論“高觀點(diǎn)”下的初等數(shù)學(xué)及其在新課標(biāo)中的 體現(xiàn)

論“高觀點(diǎn)”下的初等數(shù)學(xué)及其在新課標(biāo)中的體現(xiàn)論“高觀點(diǎn)”下的初等數(shù)學(xué)及其在新課標(biāo)中的體現(xiàn)論“高觀點(diǎn)”下的初等數(shù)學(xué)及其在新課標(biāo)中的體現(xiàn)資料僅供參考文件編號(hào)：2022年4月論“高觀點(diǎn)”下的初等數(shù)學(xué)及其在新課標(biāo)中的體現(xiàn)版本號(hào)：A修改號(hào)：1頁次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：論“高觀點(diǎn)”下的初等數(shù)學(xué)及其在新課標(biāo)中的體現(xiàn)（許昌市第三初級(jí)中學(xué)趙永）1引言19世紀(jì)末20世紀(jì)初,英國爆發(fā)了一場數(shù)學(xué)改革的運(yùn)動(dòng),人們稱之為“克萊茵---貝利”運(yùn)動(dòng).在這次運(yùn)動(dòng)中,克萊茵寫了《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)》,主張加強(qiáng)函數(shù)和微積分的教學(xué),并借此改革充實(shí)代數(shù)內(nèi)容,另一方面把解析幾何納入中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容,并用幾何變換的觀點(diǎn)改造傳統(tǒng)的幾何.我國自恢復(fù)高考以來,進(jìn)行多次的課程改革,并且取得了很大的成就.微積分初步曾幾度作為高中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容,特別是近幾年,概率論與算法的初步知識(shí)也進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué),中學(xué)數(shù)學(xué)里高等數(shù)學(xué)的含量在進(jìn)一步擴(kuò)大.2003年4月,教育部又頒發(fā)了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》（以下簡稱《新課標(biāo)》）.《新課標(biāo)》融科學(xué)性與實(shí)用性于一體,充分體現(xiàn)了教育改革的精神,為未來我國高中數(shù)學(xué)教育改革和發(fā)展提供了比較權(quán)威和全面的指導(dǎo)性文獻(xiàn).從歷史的角度看這是繼承和發(fā)揚(yáng).然而,在中學(xué)教學(xué)過程中有許多人孤立的看待高初等數(shù)學(xué),沒有發(fā)揮他們高等數(shù)學(xué)對(duì)初等數(shù)學(xué)參考和指導(dǎo)作用.結(jié)合克萊茵的思想和我國數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)狀,本文嘗試對(duì)“高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)以及在新課標(biāo)中的體現(xiàn)”作一下簡略的探討.2新課標(biāo)的教育與教學(xué)理念《新課標(biāo)》的內(nèi)容框架以及教學(xué)新機(jī)制高中《新課標(biāo)》數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容包括10個(gè)模塊和16個(gè)專題,分別包含在必修的5個(gè)模塊和選修的4個(gè)系列中.其中必修的5個(gè)模塊是基礎(chǔ)知識(shí),選修系列1是為文科學(xué)生開設(shè)的,選修系列2是為理科學(xué)生開設(shè)的,選修系列3和選修系列4是為那些對(duì)數(shù)學(xué)有興趣,希望進(jìn)一步提高的學(xué)生開設(shè)的.在高中階段首次采取學(xué)分制,《新課標(biāo)》規(guī)定在高中階段,每個(gè)學(xué)生修完一個(gè)模塊獲得2學(xué)分,修完一個(gè)專題獲得1學(xué)分.達(dá)到高中畢業(yè)的標(biāo)準(zhǔn)必修完必修的基礎(chǔ)知識(shí)的5個(gè)模塊,獲得10學(xué)分.可以報(bào)考人文社會(huì)科學(xué)專業(yè)的高中畢業(yè)生的標(biāo)準(zhǔn):最低要求修滿16學(xué)分如:修完必修5個(gè)模塊和選修系列1的2個(gè)模塊,再選修系列3中的2個(gè)專題.較高要求:修滿20學(xué)分如:修完最低要求的上述內(nèi)容,再選修系列4中的4個(gè)專題.可以報(bào)考理工科專業(yè)的高中畢業(yè)生的標(biāo)準(zhǔn):最低要求修滿20學(xué)分如:修完必修5個(gè)模塊和選修系列2的3個(gè)模塊,再選修系列3中的2個(gè)專題,系列4中的2個(gè)專題.較高要求:修滿24學(xué)分如:修完最低要求的上述內(nèi)容,再選修系列4中的另4個(gè)專題目.《新課標(biāo)》的教育教學(xué)理念當(dāng)代教育倡導(dǎo)構(gòu)建共同基礎(chǔ),提供發(fā)展平臺(tái),提供多樣課程,適應(yīng)個(gè)性選擇,建立合理、科學(xué)的評(píng)價(jià)體系,調(diào)整課程結(jié)構(gòu),壓縮必修課時(shí),提高課程的多樣性和選擇性.《新課標(biāo)》通過模塊式的課程結(jié)構(gòu),為不同基礎(chǔ)、不同需要的學(xué)生提供了多層次,多種類的選擇.既面向全體學(xué)生設(shè)置了必修課數(shù)學(xué)（必修1～5）,又面向希望在人文、社會(huì)科學(xué)方面發(fā)展的學(xué)生設(shè)置了選修1,面向希望在理工（包括部分經(jīng)濟(jì)類）等方面發(fā)展的學(xué)生設(shè)置了選修2.另外,還設(shè)置了選修3和4,使學(xué)生有了更多的選擇.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式,發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí),改進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式,培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用及創(chuàng)新意識(shí).《新課標(biāo)》特別強(qiáng)調(diào)要豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)方式,積極倡導(dǎo)課程教學(xué)的自主探索、獨(dú)立思考、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)等.為此,《新課標(biāo)》專門設(shè)立了“數(shù)學(xué)探究”“數(shù)學(xué)建?！钡然顒?dòng),并且貫穿于整個(gè)高中課程.