通信原理課件第11章

通信原理第11章差錯(cuò)控制編碼

1通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!第11章差錯(cuò)控制編碼

11.1概述信道分類：從差錯(cuò)控制角度看隨機(jī)信道：錯(cuò)碼的出現(xiàn)是隨機(jī)的突發(fā)信道：錯(cuò)碼是成串集中出現(xiàn)的混合信道：既存在隨機(jī)錯(cuò)碼又存在突發(fā)錯(cuò)碼差錯(cuò)控制技術(shù)的種類檢錯(cuò)重發(fā)前向糾錯(cuò)反饋校驗(yàn)檢錯(cuò)刪除2通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!第11章差錯(cuò)控制編碼差錯(cuò)控制編碼：常稱為糾錯(cuò)編碼監(jiān)督碼元：上述4種技術(shù)中除第3種外，都是在接收端識(shí)別有無錯(cuò)碼。所以在發(fā)送端需要在信息碼元序列中增加一些差錯(cuò)控制碼元，它們稱為監(jiān)督碼元。不同的編碼方法，有不同的檢錯(cuò)或糾錯(cuò)能力。多余度：就是指增加的監(jiān)督碼元多少。例如，若編碼序列中平均每?jī)蓚€(gè)信息碼元就添加一個(gè)監(jiān)督碼元，則這種編碼的多余度為1/3。編碼效率(簡(jiǎn)稱碼率)：設(shè)編碼序列中信息碼元數(shù)量為k，總碼元數(shù)量為n，則比值k/n就是碼率。冗余度：監(jiān)督碼元數(shù)(n-k)和信息碼元數(shù)k之比。理論上，差錯(cuò)控制以降低信息傳輸速率為代價(jià)換取提高傳輸可靠性。3通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!第11章差錯(cuò)控制編碼拉后ARQ系統(tǒng)發(fā)送端連續(xù)發(fā)送數(shù)據(jù)組，接收端對(duì)于每個(gè)接收到的數(shù)據(jù)組都發(fā)回確認(rèn)(ACK)或否認(rèn)(NAK)答復(fù)。例如，圖中第5組接收數(shù)據(jù)有誤，則在發(fā)送端收到第5組接收的否認(rèn)答復(fù)后，從第5組開始重發(fā)數(shù)據(jù)組。在這種系統(tǒng)中需要對(duì)發(fā)送的數(shù)據(jù)組和答復(fù)進(jìn)行編號(hào)，以便識(shí)別。顯然，這種系統(tǒng)需要雙工信道。

接收數(shù)據(jù)有錯(cuò)碼組有錯(cuò)碼組91011101112214365798576ACK1NAK5NAK9ACK5發(fā)送數(shù)據(jù)57695214367981011101112重發(fā)碼組重發(fā)碼組4通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!第11章差錯(cuò)控制編碼ARQ的主要優(yōu)點(diǎn)：和前向糾錯(cuò)方法相比監(jiān)督碼元較少即能使誤碼率降到很低，即碼率較高；檢錯(cuò)的計(jì)算復(fù)雜度較低；檢錯(cuò)用的編碼方法和加性干擾的統(tǒng)計(jì)特性基本無關(guān)，能適應(yīng)不同特性的信道。ARQ的主要缺點(diǎn)：需要雙向信道來重發(fā)，不能用于單向信道，也不能用于一點(diǎn)到多點(diǎn)的通信系統(tǒng)。因?yàn)橹匕l(fā)而使ARQ系統(tǒng)的傳輸效率降低。在信道干擾嚴(yán)重時(shí)，可能發(fā)生因不斷反復(fù)重發(fā)而造成事實(shí)上的通信中斷。在要求實(shí)時(shí)通信的場(chǎng)合，例如電話通信，往往不允許使用ARQ法。5通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!第11章差錯(cuò)控制編碼11.2糾錯(cuò)編碼的基本原理

糾錯(cuò)編碼基本原理：舉例說明如下。設(shè)有一種由3位二進(jìn)制數(shù)字構(gòu)成的碼組，它共有8種不同的可能組合。若將其全部用來表示天氣，則可以表示8種不同天氣， 例如：“000”（晴），“001”（云）， “010”（陰），“011”（雨）， “100”（雪），“101”（霜）， “110”（霧），“111”（雹）。其中任一碼組在傳輸中若發(fā)生一個(gè)或多個(gè)錯(cuò)碼，則將變成另一個(gè)信息碼組。這時(shí)，接收端將無法發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤。6通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!第11章差錯(cuò)控制編碼檢錯(cuò)和糾錯(cuò)上面這種編碼只能檢測(cè)錯(cuò)碼，不能糾正錯(cuò)碼。例如，當(dāng)接收碼組為禁用碼組“100”時(shí)，接收端將無法判斷是哪一位碼發(fā)生了錯(cuò)誤，因?yàn)榍纭㈥?、雨三者錯(cuò)了一位都可以變成“100”。要能夠糾正錯(cuò)誤，還要增加多余度。例如，若規(guī)定許用碼組只有兩個(gè)：“000”（晴），“111”（雨），其他都是禁用碼組，則能夠檢測(cè)兩個(gè)以下錯(cuò)碼，或能夠糾正一個(gè)錯(cuò)碼。例如，當(dāng)收到禁用碼組“100”時(shí)，若當(dāng)作僅有一個(gè)錯(cuò)碼，則可以判斷此錯(cuò)碼發(fā)生在“1”位，從而糾正為“000”（晴）。因?yàn)椤?11”（雨）發(fā)生任何一位錯(cuò)碼時(shí)都不會(huì)變成“100”這種形式。但是，這時(shí)若假定錯(cuò)碼數(shù)不超過兩個(gè)，則存在兩種可能性：“000”錯(cuò)一位和“111”錯(cuò)兩位都可能變成“100”，因而只能檢測(cè)出存在錯(cuò)碼而無法糾正錯(cuò)碼。7通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!第11章差錯(cuò)控制編碼分組碼的一般結(jié)構(gòu)分組碼的符號(hào)：(n,k)N－碼組的總位數(shù)，又稱為碼組的長(zhǎng)度（碼長(zhǎng)），k－碼組中信息碼元的數(shù)目，n–k＝r－碼組中的監(jiān)督碼元數(shù)目，或稱監(jiān)督位數(shù)目。8通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!第11章差錯(cuò)控制編碼碼距的幾何意義對(duì)于3位的編碼組，可以在3維空間中說明碼距的幾何意義。每個(gè)碼組的3個(gè)碼元的值(a1,a2,a3)就是此立方體各頂點(diǎn)的坐標(biāo)。而上述碼距概念在此圖中就對(duì)應(yīng)于各頂點(diǎn)之間沿立方體各邊行走的幾何距離。由此圖可以直觀看出，上例中4個(gè)準(zhǔn)用碼組之間的距離均為2。(0,0,0)(0,0,1)(1,0,1)(1,0,0)(1,1,0)(0,1,0)(0,1,1)(1,1,1)a2a0a19通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!第11章差錯(cuò)控制編碼 同理，若一種編碼的最小碼距為d0，則將能檢測(cè)(d0-1)個(gè)錯(cuò)碼。反之，若要求檢測(cè)e個(gè)錯(cuò)碼，則最小碼距d0至少應(yīng)不小于(e+1)。為了糾正t個(gè)錯(cuò)碼，要求最小碼距d0

