數(shù)據(jù)的曲線擬合席(共28張PPT)

第七章數(shù)據(jù)的曲線擬合席第一頁，共28頁。1、聯(lián)系都是根據(jù)實(shí)際中一組已知數(shù)據(jù)來構(gòu)造一個能夠反映數(shù)據(jù)變化規(guī)律的近似函數(shù)的方法。2、區(qū)別插值問題不一定得到近似函數(shù)的表達(dá)形式，僅通過插值方法找到未知點(diǎn)對應(yīng)的值。數(shù)據(jù)擬合要求得到一個具體的近似函數(shù)的表達(dá)式。擬合模型可以分為直線擬合、曲線擬合和觀察數(shù)據(jù)修勻。插值與擬合的區(qū)別和聯(lián)系:第二頁，共28頁。直線與點(diǎn)的偏離程度（即殘差）定義為：利用最小二乘法求指數(shù)擬合y=ceaxsubplot(2,2,1)用上式擬合數(shù)據(jù)，得超定方程：subplot(2,2,3)非線性模型的線性化處理xlabel('X');ylabel('Y');plot(x,y,'+')最小二乘的思想可以推廣到高次多項(xiàng)式擬合。其中，‘fun’--事先定義的非線性擬合函數(shù)用上式擬合數(shù)據(jù)，得超定方程：(6)[x,options,funval,Jacob]=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,plot(x,y,'.(6)[x,options,funval,Jacob]=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,subplot(2,2,1)c=polyfit(x,y,1);一、直線擬合若用線性函數(shù)擬合如下數(shù)據(jù)：線性函數(shù)表示為：其中為待定系數(shù)。擬合直線稱為回歸直線。第三頁，共28頁。由于數(shù)據(jù)節(jié)點(diǎn)數(shù)大于未知數(shù)(即待定系數(shù))的個數(shù)2，直線不可能經(jīng)過每個點(diǎn)，但是直線與數(shù)據(jù)的偏差一定要達(dá)到最小。直線與點(diǎn)的偏離程度（即殘差）定義為：殘差的平方和為：第四頁，共28頁。要使R達(dá)到最小，令矩陣形式：“線性最小二乘法”第五頁，共28頁。確定系數(shù)的另一種方法是直接求解超定線性方程組：其中方程組兩邊同時左乘，得常規(guī)方程組：第六頁，共28頁。求解：在MATLAB中，也可直接求解超定方程組的解：c=A\y%可求得最小二乘解或已知數(shù)據(jù)點(diǎn)x與y，用polyfit命令c=polyfit(x,y,1)第七頁，共28頁。例1求擬合下列數(shù)據(jù)點(diǎn)的直線。>>x=[0.10.40.50.70.70.9];y=[0.610.920.991.521.472.03];c=polyfit(x,y,1)c=即線性函數(shù)第八頁，共28頁。>>A=[x'ones(6,1)];c=(A'*A)\(A'*y')c=>>c=A\y'c=第九頁，共28頁。繪圖程序：x=[0.10.40.50.70.70.9];y=[0.610.920.991.521.472.03];c=polyfit(x,y,1);y1=polyval(c,x);plot(x,y,'.',x,y1)gtext('y=1.7646x+0.2862');xlabel('X');ylabel('Y');第十頁，共28頁。二、非線性曲線擬合對一組數(shù)據(jù)，若做擬合冪函數(shù)：為確定待定系數(shù)，取自然對數(shù)：取：則：問題簡化為線性回歸，擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)為：然后確定第十一頁，共28頁。例2做下列數(shù)據(jù)點(diǎn)的冪函數(shù)擬合。c=polyfit(log(x),log(y),1)c=[0.20931.8588]結(jié)果：所以第十二頁，共28頁。第十三頁，共28頁。x=[0.150.40.61.011.52.22.42.72.93.53.84.44.65.16.67.6];y=[4.49645.12845.69316.28847.09897.55077.51068.07567.87088.24038.53038.73948.99819.14509.50709.9115];c=polyfit(log(x),log(y),1);alfa=c(1);beta=exp(c(2));y1=beta*x.^alfa;subplot(2,2,1)plot(x,y,'+')xlabel('X');ylabel('Y');第十四頁，共28頁。subplot(2,2,2)plot(x,y,'+')holdonloglog(x,y)xlabel('X');ylabel('Y');title('(a)Loglogplotofyvsx','Color','r')subplot(2,2,3)plot(log(x),log(y),'+',log(x),log(y))xlabel('log(X)');ylabel('log(Y)');title('(b)Linearplotoflog(y)vslog(x)','Color','r');subplot(2,2,4)plot(x,y,'+',x,y1)xlabel('X');ylabel('Y');title('(c)Linearplotofyvsx','Color','r');holdoff第十五頁，共28頁。例3