我國當(dāng)前數(shù)學(xué)教育注重提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力,強(qiáng)調(diào)本質(zhì),注意適度形式化,強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí),淡化數(shù)學(xué)的形式化表達(dá).《新課標(biāo)》合理地吸納了我國數(shù)學(xué)教育中“淡化形式、注重實(shí)質(zhì)”的理念,強(qiáng)調(diào)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí),淡化形式化的表達(dá).素質(zhì)教育強(qiáng)調(diào)與時(shí)俱進(jìn)地認(rèn)識(shí)“雙基”,同時(shí)注重信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的整合,更注重體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值,認(rèn)為數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值.《新課標(biāo)》把數(shù)學(xué)文化作為與必修和選修課并列的一項(xiàng)課程內(nèi)容,并要求非形式化地貫穿于整個(gè)高中課程中.這就使得數(shù)學(xué)課程具有更全面的育人功能,能夠在促進(jìn)學(xué)生知識(shí)和能力發(fā)展的同時(shí),使得學(xué)生的情感、意志、價(jià)值觀得到健康的發(fā)展.《新課標(biāo)》的理解《新課標(biāo)》是順應(yīng)教學(xué)改革和時(shí)代發(fā)展的結(jié)果,是在繼承和發(fā)揚(yáng)的以前教育教學(xué)成果的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的.首先,《新課標(biāo)》注重高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性.在《新課標(biāo)》課程框架中,所設(shè)5個(gè)模塊的必修內(nèi)容是一個(gè)高中畢業(yè)生所應(yīng)具備的最基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識(shí).選修系列1和選修系列2又是選修系列課程中的基礎(chǔ)內(nèi)容.不難看出《新課標(biāo)》仍然十分重視高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)以及基本技能和能力的培養(yǎng).此外,對(duì)“雙基”的認(rèn)識(shí)要重新審視原高中數(shù)學(xué)對(duì)基本知識(shí)和基本技能的要求.新課標(biāo)刪減了原高中數(shù)學(xué)中繁瑣的計(jì)算,人為技巧化的難題和過分強(qiáng)調(diào)細(xì)枝末節(jié)的內(nèi)容,克服了“雙基異化”的傾向.在必修模塊中增加了《算法》的內(nèi)容,把最基本的數(shù)據(jù)處理,統(tǒng)計(jì)概率,作為新的高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能.其次,體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值是數(shù)學(xué)研究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門學(xué)科,它是人類文化的重要組成部分之一.數(shù)學(xué)不僅是研究其它學(xué)科,人們參加社會(huì)生產(chǎn)和生活的必不可少的工具,還具有極高的美學(xué)價(jià)值.通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)使學(xué)生在追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡的過程中,能夠看到數(shù)學(xué)知識(shí)形成的過程和發(fā)展的趨勢(shì),能夠觸摸到數(shù)學(xué)知識(shí)的來龍去脈,使逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀,不斷提高學(xué)生的美學(xué)素養(yǎng).再次,提供多樣課程,適應(yīng)學(xué)生的個(gè)性選擇“以學(xué)生為本”是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的根本原則,也應(yīng)該成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容安排的指導(dǎo)思想.學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理過程,既具有一般的共同的規(guī)律,又總是帶有每個(gè)學(xué)生的個(gè)性特點(diǎn),必然導(dǎo)致對(duì)同一知識(shí)不同的學(xué)習(xí)效果.原高中數(shù)學(xué)教學(xué)對(duì)所有的學(xué)生完全相同,學(xué)生在校期間必須修完相同的知識(shí),用同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)去衡量.這樣的教學(xué)模式忽視了學(xué)生的個(gè)性特點(diǎn),挫傷了部分學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性,不利于每個(gè)學(xué)生的成才.高中數(shù)學(xué)新課標(biāo),不但為全體學(xué)生的發(fā)展構(gòu)建了共同的基礎(chǔ)---必修的5個(gè)模塊的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí),還提供了多層次多種類的課程內(nèi)容安排,為不同的學(xué)生提供了自主選擇和個(gè)性發(fā)展的空間.此外,為教師的教學(xué)方法的改革和自身專業(yè)水平的提高構(gòu)建了平臺(tái).高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)規(guī)定:高中數(shù)學(xué)課程必須把數(shù)學(xué)探究,數(shù)學(xué)建模的思想滲透到必修選修的各個(gè)模塊和選修的各個(gè)專題中去.數(shù)學(xué)探究是指:提出問題,探索解決問題的途徑,研究解決問題的方法,并進(jìn)一步思考相關(guān)問題的解決和此類問題的拓展的過程.數(shù)學(xué)建模是指:建立一個(gè)最佳的數(shù)學(xué)模型(如函數(shù),數(shù)列……),去解決生產(chǎn)和生活中的實(shí)際問題.這樣的教學(xué)內(nèi)容決定了傳統(tǒng)的只由教師單純講授的教學(xué)方法不再適用,教師必須在教學(xué)中貫徹“以學(xué)生為本”的原則,采取在教師的引導(dǎo)下,學(xué)生合作交流的新的教學(xué)方法.