2t+1【證】圖中畫出碼組A和B的距離為5。碼組A或B若發(fā)生不多于兩位錯(cuò)碼，則其位置均不會(huì)超出半徑為2以原位置為圓心的圓。這兩個(gè)圓是不重疊的。判決規(guī)則為：若接收碼組落于以A為圓心的圓上就判決收到的是碼組A，若落于以B為圓心的圓上就判決為碼組B。 這樣，就能夠糾 正兩位錯(cuò)碼。BtA漢明距離012345td010通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!第11章差錯(cuò)控制編碼為糾正t個(gè)錯(cuò)碼，同時(shí)檢測(cè)e個(gè)錯(cuò)碼，要求最小碼距 在解釋此式之前，先來分析下圖所示的例子。圖中碼組A和B之間距離為5。按照檢錯(cuò)能力公式，最多能檢測(cè)4個(gè)錯(cuò)碼，即e=d0–1=5–1=4，按照糾錯(cuò)能力公式糾錯(cuò)時(shí)，能糾正2個(gè)錯(cuò)碼。但是，不能同時(shí)作到兩者，因?yàn)楫?dāng)錯(cuò)碼位數(shù)超過糾錯(cuò)能力時(shí)，該碼組立即進(jìn)入另一碼組的圓內(nèi)而被錯(cuò)誤地“糾正”了。例如，碼組A若錯(cuò)了3位，就會(huì)被誤認(rèn)為碼組B錯(cuò)了2位造成的結(jié)果，從而被 錯(cuò)“糾”為B。這就 是說，檢錯(cuò)和糾錯(cuò) 公式不能同時(shí)成立 或同時(shí)運(yùn)用。BtA漢明距離012345td011通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!第11章差錯(cuò)控制編碼 這種工作方式是自動(dòng)在糾錯(cuò)和檢錯(cuò)之間轉(zhuǎn)換的。當(dāng)錯(cuò)碼數(shù)量少時(shí)，系統(tǒng)按前向糾錯(cuò)方式工作，以節(jié)省重發(fā)時(shí)間，提高傳輸效率；當(dāng)錯(cuò)碼數(shù)量多時(shí)，系統(tǒng)按反饋重發(fā)方式糾錯(cuò)，以降低系統(tǒng)的總誤碼率。所以，它適用于大多數(shù)時(shí)間中錯(cuò)碼數(shù)量很少，少數(shù)時(shí)間中錯(cuò)碼數(shù)量多的情況。12通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!第11章差錯(cuò)控制編碼編碼性能舉例未采用糾錯(cuò)編碼時(shí)， 若接收信噪比等于 7dB，編碼前誤碼率 約為810-4，圖中A 點(diǎn)，在采用糾錯(cuò)編碼 后，誤碼率降至約4

10-5，圖中B點(diǎn)。這樣， 不增大發(fā)送功率 就能 降低誤碼率約一個(gè)半 數(shù)量級(jí)。信噪比(dB)10-610-510-410-310-210-1PeC編碼后DEBA編碼前13通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!第11章差錯(cuò)控制編碼傳輸速率和Eb/n0的關(guān)系 對(duì)于給定的傳輸系統(tǒng) 式中，RB為碼元速率。 若希望提高傳輸速率， 由上式看出勢(shì)必使信 噪比下降，誤碼率增 大。假設(shè)系統(tǒng)原來工作 在圖中C點(diǎn)，提高速率后 由C點(diǎn)升到E點(diǎn)。但加用 糾錯(cuò)編碼后，仍可將誤碼 率降到D點(diǎn)。這時(shí)付出的 代價(jià)仍是帶寬增大。10-610-510-410-310-210-1Pe信噪比(dB)C編碼后DEBA編碼前14通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!第11章差錯(cuò)控制編碼11.4.2二維奇偶監(jiān)督碼（方陣碼）二維奇偶監(jiān)督碼的構(gòu)成 它是先把上述奇偶監(jiān)督碼的若干碼組排成矩陣，每一碼組寫成一行，然后再按列的方向增加第二維監(jiān)督位，如下圖所示 圖中a01

a02

a0m為m行奇偶監(jiān)督碼中的m個(gè)監(jiān)督位。

cn-1

cn-2

c1

c0為按列進(jìn)行第二次編碼所增加的監(jiān)督位，它們構(gòu)成了一監(jiān)督位行。15通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!第11章差錯(cuò)控制編碼

