數(shù)學(xué)思想講座-數(shù)學(xué)與思維發(fā)展的關(guān)系課件

數(shù)學(xué)與思維發(fā)展的關(guān)系人類的思維是后天形成的，思維受到各種因素的影響，并表現(xiàn)出多面性。但符合邏輯的、精密的、深刻的、聰慧的思維是每個(gè)人希望達(dá)到的最高境界之一。數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育如此受重視，不完全是因?yàn)槠鋸V泛的用途，也不能完全從應(yīng)用的角度來看待數(shù)學(xué)。在上一講中我們說明了數(shù)學(xué)能提供觀察世界的一般觀念和方法外，實(shí)際上數(shù)學(xué)對(duì)人的其他發(fā)展，尤其是對(duì)人的思維發(fā)展有不可或缺的作用和價(jià)值，數(shù)學(xué)是為人的更完美發(fā)展提供了良好訓(xùn)練。數(shù)學(xué)與思維發(fā)展的關(guān)系人類的思維是后天形成的，思維數(shù)學(xué)與思維發(fā)展的關(guān)系人們常把數(shù)學(xué)形容為思維的體操。培根說過，哲理使人深刻，詩歌使人聰慧，演算使人精密。其實(shí)數(shù)學(xué)不單單使人精密，數(shù)學(xué)同樣也使人深刻，使人聰慧！

哲學(xué)、詩歌——不要求每人都會(huì)數(shù)學(xué)——每人必須會(huì)

數(shù)學(xué)與思維發(fā)展的關(guān)系人們常把數(shù)學(xué)形容為思維的體操1、歸納與完全歸納

思維的一種形式是歸納。那么歸納性質(zhì)的表征是什么呢？所謂歸納，是指通過對(duì)有限多個(gè)同類對(duì)象的觀察分析，猜測(cè)一種共性或規(guī)律，并證明這種共性的確是正確的一種思維方法。當(dāng)“同類對(duì)象”為有限多個(gè)時(shí)，我們將對(duì)象一一驗(yàn)證就可獲得結(jié)論（對(duì)或錯(cuò)）；但當(dāng)“同類對(duì)象”無法窮舉或?qū)嶋H上就是無限多時(shí)，我們?cè)械乃季S方法就無法具有說服力了。因此必須尋找一種處理無限的思維方法.即在數(shù)學(xué)上所要求的完全歸納,確保其正確性.1、歸納與完全歸納思維的一種形式是歸納。那么歸納性質(zhì)1、歸納與完全歸納我們熟悉的完全歸納法——數(shù)學(xué)歸納法。我們來看一些（非完全歸納）例子。