高中數(shù)學(xué)《新課標(biāo)》教學(xué)內(nèi)容更加充實(shí),并具有多樣性,為教師根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容,采用不同的更加先進(jìn)的教學(xué)方法,構(gòu)建了一個(gè)大平臺(tái),使教師在教學(xué)方法的改革上能夠大顯身手.3“高觀點(diǎn)”的內(nèi)涵“高觀點(diǎn)【7】”是指用高等數(shù)學(xué)（包括經(jīng)典高等數(shù)學(xué)和現(xiàn)代數(shù)學(xué)）的知識(shí)、思想和方法分析和解決初等數(shù)學(xué)的問題.這里的知識(shí)應(yīng)該是策略性知識(shí),即能夠借助實(shí)例和直觀為中學(xué)生所接受,突出思想與方法,強(qiáng)調(diào)理解與應(yīng)用,不求最嚴(yán)格的證明和邏輯推理.這里的初等數(shù)學(xué)指的是現(xiàn)代初等數(shù)學(xué)【4】,與現(xiàn)階段的初等數(shù)學(xué)是同意語,既包括傳統(tǒng)初等數(shù)學(xué)的大部分內(nèi)容,精簡一些煩瑣的計(jì)算和證明,也應(yīng)該包括經(jīng)典高等數(shù)學(xué)的一些初步知識(shí),同時(shí)滲透現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想,如集合、對(duì)應(yīng)等.因此“高觀點(diǎn)”包括三方面的內(nèi)容：（1）現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想和方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的滲透；（2）高等數(shù)學(xué)對(duì)初等數(shù)學(xué)的具體指導(dǎo)；（3）中學(xué)數(shù)學(xué)里難以處理的問題在高等數(shù)學(xué)的背景下分析.同時(shí)它也隱含了三個(gè)特性【10】：①聯(lián)結(jié)性.高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)的劃分一方面是由于數(shù)學(xué)的發(fā)展,另一方面是由于數(shù)學(xué)教學(xué)的需要,但這兩個(gè)領(lǐng)域聯(lián)系緊密而且交叉和融合.這就意味著“高觀點(diǎn)”的實(shí)施的可能性.②高層次.初等數(shù)學(xué)的很多知識(shí)實(shí)際上是高等數(shù)學(xué)的特例.按照歸納科學(xué)的思想,將這些特殊上升到一般,再從一般的角度來看待問題,常常是行之有效的.“高觀點(diǎn)”正是這種層次拔高的體現(xiàn).③特殊性.這是指高觀點(diǎn)的局限性,并不是所有的高等數(shù)學(xué)知識(shí)都可以拿來解決初等數(shù)學(xué)問題,另外,有些初等數(shù)學(xué)問題不能也沒有必要用高等數(shù)學(xué)知識(shí)來解決.這關(guān)系到“高觀點(diǎn)”研究的工具和對(duì)象的選擇.4“高觀點(diǎn)”的理論基礎(chǔ)認(rèn)識(shí)的辨證運(yùn)動(dòng)馬克思認(rèn)為認(rèn)識(shí)規(guī)律【1】過程是“實(shí)踐、認(rèn)識(shí)、再實(shí)踐、再認(rèn)識(shí),這種形式,循環(huán)往復(fù)以至無窮”,這人類認(rèn)識(shí)的規(guī)律,是人們的認(rèn)識(shí)不斷的由特殊走向一般,又由一般走向特殊辨證運(yùn)動(dòng)過程.初等數(shù)學(xué)知識(shí)和高等數(shù)學(xué)知識(shí)體現(xiàn)了特殊和一般的關(guān)系.“高觀點(diǎn)”就是由具有直接性、簡單性和特殊性的初等數(shù)學(xué)知識(shí)經(jīng)由推廣和一般化深入發(fā)展為高等數(shù)學(xué)知識(shí),又反過來經(jīng)由特殊化來指導(dǎo)初等數(shù)學(xué)的教學(xué)和研究.這樣的教學(xué)符合認(rèn)識(shí)的規(guī)律,所以在“高觀點(diǎn)”下的初等數(shù)學(xué)教學(xué)是可行的.下位學(xué)習(xí)“認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)中原有的有關(guān)概念在內(nèi)容和概括水平上高于新學(xué)習(xí)的知識(shí),因而新知識(shí)與舊知識(shí)所構(gòu)成的這種隸屬關(guān)系又稱下位關(guān)系,這種學(xué)習(xí)便稱為下位學(xué)習(xí)【2】.”掌握高等數(shù)學(xué)知識(shí)的人學(xué)習(xí)初等數(shù)學(xué)屬于下位學(xué)習(xí).按照建構(gòu)主義的觀點(diǎn),學(xué)習(xí)就是將新知識(shí)納入到原有認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)中,因而原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的狀況對(duì)于學(xué)習(xí)的成效致關(guān)重要.下位學(xué)習(xí)正說明高級(jí)優(yōu)越（相對(duì)于新知識(shí)而言）的認(rèn)知結(jié)構(gòu)有利于新知識(shí)的學(xué)習(xí),學(xué)習(xí)主體頭腦中的高等數(shù)學(xué)知識(shí)儲(chǔ)備,對(duì)于初等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)大有益處.螺旋式課程“同一原理在不同年齡階段的教材中,應(yīng)隨年級(jí)的升高在抽象程度更高的水平上反復(fù)出現(xiàn),從而呈現(xiàn)出一種螺旋式上升的趨勢(shì).”“高觀點(diǎn)”與其說是高等數(shù)學(xué)指導(dǎo)下的初等數(shù)學(xué),不如說是初等數(shù)學(xué)知識(shí)在高觀點(diǎn)下的重現(xiàn).這種反復(fù)和螺旋式的上升并沒有超出課程體系的范圍,相反由原來的單純遞進(jìn)發(fā)展為相互促進(jìn)的優(yōu)化了的課程立體結(jié)構(gòu).高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)的密切關(guān)系高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)都是數(shù)學(xué)內(nèi)容和組成部分,就數(shù)學(xué)知識(shí)而言是一個(gè)密不可分的整體,但是在實(shí)際的數(shù)學(xué)教學(xué)中,為了教學(xué)的需要和方便,我們把數(shù)學(xué)劃分為高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué).它們的劃分一方面是由于數(shù)學(xué)的發(fā)展,另一方面是由于數(shù)學(xué)教學(xué)的需要,但這兩個(gè)領(lǐng)域聯(lián)系緊密而且交叉和融合.