工程力學(xué)彎曲剛度課件

NanjingUniversityofTechnology第八章彎曲剛度NanjingUniversityofTechnolo1計(jì)算梁彎曲變形的積分法

計(jì)算梁彎曲變形的積分法2

彎曲變形計(jì)算的必要性搖臂鉆床的搖臂或車(chē)床的主軸變形過(guò)大，就會(huì)影響零件的加工精度，甚至?xí)霈F(xiàn)廢品。彎曲變形計(jì)算的必要性搖臂鉆床的搖臂或車(chē)床的主3橋式起重機(jī)的橫梁變形過(guò)大,則會(huì)使小車(chē)行走困難，出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象。但在另外一些情況下，有時(shí)卻要求構(gòu)件具有較大的彈性變形，以滿足特定的工作需要。例如，車(chē)輛上的板彈簧，要求有足夠大的變形，以緩解車(chē)輛受到的沖擊和振動(dòng)作用。橋式起重機(jī)的橫梁變形過(guò)大,則會(huì)使小車(chē)行走困難，出現(xiàn)爬4撓曲線近似微分方程撓曲線

撓曲線規(guī)定：向上撓度為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)角為正撓度y（f）：橫截面形心處的鉛垂位移截面轉(zhuǎn)角θ：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度

撓曲線方程：轉(zhuǎn)角方程：撓曲線近似微分方程撓曲線撓曲線規(guī)定：向上撓度為正，5梁的撓曲線近似微分方程曲線y=f(x)的曲率為梁純彎曲時(shí)中性層的曲率：梁的撓曲線近似微分方程曲線y=f(x)的曲率為梁純彎6例題：已知梁的EI為常數(shù)，今欲使梁的撓曲線在x＝l/3處出現(xiàn)一拐點(diǎn)，則比值m1/m2為多少？例題：已知梁的EI為常數(shù)，今欲使梁的撓曲線在x＝l/3處出現(xiàn)7解：由梁的撓曲線近似微分方程知，在梁撓曲線的拐點(diǎn)處有：從彎矩圖可以看出：拐點(diǎn)：曲線凹與凸的分界點(diǎn)解：由梁的撓曲線近似微分方程知，在梁撓曲線的拐點(diǎn)處有：從彎矩8式中積分常數(shù)C、D由邊界條件和連續(xù)條件確定積分法求彎曲變形積分求解過(guò)程—積分法轉(zhuǎn)角方程撓曲線方程沒(méi)有約束無(wú)法確定位移式中積分常數(shù)C、D由邊界條件和連續(xù)條件確定積分法求彎曲9確定積分常數(shù)的邊界條件連續(xù)光滑曲線，鉸支座作用截面處連續(xù)光滑曲線，固定端支座處確定積分常數(shù)的邊界條件連續(xù)光滑曲線，鉸支座作用截面處連續(xù)10光滑連續(xù)條件：PC光滑連續(xù)條件：PC11例題求：梁的彎曲撓度與轉(zhuǎn)角方程，以及最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。已知：左端固定、右端自由的懸臂梁承受均布載荷。均布載荷集度為q，梁的彎曲剛度為EI、長(zhǎng)度為l。q、EI、l均已知。例題求：梁的彎曲撓度與轉(zhuǎn)角方程，以及最大撓度12解：建立Oxw坐標(biāo)系Oxw建立梁的彎矩方程xM(x)Q(x)將上述彎矩方程代入小撓度微分方程，得積分后，得到解：建立Oxw坐標(biāo)系Oxw建立梁的彎矩方程xM(x)Q(x)13固定端處的約束條件為：

代入上兩式，可得：

故而，最終的撓度與轉(zhuǎn)角方程寫(xiě)為：固定端處的約束條件為：代入上兩式，可得：故而，最終的撓度14

從撓度曲線可以看出，在懸臂梁自由端處，撓度和轉(zhuǎn)角均為最大值。從撓度曲線可以看出，在懸臂梁自由端處，撓度和轉(zhuǎn)角15求：加力點(diǎn)B的撓度和支承A、C處的轉(zhuǎn)角。已知：簡(jiǎn)支梁受力如圖所示。FP、EI、l均為已知。例題求：加力點(diǎn)B的撓度和支承A、C處的轉(zhuǎn)角。16解：