11.4.3恒比碼在恒比碼中，每個(gè)碼組均含有相同數(shù)目的“1”（和“0”）。由于“1”的數(shù)目與“0”的數(shù)目之比保持恒定，故得此名。這種碼在檢測(cè)時(shí)，只要計(jì)算接收碼組中“1”的數(shù)目是否對(duì)，就知道有無錯(cuò)碼。恒比碼的主要優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單和適于用來傳輸電傳機(jī)或其他鍵盤設(shè)備產(chǎn)生的字母和符號(hào)。對(duì)于信源來的二進(jìn)制隨機(jī)數(shù)字序列，這種碼就不適合使用了。16通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!第11章差錯(cuò)控制編碼正反碼的解碼在上例中，先將接收碼組中信息位和監(jiān)督位按模2相加，得到一個(gè)5位的合成碼組。然后，由此合成碼組產(chǎn)生一個(gè)校驗(yàn)碼組。若接收碼組的信息位中有奇數(shù)個(gè)“1”，則合成碼組就是校驗(yàn)碼組；若接收碼組的信息位中有偶數(shù)個(gè)“1”，則取合成碼組的反碼作為校驗(yàn)碼組。最后，觀察校驗(yàn)碼組中“1”的個(gè)數(shù)，按下表進(jìn)行判決及糾正可能發(fā)現(xiàn)的錯(cuò)碼。17通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!第11章差錯(cuò)控制編碼 若傳輸中產(chǎn)生了差錯(cuò)，使接收碼組變成1000111001，則合成碼組為1000111001＝01000。由于接收碼組中信息位有偶數(shù)個(gè)“1”，所以校驗(yàn)碼組應(yīng)取合成碼組的反碼，即10111。由于其中有4個(gè)“1”和1個(gè)“0”，按上表判斷信息位中左邊第2位為錯(cuò)碼。 若接收碼組錯(cuò)成1100101001，則合成碼組變成1100101001＝10000。由于接收碼組中信息位有奇數(shù)個(gè)“1”，故校驗(yàn)碼組就是10000，按上表判斷，監(jiān)督位中第1位為錯(cuò)碼。 最后，若接收碼組為1001111001，則合成碼組為1001111001＝01010，校驗(yàn)碼組與其相同，按上表判斷，這時(shí)錯(cuò)碼多于1個(gè)。上述長(zhǎng)度為10的正反碼具有糾正1位錯(cuò)碼的能力，并能檢測(cè)全部2位以下的錯(cuò)碼和大部分2位以上的錯(cuò)碼。18通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!第11章差錯(cuò)控制編碼漢明碼能夠糾正1位錯(cuò)碼且編碼效率較高的一種線性分組碼漢明碼的構(gòu)造原理在偶數(shù)監(jiān)督碼中，由于使用了一位監(jiān)督位a0，它和信息位an-1…a1一起構(gòu)成一個(gè)代數(shù)式： 在接收端解碼時(shí)，實(shí)際上就是在計(jì)算 若S=0，就認(rèn)為無錯(cuò)碼；若S=1，就認(rèn)為有錯(cuò)碼。現(xiàn)將上式稱為監(jiān)督關(guān)系式，S稱為校正子。由于校正子S只有兩種取值，故它只能代表有錯(cuò)和無錯(cuò)這兩種信息，而不能指出錯(cuò)碼的位置。19通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!第11章差錯(cuò)控制編碼例：設(shè)分組碼(n,k)中k=4，為了糾正1位錯(cuò)碼，由上式可知，要求監(jiān)督位數(shù)r

3。若取r=3，則n=k+r=7。我們用a6

a5

a0表示這7個(gè)碼元，用S1、S2和S3表示3個(gè)監(jiān)督關(guān)系式中的校正子，則S1、S2和S3的值與錯(cuò)碼位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以規(guī)定如下表所列：S1S2

S3錯(cuò)碼位置S1S2

S3錯(cuò)碼位置001a0101a4010a1110a5100a2111a6011a3000無錯(cuò)碼20通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!第11章差錯(cuò)控制編碼在發(fā)送端編碼時(shí)，信息位a6、a5、a4和a3的值決定于輸入信號(hào)，因此它們是隨機(jī)的。監(jiān)督位a2、a1和a0應(yīng)根據(jù)信息位的取值按監(jiān)督關(guān)系來確定，即監(jiān)督位應(yīng)使上3式中S1、S2和S3的值為0（表示編成的碼組中應(yīng)無錯(cuò)碼）： 上式經(jīng)過移項(xiàng)運(yùn)算，解出監(jiān)督位 給定信息位后，可以直接按上式算出監(jiān)督位，結(jié)果見下表：21通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!第11章差錯(cuò)控制編碼接收端收到每個(gè)碼組后，先計(jì)算出S1、S2和S3，再查表判斷錯(cuò)碼情況。例如，若接收碼組為0000011，按上述公式計(jì)算可得：S1=0，S2=1，S3=1。由于S1

S2

S3等于011，故查表可知在a3位有1錯(cuò)碼。按照上述方法構(gòu)造的碼稱為漢明碼。表中所列的(7,4)漢明碼的最小碼距d0=3。因此，這種碼能夠糾正1個(gè)錯(cuò)碼或檢測(cè)2個(gè)錯(cuò)碼。由于碼率k/n=(n-r)/n=1–r/n，故當(dāng)n很大和r很小時(shí)，碼率接近1。可見，漢明碼是一種高效碼。22通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!第11章差錯(cuò)控制編碼上式可以表示成如下矩陣形式：上式還可以簡(jiǎn)記為

HAT=0T或AHT=0

23通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!第11章差錯(cuò)控制編碼H矩陣的性質(zhì)： 1)H的行數(shù)就是監(jiān)督關(guān)系式的數(shù)目，它等于監(jiān)督位的數(shù)目r。H的每行中“1”的位置表示相應(yīng)碼元之間存在的監(jiān)督關(guān)系。例如，H的行1110100表示監(jiān)督位a2是由a6

a5

a4之和決定的。H矩陣可以分成兩部分，例如 式中，P為r

k階矩陣，Ir為r

r階單位方陣。我們將具有[PIr]形式的H矩陣稱為典型陣。24通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!第11章差錯(cuò)控制編碼 或者寫成 式中，Q為一個(gè)k

r階矩陣，它為P的轉(zhuǎn)置，即Q=PT 上式表示，在信息位給定后，用信息位的行矩陣乘矩陣Q就產(chǎn)生出監(jiān)督位。25通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!第11章差錯(cuò)控制編碼G矩陣的性質(zhì)： 1)G矩陣的各行是線性無關(guān)的。因?yàn)橛缮鲜娇梢钥闯觯我淮a組A都是G的各行的線性組合。G共有k行，若它們線性無關(guān)，則可以組合出2k種不同的碼組A，它恰是有k位信息位的全部碼組。若G的各行有線性相關(guān)的，則不可能由G生成2k種不同的碼組了。 2)實(shí)際上，G的各行本身就是一個(gè)碼組。因此，如果已有k個(gè)線性無關(guān)的碼組，則可以用其作為生成矩陣G，并由它生成其余碼組。26通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!第11章差錯(cuò)控制編碼 因此，若ei=0，表示該接收碼元無錯(cuò)；若ei=1，則表示該接收碼元有錯(cuò)。

