學(xué)案空間向量的坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)系

5/5空間向量的坐標(biāo)與空間直角坐標(biāo)系【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．通過空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理素養(yǎng)．2．通過對空間直角坐標(biāo)系的學(xué)習(xí)，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．3．理解空間直角坐標(biāo)系的定義、建系方法，以及空間的點(diǎn)的坐標(biāo)確定方法并能簡單運(yùn)用．【學(xué)習(xí)重難點(diǎn)】1．掌握空間向量的坐標(biāo)表示，能在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中寫出向量的坐標(biāo)．（重點(diǎn)）2．掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算．（重點(diǎn)）3．掌握空間向量的坐標(biāo)與空間向量的平行、垂直的關(guān)系．（重點(diǎn)、難點(diǎn)）【學(xué)習(xí)過程】一、新知初探1．空間中向量的坐標(biāo)一般地，如果空間向量的基底{e1，e2，e3}中，e1，e2，e3都是單位向量，而且這三個向量兩兩垂直，就稱這組基底為單位正交基底，在單位正交基底下向量的分解稱為向量的單位正交分解，而且，如果p＝xe1＋ye2＋ze3，則稱有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）為向量p的坐標(biāo)，記作p＝（x，y，z）．其中x，y，z都稱為p的坐標(biāo)分量．2．空間向量的運(yùn)算與坐標(biāo)的關(guān)系假設(shè)空間中兩個向量a，b滿足a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），則有以下結(jié)論：（1）a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2）；（2）若u，v是兩個實(shí)數(shù)，ua＋vb＝（ux1＋vx2，uy1＋vy2，uz1＋vz2）；（3）a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；（4）|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z\o\al(2,1))；（5）當(dāng)a≠0且b≠0時，cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)＋z\o\al(2,2)))．3．空間向量的坐標(biāo)與空間向量的平行、垂直（1）當(dāng)a≠0時，a∥b?b＝λa?（x2，y2，z2）＝λ（x1，y1，z1）?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝λx1,y2＝λy1,z2＝λz1))，當(dāng)a的每一個坐標(biāo)分量都不為零時，有a∥b?eq\f(x2,x1)＝eq\f(y2,y1)＝eq\f(z2,z1)．（2）a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0．4．空間直角坐標(biāo)系（1）在空間中任意選定一點(diǎn)O作為坐標(biāo)原點(diǎn)，選擇合適的平面先建立平面直角坐標(biāo)系xOy，然后過O作一條與xOy平面垂直的數(shù)軸z軸．這樣建立的空間直角坐標(biāo)系記作Oxyz．（2）在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，x軸、y軸、z軸是兩兩垂直的，它們都稱為坐標(biāo)軸，通過每兩個坐標(biāo)軸的平面都稱為坐標(biāo)平面．（3）z軸正方向的確定：在z軸的正半軸看xOy平面，x軸的正半軸繞O點(diǎn)沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°能與y軸的正半軸重合．（4）空間直角坐標(biāo)系的畫法：在平面內(nèi)畫空間直角坐標(biāo)系Oxyz時，一般把x軸、y軸畫成水平放置，x軸正方向與y軸正方向夾角為135°（或45°），z軸與y軸（或x軸）垂直．（5）空間中一點(diǎn)的坐標(biāo)：空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)可用有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）來表示，有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）叫做點(diǎn)M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，其中x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo)（或x坐標(biāo)），y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo)（或y坐標(biāo)），z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo)（或z坐標(biāo)）．