確定梁約束力分為AB和BC兩段建立彎矩方程AB段BC段

小撓度微分方程：解：確定梁約束力分為AB和BC兩段建立彎矩17積分得

其中，C1、D1、C2、D2為積分常數(shù)

在支座A、C兩處撓度應(yīng)為零，即x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0

AB段與BC段梁交界處的撓度和轉(zhuǎn)角必須分別相等，即x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，1=2積分得其中，C1、D1、C2、D2為積分常數(shù)18共有四個(gè)邊界條件，可解出四個(gè)待定系數(shù)D1＝D2=0梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程為：AB段

BC段

可以算得加力點(diǎn)B處的撓度和支承處A和C的轉(zhuǎn)角分別為

共有四個(gè)邊界條件，可解出四個(gè)待定系數(shù)D1＝D19例題:已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡(jiǎn)支梁在均布載荷q作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定θmax和ymax。例題:已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡(jiǎn)支梁在均布載荷q作20解：由邊界條件：得：梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：解：由邊界條件：得：梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：21最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：AB截面轉(zhuǎn)角和撓度極值的判定方法？最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：AB截面轉(zhuǎn)角和撓度極值的判定方22例題:已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡(jiǎn)支梁的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定θmax和ymax。例題:已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡(jiǎn)支梁的轉(zhuǎn)角方程、撓23解：由對(duì)稱性，只考慮半跨梁ACD解：由對(duì)稱性，只考慮半跨梁ACD24由連續(xù)條件:由邊界條件：由對(duì)稱條件：由連續(xù)條件:由邊界條件：由對(duì)稱條件：25梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：26例題:圖示變截面梁懸臂梁，試用積分法求A端的撓度解：ABP2IICAC段xCB段例題:圖示變截面梁懸臂梁，試用積分法求A端的撓度解：AB27由邊界條件：由連續(xù)條件：得：AC段撓度方程為：令得（）由邊界條件：由連續(xù)條件：得：AC段撓度方程為：令得（28確定約束力,判斷是否需要分段以及分幾段分段建立撓度微分方程微分方程的積分利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)確定撓度與轉(zhuǎn)角方程以及指定截面的撓度與轉(zhuǎn)角積分法小結(jié)分段寫(xiě)出彎矩方程確定約束力,判斷是否需要分段以及分幾段分段建立撓度微29疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角30在材料服從胡克定律、且變形很小的前提下，載荷與它所引起的變形呈線性關(guān)系。當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，各個(gè)載荷所引起的變形是各自獨(dú)立的，互不影響。若計(jì)算幾個(gè)載荷共同作用下在某截面上引起的變形，則可分別計(jì)算各個(gè)載荷單獨(dú)作用下的變形，然后疊加。在材料服從胡克定律、且變形很小的前提下，載荷31當(dāng)梁上受有幾種不同的載荷作用時(shí)，都可以將其分解為各種載荷單獨(dú)作用的情形，由撓度表查得這些情形下的撓度和轉(zhuǎn)角，再將所得結(jié)果疊加后，便得到幾種載荷同時(shí)作用的結(jié)果。疊加法主要針對(duì)多個(gè)載荷同時(shí)作用時(shí)的載荷疊加，但在一般的分析過(guò)程中，也會(huì)碰到結(jié)構(gòu)變形的疊加問(wèn)題！當(dāng)梁上受有幾種不同的載荷作用時(shí)，都可以將其分32例題：用疊加法求fc、A、BqPmABCl/2l/2ml/2