B–A=E可以改寫成B=A+E 例如，若發(fā)送碼組A=[1000111]，錯(cuò)碼矩陣E=[0000100]，則接收碼組B=[1000011]。 錯(cuò)碼矩陣有時(shí)也稱為錯(cuò)誤圖樣。27通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!第11章差錯(cuò)控制編碼線性分組碼的性質(zhì)封閉性：是指一種線性碼中的任意兩個(gè)碼組之和仍為這種碼中的一個(gè)碼組。 這就是說，若A1和A2是一種線性碼中的兩個(gè)許用碼組，則(A1+A2)仍為其中的一個(gè)碼組。這一性質(zhì)的證明很簡(jiǎn)單。若A1和A2是兩個(gè)碼組，則有

A1

HT=0, A2

HT=0 將上兩式相加，得出

A1

HT+A2

HT=(A1+A2)HT=0 所以(A1+A2)也是一個(gè)碼組。 由于線性碼具有封閉性，所以兩個(gè)碼組(A1和A2)之間的距離（即對(duì)應(yīng)位不同的數(shù)目）必定是另一個(gè)碼組(A1+A2)的重量（即“1”的數(shù)目）。因此，碼的最小距離就是碼的最小重量（除全“0”碼組外）。28通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!第11章差錯(cuò)控制編碼11.6循環(huán)碼11.6.1循環(huán)碼原理循環(huán)性：循環(huán)性是指任一碼組循環(huán)一位（即將最右端的一個(gè)碼元移至左端，或反之）以后，仍為該碼中的一個(gè)碼組。在下表中給出一種(7,3)循環(huán)碼的全部碼組。 例如，表中的第2碼組向右移一位即得到第5碼組；第6碼組向右移一位即得到第7碼組。碼組編號(hào)信息位監(jiān)督位碼組編號(hào)信息位監(jiān)督位a6a5a4a3a2a1a0a6a5a4a3a2a1a0100000005100101120010111610111003010111071100101401110018111001029通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁!第11章差錯(cuò)控制編碼碼多項(xiàng)式碼組的多項(xiàng)式表示法 把碼組中各碼元當(dāng)作是一個(gè)多項(xiàng)式的系數(shù)，即把一個(gè)長(zhǎng)度為n的碼組表示成 例如，上表中的任意一個(gè)碼組可以表示為 其中第7個(gè)碼組可以表示為 這種多項(xiàng)式中，x僅是碼元位置的標(biāo)記，例如上式表示第7碼組中a6、a5、a2和a0為“1”，其他均為0。因此我們并不關(guān)心x的取值。30通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁!第11章差錯(cuò)控制編碼在碼多項(xiàng)式運(yùn)算中也有類似的按模運(yùn)算 若一任意多項(xiàng)式F(x)被一n次多項(xiàng)式N(x)除，得到商式Q(x)和一個(gè)次數(shù)小于n的余式R(x)，即 則寫為 這時(shí)，碼多項(xiàng)式系數(shù)仍按模2運(yùn)算，即系數(shù)只取0和1。例如，x3被(x3+1)除，得到余項(xiàng)1。所以有 同理 因?yàn)?/p>

xx3+1x4+x2+1

x4

+x

x2+x+1應(yīng)當(dāng)注意，由于在模2運(yùn)算中，用加法代替了減法，故余項(xiàng)不是x2–x+1，而是x2+x+1。31通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁!第11章差錯(cuò)控制編碼 上式中T(x)正是T(x)代表的碼組向左循環(huán)移位i次的結(jié)果。因?yàn)樵鸭俣═(x)是循環(huán)碼的一個(gè)碼組，所以T(x)也必為該碼中一個(gè)碼組。例如，循環(huán)碼組 其碼長(zhǎng)n=7?，F(xiàn)給定i=3，則 其對(duì)應(yīng)的碼組為0101110，它正是表中第3碼組。 由上述分析可見，一個(gè)長(zhǎng)為n的循環(huán)碼必定為按模(xn+1)運(yùn)算的一個(gè)余式。32通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁!第11章差錯(cuò)控制編碼在循環(huán)碼中除全“0”碼組外，再?zèng)]有連續(xù)k位均為“0”的碼組，即連“0”的長(zhǎng)度最多只能有(k-1)位。否則，在經(jīng)過若干次循環(huán)移位后將得到一個(gè)k位信息位全為“0”，但監(jiān)督位不全為“0”的一個(gè)碼組。這在線性碼中顯然是不可能的。因此，g(x)必須是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)不為“0”的(n-k)次多項(xiàng)式，而且這個(gè)g(x)還是這種(n,k)碼中次數(shù)為(n–k)的唯一多項(xiàng)式。因?yàn)槿绻袃蓚€(gè)，則由碼的封閉性，把這兩個(gè)相加也應(yīng)該是一個(gè)碼組，且此碼組多項(xiàng)式的次數(shù)將小于(n–k)，即連續(xù)“0”的個(gè)數(shù)多于(k–1)。顯然，這是與前面的結(jié)論矛盾的，故是不可能的。我們稱這唯一的(n–k)次多項(xiàng)式g(x)為碼的生成多項(xiàng)式。一旦確定了g(x)，則整個(gè)(n,k)循環(huán)碼就被確定了。33通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁!第11章差錯(cuò)控制編碼 由于上式不符合G=[IkQ]的形式，所以它不是典型陣。不過，將它作線性變換，不難化成典型陣。 我們可以寫出此循環(huán)碼組，即 上式表明，所有碼多項(xiàng)式T(x)都可被g(x)整除，而且任意一個(gè)次數(shù)不大于(k–1)的多項(xiàng)式乘g(x)都是碼多項(xiàng)式。需要說明一點(diǎn)，兩個(gè)矩陣相乘的結(jié)果應(yīng)該仍是一個(gè)矩陣。上式中兩個(gè)矩陣相乘的乘積是只有一個(gè)元素的一階矩陣，這個(gè)元素就是T(x)。為了簡(jiǎn)潔，式中直接將乘積寫為此元素。34通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁!第11章差錯(cuò)控制編碼

