高等數(shù)學(xué)例題

Higher程目標(biāo)專業(yè)的核心課程。在工程、化學(xué)、物理、機(jī)械、經(jīng)需要以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，因此，掌握《高等數(shù)學(xué)》的有關(guān)知思想和基本方法，對(duì)順利完成后繼課程的學(xué)習(xí)是非常必學(xué)生獲取知識(shí)能力、應(yīng)用知識(shí)能力及創(chuàng)新能力，提高學(xué)象能力、邏輯思維能力與數(shù)學(xué)素質(zhì)的一個(gè)重要的教學(xué)環(huán)節(jié)。堂講授為主，習(xí)題課及課堂練習(xí)為輔。應(yīng)用多媒體輔助教學(xué)。線性微分方程的解法。向量代數(shù)、直線、平面、及空間曲線與曲面方程。多元分、曲線積分與曲面積分的計(jì)算。冪級(jí)數(shù)與傅里葉級(jí)數(shù)。數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，為學(xué)習(xí)后繼課程奠定必要的基礎(chǔ)。4、課程學(xué)時(shí)：180學(xué)時(shí)5、課程學(xué)分：10學(xué)分6、課程類型：必修課7、先修課程：初等數(shù)學(xué)8、考試（考核）方式：考試9、適用專業(yè)：全院理工類各專業(yè)程結(jié)構(gòu)1、極限與連續(xù)（學(xué)時(shí)）連續(xù)函數(shù)的最大(小)值定理與介值定理,函數(shù)的概念與復(fù)合函數(shù)。無(wú)窮大與無(wú)窮極限的運(yùn)算，初等函數(shù)，映射，基本初等函數(shù)，初等函數(shù)。重點(diǎn)：數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念，極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限，無(wú)窮小的比較，函數(shù)連續(xù)性與間斷點(diǎn)，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最大小)值定理與介理，函數(shù)的概念與復(fù)合函數(shù)。難點(diǎn)：極限存在準(zhǔn)則,閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。2、一元函數(shù)微分學(xué)（知識(shí)點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的定義率，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，隱函數(shù)、參數(shù)方程求化率，函數(shù)微分，拉格朗日中值定理，羅必塔法則，函數(shù)單調(diào)性與，函數(shù)極值與最值問(wèn)題。函數(shù)的可微性與連續(xù)性的關(guān)系，函數(shù)的線性組合、積、商的求導(dǎo)法則，反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，高階導(dǎo)數(shù)，微分中值定理，與最值問(wèn)題，曲線的曲率。重點(diǎn)：相關(guān)變化率定義,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，隱函數(shù)、參數(shù)方程求導(dǎo)，相關(guān)變極值與最值問(wèn)題。難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)定義，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，隱函數(shù)求導(dǎo)，相關(guān)變化率，微分中值定函數(shù)極值與最值問(wèn)題。3、一元函數(shù)積分學(xué)（知識(shí)點(diǎn)：積分的概念，積分學(xué)中值定理，微積分基本定理，分法，以及定積分在幾何及物理學(xué)中的應(yīng)用。幾種特殊類數(shù)的積分，反常積分，平均值。重點(diǎn)：本章的重點(diǎn)是積分的概念，積分學(xué)中值定理，微積分基本定理，換分法與分部積分法，以及定積分在幾何及物理學(xué)中的應(yīng)用。難點(diǎn)：定積分的應(yīng)用。4學(xué)時(shí)）知識(shí)點(diǎn)：微分方程基本概念，可分離變量微分方程，一階線性方程，線二階常系數(shù)線性微分方程，可用變量代換法求解的一階方程，可降階的二階微分方程。重點(diǎn)：基本概念，可分離變量微分方程，一階線性方程，線性微分方程解的結(jié)構(gòu)常系數(shù)線性微分方程。難點(diǎn)：二階常系數(shù)微分方程，微分方程的應(yīng)用。5、向量代數(shù)與空間解析幾何（學(xué)時(shí)）知識(shí)點(diǎn)：向量的概念，向量的加、減法，向量與數(shù)量的乘法，直單位向量，方向余弦與方向角，向量間的夾角，平面的一般方程，直線的參數(shù)，母線平行于坐標(biāo)軸的柱面方程，空間曲線的參數(shù)方程。難點(diǎn)：平面的方程，直線的參數(shù)方程。6、多元函數(shù)微分學(xué)（知識(shí)點(diǎn)：多元函數(shù)概念；偏導(dǎo)數(shù)和全微分的定義；多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)：一個(gè)方程的情形；微分法在幾何上的應(yīng)用：空間曲線的切平面與法線；多元函數(shù)的極值及其求法，條件極值的連續(xù)性、方向?qū)?shù)與梯度。全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)隱函數(shù)求導(dǎo)公式：方程組的情形是選講內(nèi)容。隱函數(shù)求導(dǎo)公式：一個(gè)方程的情形；微分法在幾何上的應(yīng)用：空間曲線的切線平面，曲面的切平面與法線；多元函數(shù)的極值及其求法，條件極值求法。難點(diǎn)：多元函數(shù)概念；偏導(dǎo)數(shù)和全微分的定義；多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法一個(gè)方程的情形；微分法在幾何上的應(yīng)用：空間曲線的切平面與法線；多元函數(shù)的極值及其求法，條件極值求7知識(shí)點(diǎn)：的概念與性質(zhì)、二重積分的計(jì)算法（二重積分的換的面積，平薄片和空間物體的重心坐標(biāo)及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等。能利用直角重積分，利用二重積分、三重積分計(jì)算平面薄片或空間物體對(duì)一質(zhì)引力。重點(diǎn)：的概念與性質(zhì)、二重積分的計(jì)算法。利用直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分。利用二重積分，三重積分計(jì)算曲面的面積，平片和空間物體的重心坐標(biāo)及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等。難點(diǎn)：的概念與性質(zhì)、二重積分的計(jì)算法。利用柱面坐標(biāo)與球面重積分。利用二重積分、三重積分計(jì)算曲面的面積，平薄片和空間的重心坐標(biāo)心及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等。8、曲線積分與曲面積分（知識(shí)點(diǎn)：質(zhì)量問(wèn)題提出的第一型曲線積分與第一型曲面積分概念及計(jì)算，式及計(jì)算。重點(diǎn)：線積分與第一型曲面積分概念及計(jì)算，第二型曲線積分和，計(jì)算，格林公式，曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，格林公高斯公式。難點(diǎn)：線積分與第一型面積概念及計(jì)算，第二型曲線積分和第二面積分概念及計(jì)算，格林公式及積分與路徑無(wú)關(guān)的條件，高斯公式。9學(xué)時(shí)）知識(shí)點(diǎn)：級(jí)數(shù)收斂的必要條件，正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法，交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法，級(jí)斂，冪級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)、收斂半徑與收斂區(qū)間，函數(shù)展數(shù)的概念，無(wú)窮級(jí)數(shù)的性質(zhì)，傅里葉級(jí)數(shù)，傅里級(jí)數(shù)的2L重點(diǎn)：的必要條件，正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法，交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法，級(jí)數(shù)的條件收斂，冪級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)、收斂半徑與收斂區(qū)間，函數(shù)展開成數(shù)。難點(diǎn)：件，正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法，交錯(cuò)級(jí)數(shù)審斂法，級(jí)數(shù)的冪級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)、收斂半徑與收斂區(qū)間，函數(shù)展開成數(shù)。程資料教材：.20021、同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系和武漢科技學(xué)院數(shù)理系編《微積分》學(xué)習(xí)指導(dǎo)書.北京:高等教育出版社,2001年7月2、工科教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)編.《高等數(shù)學(xué)釋疑解難》.北京:高等教育出版社,19923、錢本昌著.《高等數(shù)學(xué)解題過(guò)程的分析和研究》.北京:科學(xué)出版社,1999年5編制：吳海輝 第一章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用例1設(shè)f(x,y)(x2y2)sinlimf(x,y)0(x,y)(0,0)x2y2

