BS模型 詳細推導(dǎo)課件

B-S模型推導(dǎo)嘻嘻過渡頁

TRANSITIONPAGEChapter.1前奏-背景介紹“一切數(shù)學(xué)公式模型，都是人類發(fā)明出來，并為人類服務(wù)的。它們與人類最大的區(qū)別就是沒有感情，特別是恐懼和貪婪。公式不會看到金發(fā)碧眼和黃金白銀就亢奮發(fā)狂，也不會面對槍林彈雨和2012而癱軟發(fā)抖，即使對一個最出色的交易員來說，這也是難于登天的品質(zhì)?！?/p>

——《華爾街的猴子》安德魯·貝寧森

B-S是兩位經(jīng)濟學(xué)家BLACK、SCHOLES名字的縮寫，為了紀念他們發(fā)現(xiàn)該模型而用他們的名字命名。在二叉樹的期權(quán)定價模型型中，如果標的證券期末價格的可能性無限增多時，其價格的樹狀結(jié)構(gòu)將無限延伸，從每個結(jié)點變化到下一個結(jié)點（上漲或下跌）的時間將不斷縮短，如果價格隨著時間周期的縮短，其調(diào)整的幅度也逐漸縮小的話，在極限的情況下，二叉樹模型對歐式權(quán)證的定價就演變?yōu)殛P(guān)于價權(quán)證定價理論的經(jīng)典模型：B-S模型。B-S模型與二叉樹模型的關(guān)系ItiswellknownthatthebinomialmodelconvergestotheBlack-Scholesmodelwhenthenumberoftimeperiodsincreasestoinfinityandthelengthofeachtimeperiodisinfinitesimallyshort.ThisproofwasprovidedinCox,RossandRubinstein(1979).BSM模型之前大多數(shù)的期權(quán)定價都是用期權(quán)預(yù)期收益的貼現(xiàn)值表示；然而期權(quán)期望收益依賴于未來股票價格的概率分布，期望收益的貼現(xiàn)值依賴于貼現(xiàn)率

BSM模型之所以稱之為現(xiàn)代期權(quán)定價理論的基礎(chǔ)，是因為該模型對于期權(quán)的定價避免了對未來股票價格的概率分布和投資者風險偏好的依賴原理：構(gòu)建一個投資策略組合，買入一種股票的同時，賣出一份一定份額的改股票的看漲期權(quán)，可以構(gòu)造一個無風險的投資組合，即投資組合的收益完全獨立于股票價格的變化在資本市場均衡條件下，根據(jù)資本資產(chǎn)定價模型，這種投資組合的收益應(yīng)等于短期利率。因此，期權(quán)收益可以用標的股票和無風險資本構(gòu)造的投資組合來復(fù)制，在無套利機會存在的情況下，期權(quán)價格等于購買投資組合的成本，即期權(quán)價格依賴于股票價格的波動量、無風險利率、期權(quán)到期時間、敲定價格、股票市價Chapter.2配樂-必備知識布朗運動（基本維基過程）配樂-必備知識伊藤過程&伊藤引理（IT0定理）泰勒展開股票價格運動過程股票價格自然對數(shù)變化過程二元函數(shù)情形：略去的高階無窮小項，則有或特征2：對于任何兩個不同時間間隔，和的值相互獨立?？疾熳兞縵在一段較長時間T中的變化情形，我們可得（6.2）當0時，我們就可以得到極限的標準布朗運動：（6.3）普通布朗運動假定漂移率和方差率為常數(shù)，若把變量x的漂移率和方差率當作變量x和時間t的函數(shù)，我們可以從公式（6.4）得到伊藤過程（ItoProcess）：

(6.5）

其中，dz是一個標準布朗運動，a、b是變量x和t的函數(shù)，變量x的漂移率為a，方差率為b2。

伊藤過程

漂移非常數(shù)，正態(tài)規(guī)律項非常數(shù)，都是與時間和其目前位置有關(guān)，更加復(fù)雜的隨機過程證券價格的變化過程可以用漂移率為μS、方差率為的伊藤過程來表示：