上式左端分子和分母都是n次多項(xiàng)式，故商式Q(x)=1。因此，上式可以化成 將T(x)和T(x)表示式代入上式，經(jīng)過化簡(jiǎn)后得到 上式表明，生成多項(xiàng)式g(x)應(yīng)該是(xn+1)的一個(gè)因子。這一結(jié)論為我們尋找循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式指出了一條道路，即循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式應(yīng)該是(xn+1)的一個(gè)(n–k)次因式。例如，(x7+1)可以分解為 為了求(7,3)循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式g(x)，需要從上式中找到一個(gè)(n–k)=4次的因子。不難看出，這樣的因子有兩個(gè)，即35通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁!第11章差錯(cuò)控制編碼11.6.2循環(huán)碼的編解碼方法循環(huán)碼的編碼方法編碼原則 在編碼時(shí)，首先要根據(jù)給定的(n,k)值選定生成多項(xiàng)式g(x)，即從(xn+1)的因子中選一個(gè)(n-k)次多項(xiàng)式作為g(x)。 由于所有碼多項(xiàng)式T(x)都可以被g(x)整除。根據(jù)這條原則，就可以對(duì)給定的信息位進(jìn)行編碼： 設(shè)m(x)為信息碼多項(xiàng)式，其次數(shù)小于k。用xn-k乘m(x)，得到的xn-km(x)的次數(shù)必定小于n。用g(x)除xn-km(x)，得到余式r(x)，r(x)的次數(shù)必定小于g(x)的次數(shù)，即小于(n–k)。將此余式r(x)加于信息位之后作為監(jiān)督位，即將r(x)和xn-km(x)相加，得到的多項(xiàng)式必定是一個(gè)碼多項(xiàng)式。因?yàn)樗仨毮鼙籫(x)整除，且商的次數(shù)不大于(k–1)。36通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁!第11章差錯(cuò)控制編碼編出的碼組T(x)為 T(x)=xn-km(x)+r(x) 在上例中，T(x)=1100000+101=1100101，它就是上表中的第7碼組。37通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第37頁!第11章差錯(cuò)控制編碼糾錯(cuò)解碼原理：為了能夠糾錯(cuò)，要求每個(gè)可糾正的錯(cuò)誤圖樣必須與一個(gè)特定余式有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。因?yàn)橹挥写嬖谏鲜鲆灰粚?duì)應(yīng)的關(guān)系時(shí)，才可能從上述余式唯一地決定錯(cuò)誤圖樣，從而糾正錯(cuò)碼。因此，原則上糾錯(cuò)可按下述步驟進(jìn)行：用生成多項(xiàng)式g(x)除接收碼組R(x)，得出余式r(x)。按余式r(x)，用查表的方法或通過某種計(jì)算得到錯(cuò)誤圖樣E(x)；例如，通過計(jì)算校正子S和查表，就可以確定錯(cuò)碼的位置。從R(x)中減去E(x)，便得到已經(jīng)糾正錯(cuò)碼的原發(fā)送碼組T(x)。通常，一種編碼可以有幾種糾錯(cuò)解碼方法，上述解碼方法稱為捕錯(cuò)解碼法。38通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第38頁!第11章差錯(cuò)控制編碼自動(dòng)要求重發(fā)(ARQ)系統(tǒng)（檢錯(cuò)重發(fā)）3種ARQ系統(tǒng)停止等待ARQ系統(tǒng)

數(shù)據(jù)按分組發(fā)送。每發(fā)送一組數(shù)據(jù)后發(fā)送端等待接收端的確認(rèn)(ACK)答復(fù)，然后再發(fā)送下一組數(shù)據(jù)。圖中的第3組接收數(shù)據(jù)有誤，接收端發(fā)回一個(gè)否認(rèn)(NAK)答復(fù)。這時(shí)，發(fā)送端將重發(fā)第3組數(shù)據(jù)。系統(tǒng)是工作在半雙工狀態(tài)，時(shí)間沒有得到充分利用，傳輸效率較低。接收碼組ACKACKNAKACKACKNAKACKt1233455發(fā)送碼組12334556t有錯(cuò)碼組有錯(cuò)碼組39通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第39頁!第11章差錯(cuò)控制編碼選擇重發(fā)ARQ系統(tǒng)它只重發(fā)出錯(cuò)的數(shù)據(jù)組，因此進(jìn)一步提高了傳輸效率。接收數(shù)據(jù)有錯(cuò)碼組有錯(cuò)碼組921436575981011131412發(fā)送數(shù)據(jù)995852143671011131412重發(fā)碼組重發(fā)碼組NAK9ACK1NAK5ACK5ACK940通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第40頁!第11章差錯(cuò)控制編碼ARQ系統(tǒng)的原理方框圖在發(fā)送端，輸入的信息碼元在編碼器中被分組編碼（加入監(jiān)督碼元）后，除了立即發(fā)送外，還暫存于緩沖存儲(chǔ)器中。若接收端解碼器檢出錯(cuò)碼，則由解碼器控制產(chǎn)生一個(gè)重發(fā)指令。此指令經(jīng)過反向信道送到發(fā)送端。由發(fā)送端重發(fā)控制器控制緩沖存儲(chǔ)器重發(fā)一次。接收端僅當(dāng)解碼器認(rèn)為接收信息碼元正確時(shí)，才將信息碼元送給收信者，否則在輸出緩沖存儲(chǔ)器中刪除接收碼元。當(dāng)解碼器未發(fā)現(xiàn)錯(cuò)碼時(shí)，經(jīng)過反向信道發(fā)出不需重發(fā)指令。發(fā)送端收到此指令后，即繼續(xù)發(fā)送后一碼組，發(fā)送端的緩沖存儲(chǔ)器中的內(nèi)容也隨之更新。41通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第41頁!第11章差錯(cuò)控制編碼若在上述8種碼組中只準(zhǔn)許使用4種來傳送天氣，例如：“000”＝晴 “011”＝云“101”＝陰“110”＝雨這時(shí)，雖然只能傳送4種不同的天氣，但是接收端卻有可能發(fā)現(xiàn)碼組中的一個(gè)錯(cuò)碼。例如，若“000”（晴）中錯(cuò)了一位，則接收碼組將變成“100”或“010”或“001”。這3種碼組都是不準(zhǔn)使用的，稱為禁用碼組。接收端在收到禁用碼組時(shí)，就認(rèn)為發(fā)現(xiàn)了錯(cuò)碼。當(dāng)發(fā)生3個(gè)錯(cuò)碼時(shí)，“000”變成了“111”，它也是禁用碼組，故這種編碼也能檢測(cè)3個(gè)錯(cuò)碼。但是這種碼不能發(fā)現(xiàn)一個(gè)碼組中的兩個(gè)錯(cuò)碼，因?yàn)榘l(fā)生兩個(gè)錯(cuò)碼后產(chǎn)生的是許用碼組。42通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第42頁!第11章差錯(cuò)控制編碼分組碼的結(jié)構(gòu)將信息碼分組，為每組信息碼附加若干監(jiān)督碼的編碼稱為分組碼。在分組碼中，監(jiān)督碼元僅監(jiān)督本碼組中的信息碼元。信息位和監(jiān)督位的關(guān)系：舉例如下信息位監(jiān)督位晴000云011陰101雨11043通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第43頁!第11章差錯(cuò)控制編碼分組碼的碼重和碼距碼重：把碼組中“1”的個(gè)數(shù)稱為碼組的重量，簡(jiǎn)稱碼重。碼距：把兩個(gè)碼組中對(duì)應(yīng)位上數(shù)字不同的位數(shù)稱為碼組的距離，簡(jiǎn)稱碼距。碼距又稱漢明距離。例如，“000”＝晴，“011”＝云，“101”＝陰，“110”＝雨，4個(gè)碼組之間，任意兩個(gè)的距離均為2。最小碼距：把某種編碼中各個(gè)碼組之間距離的最小值稱為最小碼距(d0)。例如，上面的編碼的最小碼距d0=2。44通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第44頁!第11章差錯(cuò)控制編碼碼距和檢糾錯(cuò)能力的關(guān)系一種編碼的最小碼距d0的大小直接關(guān)系著這種編碼的檢錯(cuò)和糾錯(cuò)能力為檢測(cè)e個(gè)錯(cuò)碼，要求最小碼距d0