這就意味著“高觀點(diǎn)”的實(shí)施的可能性.5“高觀點(diǎn)”的定位初等數(shù)學(xué)的一種研究方法“高觀點(diǎn)”啟示人們突破初等數(shù)學(xué)知識(shí)的局限性,跳出用初等數(shù)學(xué)研究初等數(shù)學(xué)的狹窄圈子,而著眼于尋找新的研究方法.以“它山之石,可以攻玉”,高等數(shù)學(xué)相對(duì)于初等數(shù)學(xué)而言,無論是理論上、觀點(diǎn)上和方法上都上升到了高一級(jí)的境界,初等數(shù)學(xué)中的一些問題利用高等數(shù)學(xué)知識(shí),可以豁然開朗貫通,迎刃而解.有人認(rèn)為,初等數(shù)學(xué)研究是科學(xué)研究中的一大課題,它有兩個(gè)主要方面,其中之一就是闡述現(xiàn)代數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的關(guān)系及初等數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用,為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展提供深刻的背景.“高觀點(diǎn)”下的初等數(shù)學(xué)探析是這一大課題中的一個(gè)小課題.由此可見“高觀點(diǎn)”在初等數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中的地位和作用.初等數(shù)學(xué)教育教學(xué)改革的一種手段和目標(biāo)“高觀點(diǎn)”主要是針對(duì)高師數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)而從事初等數(shù)學(xué)教育的教師而言.高師院校數(shù)學(xué)教育專業(yè)的課程所講的高等數(shù)學(xué),與中學(xué)數(shù)學(xué)的研究對(duì)象、研究方法都有本質(zhì)的不同.有人認(rèn)為,中學(xué)數(shù)學(xué)到大學(xué)數(shù)學(xué)是直線上升,大部分高等數(shù)學(xué)課程與中學(xué)數(shù)學(xué)課程嚴(yán)重脫節(jié),學(xué)生所學(xué)的高等數(shù)學(xué)與所教的中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)系不上,“居高”而不能“臨下”,以至數(shù)學(xué)專業(yè)的畢業(yè)生到中學(xué),往往需要重新學(xué)習(xí)相當(dāng)長一段時(shí)間,才能熟悉和掌握中學(xué)教材,勝任教學(xué)工作.因此,高師數(shù)學(xué)專業(yè)教學(xué)改革的一個(gè)迫切的任務(wù),就是要解決如何在現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀點(diǎn)指導(dǎo)下,加強(qiáng)高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)的聯(lián)系.這同時(shí)也是改革的一個(gè)重要的手段.由高等數(shù)學(xué)和初數(shù)學(xué)的長期割裂所導(dǎo)致的兩種情形可以說明這一點(diǎn)：一方面大學(xué)的新生常常難以適應(yīng)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí),在學(xué)習(xí)方法特別是思維方式上難以脫離中學(xué)格局；另一方面中學(xué)數(shù)學(xué)教師常常不能在中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)范圍內(nèi)回答學(xué)生提出的一些問題,而用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)作答又難以使學(xué)生理解.這不由得人們提出這樣的疑問：高師院校數(shù)學(xué)專業(yè)到底交給了學(xué)生什么高等數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有沒有作用有何作用這樣一來就牽扯到數(shù)學(xué)教師專業(yè)化和數(shù)學(xué)教學(xué)改革的問題.2002年10月底在武漢召開的第九屆全國高師數(shù)學(xué)教育年會(huì)以此為主題,會(huì)議期間許多人饌寫指出：數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)是高水平數(shù)學(xué)教師的必備素質(zhì),高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)要與中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)現(xiàn)連接等等.這種形勢(shì)下,“高觀點(diǎn)”自然引起人們的重視.因?yàn)檫@些都決定了高師畢業(yè)生能否盡快地適應(yīng)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué).所以從某種意義上說“高觀點(diǎn)”是初等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的手段和目標(biāo).一種新的教學(xué)思想方法傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)思想方法包括化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程等等.現(xiàn)階段,數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)模型、算法思想也常被提及.“高觀點(diǎn)”意味著用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)作指導(dǎo)、用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)作工具來解決初等數(shù)學(xué)的問題,突出體現(xiàn)了知識(shí)水平的高度跨越,強(qiáng)調(diào)深化、簡化和統(tǒng)一,使問題解決呈現(xiàn)一種高屋建瓴的態(tài)勢(shì).應(yīng)該說,“高觀點(diǎn)”的新意主要表現(xiàn)在思想性和方法論意義上,而不是其使用的新觀點(diǎn)、新知識(shí)本身.正如有人說的那樣,現(xiàn)代數(shù)學(xué)對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的影響,不等于在中學(xué)里教現(xiàn)代數(shù)學(xué),更不能用布爾巴基那一套來處理中學(xué)數(shù)學(xué)教材.20世紀(jì)60年代“新數(shù)”運(yùn)動(dòng)失敗的深刻教訓(xùn)證明了這一點(diǎn).除了數(shù)學(xué)知識(shí)的習(xí)得和數(shù)學(xué)能力的培養(yǎng),中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)也應(yīng)關(guān)注數(shù)學(xué)思想的傳承,不能認(rèn)為它只是大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù).“高觀點(diǎn)”是一個(gè)良好的思想素材,正如斯托利壓爾所說,“把教學(xué)建立在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想的基礎(chǔ)上,使中學(xué)數(shù)學(xué)課程的風(fēng)格和語言接近于現(xiàn)代數(shù)學(xué)的風(fēng)格和語言,使學(xué)生的思維向現(xiàn)代數(shù)學(xué)思維發(fā)展”.6高等數(shù)學(xué)對(duì)初等數(shù)學(xué)的指導(dǎo)高等師范院校數(shù)學(xué)專業(yè)4年大學(xué)課程的學(xué)習(xí)是走向社會(huì)的能量儲(chǔ)備階段,這既是知識(shí)的儲(chǔ)備更是能力的儲(chǔ)備.學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的同時(shí),吸收了許多含在數(shù)學(xué)知識(shí)中的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法.從知識(shí)儲(chǔ)備方面看,學(xué)生之所以感到困惑,是因?yàn)樗麄兛床坏礁叩葦?shù)學(xué)對(duì)中等數(shù)學(xué)有何具體的指導(dǎo)意義.如何加強(qiáng)高等數(shù)學(xué)和中等數(shù)學(xué)之間的銜接,如何運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法在高等數(shù)學(xué)和初等數(shù)學(xué)之間架起橋梁,真正發(fā)揮高等數(shù)學(xué)對(duì)初等數(shù)學(xué)的指導(dǎo)作用.以下就高等數(shù)學(xué)對(duì)初等數(shù)學(xué)的指導(dǎo)做一些探討.用高等數(shù)學(xué)思想剖析初等數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思想是人們對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)研究的本質(zhì)及規(guī)律的認(rèn)識(shí),是數(shù)學(xué)的精華,它是貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)科的不同分支、不同層次的數(shù)學(xué)知識(shí)之中的.在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中,蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)思想,如計(jì)劃思想、化歸思想、符號(hào)與變換思想、極限思想、數(shù)形結(jié)合思想、公理化與結(jié)構(gòu)思想,函數(shù)與方程思想、抽樣統(tǒng)計(jì)思想、對(duì)應(yīng)思想等.因此在初等數(shù)學(xué)的教學(xué)中,應(yīng)抓住數(shù)學(xué)思想這條主線把中學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容加以分類和整理.首先,對(duì)于每一塊內(nèi)容,著重引導(dǎo)學(xué)生分析其貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的數(shù)學(xué)思想.研究數(shù)學(xué)思想形成和發(fā)展與數(shù)學(xué)思想史以及中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容安排的層次三者之間的關(guān)系,形成一個(gè)縱向網(wǎng)；其次,研究塊與塊之間、不同分支之間的教學(xué)銜接以及內(nèi)在本質(zhì)之間的聯(lián)系,形成一個(gè)橫向網(wǎng),使學(xué)生能透過古典、近代到現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想史的發(fā)展以及中學(xué)數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)思想的形成與發(fā)展,對(duì)初等數(shù)學(xué)的總體結(jié)構(gòu)、初等數(shù)學(xué)的各個(gè)分支以及每個(gè)分支中各個(gè)塊的數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)系做重新的理解和認(rèn)識(shí).這樣就可以在更廣闊的背景里去體會(huì)中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容、層次的安排,從而對(duì)“居高”該如何“臨下”有著具體的認(rèn)識(shí).例如數(shù)系【5】的教學(xué)：數(shù)系是貫穿于小學(xué)、中學(xué)十二年的數(shù)學(xué)教育當(dāng)中,它和初等數(shù)學(xué)的任何一個(gè)分支,任何一塊的內(nèi)容都有聯(lián)系,蘊(yùn)涵有集合思想、公理化思想、結(jié)構(gòu)思想、極限思想等許多重要的數(shù)學(xué)思想,在教學(xué)中可以有以下的幾個(gè)過程：1）按歷史發(fā)展中數(shù)系的形成過程是：自然數(shù)集eq\o\ac(→,\s\up12(（填正分?jǐn)?shù)）))正有理數(shù)集eq\o\ac(→,\s\up12(（填零）))算術(shù)數(shù)集eq\o\ac(→,\s\up12(（填負(fù)有理數(shù)）))有理數(shù)集eq\o\ac(→,\s\up12(（填無理數(shù)）))實(shí)數(shù)集eq\o\ac(→,\s\up12(（填虛數(shù)）))復(fù)數(shù)集.2）按中小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)過程是：自然數(shù)集eq\o\ac(→,\s\up12(（填零）))擴(kuò)大自然數(shù)集eq\o\ac(→,\s\up12(（填正分?jǐn)?shù)）))算術(shù)數(shù)集eq\o\ac(→,\s\up12(（填負(fù)有理數(shù)）))有理數(shù)集eq\o\ac(→,\s\up12(（填無理數(shù)）))實(shí)數(shù)集eq\o\ac(→,\s\up12(（填虛數(shù)）))復(fù)數(shù)集.3）按理論體系和公理化結(jié)構(gòu)的過程是：自然數(shù)集→整數(shù)集→有理數(shù)集→實(shí)數(shù)集→復(fù)數(shù)集.可以看出第一條線是著眼與歷史上數(shù)的形成過程,它與中小學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)的思維過程是相吻合的；第二條線建立的數(shù)的概念的順序,主要從中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的角度,更多的依據(jù)人們的認(rèn)識(shí)規(guī)律；第三條是從數(shù)學(xué)代數(shù)結(jié)構(gòu)的理論出發(fā),主要考慮數(shù)的邏輯要求,形成代數(shù)系統(tǒng).