晶體學(xué)-4倒易點陣和極射投影

梁工英晶體學(xué)第四章倒易點陣與極射投影2015-3-28§4-1倒易點陣

如果把晶體點陣本身理解為周期函數(shù)，則倒易點陣就是晶體點陣的傅立葉變換。倒易點陣告訴我們一個晶體點陣的周期函數(shù)在傅立葉空間的分布情況，倒易點陣陣點分布決定于晶體點陣的周期性，一個給定的晶體點陣，其倒易點陣是一定的，因此，一種晶體結(jié)構(gòu)有兩種類型的點陣與之對應(yīng)：晶體點陣是真實空間中的點陣，量綱為[L]；倒易點陣是傅立葉空間中的點陣,量綱為[L-1]。1、倒易矢量的基矢若空間點陣的基矢為，其相應(yīng)的倒易矢量的三個基矢為，則這兩個點陣的基本關(guān)系表示為：一、倒易點陣的定義（4-1）寫成矩陣形式為：則稱以初基矢量所建立的點陣，是以初基矢量建立的真實點陣的倒易點陣。（4-2）單位矩陣對于三維空間點陣，對應(yīng)的倒易點陣也為三維圖形，

對于正交晶系：2、

的大小和方向因為：所以即應(yīng)垂直于組成的平面又因為與方向相同，僅差比例：且：V晶胞體積；故k1=k2=k3=1/V.同樣：代回上式得：用兩矢量點積，可求得倒易矢量的晶軸夾角*、*、*：（4-3）（4-4）

圖中實線為單斜晶系正點陣的ac平面，b軸與圖面垂直，格點用小圓圈所代表。其對應(yīng)的倒易點陣用虛線表示，格點用黑點表示。

倒易格點100、001分別在正點陣的（100）和（001）晶面的法線上。所以，每一個倒易陣點對應(yīng)著相應(yīng)的正點陣中的一個晶面。倒易基矢的方向b

對單斜晶系的來說，==90°，由公式（4-4）

cos=-cos*,所以，和*互為補(bǔ)角，即+*=180°

。倒易點陣與正點陣的陣胞具有相似的形狀，但相當(dāng)于繞原點旋轉(zhuǎn)了90度。

注:三斜和三方晶系無這種互補(bǔ)關(guān)系.六方互為補(bǔ)角。而且

倒易點陣中的一格點對應(yīng)著晶體點陣中一族晶面間距相等的晶面。如果讓兩個點陣的原點重合它們之間的關(guān)系為：1、晶體點陣中的晶面在倒易空間中用一點來表示，和間的連線為倒易矢

量，垂直于晶體點陣中的晶面；

二、倒易矢量O*2、如果倒易點陣中的矢量

稱為倒易矢量（嚴(yán)格說為倒格矢量），則

或式中稱為晶面族的晶面間距，它為該晶面族中相鄰兩個晶面間的垂直距離。利用上述轉(zhuǎn)換關(guān)系，可以由任何一個空間點陣得到其對應(yīng)的倒易點陣，或者反之。

對于互相平行的晶面，倒易點陣的圖形。因為

所以倒易矢量具有[L-1]量綱三、倒易矢量與正點陣之間的關(guān)系三、正點陣與倒易點陣的關(guān)系設(shè)在正點陣中有一點陣矢量在倒易點陣中也有一倒易矢量設(shè)兩矢量是平行的，求兩者的關(guān)系：兩邊同乘以得同理：兩邊分別同乘以得

消去公因數(shù)m，并寫成矩陣的形式即為倒易點陣[XYZ]與正點陣[UVW]的關(guān)系該式為方向指數(shù)變換矩陣，可將真實點陣與倒易點陣中的點陣矢量與倒易矢量聯(lián)系起來，是倒易矢量的計算公式。（4-5）證明倒易矢量與晶面法向平行

aAa/hcCc/lbBb/kPO(hkl)POAN設(shè)（hkl)晶面的法線為：（4-6）N是法線矢量的模，上面三式的矩陣形式為：消去dN，并將矩陣移到右邊后，并將晶面指數(shù)（hkl）改用通用形式（HKL）得：根據(jù)式（4-5）與平行的倒易矢量可表示為（4-7）將（4-7）代入可得：即：說明與晶面(HKL)的法線平行的倒易矢量的晶向指數(shù)就是[HKL],

得出一個重要的結(jié)論：晶面（hkl)的法線平行于同指數(shù)的倒易矢量,或者說倒易矢量垂直于晶面(hkl)。由于是從倒易原點到倒易陣點（hkl）的矢量，那么可以發(fā)現(xiàn)，在正點陣中的一個晶面，到了倒易點陣中轉(zhuǎn)變成為了一個陣點。該晶面的法線與該陣點的倒易矢量平行。