e+1 【證】設(shè)一個(gè)碼組A位于O點(diǎn)。若碼組A中發(fā)生一個(gè)錯(cuò)碼，則我們可以認(rèn)為A的位置將移動(dòng)至以O(shè)點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓上某點(diǎn)，但其位置不會(huì)超出此圓。 若碼組A中發(fā)生兩位錯(cuò)碼，則其位置不會(huì)超出以O(shè)點(diǎn)為圓心，以2為半徑的圓。因此，只要最小碼距不小于3，碼組A發(fā)生兩位以下錯(cuò)碼時(shí)， 不可能變成另一個(gè)準(zhǔn)用 碼組，因而能檢測(cè)錯(cuò)碼 的位數(shù)等于2。

0123BA漢明距離ed045通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第45頁!第11章差錯(cuò)控制編碼 若這種編碼中除碼組A和B外，還有許多種不同碼組，但任兩碼組之間的碼距均不小于5，則以各碼組的位置為中心以2為半徑畫出之圓都不會(huì)互相重疊。這樣，每種碼組如果發(fā)生不超過兩位錯(cuò)碼都將能被糾正。因此，當(dāng)最小碼距d0＝5時(shí)，能夠糾正2個(gè)錯(cuò)碼，且最多能糾正2個(gè)。若錯(cuò)碼達(dá)到3個(gè)，就將落入另一圓上，從而發(fā)生錯(cuò)判。故一般說來，為糾正t個(gè)錯(cuò)碼，最小碼距應(yīng)不小于(2t+1)。46通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第46頁!第11章差錯(cuò)控制編碼 所以，為了在可以糾正t個(gè)錯(cuò)碼的同時(shí)，能夠檢測(cè)e個(gè)錯(cuò)碼，就需要像下圖所示那樣，使某一碼組（譬如碼組A）發(fā)生e個(gè)錯(cuò)誤之后所處的位置，與其他碼組（譬如碼組B）的糾錯(cuò)圓圈至少距離等于1，不然將落在該糾錯(cuò)圓上從而發(fā)生錯(cuò)誤地“糾正”。因此，由此圖可以直觀看出，要求最小碼距 這種糾錯(cuò)和檢錯(cuò)結(jié)合的工作方式簡(jiǎn)稱糾檢結(jié)合。ABe1tt漢明距離47通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第47頁!第11章差錯(cuò)控制編碼11.3糾錯(cuò)編碼的性能系統(tǒng)帶寬和信噪比的矛盾：由上節(jié)所述的糾錯(cuò)編碼原理可知，為了減少接收錯(cuò)誤碼元數(shù)量，需要在發(fā)送信息碼元序列中加入監(jiān)督碼元。這樣作的結(jié)果使發(fā)送序列增長(zhǎng)，冗余度增大。若仍須保持發(fā)送信息碼元速率不變，則傳輸速率必須增大，因而增大了系統(tǒng)帶寬。系統(tǒng)帶寬的增大將引起系統(tǒng)中噪聲功率增大，使信噪比下降。信噪比的下降反而又使系統(tǒng)接收碼元序列中的錯(cuò)碼增多。一般說來，采用糾錯(cuò)編碼后，誤碼率總是能夠得到很大改善的。改善的程度和所用的編碼有關(guān)。48通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第48頁!第11章差錯(cuò)控制編碼由圖還可以看出，若 保持誤碼率在10-5， 圖中C點(diǎn)，未采用編 碼時(shí)，約需要信噪比 Eb/n0=9.5dB。在 采用這種編碼時(shí)，約 需要信噪比7.5dB，圖 中D點(diǎn)?？梢怨?jié)省功率 2dB。通常稱這2dB為

編碼增益。上面兩種情況付出的代 價(jià)是帶寬增大。10-610-510-410-310-210-1Pe信噪比(dB)C編碼后DEBA編碼前49通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第49頁!第11章差錯(cuò)控制編碼