f(x,y)0(x2y2)sinx2y

0x2y2可見，對(duì)應(yīng)任意的正數(shù)ε，總存在正數(shù)δ，取0(x0)2(y0)即P(x,y)∈D∩u(o,δ)時(shí)，總有

f(x,y)0

lim(x,y)(0,0)

f(x,y)0例2求 lim sin(xy)(x,y)(0,2)limsin(xy)lim((x,y)(0,2)

sin(

y)122（x,y)(0,2)二、偏導(dǎo)數(shù)zx23xyy2例1求 2x3y 3x2y 21328 22) （（e)e f(x) x' '（（logax)31227yx1 1 （)（xn)'nxni （cosx)'sinx（lnx)''(y)

（sinx)'cosx1例2求

z(1xy)yz(1xy)yeln(1xy)

z

e

y

1

y2

ze

[ln(1xy)y

1

y]例3求解由于

y222 22 z （22）

（22)(

2

2

zx2y例4曲線 x2yz

z x2 解：由于xy4 z5故tanα=1，α=450 zxln(xy)例5設(shè) 求x2y ln(xy)x

yln(xy)2zx2

zxx

y

3z

2zyx2

)0例1計(jì)算函數(shù)

zx2yy

z2xy

2xydx(x22y)dylnlnx)xyxxy))xlnxxyz 例2計(jì)算（1.04）2.02的近似值F(x0+⊿x,y0+⊿y)≈f(x0,y0)+,fx(x0,y0)⊿x+fy(x0,y0)⊿y取(x0,y0)=(1,2) ,⊿x=0.04 ,⊿y=0.02f

