楊輝三角的深入研究

楊輝三角的深入研究

Summary在新時代背景下對高中生的數(shù)學提出了更高的要求，中國古典數(shù)學作為民族自信提升重要載體，在教學中如何給學生講解，如何在講解過程中是學生產(chǎn)生更大的民族自豪感，都是我們的研究方向。對古典數(shù)學在高考中的體現(xiàn)更是我們研究的方向，本文就目前我所帶學生現(xiàn)狀入手探討在核心素養(yǎng)要求下，培養(yǎng)學生研究我們古典數(shù)學，提升文化自信。以便大家共同探討。Keys：核心素養(yǎng)古典數(shù)學楊輝三角高中生前言：我們的五千年文明得以延續(xù)傳承數(shù)學起著舉足輕重的作用，我們把我們先人的數(shù)學智慧在數(shù)學教學延伸，拓展，是我們每個數(shù)學教育工作者的義不容辭的責任。下面就用楊輝三角這個數(shù)學中的瑰寶級數(shù)學成就，結(jié)合現(xiàn)代數(shù)學研究成果在深入討論一下。大家都非常清楚，楊輝三角形，又稱帕斯卡三角形、賈憲三角形、海亞姆三角形，它的排列形如三角形。因為首現(xiàn)于南宋楊輝的《詳解九章算法》得名，而書中楊輝說明是引自賈憲的《釋鎖算書》，故又名賈憲三角形。古代波斯數(shù)學家歐瑪爾·海亞姆也描述過這個三角形。在歐洲，因為法國數(shù)學家布萊茲帕斯卡在1653年的《論算術三角》中首次完整論述了這個三角形，故也被稱作帕斯卡三角(Pascal'striangle)。下面我就從以下幾個角度談談我對我們文化瑰寶的思考成果。一、楊輝三角的構(gòu)建在最上面一行的中央寫下數(shù)字1第二行，寫下兩個1，和上一行形成三角形隨后的每一行，開頭和最后的數(shù)字都是1，其他的每個數(shù)都是它左上方和右上方的數(shù)之和，就是說除每行最左側(cè)與最右側(cè)的數(shù)字以外，每個數(shù)字等于它的左上方與右上方兩個數(shù)字之和。楊輝三角的美妙之處在于：它是如此足夠簡單，但本身在數(shù)學上卻擁有豐富的魅力。這是數(shù)學中的最令人稱奇的事物之一，隨便取諸多數(shù)學性質(zhì)中的某個，就能表明它是多么的精彩絕倫。1）隱藏數(shù)列提示：為了有助于找到隱藏的信息，先將楊輝三角按左對齊方式排列。前兩列倒沒什么特別的地方，第一列均為1，第二列則為自然數(shù)。而第三列就是三角形數(shù)(Triangularnumber)。你可以想到，三角數(shù)就是能夠組成大大小小等邊三角形的點的數(shù)目，如下圖所示。類似地，第四列是四面體數(shù)(Tetrahedralnumber)，也叫三角錐體數(shù)。顧名思義，它們代表由三角形構(gòu)成的四面體所需要的點的數(shù)目，四面體數(shù)每層為三角形數(shù)。往后每一列都延續(xù)這一規(guī)律，這一規(guī)律描述了由三角形數(shù)/四面體數(shù)到高緯度“單純形”的拓展。下一列是5-單純形數(shù)，接著是6-單純形數(shù)，以此類推。在幾何上，單純形是某一維度空間中構(gòu)造最簡單的結(jié)構(gòu)，0-單純形就是點，1-單純形就是一條線段，2-單純形就是三角形，3-單純形就是四面體，4-單純形就是五胞體。（2）2的冪如果你把每一行相加會得到2為底的冪，始于2o=1可以看到每一行的和都是以2為底的冪。（3）11的冪楊輝三角還揭示了11為底的冪的值。你要做的就是將每一行的數(shù)字擠壓到一起。前5行足夠簡單，但出現(xiàn)兩位數(shù)的時候該怎么辦呢？事實證明，你要做的就是將十位數(shù)加到它左側(cè)數(shù)字上，比如下圖所示的是第六行中出現(xiàn)了上面的情況，如何進行移動以獲得11的值。（4）楊輝三角的性質(zhì)這個三角形的兩條斜邊都是由數(shù)字1組成的，而其余的數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)相加。例如2=1+1，3=1+2，4=1+3，6=3+3，…。其實楊輝三角正就是按照這個規(guī)則作成的。在一般的情形，因為這說明了，上圖中的任一數(shù)等于它肩上的兩數(shù)和的和。為了方便起見，我們把本來沒有意義的記號和令它們分別等于1和0，這樣就可以把剛才得到的結(jié)果寫成關系式：而稱它為楊輝恒等式，這是楊輝三角最基本的性質(zhì)。楊輝三角的三個基本性質(zhì)主要是二項展開式的二項式系數(shù)即組合數(shù)的性質(zhì)。（1）對稱性：橫行與首末兩端“等距離”的兩個數(shù)字相等。這一性質(zhì)可直接由公式得到。（2）增減性：前半部分遞增，后半部分遞減。（3）最大值：當是偶數(shù)時，中間一項取得最大值；當是奇數(shù)時，中間兩項，取得最大值。（4）各行數(shù)字的和滿足：。此外，有這個由這些拓展而來的性質(zhì)還有很多。（1）楊輝三角的2k-1(k為整數(shù))的各個數(shù)字除去1外都是質(zhì)數(shù)的積。（2）楊輝三角中若第P行除去1外，P整除其余所有的數(shù)，則行數(shù)P是質(zhì)數(shù)。（3）楊輝三角中第M條斜（從右上到左下）上前N個數(shù)字的和，等于第M+1條斜線上的第N個數(shù)。（4）根據(jù)楊輝三角的對稱性，類似可得：楊輝三角中，第M條斜線（從左上到右下）上前N個數(shù)字的和等于第M+1條斜線上第N個數(shù)。（5）對楊輝三角運用規(guī)律的總結(jié)加法乘法兩原理，貫穿始終的法則。與序無關是組合，要求有序是排列。兩個公式兩性質(zhì)，兩種思想和方法。歸納出排列組合，應用問題須轉(zhuǎn)化。排列組合在一起，先選后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考慮。不重不漏多思考，捆綁插空是技巧。排列組合恒等式，定義證明建模試。關于二項式定理，中國楊輝三角形。兩條性質(zhì)兩公式，函數(shù)賦值變換式?？此坪唵蔚臈钶x三角里的個秘密，是不是很精彩??！但這并不是終點，還有另外更有趣的性質(zhì)隱藏其中，