已知

x01234y1.52.53.55.07.5利用最小二乘法求指數(shù)擬合

y=ceax方法1令求a,c使S(a,c)=min%非線性最小二乘方法2非線性模型的線性化處理

y=ceax

取自然對數(shù)

ln(y)=ax+ln(c)得,Y=ax+b%線性最小二乘確定了a,b之后，可得c=eb第十六頁，共28頁。MATLAB提供了求非線性最小二乘擬合的函數(shù)：lsqcurvefit：

輸入格式為:(1)x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata);(2)x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,options);(3)x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,options,’grad’);(4)[x,options]=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,…);(5)[x,options,funval]=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,…);(6)[x,options,funval,Jacob]=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,…);其中，‘fun’--事先定義的非線性擬合函數(shù)x0--迭代初值xdata,ydata--已知數(shù)據(jù)點(diǎn)第十七頁，共28頁。x=[01234];y=[1.52.53.55.07.5];

c=lsqcurvefit('fff',[1;2],x,y)%非線性最小二乘法yy=c(1)*exp(c(2)*x);

c1=polyfit(x,log(y),1);%線性化方法y1=exp(c1(2))*exp(x*c1(1));plot(x,yy,'b',x,y1,'r')legend('最小二乘法','線性化方法')xlabel('X');ylabel('Y');functiony=fff(c,x)y=c(1)*exp(c(2)*x);y=ceaxY=ax+b,c=eb第十八頁，共28頁。三、高次多項(xiàng)式曲線擬合最小二乘的思想可以推廣到高次多項(xiàng)式擬合。設(shè)n次多項(xiàng)式：曲線與數(shù)據(jù)點(diǎn)的殘差：記：為使R最小，令第十九頁，共28頁。即：矩陣形式為：第二十頁，共28頁。另一種推導(dǎo)格式：將其寫為超定方程：其中：當(dāng)時，方程為超定的，可求其最小二乘解：c=A\y或c=polyfit(x,y,n)第二十一頁，共28頁。例4

用二次多項(xiàng)式擬合下列數(shù)據(jù)：x=[0.1,0.4,0.5,0.7,0.7,0.9]';y=[0.61,0.92,0.99,1.52,1.47,2.03]';cc=polyfit(x,y,2);xx=0:0.1:1;yy=polyval(cc,xx);plot(xx,yy,x,y,'x')axis([0,1,0,3])xlabel('X');ylabel('Y')第二十二頁，共28頁。第二十三頁，共28頁。四、函數(shù)線性組合曲線擬合法擬合數(shù)據(jù)時，也可用已知函數(shù)的線性組合，形式為：其中是已知函數(shù)，是待定系數(shù)，n是所用函數(shù)個數(shù)。用上式擬合數(shù)據(jù)，得超定方程：第二十四頁，共28頁。例5

確定擬合函數(shù)的系數(shù)，擬合的數(shù)據(jù)如下。第二十五頁，共28頁。精品課件！第二十六頁，共28頁。精品課件！第二十七頁，共28頁。data=[0.10.61;0.40.92;0.50.99;0.71.52;0.71.47;0.92.03];x=data(:,1);y=data(:,2);A(:,1)=ones(size(x));A(:,2