(e

x1 0 (1.04)2.02120.0401.08例1設(shè)

xy

esinyecos1exy[ysin(xy)cos(xy)]

esinxecos1exy[xsin(xy)cos(xy)] xyz xyz f(,)zzsint ee(sint)cost例2設(shè)

f(xyz,xyz),f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)，求x

2

2

f1fyz fyzf ) zx

)fy

1f

xyyz(f

xyf

1)fyf (xyyz)f 例3設(shè) z dt t t

dtet(costsint)cost 2zx2y2z24z0 求x2F(x,y,z)x2y2z24zF

2x

F

2z4JJx--y2(2z4)02(2x)(2z)x

2z2z

FF

2FFFFF2 F38(2z)3 (2z)3

例2設(shè)

yx0

yx

0

xyx yx xy xx2y2-

-x-y

---xy

J()xJ

xyx2y2yxx2y2xyy yyxy y

Jx

x2y

-y x-y- y--x-y

J()J

xyx2y2

J()J

xyx2y2f(2)

424222t

221(，，)333例2求曲線x2y2z26，xyz0在點(diǎn)（1，-2,1）處的

x2y2z26xyz0dydz1 JJ(y)yz-xzxz-11

J(z)

-1

yx dx J

zxyz0

dx dx J1

xyyzx-1 y(2) 1 0 1(x1)0[y(2)](1)[z(1)]0例3求旋轉(zhuǎn)拋物面

xz0zx2y21

F(x,y,z)x2y2z1n(F,F,F)(2x,2y,1) n(2,1,4)(4,2,1) 4x2yz60x-24

1

z41 求函數(shù)f(x,y,z)xyyzzx解：與L同向的單位向量為：

e(cos600,cos450,cos600)(f(1,1,2)(yz) 3

212

y1ff(x,y)xy

f(1,1,2)(xz)

(,1,f(x,y,z)cosaf(x,y,z)cosl(1,1,2) f(x,y,z)cos 解;設(shè)(532)gradx 2x (x2y2)2

(x2y2)2

gradx2y

(x2y

2y(x2y2)2

例3求曲面x2y2z9在點(diǎn)P(1,2,4)的切平面和法線方程。解：設(shè) f(x,y,z)x2y2z

(1,2,4)

(1,2,4)2i4jkf(x,y,z)9故P點(diǎn)的切平面方程是：

在點(diǎn)P的法線方向。 f(x,y)3x6x90故得故得x1=1,x2=-3;y1=0,y2=2 f(x,y)3y6y0即2x4yz14在點(diǎn)P的法線方向是：

x12tz4t 設(shè)f(x,y,z)x3xy2zp(1,1,0)，問(wèn)f(x,y,z)zp處沿什么方向變

f(x,y,z)

即f(x,y,z)(1,1,0)2i-2jk

,,

2i-2jk

-2i2jk

f(1,1,0)22(2)2(1)23例1求函數(shù)

x Afy(x,y)6x6 Bf

(x,y)0 Cf(x,y)6y6在點(diǎn)（1,0）處，由于ACB21260又A>0,ACB2-1260

在點(diǎn)（-3,2）處，由于ACB2-12（-6）0又A<0,例2求表面積為a而面積最大的長(zhǎng)方體的體積

2xy2yz2xza2（x,y,z)2xy2yz2xza20Vxyz

(x0,y0,z0)L（x,y,z)xyz(2xy2yz2xza2)

Lyz2y2z0xLxz2x2z0yLxy2y2x0xyz（x,y,z)0

2y 20 2x20x x2 0 xyz

aa

xyz

a

時(shí)體積最大，且v

a

第二章重積分xyd [[xy]1dx 1 21例1計(jì)算

D 1 坐標(biāo)變動(dòng)范圍是區(qū)域：[1,2]。在此區(qū)間上任意取定一個(gè)x值，則D上y坐標(biāo)y=1到y(tǒng)=x

2x 2 12

(x3x)dx

1124

x4

x]2

例2計(jì)算

由于積分區(qū)域D是y型的,D上點(diǎn)的y坐標(biāo)變動(dòng)區(qū)域是：[-1,2],x坐標(biāo)變動(dòng)區(qū)域是：dd]d[xyd [y[(y2)y]dy[y4y4yy)dy[e 2 2 e]d 2

1[x2y]2

12

12

例3計(jì)算

11[y424e-x2y2

4 1 y32y2 y6]23 6

由于ex2dx不能用初等

在極坐標(biāo)系中，閉區(qū)域D可表示為：0 axsinycos

02故：e-x2y2dxdye2dda 2[1ae220a d(2)[e2]a(1ea2)例1計(jì)算三重積分

xdxxdxx[(1x)yy]x[(1x)1x 1x (

[z]