l/2ql/2

l/2CPl/2

l/2例題：用疊加法求fc、A、BqPmABCl/2l/2m33解：將梁上的各載荷分別引起的位移疊加（）（）（）解：將梁上的各載荷分別引起的位移疊加（）（34★注意逐段剛化法：變形后：ABAB`BCB`C`變形后AB部分為曲線，但BC部分仍為直線。C點(diǎn)的位移為：wc★注意逐段剛化法：變形后：ABAB`BCB`C35自由偏轉(zhuǎn)量自由偏轉(zhuǎn)量36例題：求外伸梁C點(diǎn)的位移。LaCABP解：將梁各部分分別引起的位移疊加ABCP剛化EI＝PCfc1BC部分引起的位移fc1、θc1c1例題：求外伸梁C點(diǎn)的位移。LaCABP解：將梁各部分分別AB37AB部分引起的位移fc2、c2CABP剛化EI＝fc2B2PPaB2AB部分引起的位移fc2、c2CABP剛化EI＝fc238例題：欲使AD梁C點(diǎn)撓度為零，求P與q的關(guān)系。qPACBDɑɑɑ例題：欲使AD梁C點(diǎn)撓度為零，求P與q的關(guān)系。qPACBDɑ39解：qPACBDɑ

ɑ

ɑqACBDɑ

ɑ

ɑPACBDɑ

ɑ

ɑPPɑACBDɑ

ɑ

ɑ解：qPAɑɑ40例題：求圖示梁B、D兩處的撓度f(wàn)B、fD2ɑ

ɑ

ɑq2qɑACBD例題：求圖示梁B、D兩處的撓度f(wàn)B、fD2ɑ41解：qa：B處約束力qABqɑ2qɑCBD2ɑɑɑq2qɑACBD解：qa：B處約束力qABqɑ2qɑCBD2ɑ42例題：用疊加法求圖示變截面梁B、C截面的撓度f(wàn)B、fC。PEI2EIɑɑABC例題：用疊加法求圖示變截面梁B、C截面的撓度f(wàn)B、fC43解：EIC2EIABɑɑPCEIBPEIP2EIABPPɑ解：EIC2EIABɑɑPCEIBPEIP2EIABPPɑ44例題：用疊加法求圖示梁Ｃ端的轉(zhuǎn)角和撓度。PɑɑɑABCqɑ例題：用疊加法求圖示梁Ｃ端的轉(zhuǎn)角和撓度。PɑɑɑABCqɑ45解：P=qɑP=qɑm=qɑ2/2ABqCBP=qɑqABCɑɑɑ解：P=qɑP=qɑm=qɑ2/2ABqCBP=qɑqABC46例題：圖示梁Ｂ處為彈性支座，彈簧剛度k，求C端撓度f(wàn)C。qEIkɑ2ɑABC例題：圖示梁Ｂ處為彈性支座，彈簧剛度k，求C端撓度f(wàn)C。q47解：

梁不變形，僅彈簧變形引起的C點(diǎn)撓度為

彈簧不變形，僅梁變形引起的C點(diǎn)撓度為C點(diǎn)總撓度為qkɑ2ɑABCqkɑ2ɑABCqkɑ2ɑABCEI解：梁不變形，僅彈簧變形引起的C點(diǎn)撓度為彈簧不變形，僅48

已知：懸臂梁受力如圖所示，q、l、EI均為已知。求：C截面的撓度wC和轉(zhuǎn)角C例題：&對(duì)間斷性分布載荷解：將梁上的載荷變成有表可查的情形，如圖所示再將處理后的梁分解為簡(jiǎn)單載荷作用的情形已知：懸臂梁受力如圖所示，q、l、EI均為已知。49兩種情形下自由端的撓度和轉(zhuǎn)角分別為將簡(jiǎn)單載荷作用的結(jié)果疊加兩種情形下自由端的撓度和轉(zhuǎn)角分別為將簡(jiǎn)單載荷作用的結(jié)果疊加50彎曲剛度設(shè)計(jì)