11.4簡(jiǎn)單的實(shí)用編碼11.4.1奇偶監(jiān)督碼奇偶監(jiān)督碼分為奇數(shù)監(jiān)督碼和偶數(shù)監(jiān)督碼兩種，兩者的原理相同。在偶數(shù)監(jiān)督碼中，無論信息位多少，監(jiān)督位只有1位，它使碼組中“1”的數(shù)目為偶數(shù)，即滿足下式條件： 式中a0為監(jiān)督位，其他位為信息位。 這種編碼能夠檢測(cè)奇數(shù)個(gè)錯(cuò)碼。在接收端，按照上式求“模2和”，若計(jì)算結(jié)果為“1”就說明存在錯(cuò)碼，結(jié)果為“0”就認(rèn)為無錯(cuò)碼。

奇數(shù)監(jiān)督碼與偶數(shù)監(jiān)督碼相似，只不過其碼組中“1”的數(shù)目為奇數(shù)：50通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第50頁!第11章差錯(cuò)控制編碼二維奇偶監(jiān)督碼的性能這種編碼有可能檢測(cè)偶數(shù)個(gè)錯(cuò)碼。因?yàn)槊啃械谋O(jiān)督位雖然不能用于檢測(cè)本行中的偶數(shù)個(gè)錯(cuò)碼，但按列的方向有可能由cn-1

cn-2

c1

c0等監(jiān)督位檢測(cè)出來。有一些偶數(shù)錯(cuò)碼不可能檢測(cè)出來。例如，構(gòu)成矩形的4個(gè)錯(cuò)碼，譬如圖中 錯(cuò)了，就檢測(cè)不出。這種二維奇偶監(jiān)督碼適于檢測(cè)突發(fā)錯(cuò)碼。因?yàn)橥话l(fā)錯(cuò)碼常常成串出現(xiàn)，隨后有較長(zhǎng)一段無錯(cuò)區(qū)間。由于方陣碼只對(duì)構(gòu)成矩形四角的錯(cuò)碼無法檢測(cè)，故其檢錯(cuò)能力較強(qiáng)。二維奇偶監(jiān)督碼不僅可用來檢錯(cuò)，還可以用來糾正一些錯(cuò)碼。例如，僅在一行中有奇數(shù)個(gè)錯(cuò)碼時(shí)。51通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第51頁!第11章差錯(cuò)控制編碼11.4.4正反碼正反碼的編碼：它是一種簡(jiǎn)單的能夠糾正錯(cuò)碼的編碼。其中的監(jiān)督位數(shù)目與信息位數(shù)目相同，監(jiān)督碼元與信息碼元相同或者相反則由信息碼中“1”的個(gè)數(shù)而定。例如，若碼長(zhǎng)n=10，其中信息位k=5，監(jiān)督位r=5。其編碼規(guī)則為：當(dāng)信息位中有奇數(shù)個(gè)“1”時(shí)，監(jiān)督位是信息位的簡(jiǎn)單重復(fù)；當(dāng)信息位有偶數(shù)個(gè)“1”時(shí)，監(jiān)督位是信息位的反碼。例如，若信息位為11001，則碼組為1100111001；若信息位為10001，則碼組為1000101110。52通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第52頁!第11章差錯(cuò)控制編碼校驗(yàn)碼組和錯(cuò)碼的關(guān)系

例如，若發(fā)送碼組為1100111001，接收碼組中無錯(cuò)碼，則合成碼組應(yīng)為1100111001=00000。由于接收碼組信息位中有奇數(shù)個(gè)“1”，所以校驗(yàn)碼組就是00000。按上表判決，結(jié)論是無錯(cuò)碼。

校驗(yàn)碼組的組成錯(cuò)碼情況1全為“0”無錯(cuò)碼2有4個(gè)“1”和1個(gè)“0”信息碼中有1位錯(cuò)碼，其位置對(duì)應(yīng)校驗(yàn)碼組中“0”的位置3有4個(gè)“0”和1個(gè)“1”監(jiān)督碼中有1位錯(cuò)碼，其位置對(duì)應(yīng)校驗(yàn)碼組中“1”的位置4其他組成錯(cuò)碼多于1個(gè)53通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第53頁!第11章差錯(cuò)控制編碼

11.5線性分組碼基本概念代數(shù)碼：建立在代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的編碼。線性碼：按照一組線性方程構(gòu)成的代數(shù)碼。在線性碼中信息位和監(jiān)督位是由一些線性代數(shù)方程聯(lián)系著的。線性分組碼：按照一組線性方程構(gòu)成的分組碼。本節(jié)將以漢明碼為例引入線性分組碼的一般原理。54通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第54頁!第11章差錯(cuò)控制編碼若監(jiān)督位增加一位，即變成兩位，則能增加一個(gè)類似的監(jiān)督關(guān)系式。由于兩個(gè)校正子的可能值有4中組合：00，01，10，11，故能表示4種不同的信息。若用其中1種組合表示無錯(cuò)，則其余3種組合就有可能用來指示一個(gè)錯(cuò)碼的3種不同位置。同理，r個(gè)監(jiān)督關(guān)系式能指示1位錯(cuò)碼的(2r

–1)個(gè)可能位置。一般來說，若碼長(zhǎng)為n，信息位數(shù)為k，則監(jiān)督位數(shù)r＝n－k。如果希望用r個(gè)監(jiān)督位構(gòu)造出r個(gè)監(jiān)督關(guān)系式來指示1位錯(cuò)碼的n種可能位置，則要求 下面通過一個(gè)例子來說明如何具體構(gòu)造這些監(jiān)督關(guān)系式。55通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第55頁!第11章差錯(cuò)控制編碼 由表中規(guī)定可見，僅當(dāng)一位錯(cuò)碼的位置在a2、a4、a5或a6時(shí)，校正子S1為1；否則S1為零。這就意味著a2、a4、a5和a6四個(gè)碼元構(gòu)成偶數(shù)監(jiān)督關(guān)系： 同理，a1、a3、a5和a6構(gòu)成偶數(shù)監(jiān)督關(guān)系： 以及a0、a3、a4