2dx 2

1142

x2

23

14

148 例2利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分：

z4dd[z] 1dd(16)d]0d 設(shè)：xsin ycos2

zdz2

24 2

d

2

1220

[82

16

621264d6420 3 xrcossinyrsincos注：利用球面坐標(biāo)求三重積分時(shí)，zrcosdvr2sindrdd

f(x,y,z)dxdydzf(r,,)r2sindrdd

ydsx14xdx（xyz)ds（xyz)ds（akt) 2 yzdt x2(akt)(asint)(acost)kdtaak2 k) k(a axydx例1計(jì)算yds，其中L是拋物線y=x2上點(diǎn)O(0,0)與點(diǎn)B(1,1)之間的一段yx2(0x1)

x2

1(y)2dx

14x2dx

12[212例2 (14x2)2]1 (551) ，其中L為螺旋線x=acost, 22 22 0 2(a2k2t2)dta2k2[a2t

例1計(jì)算 xxdx-xdxx3dx2xdx2[xydxyd(y)2ydy[2xydxxdy(2x?xx?2x)dx1 由于yx不是單調(diào)函數(shù)，

y-x，x從1變到0；在y-xxydxxxdx

25 x2]5 2xydxx2dy例2計(jì)算

25

45 2 L 2xydxxdy(2y2?y?2yy4)dy12xydxxdy0dy1(xy)dxdyPdxQdy Q Pedxdyxe dyL

2xydxx2dy

2xydxx2dy D例1計(jì)算

Q P

ey222012

1

例2求橢圓x=acosθ,y=bsinθ所圍成的圖形的面積A。

A 1ydxxdy 1而取p=-y,Q=x則Adxdy1(Q2 D 22L 20

abdab

P

（x,y)(x0,y0)

P(x,y)dxQ(x,y)dyC例1解方程（5x43xy2y3)dx(3x2y3xy2y2)dy0解：設(shè)P(x,y)（5x43xy2y3) Q(x,y)(3x2y3xy2y2)P 6xy3y2 0

3 1 3 2 3 2 （5x3xyy) （3xy3xy(y)

3x2y3xy2y

'(y)y(y)1

y3C 積分

p

Q例1計(jì)算曲面積分

x2y2z2a

f(x,y,z)dsf(x,y,z(x,y)1zzdxdyxdydzydzdxzdxdyzdxdyxdydzydzdx平面zh (0ha)截出的頂部。za2-x2-y2（x,y)x2y2a2h22

ds

a

x

y

a

ax

y

1ds2d

a2a2h2

ax2y2 a2x2d2alna22

ya

例2計(jì)算曲面積分 x2dydzy2dzdxz2dxdy c2aba2bcb2ac(abc)abc

)dvPdydzQdxdzRdxdyddd（sinz)dz9 cosycoszcos)ds （x

)dv(PcosQcosRcos)ds例1利用高斯公式計(jì)算曲面積分Pyz

Q0

R0(yz)dydz(sinz)dddz2 2 2 例2計(jì)算曲面積分2 (x2cosy2cosz2cos)ds （xcosycoszcos)ds 2 2 1z2ds

h2dxdyh

4

1 D（x2cosy2cosz2cos)ds

h4h4

第三章無(wú)窮級(jí)數(shù)ssnnn?(1)11 s1 lim 1例1證明級(jí)數(shù)

123n是發(fā)散的。

s123n因級(jí)數(shù)123n的前n項(xiàng)和為：

s123nlimslimn(n1) 例2判斷級(jí)數(shù)的收斂性：

解：由于級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和為 1?2

2?3

3?4

(

)(

)(

)(

n

lim(1

)1 l (0l)limlimsinn 1 n和 n都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)， n

nn收斂。n

l0

或limn

)且級(jí)數(shù)

n發(fā) 例1判定級(jí)數(shù)sinlim

10

n

limn

n1例2判斷級(jí)數(shù)的收斂性：1010 10 10(n1)!limlim lim 10n1limn1 n 10n10n 110

n1解：因 n

2(1)

1n

n0n

n

np（0),P1

例4判斷級(jí)數(shù)收斂性ln(11limlimn limnln(1n2 n

n2

)10 n n1 (n1,2,3)（1）n lim 0（2）n n各項(xiàng)的絕對(duì)值所構(gòu)成的正項(xiàng)級(jí)數(shù)

例判斷級(jí)數(shù)的收斂性

n2n1sin(na)n2

n2 1 sin(na)

n2收斂，故級(jí)數(shù)

n1

2

n2 lim1aaxaaxaxax 2

n1

n n 0 1 2 alim aR0

00x

x2

(1)

xn

n

aa1

limn11n-1

x

x2

(1)

xn

ff(0)f'(0)x

f"(0)

x2

fn(0)

xn

R(x)

f(x)f(0)f'(0)x

f"(0)

x2

fn(0)

xn22．設(shè)曲面zf(x,y)與平面yy0的交線在點(diǎn)(x0,y0,f(x1．設(shè)f(x,y)在點(diǎn)(a,b)處的偏導(dǎo)數(shù)存在，則limx0

f(ax,b)f(ax,b)=

A、0；B、f(2a,b)；C、f(a,b)；D、2f(a,b)。 o,y0))處的切線與x軸正向

(x0,y0)cos

(x0,y0)cos( )

(x0,y0)tg

(x0,y0)tg( )3。 3．lim 0是級(jí)數(shù)u

n n04．在區(qū)域D：0yR2x2上的xy2d值為 A、R2；B、4R2；C、R3；D、0。5．下列函數(shù)中，哪個(gè)是微分方程dy2xdx0的解A、y2x；B、yx2；C、y2x；D、yx2。二、是非判斷題（15分）