我們?cè)诮虒W(xué)過程中應(yīng)用高等數(shù)學(xué)的思想去剖析初等數(shù)學(xué)思想.正確引導(dǎo)學(xué)生從不同角度了解其形成的合理性,重點(diǎn)進(jìn)行分析、研究,用近世代數(shù)的群、環(huán)、域這些重要的代數(shù)體系的觀點(diǎn)來對(duì)數(shù)學(xué)再認(rèn)識(shí),使學(xué)生對(duì)數(shù)的發(fā)展、內(nèi)部結(jié)構(gòu)、性質(zhì)有一個(gè)系統(tǒng)和完整的認(rèn)識(shí),充分認(rèn)識(shí)到數(shù)系是數(shù)學(xué)中的一個(gè)典型的模型,又是一切數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).從高等數(shù)學(xué)角度去看待初等數(shù)學(xué)問題站在高等數(shù)學(xué)的角度,運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的知識(shí)、思想和方法,從不同的角度重新去審視、分析和解決初等數(shù)學(xué)中的問題.在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如果只局限于用初等數(shù)學(xué)的眼光來看初等數(shù)學(xué)的問題,很多問題是無法看清的.如數(shù)學(xué)歸納法的可靠性、多項(xiàng)式因式分解概念等,僅用初等數(shù)學(xué)眼光來看都是模糊的.教學(xué)中要想使學(xué)生抓住事物的本質(zhì),才能更加有效的學(xué)習(xí).為了達(dá)到此目的可用高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)之間存在著的必然聯(lián)系,去解決初等數(shù)學(xué)無法解答而用高等數(shù)學(xué)得以解決的問題.從更多角度、更多方位研究初等數(shù)學(xué)的問題.例如中學(xué)數(shù)學(xué)多項(xiàng)式的教學(xué)：中學(xué)代數(shù)對(duì)多項(xiàng)式的定義,如同小學(xué)算術(shù)對(duì)自然數(shù)的定義,都是指事性的定義.把代數(shù)式子eqa\s\don5(0)+a\s\don5(1)x+a\s\don5(2)x\s\up5(2)+…+a\s\don5(n)x\s\up5(n)叫做多項(xiàng)式,這是就事論事“形而下”的定義方法.不僅數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)枯燥無味,而且使學(xué)生難以理解.所以對(duì)于具體的事物,應(yīng)該把它放在所處環(huán)境當(dāng)中,通過它和環(huán)境之間的關(guān)系,抽象出本質(zhì)的屬性刻畫事物獨(dú)具的特性,從而界定事物,就像數(shù)系的概念這一章自然數(shù)說成是等價(jià)集共性的抽象,多項(xiàng)式也是一類事物共性的抽象.講解多項(xiàng)式時(shí)候我們可以通過以下這些式子抽象出多項(xiàng)式的概念.這些式子的數(shù)學(xué)研究對(duì)象雖然不同,但是可以通過式子的結(jié)構(gòu)有共同的特點(diǎn),將這式子的結(jié)構(gòu)抽象地寫成eqf(x)=a\s\don5(0)+a\s\don5(1)x+a\s\don5(2)x\s\up5(2)…+a\s\don5(n)x\s\up5(n).其中eqa\s\don5(0),eqa\s\don5(1),eqa\s\don5(2),…,eqa\s\don5(n)叫做多項(xiàng)式的系數(shù),是某數(shù)集[整數(shù)環(huán)、有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域、復(fù)數(shù)域,也可以是其他的數(shù)域]中的數(shù).x可以根據(jù)研究目的取定其中的一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象,如變數(shù)、函數(shù)、矩陣,……當(dāng)取定具體的數(shù)學(xué)對(duì)象時(shí)叫未定元.總之,這種從高等數(shù)學(xué)的知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法上闡明初等數(shù)學(xué)的性質(zhì),了解兩者之間的異同及內(nèi)在聯(lián)系,可以更深刻的理解其概念.又比如用變換群的觀點(diǎn)來考察平面解析幾何,就可以在理論上解釋平面解析幾何的一個(gè)特性,即在平面解析幾何中,研究幾何問題時(shí),為什么可以適當(dāng)?shù)剡x取坐標(biāo)系,也就是說平面上幾何問題的代數(shù)表達(dá)式,與其坐標(biāo)的選擇無關(guān)問題．從變換群的觀點(diǎn)來看,坐標(biāo)系的平移和旋轉(zhuǎn)變換與點(diǎn)的平移和旋轉(zhuǎn)變換,只不過是同一個(gè)代數(shù)變換式的不同的幾何解釋而已．由此可以得出凡是用來表示圖形的幾何量和幾何關(guān)系的代數(shù)表達(dá)式,它們的值在坐標(biāo)變換下都是不變的,它們都是坐標(biāo)變換下的不變量.還可以通過觀察微分方程與代數(shù)方程都是方程的特性從基本概念、解的存在性與個(gè)數(shù),求解方法及增、失根等方面進(jìn)行比較它們的內(nèi)在聯(lián)系,以加深對(duì)代數(shù)方程的特性了解．同樣也可以用微分方程的幾何性質(zhì)來研究二次曲線,深刻揭示二次曲線的性質(zhì)、實(shí)際背景和現(xiàn)實(shí)意義等．在數(shù)學(xué)分析中也可用導(dǎo)數(shù)的工具,來討論函數(shù)的性質(zhì)以及圖象.在教學(xué)方式中加強(qiáng)高等數(shù)學(xué)對(duì)初等數(shù)學(xué)的指導(dǎo)和探究能力的培養(yǎng)我們應(yīng)改變傳統(tǒng)的老師講課學(xué)生聽課,老師主動(dòng)的備課、講課、評(píng)課而學(xué)生被動(dòng)的聽課、練習(xí)、寫作業(yè)的教學(xué)模式,轉(zhuǎn)變成老師主導(dǎo)、學(xué)生主體的教學(xué)理念.在教學(xué)上突出數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng),培養(yǎng)學(xué)生的探索精神,讓學(xué)生在生活實(shí)踐及動(dòng)手操作中改變學(xué)習(xí)方式,發(fā)現(xiàn)問題,進(jìn)行討論,合作、交流.使學(xué)生不僅要掌握扎實(shí)的知識(shí),而且要經(jīng)歷知識(shí)獲取的過程,學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的方法,獲得積極的情感體驗(yàn).