彎曲剛度設(shè)計(jì)51對(duì)于主要承受彎曲的梁和軸，撓度和轉(zhuǎn)角過(guò)大會(huì)影響構(gòu)件或零件的正常工作。例如齒輪軸；機(jī)床主軸；由軸承支承的軸在支承處的轉(zhuǎn)角如果過(guò)大會(huì)增加軸承的磨損等等。

剛度計(jì)算的工程意義

對(duì)于主要承受彎曲的梁和軸，撓度和轉(zhuǎn)角過(guò)大會(huì)影響構(gòu)件或52剛度設(shè)計(jì)剛度條件為了保證構(gòu)件的剛度，通常將變形限制在一定的允許范圍內(nèi)。彎曲變形：限制其最大撓度和最大轉(zhuǎn)角不超過(guò)允許值梁的剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則：上述二式中f和分別稱為許用撓度和許用轉(zhuǎn)角，均根據(jù)對(duì)于不同零件或構(gòu)件的工藝要求而確定。

剛度設(shè)計(jì)剛度條件為了保證構(gòu)件的剛度，通常將變53已知：鋼制圓軸，左端受力為FP，F(xiàn)P＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa，其他尺寸如圖所示。規(guī)定軸承B處的許用轉(zhuǎn)角θ=0.5°。

試求：根據(jù)剛度要求確定該軸的直徑d。

B例題已知：鋼制圓軸，左端受力為FP，F(xiàn)P＝2054解：B由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉(zhuǎn)角為根據(jù)設(shè)計(jì)要求，有其中，的單位為rad（弧度），而θ的單位為（°）（度），考慮到單位的一致性，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入后，得到軸的直徑解：B由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處55例題：某船廠用45a號(hào)工字鋼制成吊車(chē)大梁，材料的許用應(yīng)力[]=140MPa，彈性模量E=200GPa，跨度L=10m，荷載P=50KN，梁的撓度許用值[f]=L/500?？紤]自重，試校核梁的強(qiáng)度和剛度。PCBA解：考慮自重，相當(dāng)于梁上加一均布荷載q查表例題：某船廠用45a號(hào)工字鋼制成吊車(chē)大梁，材料的許用應(yīng)力[56PCBA＜梁跨中點(diǎn)C撓度最大()＜梁滿足強(qiáng)度和剛度要求PCBA＜梁跨中點(diǎn)C撓度最大()＜梁滿足強(qiáng)度和剛度要求57提高彎曲剛度的措施

影響梁彎曲變形的因素不僅與梁的支承和載荷情況有關(guān)，而且還與梁的材料、截面尺寸、形狀和梁的跨度有關(guān)。所以，要想提高彎曲剛度，就應(yīng)從上述各種因素入手。1、增大梁的抗彎剛度EI2、減小跨度或增加支承3、改變加載方式和支座位置提高彎曲剛度的措施影響梁彎曲變形58簡(jiǎn)單的靜不定梁求解簡(jiǎn)單的靜不定梁求解593-3=0lMAABFAyFAxq4-3=1lABMAFAyFAxFB5－3＝2FBxBlAMAFAyFAxFBy6－3＝3MBBlAMAFAyFAxFBxFBy3-3=0lMAABFAyFAxq4-3=1lABMAF60

用“多余”反力代替“多余”約束，就得到一個(gè)形式上的靜定梁，該梁稱為原靜不定梁的相當(dāng)系統(tǒng)，亦稱基本靜定系。基本靜定系可不止一個(gè)lqABqABRBqBAMA求解靜不定問(wèn)題，需要綜合考察結(jié)構(gòu)的平衡、變形協(xié)調(diào)與物理等三方面，這就是求解靜不定問(wèn)題的基本方法。用“多余”反力代替“多余”約束，就得到一個(gè)形式上的靜定61例題：求圖示靜不定梁的支反力。qABl例題：求圖示靜不定梁的支反力。qABl62解法一：將支座B看成多余約束，變形協(xié)調(diào)條件為：ABqlABqRB解法一：將支座B看成多余約束，變形協(xié)調(diào)條件為：ABqlAB63