=0，其中L為圓周x2y21按逆時(shí)針轉(zhuǎn)一周（）

均存在，則(x,y)沿任何方向的方向?qū)?shù)均存在（）xdydzz3．以f(x,y)為面密度的平面薄片D的質(zhì)量可表為

f(x,y)d。（）4．f(x)在(0,]上連續(xù)且符合狄利克雷條件，則它的余弦級(jí)數(shù)處處收斂，且[0,]上收1．設(shè)f(x2y2,exy)，其中f具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求2．已知yzzxxy1，確定的zz(x,y)，求dz。

(x

2y2)dxdydz的值，其中為曲面x2y22z和平面z2所圍

xdyydx在右半平面(x0)內(nèi)是某個(gè)函數(shù)的全微分，并求出一個(gè)這x2y2

dxdy，其中為zx2y2和z1所圍立體邊界的外側(cè)。yysin2x0

n0

答案1、D；2、C；3、A；4、D；5、B。1、×；2、×；3∨、；4、∨；5、×。1．uf2xf

yexy……4分

2x[f(2y)fxexy]yexy[f

(2y)f

exyf

2．Fyzzxxy1……1分FzyxFzx……3分yFyx F zyxFxyx

exyf

FF

zxyx

dzxy

[(yz)dz(xz)dy]……6分四、(10分)(x

2y)dxdydzdd 16……10分x2y

x2y

xdydzz2drdr(rcosz)dz……8分 2P

(x2y2)2

x2y2u(x,y)(x,y)(1,0)

xdyydx……8分yx2y

arctg

arctg

六、（10分）2 2dxdy(2x2z)dxdydz……4分 r2……10分七、（12分）r210ri……2分設(shè)此方程的特解為：y*Acos2xBsin2x代入原方程得A0 1……6分 故此方程的通解為：yc1cosxc2sinx代入初始條件c

1 特解為：ycosxsinxsin2x……12分3

n

n11R1……2分n2n0n1 n0(xS(x))xnn0

(x1)xS(x)01x

(1x1)……8分當(dāng)x0時(shí)，有S(x)ln(1x)S(0)lim x01ln(1x),x[1,0)(0,1)S(x)x

1．下列級(jí)數(shù)中為條件收斂的是（ n1

n

n2

（C）(1)nn1

(1i)n2n

（D） nln(11)n2n12．設(shè)F()Ff(t)，則F f(t)（

（A） （B） （C）j （D）j3．z為函數(shù)f(z)zsin的（

（A）一級(jí)極點(diǎn)(B)二級(jí)極點(diǎn) (C) (D)4．積分

sint

dt

)

（C）

（D）25．方程z53z210在1z2內(nèi)的根的數(shù)目為（ （A） （B）2 （C）3 1．函數(shù)f(z)ez1

2．留數(shù)Resz(z1),=

0x3．設(shè)f(x)22x,1x1

S則S()= 4．Fourier變換Fu(t)e2t

(t)

f(z)z2(z1)

1z

內(nèi)的

urent

展開式是 SS(x)t dt xnxn1．求冪級(jí)數(shù)n

的收斂區(qū)間與和函數(shù)S(x)2．設(shè)C為z2的正向，求積分I3．計(jì)算實(shí)積分Ixsinxdx。 x29

dz。2．求Laplace變換L

tte2tsin3tdt。 3．設(shè)F(s)s22s1s(s1)2

f(t)，a為非零的常數(shù)，證明：Ff(at)

a

F()。a六、(10分)解積分方程：y(t)2t2tsin(t)y()d。大學(xué)數(shù)學(xué)（三）A參考答案（050113）1.A 2.C 3.C 4.B 1.2ki(k0)，

2.e1，3.，

2j

5.n0zn3

limn

limnn1

1,

R11

n1 n1

(1)n

n1 n1 n1

dtln(1x),1x1.2.2.解原式＝ 6s12 tte2tsintdt1 s(s24s13)2

ezzcosz

11 11 4!z3

zcosdz2ic

i

ez

ez,0] | （z1)2z0

ez

ez,1](

z2

0原式=

ez

I1xsinx2x29

dxIm(1xeix2x29

z29

Res[f(z),3i]e3I

(z29)

e3

xeixx29

dx2i

e3

1.

() (tu(t)e2t

ej3tej3t

(u(t)e2t)2j

(tu(t)e2t)

1d jd2j

(2j)2

(tu(t)e2tej3t)[2j(3)]2

(tu(t)e2tej3t)[2j(3)]2

F(){2[2j3j]2

[2j3j]2

(2j)29[(2j)29]2

2.

sints29

e2tsint (s2)29

s24s13,

(t)e2tsint )dss24s13

3(2s4)(s24s13)2

((f(at))((f(at))Res[Res[F(s)e,1] ))e(s2)et((5)}2t3. 解 F(s)有一級(jí)極點(diǎn)s0,二級(jí)極點(diǎn)s1,Res[F(s)est,0]

(s22s1)est(s1)2

s0

1,(s22s1)est s |(1s s2

1 s

2et2tet,f(t)1(F(s))12et2tet (t0).當(dāng)a0時(shí),

f(at)ejtdt= F()a a

|a|

aF()。a

a

dx1af(x)ejaxdx當(dāng)a0時(shí),

f(at)ejtdt= F()a a

|a|

aF()。a

a

dx1a

f(x)ejaxdx六、解改寫積分方程為y(t)2t2sinty(t)，2分令Y(s)[y(t)](s)，兩邊取Laplace變換，得：Y(s)2s3

s21

s35),

y(t)4{2!