（6）三個坐標(biāo)平面將不在坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)分成了八個部分，每一部分都稱為一個卦限，按逆時針方向，在坐標(biāo)平面xOy的上方，分別是第Ⅰ卦限，第Ⅱ卦限，第Ⅲ卦限，第Ⅳ卦限，在平面xOy的下方，分別是第Ⅴ卦限，第Ⅵ卦限，第Ⅶ卦限，第Ⅷ卦限，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，第Ⅰ卦限的點(diǎn)集用集合可表示為{（x，y，z）|x＞0，y＞0，z＞0}．5．空間向量坐標(biāo)的應(yīng)用（1）點(diǎn)P（x，y，z）到坐標(biāo)原點(diǎn)O（0,0,0）的距離OP＝eq\r(x2＋y2＋z2)．（2）任意兩點(diǎn)P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）間的距離P1P2＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12)．二、初試身手1．思考辨析（正確的打“√”，錯誤的打“×”）（1）以原點(diǎn)為始點(diǎn)的向量eq\o(OP,\s\up7(→))的坐標(biāo)和點(diǎn)P的坐標(biāo)相同．（）（2）若a·b＝0，則a⊥b．（）（3）在空間直角坐標(biāo)系中，在Ox軸上的點(diǎn)一定是（0，b，c）．（）（4）在空間直角坐標(biāo)系中，在xOz平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)為（a,0，c）．（）2．（教材P19例2改編）已知向量a＝（3，－2,1），b＝（－2,4,0），則4a＋2b等于（A．（16,0,4） B．（8，－16,4）C．（8,16,4） D．（8,0,4）3．已知{e1，e2，e3}是單位正交基底，則p＝－e1＋2e2＋3e3的坐標(biāo)為________．4．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（3,4,5）與Q（3，－4，－5）兩點(diǎn)的位置關(guān)系是________．三、合作探究類型1空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例1】（1）如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A′B′C′D′中，E，F(xiàn)，G分別為棱DD′，D′C′，BC的中點(diǎn)，以{eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AA′,\s\up7(→))}為基底，求下列向量的坐標(biāo)．①eq\o(AE,\s\up7(→))，eq\o(AG,\s\up7(→))，eq\o(AF,\s\up7(→))；②eq\o(EF,\s\up7(→))，eq\o(EG,\s\up7(→))，eq\o(DG,\s\up7(→))．（2）已知空間四點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)分別是（－1,2,1），（1,3,4），（0，－1,4），（2，－1，－2）．若p＝eq\o(AB,\s\up7(→))，q＝eq\o(CD,\s\up7(→))．求①p＋2q；②3p－q；③（p－q）·（p＋q）．類型2空間中點(diǎn)的坐標(biāo)確定及應(yīng)用【例2】在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是D1D、BD的中點(diǎn)，G在棱CD上，且CG＝eq\f(1,4)CD，H為C1G的中點(diǎn)，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出E，F(xiàn)，G，H的坐標(biāo)．并求GH的長度．類型3空間向量的平行與垂直【例3】已知空間三點(diǎn)A（－2,0,2），B（－1,1,2），C（－3,0,4），設(shè)a＝eq\o(AB,\s\up7(→))，b＝eq\o(AC,\s\up7(→))．（1）若|c|＝3，c∥eq\o(BC,\s\up7(→))．求c；（2）若ka＋b與ka－2b互相垂直，求k．類型4利用坐標(biāo)運(yùn)算解決夾角、距離問題【例4】如圖所示，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是D1D，BD的中點(diǎn)，G在棱CD上，且CG＝eq\f(1,4)CD，H為C1G的中點(diǎn)．（1）求證：EF⊥B1C（2）求EF與C1G（3）求FH的長．【學(xué)習(xí)小結(jié)】1．利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可以判斷兩個向量的平行、垂直，可以求向量的模以及兩個向量的夾角．2．幾何中的平行和垂直可以用向量進(jìn)行判斷，距離、夾角問題可以借助于空間直角坐標(biāo)系利用數(shù)量積解決．【精煉反饋】1．已知向量a＝（1,1,0），b＝（－1,0,2），則3a＋b為（A．（－2，－3，－2） B．（2,3,2）C．（－2,3,2） D．（4,3,2）2．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（1,3，－5）關(guān)于平面xOy對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A．（－1,3，－5） B．（1,3,5）C．（1，－3,5） D．（－1，－3,5）3．點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),6)，\f(\r(3),3)，\f(\r(2),2)))到原點(diǎn)O的距離是（）A．eq\f(\r(30),6) B．1C．eq\f(\r(33