在思想意識(shí)上把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)移到問題解決的軌道上來,把問題作為整個(gè)教學(xué)活動(dòng)過程的出發(fā)點(diǎn),要用“數(shù)學(xué)建?！钡乃悸泛头椒?讓學(xué)生解決問題,使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的基本知識(shí)與技能.力求改變“問題——分析解答——練習(xí)”的傳統(tǒng)模式,形成“實(shí)際問題——建立模型——解釋應(yīng)用”的新的教學(xué)模式.例如研究曲線的形狀時(shí)可以改變以往的學(xué)生死記硬背其性質(zhì)的方法,讓學(xué)生主動(dòng)探索,通過研究決定曲線形狀的量來得出曲線的性質(zhì).就比如說講解雪花曲線的形狀和性質(zhì)時(shí),先不給出雪花曲線的性質(zhì),而是讓學(xué)生首先知道如何得到雪花曲線,通過建立模型得出性質(zhì).請(qǐng)看下面就如何通過數(shù)學(xué)模型【9】來研究雪花曲線的性質(zhì).1.提出研究課題我們看到漫天飛舞的雪花,那么雪花究竟是什么形狀呢？

注：雪花曲線的由來可以根據(jù)一個(gè)正三角形每條邊分成三等分,以居中的一段為邊向外做正三角形并把居中的線段去掉.這樣一直進(jìn)行下去.2.分析數(shù)據(jù),數(shù)學(xué)建模在討論雪花曲線的形狀時(shí)候,可以討論曲線的邊長、邊數(shù)、周長、面積.為了討論的方便設(shè)：原三角形的邊長為eqa\s\don5(1)、邊數(shù)為eqb\s\don5(1)、周長為eql\s\don5(1)、面積為eqS\s\don5(1).依次所得的“雪花曲線”（P(n)）的邊長為eqa\s\don5(n)、邊數(shù)為eqb\s\don5(n)、周長為eql\s\don5(n)、面積為eqS\s\don5(n).依據(jù)以上的數(shù)據(jù)找出eqa\s\don5(n)與eqa\s\don5(n-1),eqb\s\don5(n)與eqb\s\don5(n-1),eql\s\don5(n)與eql\s\don5(n-1),eqS\s\don5(n)與eqS\s\don5(n-1)的關(guān)系,之后導(dǎo)出他們的通項(xiàng)公式.①它們邊長之間的關(guān)系②它們邊數(shù)之間的關(guān)系③它們周長之間的關(guān)系④它們面積之間的關(guān)系3.總結(jié)評(píng)估、研究拓展總結(jié)寫出數(shù)列{eqa\s\don5(n)}、{eqb\s\don5(n)}、{eql\s\don5(n)}、{eqS\s\don5(n)}的特點(diǎn)：①數(shù)列{eqa\s\don5(n)}、{eqb\s\don5(n)}、{eql\s\don5(n)}都是等比數(shù)列；②數(shù)列{eqb\s\don5(n)}、{eql\s\don5(n)}、{eqS\s\don5(n)}都是遞增數(shù)列；數(shù)列{eqa\s\don5(n)}是遞減數(shù)列；③數(shù)列{eqb\s\don5(n)}、{eql\s\don5(n)}的公比大于1,{eqa\s\don5(n)}的公比小于1,根據(jù)函數(shù)的圖象可以知道,隨著n趨近于+∞,eqb\s\don5(n)、eql\s\don5(n)趨近于+∞,eqa\s\don5(n)趨近于0.同理可知eqS\s\don5(n)4.檢驗(yàn)結(jié)果根據(jù)以上的結(jié)果可以總結(jié)出“雪花曲線”特性,即①“雪花曲線”是一條邊數(shù)無窮多,到處是尖端,不光滑的、連續(xù)封閉的曲線.②“雪花曲線”的周長為無窮大,而它圍成的面積是有限的.③曲線上的每一小部分都與整個(gè)曲線相似,就像大樹上的小樹枝和整個(gè)大樹相似一樣.這樣的教學(xué)不但可以克服以往在教學(xué)過程中出現(xiàn)的困乏、死板、枯燥、無趣的教學(xué)問題,使教學(xué)效果大大的提高,還可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,挖掘?qū)W生學(xué)習(xí)的潛能,為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供了很大的動(dòng)力.所以教學(xué)時(shí)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容,介紹與高等數(shù)學(xué)相關(guān)的新成果和課題,以及研究高等數(shù)學(xué)的基本方法,讓學(xué)生了解或適當(dāng)參與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革,在課程教學(xué)或?qū)ｎ}講座中可適當(dāng)?shù)亟榻B一些當(dāng)前教改的熱點(diǎn)課題,以及常用的研究方法.引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用高等數(shù)學(xué)的思想、方法、知識(shí),對(duì)初等數(shù)學(xué)進(jìn)行探討和學(xué)習(xí).激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)探究的能力,使他們努力學(xué)習(xí).7“高觀點(diǎn)”在新課標(biāo)中的體現(xiàn)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》（即本文所指的新課標(biāo),以下簡《稱標(biāo)準(zhǔn)》）自出版以來,倍受關(guān)注.本文接下來擬探尋其中所體現(xiàn)的“高觀點(diǎn)”.課程基本理念中的“高觀點(diǎn)”1．提供多樣的課程,適應(yīng)個(gè)性的選擇.《標(biāo)準(zhǔn)》指出,“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)為學(xué)生提供選擇和發(fā)展的空間,為學(xué)生提供多層次、多種類的選擇......”,“同時(shí),高中數(shù)學(xué)課程也該給學(xué)校和教師留有一定的選擇空間,他們可以根據(jù)學(xué)生的基本需求和自身的條件,制定課程發(fā)展計(jì)劃,不斷豐富和完善供學(xué)生選擇的課程”.這一理念本身并非“高觀點(diǎn)”,但卻是對(duì)“高觀點(diǎn)”包容與接納.“高觀點(diǎn)”的實(shí)體與形態(tài)可以說是一種課程,不僅適應(yīng)與學(xué)有余力的學(xué)生提前接觸高等數(shù)學(xué)知識(shí)和現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想和方法,為今后的發(fā)展打下基礎(chǔ),也適應(yīng)于其它學(xué)生,使他們擴(kuò)展視野,增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和樂趣.若有這樣一種課程的加入,高中數(shù)學(xué)課程體系將顯得更加豐富,可供學(xué)生選擇的空間也將拓廣,以更有利于個(gè)性的發(fā)展.2．與時(shí)俱進(jìn)地認(rèn)識(shí)“雙基”.