泰勒展式的巧妙運(yùn)用

本文格式為Word版，下載可任意編輯——泰勒展式的巧妙運(yùn)用

摘要:泰勒展式適用于函數(shù)具有二階或二階以上連續(xù)導(dǎo)數(shù)的命題。例如,泰勒展式可以來(lái)近似計(jì)算與估計(jì)誤差,解決極限問(wèn)題,證明不等式,證明中值定理,估計(jì)不等式的界等。本文,我們對(duì)泰勒展式應(yīng)用的方法歸納整理,并配有相應(yīng)的例題。以期舉一反三,使我們對(duì)泰勒展式有更深刻的熟悉。

關(guān)鍵詞:泰勒展式泰勒公式麥克勞林公式函數(shù)極限中值定理達(dá)布定理

1.前言

1.1泰勒公式:設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的某鄰域內(nèi)具有n+1階導(dǎo)數(shù),那么對(duì)該鄰域內(nèi)異于x0的任意點(diǎn)x,在x0與x之間至少一個(gè),使得f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+fn(x0)(x-x0)2+…+f(n)(x0)(x+x0)n+Rn(x)(1)

其中,Rn(x)=xn+1,(在0與x之間),稱為f(x)在x0處的n階泰勒余項(xiàng).令x0=0,那么n階泰勒公式:f(x)=f(0)+f′(0)x+fn(0)x2+…+fn(0)xn+Rn(x)(2)

其中,Rn(x)=,(在0與x之間),上式(2)稱為麥克勞林公式.

1.2小注:①將(1)式的Rn(x)記作O(x-x0)n,(2)的Rn(x)記作O(xn),那么公式(1),(2)就稱作帶皮亞諾余項(xiàng)的n階泰勒公式.

②若f(x)具有n階導(dǎo)數(shù),那么f(x)只能展成n+1階泰勒公式.

2.泰勒展式的應(yīng)用方法舉例

注:泰勒展式法適用于函數(shù)f(x)具有二階或二階以上連續(xù)導(dǎo)數(shù)的命題.

2.1泰勒展式法近似計(jì)算與估計(jì)誤差

說(shuō)明:泰勒公式對(duì)已知的函數(shù)在給定點(diǎn)的鄰近用多項(xiàng)式近似表達(dá)所給函數(shù)的公式.例如:ex,sinx,cosx,ln(x+1),(1+x)n等幾個(gè)常用的根本初等函數(shù)在x=0點(diǎn)的開(kāi)展式,(泰勒展式).因此,我們可以對(duì)其式在誤差允許的范圍內(nèi)舉行近似計(jì)算并舉行誤差估計(jì).

例2.1.1計(jì)算

分析:我們把改寫成==7,先計(jì)算,為此,先求函數(shù)f(x)=的開(kāi)展式,若開(kāi)展到x的一次項(xiàng):f(x)=f(0)+f′(0)+R2(x),這里R2(x)=x2,(c在0與x之間)

由于,f(x)=,f(x)=,f(x)=-(1+x)-2/3,f(0)=1,f′(0)=1/2

P1(x)=f(0)+f′(0)x=1+x

所以,≈P1(x)=f(0)+f′(0)x=1+x;≈1+.=1.010204;

有了上式的議論,我們來(lái)估計(jì)誤差:R2(x)=x2=-(1+c)-2/3x2,(c在0與x之間);

R2=(1+c)-2/3≤.≤0.0001=10-4

假設(shè)要求誤差不超過(guò)0.01或0.001.那么上述近似公式已達(dá)成了要求,假設(shè)要求誤差不超過(guò)10-5,那么不能使用上述公式了,還需進(jìn)一步把f(x)多開(kāi)展幾項(xiàng),

例如,開(kāi)展到含有x的二次項(xiàng):

f(x)=f(0)+f′(0)x+x2+R3(x);R3(x)=,(c在0與之間)

再進(jìn)一步算出:

f∥(0)=-1/4,fm(x)=(1+x)-2/3,P2(x)=1+x-x2

由此得≈1+x-x2,≈1+.-.=1.010151

R3(x)==x3=(1+c)=-2/3x3=R3=(1+c)-2/3.≤.≤10-5

因而假設(shè)要求誤差不超過(guò)10-5,那么用P2(x)作近似就行,把算出的近似值乘上7就得的近似值.

一般的,假設(shè)預(yù)先給定一個(gè)精確度的要求,例如要求誤差不超過(guò)正數(shù),那么需要考慮不等式Rn(x)=(x-x0)n0,α-β+1=00,α-β+10,ki=1;有fkixi≥kif(xi)

分析:將f在x0=kixi開(kāi)展,并代入xi;f(xi)=f(x0)+f/(x0)(xi-x0)+(xi-x0)2≤f(x0)+f/(x0)(xi-x0);(其中,ci在x0與xi之間;等號(hào)成立x0=x1);

所以,kif(xi)≤kif(x0)+f/(x0)ki(xi-x0)=f(x0)+f/(x0)ki(xi-x0)

=f(x0)+f/(x0)kixi-x0=f(x0);所以,fkixi≥kif(xi).

例2.4.2設(shè)=1,且f//(x)>0,證明:f(x)>x

證明:由=1,可知f(0)=0;又f(0)=1,f(x)二階可導(dǎo),

所以,f(x)在點(diǎn)x=0處可展成一階泰勒公式:f(x)=f(0)+f/(0)x+f//();

由于f//(x)>0,所以,f//()>0;于是,f(x)>f(0)+f/(0)x=x;即f(x)>x.

例2.4.3設(shè)f//(x)∈c(a,b),f//(x)<0,那么∫abf(x)dx≤(b-a)f()

分析:x∈(a,b),f(x)=f+f/x-+x-2≤f+f/x-,

∫abf(x)dx≤(b-a)f+∫abf/x-dx=(b-a)f.

2.5泰勒展式法估計(jì)不等式的界

說(shuō)明:類似不等式的證明

例2.5.1設(shè)f(x)在(0,1)上二次可導(dǎo),且f(1)=f(0)=0,f(x)=-1,那么∈(0.1),使f//(x)≥8

證明:∵f∈c(a,b),f(1)=f(0)=0,f(x)=-1

∴η∈(0,1),使f(η)=f(x)=-1,f/(η)=0

將f在η處開(kāi)展,并代入0,1得:f(0)=f/(η)(-η)+(-η)2+f(η);

f(1)=f/(η)(-η)+(-η)2+f(η)(0<1<η<2<1);

f/()=;f∥(2)=;(0<η<1);

當(dāng)0<η<時(shí),f∥(1)=≥8,=1;

當(dāng)<η<1時(shí),f∥(2)=≥8,=2;∴f∥()≥8.

例2.5.2設(shè)f(x)在(a,b)上二階可導(dǎo),f/(a)=f/(b)=0;證明:∈(a,b)使f∥()≥f(b)-f(a)

證明:將f在a,b點(diǎn)開(kāi)展,可得

f=f(a)+f/(a)-a+-a2,a<1<

f=f(b)+f/(b)-b+-b2,<2<b

上兩式相減得f(b)