)的分布例2（續(xù)）返回主目錄例3§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄

解:Y有可能取的值為0，1，-1.例3（續(xù)）§5隨機變量的函數(shù)的分布補充題3返回主目錄已知X的分布函數(shù)為

§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄補充題3答案§5隨機變量的函數(shù)的分布離散型隨機變量的函數(shù)的分布小結(jié):§2.5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄分布律為是離散型隨機變量，其設X()量，它的取值為也是離散型隨機變，則的函數(shù)：是YXgYXY=第一種情形§2.5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄第二種情形§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄二.連續(xù)型隨機變量函數(shù)的分布§5隨機變量的函數(shù)的分布§5隨機變量的函數(shù)的分布解題思路§5隨機變量的函數(shù)的分布用到變限的定積分的求導公式設隨機變量X

具有概率密度：試求Y=2X+8

的概率密度.解：(1)先求Y=2X+8

的分布函數(shù)FY(y)：§5隨機變量的函數(shù)的分布例4返回主目錄§5隨機變量的函數(shù)的分布例4（續(xù)）返回主目錄

整理得Y=2X+8

的概率密度為：§5隨機變量的函數(shù)的分布例4（續(xù)）設隨機變量

X具有概率密度求Y=X2

的概率密度.解：(1)

先求Y=X2

的分布函數(shù)FY(y)：§5隨機變量的函數(shù)的分布例5返回主目錄§5隨機變量的函數(shù)的分布例5返回主目錄§5隨機變量的函數(shù)的分布例5小結(jié)返回主目錄

則Y=X2

的密度函數(shù)為設隨機變量

X具有概率密度例如,設X~N(0,1),其概率密度為：求Y=X2

的概率密度.§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄所以,Y=X2

的概率密度為：§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄例6§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄例6（續(xù)）§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄例6（續(xù)）§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄例6（續(xù)）§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄例6（續(xù)）§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄

定理2.5.1

設隨機變量X

具有概率密度則Y=g(X)

是一個連續(xù)型隨機變量Y，其概率密度為其中h(y)是y=

g(x)的反函數(shù)，即§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄§6隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄證明思路：§6隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄定理的證明§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄定理的證明§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄定理的證明§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄§5隨機變量的函數(shù)的分布

定理2.5.1（續(xù)）返回主目錄§5隨機變量的函數(shù)的分布補充定理：g(x)在不相疊的區(qū)間上逐段嚴格單調(diào)，其反函數(shù)分別為均為可導函數(shù)，那么Y=g(X)是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為返回主目錄§6隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄利用定理2.5.1求Y=g(X)的密度的解題步驟：證

X的概率密度為：§5隨機變量的函數(shù)的分布例7返回主目錄§5隨機變量的函數(shù)的分布例7(續(xù))返回主目錄§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄結(jié)論：設隨機變量X~U(0,1),試求

的概率密度.

解：方法1：用定理2.5.1返回主目錄例8§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄例8（續(xù)）§5隨機變量的函數(shù)的分布X~U(0,1),返回主目錄例8§5隨機變量的函數(shù)的分布例8方法2（續(xù)）§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄X~U(0,1),返回主目錄例8方法2§5隨機變量的函數(shù)的分布設隨機變量X~N(0,1),試求

的概率密度.

解：返回主目錄例9§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄例9(續(xù))§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄例9(續(xù))§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄例9(續(xù))§5隨機變量的函數(shù)的分布設隨機變量X

具有概率密度：試求Y=sinX的概率密度.解：方法1§5隨機變量的函數(shù)的分布例10返回主目錄§5隨機變量的函數(shù)的分布例10返回主目錄§5隨機變