解法二：將支座A對(duì)截面轉(zhuǎn)動(dòng)的約束看成多余約束，變形協(xié)調(diào)條件為：ABqlqBAMA解法二：將支座A對(duì)截面轉(zhuǎn)動(dòng)的約束看成多余約束，變形協(xié)調(diào)條件64例題：為了提高懸臂梁AB的強(qiáng)度和剛度，用短梁CD加固。設(shè)二梁EI相同，試求：(1)二梁接觸處的壓力；(2)加固前后AB梁最大彎矩的比值；(3)加固前后B點(diǎn)撓度的比值。PABCDaa例題：為了提高懸臂梁AB的強(qiáng)度和剛度，用短梁CD加固。設(shè)二梁65解：（1）變形協(xié)調(diào)條件為：（2）（3）自行完成PBACDRD解：（1）變形協(xié)調(diào)條件為：（2）（3）自行完成PBACDRD66例題：梁ABC由AB、BC兩段組成，兩段梁的EI相同。試?yán)L制剪力圖與彎矩圖。qABCaa例題：梁ABC由AB、BC兩段組成，兩段梁的EI相同。試?yán)L制67解：變形協(xié)調(diào)條件為：其余自行完成?。。ABBCRB解：變形協(xié)調(diào)條件為：其余自行完成?。?！qABBCRB68例題：圖示結(jié)構(gòu)AB梁的抗彎剛度為EI，CD桿的抗拉剛度為EA，已知P、L、a。求CD桿所受的拉力。PABCDa例題：圖示結(jié)構(gòu)AB梁的抗彎剛度為EI，CD桿的抗拉剛度為EA69解：變形協(xié)調(diào)條件為：DaCPABC解：變形協(xié)調(diào)條件為：DaCPABC70NanjingUniversityofTechnology第八章彎曲剛度NanjingUniversityofTechnolo71計(jì)算梁彎曲變形的積分法

計(jì)算梁彎曲變形的積分法72

彎曲變形計(jì)算的必要性搖臂鉆床的搖臂或車(chē)床的主軸變形過(guò)大，就會(huì)影響零件的加工精度，甚至?xí)霈F(xiàn)廢品。彎曲變形計(jì)算的必要性搖臂鉆床的搖臂或車(chē)床的主73橋式起重機(jī)的橫梁變形過(guò)大,則會(huì)使小車(chē)行走困難，出現(xiàn)爬坡現(xiàn)象。但在另外一些情況下，有時(shí)卻要求構(gòu)件具有較大的彈性變形，以滿足特定的工作需要。例如，車(chē)輛上的板彈簧，要求有足夠大的變形，以緩解車(chē)輛受到的沖擊和振動(dòng)作用。橋式起重機(jī)的橫梁變形過(guò)大,則會(huì)使小車(chē)行走困難，出現(xiàn)爬74撓曲線近似微分方程撓曲線

撓曲線規(guī)定：向上撓度為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)角為正撓度y（f）：橫截面形心處的鉛垂位移截面轉(zhuǎn)角θ：橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度