（6.6）表示未來時間間隔后的證券價格增量變化是符合漂移和方差率只和目前價格有關(guān)系（線性關(guān)系）的伊藤隨機過程（即普通布朗運動的升級版）。表示未來價格變化率符合普通布朗運動，（描述運動偏離標注布朗運動的漂移率和方差率項已變?yōu)槌?shù)而非與時間和目前值有關(guān)系的函數(shù)）股票價格的變化過程兩邊同除以S得：從（6.6）可知，在短時間后，證券價格比率的變化值為：可見，也具有正態(tài)分布特征

(6.7)前三個是常數(shù)或者函數(shù)值，最后一個是個標準正態(tài)隨機變量，整個式子是某種正態(tài)隨機變量。只不過這里符合的正態(tài)分布的均值和方差是與時間間隔由關(guān)系的值而已。若變量x遵循伊藤過程，則變量x和t的函數(shù)G將遵循如下過程：

（6.8）由于（6.9）根據(jù)伊藤引理，衍生證券的價格G應(yīng)遵循如下過程：

(6.10)伊藤引理伊藤引理的證明（根據(jù)二元函數(shù)的泰勒展開、伊藤過程、標準布朗過程證明可得）二元函數(shù)的泰勒展開式為由前述由此可推導(dǎo)再把代入，就有將這個結(jié)果代入上面泰勒展開式，略去二階以上（包括二階）的高階小量，就得到伊藤引理得證令，由于代入式（6.10）:

（6.11）證券價格對數(shù)G遵循普通布朗運動,且：這里的絕妙的對數(shù)變換是布萊克斯科爾斯微分方程的偏微分項全部消除變?yōu)楹唵蔚姆恼龖B(tài)分布的方程。同時也說明之前的假設(shè)是要成立的：證券價格的對數(shù)服從正態(tài)分布或證券價格服從對數(shù)分布。證券價格的對數(shù)變化量服從正態(tài)分布，從而知曉s、t的分布函數(shù)證券價格自然對數(shù)變化過程

其中：C—期權(quán)初始合理價格；X—期權(quán)交割價格；S—所交易金融資產(chǎn)現(xiàn)價；T—期權(quán)有效期；r—連續(xù)復(fù)利計無風險利率；—年度化方差（波動率）；N()—正態(tài)分布變量的累積概率分布函數(shù)，（標準正態(tài)分布μ=0）。B-S定價公式基本假設(shè)(a)原生資產(chǎn)價格演化遵循幾何Brown運動

（1）(b)無風險利率r是常數(shù)且對所有到期日都相同，(c)原生資產(chǎn)不支付股息,(d)不支付交易費和稅收,(e)不存在套利機會,(f)證券交易是連續(xù)的。變量z是一個隨機變量，時間長度為Δt，要使z服從標準布朗運動其中，方程（3）和方程（4）遵循的維納過程相同，即相同。所以可以選擇某

種股票和衍生證券的組合來消除維納過程。假設(shè)某投資者賣出一份衍生證券，同時買入份

股票

則該證券組合的價值為時間后，該證券組合的價值變化：將方程（3）和方程（4）代入上式，得因為這個方程不含有，經(jīng)過時間后證券組合必定沒有風險。因此，當無限短時，該證券組合的瞬時收益率一定與其他短期無風險證券的收益率相同。否則的話，將存在無風險的套利機會。所以其中為無風險利率(6)(5)

確定期權(quán)的價值,就是要在區(qū)域上

求解如下定解問題：

邊界條件—歐式看漲—歐式看跌將方程(5)、(6)代入上式可得這就是著名的Black-Schole微分方程化簡得前述的Black-Schole微分方程不包含任何投資者的風險偏好影響的變量，從而它獨立于風險偏好。因此，我們可以在對期權(quán)進行定價時使用任何一種風險偏好。為了簡便分析，可以做一個非常簡單的假設(shè)：所有的投資者都是風險中性的，這樣所有證券的預(yù)期收益率都是無風險利率,且其衍生證券的目前價值可以用其期末價值的期望值以無風險利率來貼現(xiàn)得到。而在此前提下的定價便稱為風險中性定價。B-S風險中性定價計算公式根據(jù)風險中性定價理論，歐式股票看漲期權(quán)的期望值為：

其中

表示風險中性定價下的期望值，為期權(quán)到期時間。為時刻股票價格。因此，看漲期權(quán)的價格是這個期望值以無風險利率的貼