(3)

2

t4

1．下列級(jí)數(shù)中為條件收斂的是（ （A）(1)nn1

n2

n1

（C）(1)nn1

(43i)n

（D） ntan(1)n2n1

)f(t)。（A）jt （B）jt （D）j3．z為函數(shù)f(z)cos的（

（A (B) (C)本性奇點(diǎn) (D)4．積分+0

e-2tsin(3t)dt=(（B）

)

5．方程z48z60在1z3內(nèi)的根的數(shù)目為（ （A） （B）2 （C）3

sinzez1

2．留數(shù)Res4z1,=

0x3．設(shè)f(x)22x, x1 則S()=

S4．

+(t+)sintdt=-

．實(shí)函數(shù)2x 在x0 處的Taylor 展開式是2x= 1．求冪級(jí)數(shù)(n1)(x1)n的收斂區(qū)間與和函數(shù)S(x)。n12．設(shè)C為z2的正向，求積分I(

ezz(z1)3zsin

3．計(jì)算實(shí)積分I

x2(x21)2

dx。(5.5. x， lnn2 1．將f(z)

1

分別在0|z1|1與1z內(nèi)展開成Laurent級(jí)數(shù)。

t3u(t)e2tcostsint。 3．設(shè)F(s)s22s1s2(s1)

五、(8分)求Laplace變換

te3

sin2d。六、（5分）設(shè)F(s)f(t)，利用卷積定理證明：

tf()dF(s)。 七、(10分)解微分方程：y(t)y(t)tcost, y(0)y(0)0。大學(xué)數(shù)學(xué)（三）A參考答案（060114）1.B 2.A 3.D 4.A 1.2ki(k0)，

2.03.，

4.1，

nn!n0

tx1

n1

limn

limn

1,

R11當(dāng)x1時(shí)，(1)n(n1)發(fā)散，原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為(0,2),n1n1

n

n1

n1

2tt2(1t)2

S(x)(n1)(x1)nn1

4x3x2(2x)2

2.解原式=

ez

dz

ez

dz2i{Res[

ez

ez,0] | 1,（z1)3z0

ez

ez ,1]( )|, 原式2i(1). z1 1 3．解I 2(x21)2

z2

在上半平面內(nèi)有2級(jí)極點(diǎn)zi 2Res[f(z),i]

I2i

1. 解 在 0|z1|1 內(nèi)

1 z1z11

z1n0

n1n0在1|z|內(nèi)，f(z)

1 z

(1)nzn3。n0

(u(t)e2t)2j

(t3u(t)e2t) (j)3d3 2j

(2j)4

F()1[j

(t3u(t)e2te2jt)

(t3u(t)e2te2jt)] 2[2j(2)]4

2[2j(2)]4

3.解F(s) s1ss2,

f(t)

F(s)2et1t.

2s 2s24

d 1 1 s 1 14s2tsin2tds(2s2s24)2s22(s24)2,1 s26s5e3ttsin2t2(s3)22(s26s13)2,F(s)2s(s3)2

s26s52s(s26s13)2

六、證tf()d1f(t),0tf()d

1f(t)

f(t)

F(s).（（B）(1) （C）(1)(43i)Y(s)1 1d(1),s2 s212dss21s2

s，s21y(t) 1(2)

1)s21

1(d(1))tsint1tsint。dss21 1．下列級(jí)數(shù)中為絕對(duì)收斂的是( )。n1

n1 f(t)，則f(t)＝(

nn2

（A）2 （B）t2 （C）2j （D）2jt3．z為函數(shù)f(z)ez1的（

（A (B)4．積分+te2tsin(3t)dt=(

)

(C)本性奇點(diǎn)

(D)（A）

（D）5．方程z53z310在1z2內(nèi)的根的數(shù)目為（ （A） （） （C）3 1, x01．設(shè)f(x)1x2,0xS()=

的Fourier級(jí)數(shù)和函數(shù)為S(x)，則

z21

3．留數(shù)Res,=

4．設(shè)C為z2的正向，則積分

1e1zdz＝

11ff(t)ettf()df()d。5．對(duì)應(yīng)Laplace變換的卷積tet=6.Fourier變換(t)cost=

n1ln(1n)

斂域。2．設(shè)C為z2的正向，求積分

cos(z）sinz

]dz。3.計(jì)算實(shí)積分I

sinxcosxdx。x22x5 ,0。1．將f(z)