撓曲線方程：轉(zhuǎn)角方程：撓曲線近似微分方程撓曲線撓曲線規(guī)定：向上撓度為正，75梁的撓曲線近似微分方程曲線y=f(x)的曲率為梁純彎曲時(shí)中性層的曲率：梁的撓曲線近似微分方程曲線y=f(x)的曲率為梁純彎76例題：已知梁的EI為常數(shù)，今欲使梁的撓曲線在x＝l/3處出現(xiàn)一拐點(diǎn)，則比值m1/m2為多少？例題：已知梁的EI為常數(shù)，今欲使梁的撓曲線在x＝l/3處出現(xiàn)77解：由梁的撓曲線近似微分方程知，在梁撓曲線的拐點(diǎn)處有：從彎矩圖可以看出：拐點(diǎn)：曲線凹與凸的分界點(diǎn)解：由梁的撓曲線近似微分方程知，在梁撓曲線的拐點(diǎn)處有：從彎矩78式中積分常數(shù)C、D由邊界條件和連續(xù)條件確定積分法求彎曲變形積分求解過(guò)程—積分法轉(zhuǎn)角方程撓曲線方程沒(méi)有約束無(wú)法確定位移式中積分常數(shù)C、D由邊界條件和連續(xù)條件確定積分法求彎曲79確定積分常數(shù)的邊界條件連續(xù)光滑曲線，鉸支座作用截面處連續(xù)光滑曲線，固定端支座處確定積分常數(shù)的邊界條件連續(xù)光滑曲線，鉸支座作用截面處連續(xù)80光滑連續(xù)條件：PC光滑連續(xù)條件：PC81例題求：梁的彎曲撓度與轉(zhuǎn)角方程，以及最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。已知：左端固定、右端自由的懸臂梁承受均布載荷。均布載荷集度為q，梁的彎曲剛度為EI、長(zhǎng)度為l。q、EI、l均已知。例題求：梁的彎曲撓度與轉(zhuǎn)角方程，以及最大撓度82解：建立Oxw坐標(biāo)系Oxw建立梁的彎矩方程xM(x)Q(x)將上述彎矩方程代入小撓度微分方程，得積分后，得到解：建立Oxw坐標(biāo)系Oxw建立梁的彎矩方程xM(x)Q(x)83固定端處的約束條件為：

代入上兩式，可得：

故而，最終的撓度與轉(zhuǎn)角方程寫(xiě)為：固定端處的約束條件為：代入上兩式，可得：故而，最終的撓度84

從撓度曲線可以看出，在懸臂梁自由端處，撓度和轉(zhuǎn)角均為最大值。從撓度曲線可以看出，在懸臂梁自由端處，撓度和轉(zhuǎn)角85求：加力點(diǎn)B的撓度和支承A、C處的轉(zhuǎn)角。已知：簡(jiǎn)支梁受力如圖所示。FP、EI、l均為已知。例題求：加力點(diǎn)B的撓度和支承A、C處的轉(zhuǎn)角。86解：

確定梁約束力分為AB和BC兩段建立彎矩方程AB段BC段

小撓度微分方程：解：確定梁約束力分為AB和BC兩段建立彎矩87積分得

其中，C1、D1、C2、D2為積分常數(shù)

在支座A、C兩處撓度應(yīng)為零，即x＝0，w1＝0;x＝l，w2＝0

AB段與BC段梁交界處的撓度和轉(zhuǎn)角必須分別相等，即x＝l/4，w1＝w2;x＝l/4，1=2積分得其中，C1、D1、C2、D2為積分常數(shù)88共有四個(gè)邊界條件，可解出四個(gè)待定系數(shù)D1＝D2=0梁的轉(zhuǎn)角和撓度方程為：AB段