《標(biāo)準(zhǔn)》指出,“隨著時(shí)代的發(fā)展,特別是數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用,計(jì)算機(jī)技術(shù)和現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展數(shù)學(xué)課程的設(shè)置和實(shí)施應(yīng)重新審視基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和能力的內(nèi)涵......例如高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)增加算法的內(nèi)容,把最基本的數(shù)據(jù)處理、統(tǒng)計(jì)知識(shí)等作為新的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能；同時(shí)刪減了煩瑣的計(jì)算,人為技巧化的難題和過分強(qiáng)調(diào)細(xì)枝末節(jié)的內(nèi)容.”這一理念符合“高觀點(diǎn)”作為一種數(shù)學(xué)思想方法的定位.“高觀點(diǎn)”就是為力刪煩就簡、去粗取精、改善知識(shí)結(jié)構(gòu)、提高能力水平.3.體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化價(jià)值【7】.《標(biāo)準(zhǔn)》指出,“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分.....高中數(shù)學(xué)課程提倡體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化價(jià)值,并在適當(dāng)?shù)膬?nèi)容中提出對(duì)‘?dāng)?shù)學(xué)文化’的學(xué)習(xí)要求,設(shè)立‘?dāng)?shù)學(xué)史’選講專題”.這一理念更加豐富了“高觀點(diǎn)”的內(nèi)涵.數(shù)學(xué)文化價(jià)值既數(shù)學(xué)與社會(huì)發(fā)展的相互作用、數(shù)學(xué)科學(xué)的思想體系、數(shù)學(xué)美學(xué)價(jià)值等.體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值即是一種“文化觀”,是基于人本主義的當(dāng)代數(shù)學(xué)教育的價(jià)值取向.而學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歷史,不僅能理解重要的數(shù)學(xué)方法的來源和數(shù)學(xué)家的智慧,也能理順數(shù)學(xué)發(fā)展的趨勢(shì),從而樹立“歷史觀”和“文化觀”突破學(xué)科的限制,將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)置身于人類科學(xué)體系,更符合現(xiàn)代社會(huì)對(duì)人的綜合要求.課程設(shè)計(jì)思路中的“高觀點(diǎn)”《標(biāo)準(zhǔn)》中課程設(shè)計(jì)以框架為主體,并結(jié)合教育改革的基本理念、課程內(nèi)容以及實(shí)施,使之成為一個(gè)有機(jī)的整體.在框架中,“高中數(shù)學(xué)課程分必修和選修”,必修課以模塊的形式出現(xiàn),選修課則以模塊和專題的形式出現(xiàn).在適用對(duì)象上,必修課程人人必修,選修課程則因人而異.在模塊和專題之中,又要求滲透數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建模的思想和數(shù)學(xué)文化的內(nèi)容.模塊有一定的邏輯次序,而專題可以不考慮先后順序.整個(gè)設(shè)計(jì)具有系統(tǒng)性,又具有開放性和靈活性.開放性體現(xiàn)在“其中的專題將隨著課程的發(fā)展逐步予以補(bǔ)充”,靈活性主要體現(xiàn)在“學(xué)生可以選擇不同的課程組合,選擇以后還可以根據(jù)自身情況和條件適當(dāng)調(diào)整”,《標(biāo)準(zhǔn)》中又具體提供了3種基本的課程組合.可以看出,《標(biāo)準(zhǔn)》中的課程設(shè)計(jì)思路類似欲公理化的思想：即從主體框架入手,通過框架內(nèi)容中不同的演繹組合,形成各種靈活多變的具體專門適應(yīng)性的組合課程,使得學(xué)生選課和教師的教課都有較大的彈性.公理化、集合論的思想是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要思想,如果說將其用在具體的數(shù)學(xué)教學(xué)中是屬于微觀層次的話,那么將其用在數(shù)學(xué)課程設(shè)計(jì)上則屬于宏觀層面,毋庸質(zhì)疑,后者對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的教與學(xué)的指導(dǎo)作用是根本性的.內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)中的“高觀點(diǎn)”從課程內(nèi)容上來考慮“高觀點(diǎn)”就是要看其中與“高觀點(diǎn)”相關(guān)的知識(shí)含量及其處理方式.應(yīng)該說,這是在《標(biāo)準(zhǔn)》中的知識(shí)載體.必修課包括5個(gè)模塊.其中數(shù)學(xué)3為：算法初步、統(tǒng)計(jì)、概率.《標(biāo)準(zhǔn)》指出,“算法是一個(gè)全新的課題,已經(jīng)成為計(jì)算科學(xué)的重要基礎(chǔ)......在必修課程中將學(xué)習(xí)算法的基本思想和初步知識(shí),算法思想將貫穿高中數(shù)學(xué)的相關(guān)部分”,“例如,運(yùn)用消元法解二元一次方程組、求最大共因數(shù)等過程就是算法”,“算法除作為本模塊的內(nèi)容之外,其思想方法滲透在高中數(shù)學(xué)課程其他的有關(guān)內(nèi)容中,鼓勵(lì)學(xué)生盡可能地運(yùn)用算法解決相關(guān)問題”.《標(biāo)準(zhǔn)》中還提到,在統(tǒng)計(jì)教學(xué)中,“教師可以引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)最小二乘法的思想,根據(jù)所給出的公式求線形回歸方程”,“概率教學(xué)的核心問題是讓學(xué)生了解隨機(jī)現(xiàn)象與概率的意義”.與必修課相比,《標(biāo)準(zhǔn)》中選修課程更加突出地體現(xiàn)了“高觀點(diǎn)”.系列一包括兩個(gè)模塊：選修1-1中包含了導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,建議“通過實(shí)例了解、感受、體會(huì)、防止忽視它的思想和價(jià)值”等.選修1-2包含了統(tǒng)計(jì)案例,也有相似的建議；系列而包括3個(gè)模塊.其中,選修2-1包含了空間向量及其應(yīng)用,重點(diǎn)展示了向量方法（這是“高觀點(diǎn)”所積極倡導(dǎo)的