二項(xiàng)式展開(kāi)式性質(zhì)

關(guān)于二項(xiàng)式展開(kāi)式性質(zhì)第一頁(yè)，共十三頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于（a+b）n=的展開(kāi)式有哪些項(xiàng)？個(gè)(a+b)n=an+an-1b+an-2b2+…＋an-rbr+…+bn二項(xiàng)式定理右邊的多項(xiàng)式叫做(a+b)n的二項(xiàng)展開(kāi)式,它一共有n+1項(xiàng).其中各項(xiàng)系數(shù)

Cnr

(r=0,1,2,…,n)叫做二項(xiàng)式系數(shù)式中的項(xiàng)Cnran-rbr

叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng),是第r+1項(xiàng),記作Tr+1即Tr+1=Cnran-rbr

(r=0,1,2,…,n)稱為二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式

(1)展開(kāi)式各項(xiàng)中a、b的指數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的遞變規(guī)律.但指數(shù)和為n

(2)通項(xiàng)公式中a、b的指數(shù)及其系數(shù)和所在項(xiàng)數(shù)之間的關(guān)系.試一試：寫(xiě)出(1+x)n

的展開(kāi)式及其通項(xiàng)公式。第二頁(yè)，共十三頁(yè)，2022年，8月28日總結(jié)1.二項(xiàng)式系數(shù)規(guī)律：2.指數(shù)規(guī)律：（1）各項(xiàng)的次數(shù)均為n；（2）二項(xiàng)和的第一項(xiàng)a的次數(shù)由n降到0，第二項(xiàng)b的次數(shù)由0升到n.3.項(xiàng)數(shù)規(guī)律：兩項(xiàng)和的n次冪的展開(kāi)式共有n+1個(gè)項(xiàng)定理特征二項(xiàng)式定理：4.通項(xiàng)公式：Tr+1=Cnran-rbr

(r=0,1,2,…,n)右邊的多項(xiàng)式叫做的展開(kāi)式第三頁(yè)，共十三頁(yè)，2022年，8月28日解:第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，第三項(xiàng)的系數(shù)為240.項(xiàng)的系數(shù)：該項(xiàng)所有常數(shù)因子的積.二項(xiàng)式系數(shù)：第四頁(yè)，共十三頁(yè)，2022年，8月28日例３：的展開(kāi)式常數(shù)項(xiàng)解:通項(xiàng)公式：Tr+1=Cnran-rbr

(r=0,1,2,…,n)第五頁(yè)，共十三頁(yè)，2022年，8月28日練習(xí)：1、求的展開(kāi)式的中間兩項(xiàng)

解:展開(kāi)式共有10項(xiàng),中間兩項(xiàng)是第5、6項(xiàng)。

的展開(kāi)式中，第５項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第３項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是：１４：３，求展開(kāi)式中的第４項(xiàng)第六頁(yè)，共十三頁(yè)，2022年，8月28日因此，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)、相等，且同時(shí)取得最大值。

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（1）對(duì)稱性

與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等．（2）增減性與最大值

二項(xiàng)式系數(shù)前半部分是逐漸增大的，由對(duì)稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項(xiàng)取得最大值。（3）各二項(xiàng)式系數(shù)的和

且奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和2n-1第七頁(yè)，共十三頁(yè)，2022年，8月28日例１：已知（１＋x)n展開(kāi)式中x2

的系數(shù)等于

x的系數(shù)的３倍，求二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)第八頁(yè)，共十三頁(yè)，2022年，8月28日解:例2：已知（１－２x)n展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和及所有項(xiàng)的系數(shù)之和變式：已知（2+x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3a4x4+a5x5+a6x6，求(1)奇次項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和

（2）a0+a1+a2+a3＋a4+a5＋a6的值（3）a1+a2+a3＋a4+a5＋a6

第九頁(yè)，共十三頁(yè)，2022年，8月28日因此，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)取得最大值；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)、相等，且同時(shí)取得最大值。

二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（1）對(duì)稱性

與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等．（2）增減性與最大值

二項(xiàng)式系數(shù)前半部分是逐漸增大的，由對(duì)稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項(xiàng)取得最大值。（3）各二項(xiàng)式系數(shù)的和

且奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和2n-1第十頁(yè)，共十三頁(yè)，2022年，8月28日特值思想二項(xiàng)式定理對(duì)任意的數(shù)a、b都成立，當(dāng)然對(duì)特殊的a、b也成立！第十一頁(yè)，共十三頁(yè)，2022年，8月28日

考察在n=1,2,3,4時(shí)，(a+b)n的展開(kāi)式的系數(shù)規(guī)律.(a+b)1=

,(a+b)2=

,(a+b)3=

,(a+b)4=

.a+ba2+2ab+b2a3+3a2b+3ab2+b3我國(guó)古代優(yōu)秀成果介紹：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

列出上述各展開(kāi)式的系數(shù)：

11121133114641規(guī)律:(1)表中每行兩端都是1

(2)其它各數(shù)都是它肩上兩數(shù)的和.1510105116152015611楊輝三角形試一試：你能根據(jù)楊輝三角形寫(xiě)出(a