數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)：第四章 積分變換法1_第1頁(yè)
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第四章

積分變換法定義：假設(shè)I

是數(shù)集(實(shí)數(shù)或者復(fù)數(shù))，K(s,x)為上的函數(shù),這里[a,b]為任意區(qū)間。如果

f(x)在區(qū)間[a,b]有定義,且K(s,x)f(x)為[a,b]上可積函數(shù),則含參變量積分定義了一個(gè)從f(x)到F(s)的變換,稱為積分變換，K(s,x)稱為變換的核。常見(jiàn)的積分變換有傅立葉(Fourier)變換和拉普拉斯(Laplace)變換。傅立葉變換

記作：其中，f(x)

在任一有限區(qū)間滿足狄利克雷條件(只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)和有限個(gè)極值)，在

上絕對(duì)可積?！?.1傅里葉變換的概念和性質(zhì)

傅立葉逆變換性質(zhì)：當(dāng)f(x)

連續(xù)時(shí)，有當(dāng)f(x)連續(xù)時(shí)，有傅立葉變換具有如下性質(zhì):1)線性性質(zhì)對(duì)于任意常數(shù)，

2)微分運(yùn)算性質(zhì)

3)對(duì)傅立葉變換求導(dǎo)數(shù)4)卷積性質(zhì)令反之，5)乘積運(yùn)算

傅立葉變換在乘積運(yùn)算和卷積運(yùn)算之間建立了一個(gè)對(duì)偶關(guān)系。6)平移性質(zhì)思考設(shè)

u=u(x,y),假如我們以y

為參數(shù),對(duì)x

作傅立葉變換：兩個(gè)自變量的偏微分方程

帶參量的常微分方程。那么利用傅立葉變換的微分性質(zhì)，經(jīng)過(guò)傅立葉變換將得到

經(jīng)過(guò)傅立葉變換得到

二階導(dǎo)數(shù)類似。§4.2傅里葉變換的應(yīng)用例用積分變換法解齊次方程的定解問(wèn)題：解：考慮到自變量的取值范圍，對(duì)x進(jìn)行傅立葉變換。設(shè)方程轉(zhuǎn)化為于是為了求出原方程的解,下面對(duì)關(guān)于進(jìn)行傅立葉逆變換。根據(jù)傅里葉變換的微分性質(zhì)，例用積分變換法解非齊次方程的定解問(wèn)題：方程變?yōu)榻猓鹤麝P(guān)于

的傅立葉變換：解得

而則例用積分變換法求解初值問(wèn)題：解：作關(guān)于x的傅立葉變換。設(shè)于是原定解問(wèn)題變?yōu)槌Ｎ⒎址匠痰耐ń鉃椋河沙跏紬l件，取傅立葉逆變換，得注意到其中：而所以對(duì)取傅立葉逆變換，得例求解下述定解問(wèn)題：解：對(duì)上述定解問(wèn)題關(guān)于變量x做傅里葉變換，得到常微分方程

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