結(jié)論

證明倒易矢量的模G*等于同指數(shù)晶面間距d的倒數(shù)

101*010*111*110*100*o*a*b*c*020*022*021*210*200*120*（111）oabc（110）（100）證明倒易矢量的模G*等于同指數(shù)晶面間距d的倒數(shù)

設(shè)和是倒易矢量和法線矢量的單位矢量，因//代入上式：aAa/hcCc/lbBb/kPO(hkl)POA得出另一條重要結(jié)論：

倒易點陣的模等于同指數(shù)晶面的晶面間距dhkl的倒數(shù)（1/dhkl)。結(jié)論四、倒易點陣的應(yīng)用已知d=1/G*,

四、晶面間距通用公式（倒易點陣推導(dǎo)）將代入后簡化晶面間距通用公式（4-3）（4-4）得到晶面間距通用公式：晶面間距通用公式(4-8)此式適合于所有晶系，例如：立方晶系，a=b=c,===90o注意：前面推導(dǎo)出來的面間距公式中、、是法線與各晶軸的夾角，而在（4-8）中，、、是各晶系的晶軸夾角，顯然后面要簡單得多。六方晶系晶面間距：

晶面夾角通常用兩晶面的法線的夾角來表示，而晶面的法線與倒易矢量是平行的。所以利用倒易點陣的概念可以很方便的計算出各晶面的夾角，同時也可以在倒易點陣中測量出晶面夾角。設(shè)兩晶面的倒易矢量分別為根據(jù)矢量點乘的定義，可得：五、晶面夾角公式（4-9）而且，G1*·G2*可以由式（4-8）得到，代入（4-9）可得到各個晶系晶面夾角的表達(dá)式。（4-10）立方晶系：

四方晶系：

六方晶系：正交晶系各晶系晶面夾角表達(dá)式

1、定義在晶體結(jié)構(gòu)（空間點陣）中，平行于某一固定晶向（直線）的所有晶面的集合稱為晶帶。2、屬于同一晶帶的晶面的交線互相平行，其中通過坐標(biāo)原點的那一條直線稱為晶帶軸，晶帶軸的晶向指數(shù)記為

六、晶帶定理

設(shè)為某晶帶的晶帶軸，為這個晶帶中某晶面（hkl）的倒易矢量。則

因為晶面（hkl）平行于晶帶軸，所以即這就是說，凡是屬于晶帶的晶面(hkl)都必須符合這個公式，通常稱這個公式為晶帶定理。晶帶定律的應(yīng)用

在實際晶體中，晶帶定理有非常廣泛的應(yīng)用：可以判斷空間兩個晶向或兩個晶面是否相互垂直；可以判斷某一晶向是否在某一晶面上（或平行于該晶面）；若已知晶帶軸，可以判斷哪些晶面屬于該晶帶；若已知兩個晶帶面為（h1k1l1)和(h2k2l2),則可用晶帶定律求出晶帶軸；已知兩個不平行的晶向，可以求出過這兩個晶向的晶面；§4-2極射赤面投影

所謂極射投影就是將晶體的三維空間變成二維平面來表達(dá)的一種方法。在三維圖形與二維圖形之間建立一定的對應(yīng)關(guān)系，就可以用二維圖形來表示三維圖形中晶向和晶面的對稱關(guān)系，以及它們之間的夾角，這樣就把比較困難的問題簡單化。

晶體投影分兩步，第一步將晶面投影到球面上，稱之為球面投影；第二步將投影到球面上的圖形再投影到赤平面上去，稱為赤面投影。投影要素

1、參考球：投影球

2、赤平面:過投影球球心的水平面

3、基圓:赤平面與球面相交的大圓（赤平大圓）。

凡過球心的平面與球面相交的大圓，統(tǒng)稱為大圓，

不過球心的平面與球面相交所成的圓統(tǒng)稱小圓。

4、極點:過球心的晶面法線與投影球相交點。一、參考球

選取三條互相垂直的直徑作坐標(biāo)軸，直立軸記為NS，前后軸記為AB，左右軸記為CD。NSABCD如果將一個很小的晶體放在一個大圓球的中心上。假設(shè)晶體尺寸與該大圓球的半徑相比較很小，可以認(rèn)為晶體的每條晶棱和每個晶面都經(jīng)過球心。將晶體結(jié)構(gòu)圖形投影到球面上去，這種投影稱為球面投影。這個球稱為投影球（參考球、極球）。這個圓球的球面稱為投影球面。晶體可以看作位于參考球中心的一個點。這樣，某一晶面與投影球相交就可得一大圓，我們將這個大圓稱為晶面的跡線（基圓），即是這個晶面的球面投影。晶面的法線與投影球相交可得一個交點，該點稱為極點，極點即為認(rèn)為是該晶面的極射球面投影?；鶊A、極點

