九年級數(shù)學小專題(三)-特殊平行四邊形中的值問題

九年級數(shù)學小專題(三)-特殊平行四邊形中的最值問題九年級數(shù)學小專題(三)-特殊平行四邊形中的最值問題九年級數(shù)學小專題(三)-特殊平行四邊形中的最值問題資料僅供參考文件編號：2022年4月九年級數(shù)學小專題(三)-特殊平行四邊形中的最值問題版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準:發(fā)布日期：小專題(三)特殊平行四邊形中的最值問題【例】(鹽城中考)如圖，把△EFP按圖示方式放置在菱形ABCD中，使得頂點E、F、P分別在線段AB、AD、AC上．已知EP＝FP＝4，EF＝4eq\r(3)，∠BAD＝60°，且AB＞4eq\r(3).(1)求∠EPF的大小；(2)若AP＝6，求AE＋AF的值；(3)若△EFP的三個頂點E、F、P分別在線段AB、AD、AC上運動，請直接寫出AP長的最大值和最小值．【思路點撥】(1)求∠EPF的大小，就是解△EFP，通過作底邊上的高轉化為直角三角形解決；(2)這里∠BAD＋∠EPF＝180°，PE＝PF，可通過構造全等三角形解決問題；(3)觀察圖形，作PM⊥AB于M，AP的長隨PM大小的變化而變化．【方法歸納】動態(tài)圖形中最值問題關鍵要改變思考的角度，善于轉化為另一個量的最值問題考慮．1．如圖，∠MON＝90°，矩形ABCD的頂點A，B分別在邊OM，ON上，當B在邊ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB＝2，BC＝1，運動過程中，點D到點O的最大距離是多少？

2．以邊長為2的正方形的中心O為端點，引兩條相互垂直的射線，分別與正方形的邊交于A、B兩點，求線段AB的最小值．

參考答案【例】(1)過點P作PG⊥EF，垂足為G.∵PE＝PF，PG⊥EF，∴FG＝EG＝2eq\r(3)，∠FPG＝∠EPG＝eq\f(1,2)∠EPF.∵EP＝4，∴在Rt△FPG中，由勾股定理得PG＝2.∴PG＝eq\f(1,2)PF.∴∠PFG＝30°.∴∠FPG＝60°.∴∠EPF＝2∠FPG＝120°.（20作PM⊥AB，PN⊥AD，垂足分別為M、N.在菱形ABCD中，∠DAC＝∠BAC，∴點P到AB、AD兩邊的距離相等，即PM＝PN.∵在Rt△PME和Rt△PNF中，PM＝PN，PE＝PF，∴Rt△PME≌Rt△PNF.∴FN＝EM.在Rt△PMA中，∠PMA＝90°，∠PAM＝eq\f(1,2)∠DAB＝30°，∴AM＝3eq\r(3).同理：AN＝3eq\r(3).∴AE＋AF＝(AM－EM)＋(AN＋NF)＝AM＋AN＝6eq\r(3).（3）當EF⊥AC，點P在EF右側時，AP有最大值，當EF⊥AC，點P在EF左側時，AP有最小值．故AP的最大值為8，AP的最小值為4.針對訓練1.取AB的中點E，連接OE、DE、OD，∵OD≤OE＋DE，∴當O、D、E三點共線時，點D到點O的距離最大．∵AB＝2，BC＝1，∴OE＝AE＝eq\f(1,2)AB＝1，DE＝eq\r(AD2＋AE2)＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2).∴OD的最大值為eq\r(2)＋1.2.∵四邊形CDEF是正方形，∴∠OCD＝∠ODB＝45°，∠COD＝90°，OC＝OD.∵AO⊥OB，∴∠AOB＝90°.∴∠COA＋∠AOD＝90°，∠AOD＋∠DOB＝90°.∴∠COA＝∠DOB.∵在△COA和△DOB中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠OCA＝∠ODB，,OC＝OD，,∠AOC＝∠BOD，))∴△COA≌△DOB.∴OA＝OB.∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形．由勾股定理得AB＝eq\r(OA2＋OB2)＝eq\r(2)OA，要使AB最小，只要OA取最小值即可，根據(jù)垂線段最短，OA⊥CD時，O