BC段

可以算得加力點(diǎn)B處的撓度和支承處A和C的轉(zhuǎn)角分別為

共有四個(gè)邊界條件，可解出四個(gè)待定系數(shù)D1＝D89例題:已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡(jiǎn)支梁在均布載荷q作用下的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定θmax和ymax。例題:已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡(jiǎn)支梁在均布載荷q作90解：由邊界條件：得：梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：解：由邊界條件：得：梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：91最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：AB截面轉(zhuǎn)角和撓度極值的判定方法？最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：AB截面轉(zhuǎn)角和撓度極值的判定方92例題:已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡(jiǎn)支梁的轉(zhuǎn)角方程、撓曲線方程，并確定θmax和ymax。例題:已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡(jiǎn)支梁的轉(zhuǎn)角方程、撓93解：由對(duì)稱性，只考慮半跨梁ACD解：由對(duì)稱性，只考慮半跨梁ACD94由連續(xù)條件:由邊界條件：由對(duì)稱條件：由連續(xù)條件:由邊界條件：由對(duì)稱條件：95梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為：最大轉(zhuǎn)角和最大撓度分別為：96例題:圖示變截面梁懸臂梁，試用積分法求A端的撓度解：ABP2IICAC段xCB段例題:圖示變截面梁懸臂梁，試用積分法求A端的撓度解：AB97由邊界條件：由連續(xù)條件：得：AC段撓度方程為：令得（）由邊界條件：由連續(xù)條件：得：AC段撓度方程為：令得（98確定約束力,判斷是否需要分段以及分幾段分段建立撓度微分方程微分方程的積分利用約束條件和連續(xù)條件確定積分常數(shù)確定撓度與轉(zhuǎn)角方程以及指定截面的撓度與轉(zhuǎn)角積分法小結(jié)分段寫(xiě)出彎矩方程確定約束力,判斷是否需要分段以及分幾段分段建立撓度微99疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角疊加法確定梁的撓度與轉(zhuǎn)角100在材料服從胡克定律、且變形很小的前提下，載荷與它所引起的變形呈線性關(guān)系。當(dāng)梁上同時(shí)作用幾個(gè)載荷時(shí)，各個(gè)載荷所引起的變形是各自獨(dú)立的，互不影響。若計(jì)算幾個(gè)載荷共同作用下在某截面上引起的變形，則可分別計(jì)算各個(gè)載荷單獨(dú)作用下的變形，然后疊加。在材料服從胡克定律、且變形很小的前提下，載荷101當(dāng)梁上受有幾種不同的載荷作用時(shí)，都可以將其分解為各種載荷單獨(dú)作用的情形，由撓度表查得這些情形下的撓度和轉(zhuǎn)角，再將所得結(jié)果疊加后，便得到幾種載荷同時(shí)作用的結(jié)果。疊加法主要針對(duì)多個(gè)載荷同時(shí)作用時(shí)的載荷疊加，但在一般的分析過(guò)程中，也會(huì)碰到結(jié)構(gòu)變形的疊加問(wèn)題！當(dāng)梁上受有幾種不同的載荷作用時(shí)，都可以將其分102例題：用疊加法求fc、A、BqPmABCl/2l/2ml/2

l/2ql/2

l/2CPl/2

l/2例題：用疊加法求fc、A、BqPmABCl/2l/2m103解：將梁上的各載荷分別引起的位移疊加（）（）（）解：將梁上的各載荷分別引起的位移疊加（）（104★注意逐段剛化法：變形后：ABAB`BCB`C`變形后AB部分為曲線，但BC部分仍為直線。C點(diǎn)的位移為：wc★注意逐段剛化法：變形后：ABAB`BCB`C105自由偏轉(zhuǎn)量自由偏轉(zhuǎn)量106例題：求外伸梁C點(diǎn)的位移。LaCABP解：將梁各部分分別引起的位移疊加ABCP剛化EI＝PCfc1BC部分引起的位移fc1、θc1c1例題：求外伸梁C點(diǎn)的位移。LaCABP解：將梁各部分分別AB107AB部分引起的位移fc2、c2CABP剛化EI＝fc2B2PPaB2AB部分引起的位移fc2、c2CABP剛化EI＝fc2108例題：欲使AD梁C點(diǎn)撓度為零，求P與q的關(guān)系。qPACBDɑɑɑ例題：欲使AD梁C點(diǎn)撓度為零，求P與q的關(guān)系。qPACBDɑ109解：qPACBDɑ