1、歸納與完全歸納我們熟悉的完全歸納法——數(shù)學(xué)歸1、歸納與完全歸納

1、歸納與完全歸納1、歸納與完全歸納1、歸納與完全歸納1、歸納與完全歸納這說明，考察一組對(duì)象的性質(zhì)或規(guī)律時(shí)，可能出錯(cuò)。究其原因在于對(duì)于“無窮多”的思維方式不能按照“有限多”方式來處理，否則容易出現(xiàn)問題。這種方法通常成為不完全歸納。1、歸納與完全歸納這說明，考察一組對(duì)象的性質(zhì)或規(guī)律時(shí)，可能出1、歸納與完全歸納數(shù)學(xué)對(duì)歸納的完全性是要求十分嚴(yán)格，其意義不僅對(duì)所有的自然科學(xué)是重要的，而且對(duì)人文社會(huì)科學(xué)也是重要的。借鑒數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)格性，可以大大提高社會(huì)科學(xué)學(xué)科的科學(xué)性。以例帶證的方法屬于不完全歸納，顯然不能令人信服。目前許多社會(huì)科學(xué)學(xué)科還是按照這種方式來解釋其命題，科學(xué)性顯然要遭到質(zhì)疑。社會(huì)科學(xué)；實(shí)驗(yàn)學(xué)科；1、歸納與完全歸納數(shù)學(xué)對(duì)歸納的完全性是要求十分2、邏輯思維的代表：演繹當(dāng)歸納具有完全性時(shí)，其方法可以說屬于邏輯的范疇了。邏輯思維的代表之一是演繹思維。演義思維最早來自幾何學(xué)，其影響之廣泛使得人們特別看重演繹科學(xué)的地位。實(shí)際上，一門學(xué)科是否為成熟的是以它是否已形成一套演繹體系（公理體系）為標(biāo)志的。數(shù)學(xué)的這一特點(diǎn)是與它極強(qiáng)的邏輯性和抽象性緊密聯(lián)系在一起的。2、邏輯思維的代表：演繹當(dāng)歸納具有完全性時(shí)，其方法2、邏輯思維的代表：演繹抽象：強(qiáng)抽象弱抽象。任意四邊形凸四邊形梯形平行四邊形矩形菱形正方形強(qiáng)抽象弱抽象2、邏輯思維的代表：演繹抽象：強(qiáng)抽象弱抽象。任意四邊形2、邏輯思維的代表：演繹例子：函數(shù)概念的演變過程。17世紀(jì)：冪函數(shù)（多項(xiàng)式）的代名詞。18世紀(jì)：表達(dá)式（初等函數(shù)）。歐拉給出了y=f(x)的表示。初等函數(shù)——非初等函數(shù)（級(jí)數(shù)、積分表示）——解析表達(dá)式（一個(gè)式子）——分段函數(shù)（偽函數(shù)，柯西引入了“對(duì)應(yīng)”術(shù)語，但還是解析式子）——Dirichlet函數(shù)：Dirichlet函數(shù)不但從表達(dá)式上突破了解析式的限制，而且還對(duì)“凡函數(shù)至少在一點(diǎn)連續(xù)”提出了挑戰(zhàn)。2、邏輯思維的代表：演繹例子：函數(shù)概念的演變過程。2、邏輯思維的代表：演繹雖然這個(gè)表達(dá)式是認(rèn)為構(gòu)造的，帶有主觀性質(zhì)，但它卻推動(dòng)了人們對(duì)函數(shù)本質(zhì)的客觀認(rèn)識(shí)。這也反映了認(rèn)識(shí)論中的基本內(nèi)涵。主觀判斷主觀事物一定要小心，不要把主觀臆相混同于主觀構(gòu)想。科學(xué)需要主觀構(gòu)想的。2、邏輯思維的代表：演繹雖然這個(gè)表達(dá)式是認(rèn)為構(gòu)造的，帶有主觀2、邏輯思維的代表：演繹Dirichlet函數(shù)——對(duì)應(yīng)規(guī)則（何為對(duì)應(yīng)？）——有序?qū)Γ▁,y）（新概念）——集合函數(shù)（泛函）——廣義函數(shù)（δ函數(shù)）——......上述過程實(shí)際上就是演繹思維弱抽象的例子.2、邏輯思維的代表：演繹Dirichlet函數(shù)——對(duì)應(yīng)規(guī)則（2、邏輯思維的代表：演繹再以函數(shù)為例給出強(qiáng)抽象的例子.連續(xù)性問題解決后,出現(xiàn)了可微性問題.f(x)=|x|是連續(xù)但在0點(diǎn)不可微的例子.問題:連續(xù)函數(shù)至少有一個(gè)可微點(diǎn)?Weiestrauss構(gòu)造了一個(gè)處處連續(xù)但處處不可微的例子,

