工科數(shù)分課件-第八章廣義積分

§8.1窮區(qū)間上積分的根據(jù)能量守恒定律1mv W是地球引力做以地球中心為原點，垂直向上為xfx)kxR 做 x

F(x)kxF(Rh)F(R)kmM(1 R2F(Rh)F(R)kmM(1 1 R脫離地球引力，h

總R根 1mv

R再 g RR得v0

1122無窮區(qū)間上的廣義積分的基本概念和一、無窮區(qū)間上的積分的基本概念和定義

設函數(shù)fx)在[a,)上有定義，對a,A 可若lim

fx)dxMM),則稱M為fx)在[a,)A Aa上的廣義積分(也稱無窮積分)，記為a

fx)dx并a fx)dx收斂，否則為發(fā)散.這alim

f(x)dx

f(A A同理可定義(1)

f(x)dx

lim

f(bb bb無窮區(qū)間上的廣義積分的基本概念和計例計算廣義

1sin1 x 1sin1 x

1221xd1x

b

1d1 lim

1

xlimcos1cosb

26無窮區(qū)間上的廣義積分的基本bb

f(x)dxba bc

f(x)dx

f(x)dx

f(x)dxc

f(x)dx,cb

f(x)dx

f(

f(x)dx

f當兩個積稱f在(,)上積分收斂（不依賴于兩個積分至少有一個不收斂時,稱該無窮區(qū)間上的廣義積分的基本概念和計實際上AFAA

f(果limF(A) 稱

fx)dx收斂 設fx0,則FA)是關于A的增函數(shù)性質和性質

若 f(x)dx,

x)dx收斂，

,k為任實數(shù)

f(x)

fx)]dx收斂且a1a212 a1a212[kf(x)

kf(x)]dx

f(x)dx

(

1

2 性質1.2設函fx)在[au]上可積，則對bba fx)dx與ba

性質和定理1.1設函fx)在[a,)上可積分，且有a函數(shù)Fx，則有a

f(x)dxF()F

f(x)dxF()Ff(x)dxF()F(),這里，F(xiàn)()limFxF()limF 廣義積分的牛—萊公式,換元,分部也有相應的推廣例所以廣義積

x當p時收斂

p例例 證明廣義積分1dx(a0)當p1時收 x證明

p1時發(fā)散當p1

dx

dx[ln

x

p當p1 x

dx

x11-

1p]1-]

,p命題得證例例2計算無窮廣義積 dx,(2)xex21x 解：(1) dx

1x

1x 1xlim lim

a1x

01xlim[arctan]0lim[arctan]

limarctanalimarctanb xe dx e ] (01) 例3求I

例 (1x2)(1解令x I

t (11)(11)t t

11

(1t2

dt

(1x2

x) 1

dx

(1x2)(1I

dx1arctan

2 1 無窮區(qū)間上的廣義積分的收斂§10.2窮區(qū)間上的積分收斂性無窮區(qū)間上的廣義積分的收斂二、無窮區(qū)間上的積分的收斂性設f定義于[a,)且在任意有限區(qū)間[a, 可積A記F(A) f(A如果limF(A), 稱 xd 設f0,則FA)是關于A的增函數(shù)故有定理

設f0,

判別

收斂定 fxdFA)在[a,)上有界定理2.2（比較判別法設0fx)gx),(充分大xoooo

g(x)dx收斂fx)dx發(fā)散

fx)dx收ag(x)dx發(fā)a常用的比較常用的比較對

p1時收 x

(a

p1時發(fā)3x1例 判別廣義積3x13x3x解 0 3x3xx4/

的收斂性p43 3x43x41

收斂比較判別法的極限形定理2.3（比較判別法的極限形式設fxgx0,且limfx)l g(a1若0la

fx)dx與

aaa2若laaa

gx)dx收斂，則

fx)dx收斂aa 若l＝,且aa

g(x)dx發(fā)散，則

fx)dx發(fā)散例例3討論xp1exdx (p0)的斂散1解：由于當x時 f(x)xp1ex,xp1e x ex于是由

1dx收斂,知原積分收斂x例例2

arctanxdx的斂散性 (1x2)32解當x時f(x)arctanx~ 1g(3(1x2)

x該廣義積分收斂例例 討論下列積分的斂散性ln(1

x

x dx,(

1xqdx(p,q解：(1)若n1,取p1δ,ln(1

ln(1x) 1xx2x2limx2x2

2 x1因此ln(1x)dx收斂 x若p1,則

xp