ɑ

ɑqACBDɑ

ɑ

ɑPACBDɑ

ɑ

ɑPPɑACBDɑ

ɑ

ɑ解：qPAɑɑ110例題：求圖示梁B、D兩處的撓度f(wàn)B、fD2ɑ

ɑ

ɑq2qɑACBD例題：求圖示梁B、D兩處的撓度f(wàn)B、fD2ɑ111解：qa：B處約束力qABqɑ2qɑCBD2ɑɑɑq2qɑACBD解：qa：B處約束力qABqɑ2qɑCBD2ɑ112例題：用疊加法求圖示變截面梁B、C截面的撓度f(wàn)B、fC。PEI2EIɑɑABC例題：用疊加法求圖示變截面梁B、C截面的撓度f(wàn)B、fC113解：EIC2EIABɑɑPCEIBPEIP2EIABPPɑ解：EIC2EIABɑɑPCEIBPEIP2EIABPPɑ114例題：用疊加法求圖示梁Ｃ端的轉(zhuǎn)角和撓度。PɑɑɑABCqɑ例題：用疊加法求圖示梁Ｃ端的轉(zhuǎn)角和撓度。PɑɑɑABCqɑ115解：P=qɑP=qɑm=qɑ2/2ABqCBP=qɑqABCɑɑɑ解：P=qɑP=qɑm=qɑ2/2ABqCBP=qɑqABC116例題：圖示梁Ｂ處為彈性支座，彈簧剛度k，求C端撓度f(wàn)C。qEIkɑ2ɑABC例題：圖示梁Ｂ處為彈性支座，彈簧剛度k，求C端撓度f(wàn)C。q117解：

梁不變形，僅彈簧變形引起的C點(diǎn)撓度為

彈簧不變形，僅梁變形引起的C點(diǎn)撓度為C點(diǎn)總撓度為qkɑ2ɑABCqkɑ2ɑABCqkɑ2ɑABCEI解：梁不變形，僅彈簧變形引起的C點(diǎn)撓度為彈簧不變形，僅118

已知：懸臂梁受力如圖所示，q、l、EI均為已知。求：C截面的撓度wC和轉(zhuǎn)角C例題：&對(duì)間斷性分布載荷解：將梁上的載荷變成有表可查的情形，如圖所示再將處理后的梁分解為簡(jiǎn)單載荷作用的情形已知：懸臂梁受力如圖所示，q、l、EI均為已知。119兩種情形下自由端的撓度和轉(zhuǎn)角分別為將簡(jiǎn)單載荷作用的結(jié)果疊加兩種情形下自由端的撓度和轉(zhuǎn)角分別為將簡(jiǎn)單載荷作用的結(jié)果疊加120彎曲剛度設(shè)計(jì)

彎曲剛度設(shè)計(jì)121對(duì)于主要承受彎曲的梁和軸，撓度和轉(zhuǎn)角過(guò)大會(huì)影響構(gòu)件或零件的正常工作。例如齒輪軸；機(jī)床主軸；由軸承支承的軸在支承處的轉(zhuǎn)角如果過(guò)大會(huì)增加軸承的磨損等等。

剛度計(jì)算的工程意義

對(duì)于主要承受彎曲的梁和軸，撓度和轉(zhuǎn)角過(guò)大會(huì)影響構(gòu)件或122剛度設(shè)計(jì)剛度條件為了保證構(gòu)件的剛度，通常將變形限制在一定的允許范圍內(nèi)。彎曲變形：限制其最大撓度和最大轉(zhuǎn)角不超過(guò)允許值梁的剛度設(shè)計(jì)準(zhǔn)則：上述二式中f和分別稱為許用撓度和許用轉(zhuǎn)角，均根據(jù)對(duì)于不同零件或構(gòu)件的工藝要求而確定。

剛度設(shè)計(jì)剛度條件為了保證構(gòu)件的剛度，通常將變123已知：鋼制圓軸，左端受力為FP，F(xiàn)P＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa，其他尺寸如圖所示。規(guī)定軸承B處的許用轉(zhuǎn)角θ=0.5°。

試求：根據(jù)剛度要求確定該軸的直徑d。

B例題已知：鋼制圓軸，左端受力為FP，F(xiàn)P＝20124解：B由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉(zhuǎn)角為根據(jù)設(shè)計(jì)要求，有其中，的單位為rad（弧度），而θ的單位為（°）（度），考慮到單位的一致性，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入后，得到軸的直徑解：B由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處125例題：某船廠用45a號(hào)工字鋼制成吊車(chē)大梁，材料的許用應(yīng)力[]=140MPa，彈性模量E