分別在0|z|1與1z1內(nèi)展開成Laurent級(jí)數(shù)。2．設(shè)f(t)cost,|t|，求Fourier變換F()=0, 3．求f(t)tnu(t)etsintcost的Laplace變換F(s)。五、(8分)設(shè)F(s)

2s12，求F(s)的Laplace逆變換f(t)。(s21)六、（8

分）設(shè)f(t)在[0,)內(nèi)連續(xù)，解積分方程： 七、(6分)設(shè)an1

dx，證明：級(jí)數(shù)(1)nan為條件收斂。n1大學(xué)數(shù)學(xué)（三）A參考答案（061216）1.D 2.A 3.D 4.C 1.2

，2.(2k1)i,(k1,1)，3.1e，4.2i，5.ett1，6.1 1.解令tx1，lim

ln(n1)limnln(n2)

1,R

ln(n1) n1n n1ln(n1)ln(n1)nln(n1)

0,

n1

nln(n1)n1

tn的收斂域?yàn)閇-1,1)，ln(1n)

n1ln(1n) 原式=

0Res 14i

1 IIm(2x22x5

Res[f(z),12i](z22z5)

z12i

e4

e4x22x5dx 2(cos2isin2),，

I

e4

4．解z0是f(z)

z,0＝lim

＝lim

(sinz)2

＝lim

2＝limz0

1.解在0|z|1內(nèi)，

11 12 n0

n0

nzn2在 1|z1| 內(nèi) f(z)

z(z1)2 (z1)311z1

(z1)3

n0

n0

(1)nn3。ssn1,解

f(t)＝ejtejt 12sin(),

dt＝（

ej(1)tj(1)

ej(1)tj(1)

F()

f(t1)ej

sin()。n!3.解（方法1）tu(t)n F(s)＝1 tnu(t)e(12j)ttnu(t)e(12j)t＝ 4

1 n! n! 4j(s12j)n1 (s12j)n1

2s24

4js2j s2j

etu(t)sintcost 4j(s12js12j)，F(xiàn)(s)

1 (1)ndsn

1 n! n! 4j(s12j)n1 (s12j)n1五、解F1(s)

2s(s21)2

[sint](s)[tsint](s),

F2(s)

(s21)2

1d 2s212dss21

(F2(s))

f(t)

(F(s))1(F1(s))1(F2(s))tsintsinttcost。 六、解改寫積分方程為f(t)ettf(t)，2分令F(s)[f(t)](s)，兩邊取Laplace變換，得：F(s)

1 s1s2F(s)，F(xiàn)(s)＝

s2(s1)(s1)2

,f(t)

1(31111 4s14s12(s1)2

3 )etet4

七、證明由于an1

dx

且0an1xn0

，liman0,n1n

故級(jí)數(shù)(1)nan為收斂。n1dxdx因此級(jí)數(shù)因此級(jí)數(shù)(1)nan為條件收斂。（（B）(1)ln(12)又an

xndx

1 2(n1)n1

n1

an發(fā)散，1.下列級(jí)數(shù)中為條件收斂的是( )。n1

inn

（C）(1)nn

nn n1

（D）(1)ntan(n1

1)n22.z為函數(shù)f(z)2z3coszz2

（A (B) (C)本性奇點(diǎn) (D)3.積分+(t1)sin(t)dt=( （A）0

)

（D）14.方程z54z320在z1內(nèi)的根的數(shù)目為（ （A） （） （C）3

an和

bn滿足：anbn,n1,2,

,(

)。n n n (C)當(dāng)級(jí)數(shù)

an發(fā)散

an發(fā)1．函數(shù)f(z)

sinzez1

1, x02．設(shè)f(x)1x2,0x

的Fourier級(jí)數(shù)和函數(shù)為S(x)，則13．留數(shù)Res[e1z,1]=

e2xylor5．對(duì)應(yīng)Laplace變換的卷積tt=

F()。ez1．設(shè)C為z2的正向，求積分[

(z2)cos

]dz。2．求冪級(jí)數(shù)n(x2)n的收斂域并求和函數(shù)。n03.計(jì)算實(shí)積分I

0x41

sin(2z)4．計(jì)算留數(shù)Resz2(z1),。1．求f(t)te2cos3d的Laplace變換F(s)。2,2t02．設(shè)f(t)2,0t2，求Fourier變換F()=0,

f(t2)。3．將f(z)(z1)(z2)

分別在0|z1|1與1z2內(nèi)展開成Laurent五、(8分)設(shè)F(s)

s2s1s(s1)3

六、（8 分）設(shè)f(t)在[0,)內(nèi)連續(xù)，解積分方程：在上半平面內(nèi)有在上半平面內(nèi)有1級(jí)極點(diǎn)z1e,z2e1costf(t)t(t)f()d。七、(6分)設(shè)an

1(sinx)n0 1x

andx，證明：對(duì)任意0，級(jí)數(shù)(1)n 為絕對(duì)n1 1.2ki(k0)，

2.0，

3.1，

4.e2n0n!