這個(gè)例子讓數(shù)學(xué)家驚嘆:直觀似乎告訴我們不可能有這種函數(shù),直觀欺騙了我們.2、邏輯思維的代表：演繹再以函數(shù)為例給出強(qiáng)抽象的例子.2、邏輯思維的代表：演繹函數(shù)——連續(xù)函數(shù)——不可微函數(shù)——處處連續(xù)處處不可微函數(shù)。強(qiáng)抽象過程。但抽象性依然很強(qiáng)。數(shù)學(xué)的抽象方法很多，需要學(xué)習(xí)和實(shí)踐逐步加深了解，在你領(lǐng)會(huì)的同時(shí)，抽象思維能力就得到了加強(qiáng)和提高。需要說明的是，邏輯思維是抽象思維，但抽象思維不一定是邏輯的。數(shù)學(xué)的邏輯性特點(diǎn)使得數(shù)學(xué)訓(xùn)練直接有利于發(fā)展人的邏輯思維，其作用特別突出。2、邏輯思維的代表：演繹函數(shù)——連續(xù)函數(shù)——不可微函數(shù)——處數(shù)學(xué)與思維發(fā)展的關(guān)系人類的思維是后天形成的，思維受到各種因素的影響，并表現(xiàn)出多面性。但符合邏輯的、精密的、深刻的、聰慧的思維是每個(gè)人希望達(dá)到的最高境界之一。數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育如此受重視，不完全是因?yàn)槠鋸V泛的用途，也不能完全從應(yīng)用的角度來看待數(shù)學(xué)。在上一講中我們說明了數(shù)學(xué)能提供觀察世界的一般觀念和方法外，實(shí)際上數(shù)學(xué)對(duì)人的其他發(fā)展，尤其是對(duì)人的思維發(fā)展有不可或缺的作用和價(jià)值，數(shù)學(xué)是為人的更完美發(fā)展提供了良好訓(xùn)練。數(shù)學(xué)與思維發(fā)展的關(guān)系人類的思維是后天形成的，思維數(shù)學(xué)與思維發(fā)展的關(guān)系人們常把數(shù)學(xué)形容為思維的體操。培根說過，哲理使人深刻，詩歌使人聰慧，演算使人精密。其實(shí)數(shù)學(xué)不單單使人精密，數(shù)學(xué)同樣也使人深刻，使人聰慧！

哲學(xué)、詩歌——不要求每人都會(huì)數(shù)學(xué)——每人必須會(huì)

數(shù)學(xué)與思維發(fā)展的關(guān)系人們常把數(shù)學(xué)形容為思維的體操1、歸納與完全歸納

思維的一種形式是歸納。那么歸納性質(zhì)的表征是什么呢？所謂歸納，是指通過對(duì)有限多個(gè)同類對(duì)象的觀察分析，猜測(cè)一種共性或規(guī)律，并證明這種共性的確是正確的一種思維方法。當(dāng)“同類對(duì)象”為有限多個(gè)時(shí)，我們將對(duì)象一一驗(yàn)證就可獲得結(jié)論（對(duì)或錯(cuò)）；但當(dāng)“同類對(duì)象”無法窮舉或?qū)嶋H上就是無限多時(shí)，我們?cè)械乃季S方法就無法具有說服力了。因此必須尋找一種處理無限的思維方法.即在數(shù)學(xué)上所要求的完全歸納,確保其正確性.1、歸納與完全歸納思維的一種形式是歸納。那么歸納性質(zhì)1、歸納與完全歸納我們熟悉的完全歸納法——數(shù)學(xué)歸納法。我們來看一些（非完全歸納）例子。