晶面的極射投影赤面投影——球面上的圖形投影到平面

赤平面極點極射赤面投影的特點a、若投影球上有兩個跡線（跡點），其夾角為ψ，則它們在極射赤面投影圖上投影的夾角仍為ψ?！＝切詁、球面上一個圓的極射赤面投影仍為一個圓，但投影圖上圓的幾何中心并不一定是投影球上的幾何中心的投影。下面分幾種情況：

球面上的圓極射赤面投影小圓與NS垂直的小圓與基圓同心的圓d

與投影面垂直的小圓在基圓內(nèi)的小圓弧e

傾斜小圓不與基圓同心的圓f二、吳氏網(wǎng)

一種由球面直角坐標(biāo)系即經(jīng)緯網(wǎng)通過投影轉(zhuǎn)繪而成的平面網(wǎng)。又稱烏爾夫網(wǎng)或吳氏網(wǎng)。烏爾夫于1902年首次為結(jié)晶學(xué)引用了這種投影坐標(biāo)網(wǎng)圖。以球面上一點為極作投影透視點，即極射，把以此點為極的另一個半球面投影在以此為極點的赤道平面上，即赤平面。

吳氏網(wǎng)的最大特點是保持了球面上的空間角度關(guān)系，也稱為保角性。點、線和面的空間角度，在吳氏網(wǎng)上并不因投影轉(zhuǎn)繪而改變，即既可在吳氏網(wǎng)上由網(wǎng)格直接讀數(shù)，也可用量角器直接量出，而圓弧投影軌跡則可用圓規(guī)繪出。

晶面夾角的測量：經(jīng)度沿赤道度數(shù)；緯度沿基圓讀數(shù)。(a)

兩晶面的夾角就是兩個鏡面法線的夾角。(b)(a)(b)1）原理2）晶面夾角的測量

將透明紙上的投影基圓與烏氏網(wǎng)的參考基圓重合；如兩極點在基圓、赤道和大圓（經(jīng)線）上，可從基圓和赤道的標(biāo)尺上直接讀出。B、C兩點，一個40°，另一個10°，夾角30°。不在以上三條線上的兩個極點，要旋轉(zhuǎn)透明紙，使其落在大圓上。同一緯度A、B兩點實際角度為，而不是，，故不能直接讀出?！郃、B兩點要用復(fù)在吳氏網(wǎng)上的透明紙繞中心轉(zhuǎn)動，是A、B兩點落在一個大圓上后方可讀出。旋轉(zhuǎn)后A、B兩點180°C3）晶帶的投影

同一晶帶的各個晶面的法線必定都垂直于該晶帶的晶帶軸，因此同一晶帶的各個晶面的法線應(yīng)該位于同一平面內(nèi)。這樣，晶帶進(jìn)行極式球面投影時，應(yīng)該得到一個大圓，故同一大圓上的所有晶面將具有相同的晶帶軸。1.極射赤面投影中的極點代表了一個晶面；2.極射赤面投影中的基圓（大圓）上兩個極點的差值，即為兩個晶面之間的夾角。3.極射赤面投影中的小圓上兩個極點的差值，不能直接測量角度，必須將它們旋轉(zhuǎn)到同一個大圓上才能測量角度。4.極射赤面投影中的基圓上所有的晶面屬于同一晶帶軸。小結(jié)

常將晶體平行于投影面的所有的主要晶面的極射投影制作成標(biāo)準(zhǔn)極射投影圖。并把屬于同一晶帶軸的極射點用大圓連接起來。選擇的平行晶面一般都是一些重要的低指數(shù)晶面作為投影面，以便能夠充分反映晶體的對稱性。例如，立方晶系常用（001）、（011）、（111）；六方晶系用（001）。立方晶系（001）的標(biāo)準(zhǔn)極射投影如下圖所示。即平行于（001）晶面，或垂直于[001]的晶向。

三、標(biāo)準(zhǔn)極射投影

圖1-33立方晶系標(biāo)準(zhǔn)及射投影的曲面三角形（a）（001）標(biāo)準(zhǔn)極射投影（b）（011）標(biāo)準(zhǔn)極射投影曲面三角形與晶帶可分成24個球面三角形，三角形的三個頂點分別為100、110、111，100與110的夾角是45o，100與111的交角為54.7o，110與111的交角為35.3o。{100}{110}{111}曲面三角形與晶帶曲面三角形Stereogramcentredon[001]Fcc

極圖與電子衍射

Stereogramcentredon[110]Fcc

Stereogramcentredon[111]FccStereogramcentredon[112]Fcc

反極圖在對多晶的位向和織構(gòu)的研究中，常用到反