和a6構(gòu)成偶數(shù)監(jiān)督關(guān)系56通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第56頁!第11章差錯(cuò)控制編碼信息位a6a5a4a3監(jiān)督位a2a1a0信息位a6a5a4a3監(jiān)督位a2a1a0000000010001110001011100110000101011010010001111010110010100110110000101011011101010011001111101000111000111111157通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第57頁!第11章差錯(cuò)控制編碼線性分組碼的一般原理線性分組碼的構(gòu)造H矩陣 上面(7,4)漢明碼的例子有 現(xiàn)在將上面它改寫為 上式中已經(jīng)將“”簡(jiǎn)寫成“+”。

58通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第58頁!第11章差錯(cuò)控制編碼 HAT=0T或AHT=0

式中

A=[a6

a5

a4

a3

a2

a1

a0]

0=[000] 右上標(biāo)“T”表示將矩陣轉(zhuǎn)置。例如，HT是H的轉(zhuǎn)置，即HT的行為H的列，HT的第二行為H的第二列等等。 將H稱為監(jiān)督矩陣。 只要監(jiān)督矩陣H給定，編碼時(shí)監(jiān)督位和信息位的關(guān)系就完全確定了。59通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第59頁!第11章差錯(cuò)控制編碼 2)由代數(shù)理論可知，H矩陣的各行應(yīng)該是線性無關(guān)的，否則將得不到r個(gè)線性無關(guān)的監(jiān)督關(guān)系式，從而也得不到r個(gè)獨(dú)立的監(jiān)督位。若一矩陣能寫成典型陣形式[PIr]，則其各行一定是線性無關(guān)的。因?yàn)槿菀昨?yàn)證[Ir]的各行是線性無關(guān)的，故[PIr]的各行也是線性無關(guān)的。G矩陣： 上面漢明碼例子中的監(jiān)督位公式為

也可以改寫成矩陣形式：60通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第60頁!第11章差錯(cuò)控制編碼我們將Q的左邊加上1個(gè)kk階單位方陣，就構(gòu)成1個(gè)矩陣G

G稱為生成矩陣，因?yàn)橛伤梢援a(chǎn)生整個(gè)碼組，即有 或者 因此，如果找到了碼的生成矩陣G，則編碼的方法就完全確定了。具有[IkQ]形式的生成矩陣稱為典型生成矩陣。由典型生成矩陣得出的碼組A中，信息位的位置不變，監(jiān)督位附加于其后。這種形式的碼稱為系統(tǒng)碼。

61通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第61頁!第11章差錯(cuò)控制編碼錯(cuò)碼矩陣和錯(cuò)誤圖樣

一般說來，A為一個(gè)n列的行矩陣。此矩陣的n個(gè)元素就是碼組中的n個(gè)碼元，所以發(fā)送的碼組就是A。此碼組在傳輸中可能由于干擾引入差錯(cuò)，故接收碼組一般說來與A不一定相同。若設(shè)接收碼組為一n列的行矩陣B，即 則發(fā)送碼組和接收碼組之差為 B–A=E(模2) 它就是傳輸中產(chǎn)生的錯(cuò)碼行矩陣

式中62通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第62頁!第11章差錯(cuò)控制編碼校正子S 當(dāng)接收碼組有錯(cuò)時(shí)，E

0，將B當(dāng)作A代入公式(AHT=0)后，該式不一定成立。在錯(cuò)碼較多，已超過這種編碼的檢錯(cuò)能力時(shí)，B變?yōu)榱硪辉S用碼組，則該式仍能成立。這樣的錯(cuò)碼是不可檢測(cè)的。在未超過檢錯(cuò)能力時(shí)，上式不成立，即其右端不等于0。假設(shè)這時(shí)該式的右端為S，即

BHT=S 將B=A+E代入上式，可得

S=(A+E)HT=A

HT+E

HT 由于AHT=0，所以

S=EHT 式中S稱為校正子。它能用來指示錯(cuò)碼的位置。 S和錯(cuò)碼E之間有確定的線性變換關(guān)系。若S和E之間一一對(duì)應(yīng)，則S將能代表錯(cuò)碼的位置。63通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第63頁!第11章差錯(cuò)控制編碼例：設(shè)線性分組碼的生成矩陣為

（1）確定(n,k)碼中的n,k；（2）求典型監(jiān)督矩陣；（3）寫出監(jiān)督方程；（4）列出所有碼字；（5）列出錯(cuò)碼圖樣表；（6）確定最小碼距。

64通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第64頁!第11章差錯(cuò)控制編碼 一般說來，若(an-1

an-2…a0)是循環(huán)碼的一個(gè)碼組，則循環(huán)移位后的碼組 (an-2

an-3…a0

an-1) (an-3

an-4…an-1

an-2) ……… (a0

an-1…a2

a1) 也是該編碼中的碼組。65通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第65頁!第11章差錯(cuò)控制編碼

碼多項(xiàng)式的按模運(yùn)算在整數(shù)運(yùn)算中，有模n運(yùn)算。例如，在模2運(yùn)算中，有 1+1=20(模2)， 1+2=31(模2)， 23=60(模2) 等等。一般說來，若一個(gè)整數(shù)m可以表示為 式中，Q－整數(shù)， 則在模n運(yùn)算下，有

m

p(模n) 即，在模n運(yùn)算下，一個(gè)整數(shù)m等于它被n除得的余數(shù)。66通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第66頁!第11章差錯(cuò)控制編碼循環(huán)碼的碼多項(xiàng)式在循環(huán)碼中，若T(x)是一個(gè)長(zhǎng)為n的許用碼組，則xiT(x)在按模xn+1運(yùn)算下，也是該編碼中的一個(gè)許用碼組，即若 則T(x)也是該編碼中的一個(gè)許用碼組。 【證】因?yàn)槿?則 （模(xn+1)） 所以，這時(shí)有67通信原理課件第11章共74頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第67頁!第11章差錯(cuò)控制編碼循環(huán)碼的生成矩陣G由上節(jié)中公式 可知，有了生成矩陣G，就可以由k個(gè)信息位得出整個(gè)碼組，而且生成矩陣G的每一行都是一個(gè)碼組。例如，在此式中，若a6a5a4a3=1000，則碼組A就等于G的行；若a6a5a4a3=0100，