1、歸納與完全歸納我們熟悉的完全歸納法——數(shù)學(xué)歸1、歸納與完全歸納

1、歸納與完全歸納1、歸納與完全歸納1、歸納與完全歸納1、歸納與完全歸納這說明，考察一組對(duì)象的性質(zhì)或規(guī)律時(shí)，可能出錯(cuò)。究其原因在于對(duì)于“無窮多”的思維方式不能按照“有限多”方式來處理，否則容易出現(xiàn)問題。這種方法通常成為不完全歸納。1、歸納與完全歸納這說明，考察一組對(duì)象的性質(zhì)或規(guī)律時(shí)，可能出1、歸納與完全歸納數(shù)學(xué)對(duì)歸納的完全性是要求十分嚴(yán)格，其意義不僅對(duì)所有的自然科學(xué)是重要的，而且對(duì)人文社會(huì)科學(xué)也是重要的。借鑒數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)格性，可以大大提高社會(huì)科學(xué)學(xué)科的科學(xué)性。以例帶證的方法屬于不完全歸納，顯然不能令人信服。目前許多社會(huì)科學(xué)學(xué)科還是按照這種方式來解釋其命題，科學(xué)性顯然要遭到質(zhì)疑。社會(huì)科學(xué)；實(shí)驗(yàn)學(xué)科；1、歸納與完全歸納數(shù)學(xué)對(duì)歸納的完全性是要求十分2、邏輯思維的代表：演繹當(dāng)歸納具有完全性時(shí)，其方法可以說屬于邏輯的范疇了。邏輯思維的代表之一是演繹思維。演義思維最早來自幾何學(xué)，其影響之廣泛使得人們特別看重演繹科學(xué)的地位。實(shí)際上，一門學(xué)科是否為成熟的是以它是否已形成一套演繹體系（公理體系）為標(biāo)志的。數(shù)學(xué)的這一特點(diǎn)是與它極強(qiáng)的邏輯性和抽象性緊密聯(lián)系在一起的。2、邏輯思維的代表：演繹當(dāng)歸納具有完全性時(shí)，其方法2、邏輯思維的代表：演繹抽象：強(qiáng)抽象弱抽象。任意四邊形凸四邊形梯形平行四邊形矩形菱形正方形強(qiáng)抽象弱抽象2、邏輯思維的代表：演繹抽象：強(qiáng)抽象弱抽象。任意四邊形2、邏輯思維的代表：演繹例子：函數(shù)概念的演變過程。17世紀(jì)：冪函數(shù)（多項(xiàng)式）的代名詞。18世紀(jì)：表達(dá)式（初等函數(shù)）。歐拉給出了y=f(x)的表示。初等函數(shù)——非初等函數(shù)（級(jí)數(shù)、積分表示）——解析表達(dá)式（一個(gè)式子）——分段函數(shù)（偽函數(shù)，柯西引入了“對(duì)應(yīng)”術(shù)語，但還是解析式子）——Dirichlet函數(shù)：Dirichlet函數(shù)不但從表達(dá)式上突破了解析式的限制，而且還對(duì)“凡函數(shù)至少在一點(diǎn)連續(xù)”提出了挑戰(zhàn)。2、邏輯思維的代表：演繹例子：函數(shù)概念的演變過程。2、邏輯思維的代表：演繹雖然這個(gè)表達(dá)式是認(rèn)為構(gòu)造的，帶有主觀性質(zhì)，但它卻推動(dòng)了人們對(duì)函數(shù)本質(zhì)的客觀認(rèn)識(shí)。這也反映了認(rèn)識(shí)論中的基本內(nèi)涵。主觀判斷主觀事物一定要小心，不要把主觀臆相混同于主觀構(gòu)想?？茖W(xué)需要主觀構(gòu)想的。2、邏輯思維的代表：演繹雖然這個(gè)表達(dá)式是認(rèn)為構(gòu)造的，帶有主觀2、邏輯思維的代表：演繹Dirichlet函數(shù)——對(duì)應(yīng)規(guī)則（何為對(duì)應(yīng)？）——有序?qū)Γ▁,y）（新概念）——集合函數(shù)（泛函）——廣義函數(shù)（δ函數(shù)）——......上述過程實(shí)際上就是演繹思維弱抽象的例子.2、邏輯思維的代表：演繹Dirichlet函數(shù)——對(duì)應(yīng)規(guī)則（2、邏輯思維的代表：演繹再以函數(shù)為例給出強(qiáng)抽象的例子.連續(xù)性問題解決后,出現(xiàn)了可微性問題.f(x)=|x|是連續(xù)但在0點(diǎn)不可微的例子.問題:連續(xù)函數(shù)至少有一個(gè)可微點(diǎn)?Weiestrauss構(gòu)造了一個(gè)處處連續(xù)但處處不可微的例子,

這個(gè)例子讓數(shù)學(xué)家驚嘆:直觀似乎告訴我們不可能有這種函數(shù),直觀欺騙了我們.2、邏輯思維的代表：