(x1)n，

t3

，6.1.ez原式＝ ,0Res

12i02ic n12.解limn1lim 1,Rnc n n0

1,而n1

n(1)n發(fā)散，n0

n0

(3x)2

1分1

x41

f(z)

z41

(z41)

k,(k1,2),I1

2i(

.2(1) etcos3t ((s2)29)2,2ejtdt ejt dt2dxdxxdx 1sin(2z)4.解Resz2(z1) sin(2z),Res z2(z1) sin(2z),0Res z2(z1),1 z1

sin(2z)z2

2sin2.1.

cos3t

s29

s29

s29(s29)2,(s2)292t

s24s5F(s)s(s24s13)22.

F()

22ejt2 f(t2)e2j4(1cos2).

ejt

3.解f(z)

(z1)(z2)

z1

在0|z1|1內(nèi)，f(z)

2 (z1)1 z1

n0

n(z1)nz1

在 1z2 內(nèi) f(z)

2 (z2)1

z2n0(z2)n1

z2n0(z2)n2

五、解F(s)

s2s1 1 1 s(s1)3 s s1(s1)3

f(t)1(F(s))1()1(

1)s1

(s1)3)1e－tt2e－t。 s21F(s)2F(s)，F(xiàn)(s)＝

(s21)2

11 2s21

（sint)(s)（tsint),f(t) 七、證明由于0an

1(sinx)n0

n1

則當(dāng)n1,2,

,時(shí)，有

(1)nann

1 1，n(n1) 又當(dāng)0時(shí)，級(jí)數(shù) n1

(1)nan為絕對(duì)收斂。 1、已知向量a、b滿足ab0，a2，b2，則ab

3、曲面x2y2z9在點(diǎn)(1,2,4)處的切平面方程為 ，在x處收斂于 5、設(shè)L為連接(1,0)與(0,1)兩點(diǎn)的直線段，則(xy)ds 2x23y2z291、求曲線z23x2y2

0

2、求由曲面z2x22y2及z6x2y2所圍成的立體體積．3、判定級(jí)數(shù)(1)n

4、設(shè)zf(xy,)siny，其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求

其中是球面

x2y2z2a

2

被平面zh(0ha)截拋物面zx2y2被平面xyz1截成一橢圓，求這橢圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離計(jì)算曲線積分(exsinym)dx(excosymx)dy，其中m為常數(shù)，L為由點(diǎn)A(a,0)至原點(diǎn)O(0,0)的上半圓周x2y2ax(a0)．求冪級(jí)數(shù)

xn3nn

其中為曲面z1x2y2(z0)的上側(cè)．設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，f(0)a，F(xiàn)(t)[zf(x2y2z2)]dv，其中t是由曲面zx2y2與zt2x2y2所圍成的閉區(qū)域，求limt0

F(t)．t3------------- 3，0；5、2.

分】1、4；2、

；3、2x4yz14；4、 3y

zdzzdz

x

，從而

1,1,2))|un1|,lim|u(2)]dzdz2(632)d6……..【7】

4z

57 處的切向量為T(1,4,8)8(8,10,7).…………..【5】

10

z2

法平面方程為 z2x22y2２、解：z6x2y2

x2y22，該立體在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈

:x2y22．…..【2】 Vdv2d2d62 0 0 22 ３、解：由limnun

1 1 limnln(1)limln(1)n10，知級(jí)數(shù) n n n n

又|u|ln(1)ln(1

n

|limln(1)0.故所給級(jí)數(shù)收n

(fyf1)0yf

2z

fy[fxf1 11

y2

2

xf21

(2)]22 L2y2y0fxyf y2 ５、解：的方程為za2x2y2 ，在xOy D

{(x,y)|x2y2a2h2}．

1z2

2

a

a2x2y2，…..………【３】

a2x2y

a2d

a2h2

da2

1 2aln(a22)2

a2h2

a2aln..【7】h三、【9分】解：設(shè)M(x,y,z)為該橢圓上的任一點(diǎn)，則點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離為dx2y2z2……【1】令L(x,y,z)x2y2z2(zx2y2)(xyz1)，L2x2x0y L2z0，解得xy zx2y2 xyz1

13

，z2

313

,23),

13132

,23).…故dmax

|OM2|953,min

|OM1|953.……【9】(esinym)dx(ecosymx)dymdxma…………【8】1nn1n3ss(x)ss(x)s(x)dxdxdxln3x分分】解：取1為z0(xy1)的下側(cè)，記與1所圍成的空間閉區(qū)域?yàn)椋?/p>

(exsinym)dx(excosymx)dymd

8ma2．………a (exsinym)dx(excosymx)dyI

I

ma

8ma2.

alimn1n a

lim

(21n1

故該冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?,3………【5】nn1

xn1 n1

31x/3

03x

（3x3）….【10】 2

z21x2y2z

1 dxdy36dd 2ddsindrcosfr 22r2dr….…【2】2sincosdrdrsindf 1 0 0

z21

z21dxdy3dxdy3 II

I

23.…….…【10】 t0 0 0

r2

822

r2f

r

t0

Ftt3

t0

t3

22t2f(t2)22limf(t2)22a. t0 大題一 dxf