探索勾股定理 市賽獲獎

探索勾股定理(2)教學(xué)目標(biāo)：1.經(jīng)歷勾股定理的驗證過程，體會數(shù)形結(jié)合的思想和從特殊到一般的思想.2.掌握勾股定理及其驗證，并能應(yīng)用勾股定理解決一些實際問題.教學(xué)重點：用面積法驗證勾股定理，應(yīng)用勾股定理解決簡單的實際問題.教學(xué)難點：驗證勾股定理.教法與學(xué)法指導(dǎo)：學(xué)生上節(jié)課又已經(jīng)通過測量和數(shù)格子的方法，對具體的直角三角形探索并發(fā)現(xiàn)了勾股定理，但沒有對一般的直角三角形進行驗證.本節(jié)課是在上節(jié)課已探索得到勾股定理之后的內(nèi)容，通過拼圖驗證勾股定理并體會其中數(shù)形結(jié)合的思想；應(yīng)用勾股定理解決一些實際問題.本節(jié)課我采用的是“自主探究、當(dāng)堂評價”的方法，通過拼圖的方法，師生共同構(gòu)證明出來勾股定理，應(yīng)用勾股定理解決一些實際問題，提升能力．課前準備：生∶四個全等的直角三角形圖片師∶制作課件一、回顧與復(fù)習(xí)師：上節(jié)課我們已經(jīng)通過探索得到了勾股定理，請問勾股定理的內(nèi)容是什么？生：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果用a、b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a2＋b2=c2師：上節(jié)課我們僅僅是通過測量和數(shù)格子，對具體的直角三角形探索發(fā)現(xiàn)了勾股定理，對一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？生：成立.活動目的：復(fù)習(xí)勾股定理內(nèi)容；回顧上節(jié)課探索過程，強調(diào)仍需對一般的直角三角形進行驗證，培養(yǎng)學(xué)生嚴謹?shù)目茖W(xué)態(tài)度.二、拼圖驗證師：這需要進一步驗證，如何驗證勾股定理呢？(只有預(yù)習(xí)的同學(xué)會一些,因此提示：利用準備好的四個全等的直角三角形圖片,拼出一個正方形)（教師可參與到學(xué)生的討論中，發(fā)現(xiàn)同學(xué)們不足的地方，給予提示和指導(dǎo)）.師：（利用投影機展示同學(xué)們拼的好一些的正方形）ccbbbaacabc(b﹣a)圖1圖2師：這兩個圖形都能夠證明勾股定理,并且這兩個圖形的證明方法幾乎一樣,因此我們共同來證明一個，剩下的一個由同學(xué)們自己給證明出來.那么,我們選擇哪一個呢?生：那就選圖1吧！a師：（課件展示）abbaaabaaabbcccc因此大正方形的面積為________．2.大正方形由個全等的直角三角形和一個組成,因此大正方形的面積還可以表示為.3.以上兩問表示的是同一個正方形的面積,因此這兩者存在關(guān)系,利用這個關(guān)系便能證明出來勾股定理了.那么你能證明出來嗎?bb生1：邊長為a+b面積為(a+b)2生2：4個正方形ab24+c2生3：存在相等關(guān)系(a+b)2=ab24+c2師：很好了！下面我們來證明出來.解：因為S正方形=(a+b)2S正方形=ab24+c2所以(a+b)2=ab24+c2a2+2ab+b2=2ab+c2a2+b2=c2活動目的：為了讓學(xué)生在活動中體會圖形的構(gòu)成，既為勾股定理的驗證作鋪墊，同時也培養(yǎng)學(xué)生的動手、創(chuàng)新能力.師：對于圖2的證明方法幾乎和圖1的證明方法一樣，也是都表示正方形的面積，尋找相等關(guān)系，便能證明出勾股定理了.下面自己做出來,然后小組選出代表來回答.(師巡視,多注意有困難的學(xué)生,給出適當(dāng)?shù)奶崾竞蛶椭?生2：因為S正方形=c2S正方形=ab24+(b-a)2所以c2=ab24+(b-a)2（課件展示圖形）c2=2ab+b2-2ab+a2c2=a2+b2即：a2+b2=c2活動目的：讓學(xué)生利用另一個拼圖獨立驗證勾股定理的目的是讓學(xué)生再次體會數(shù)形結(jié)合的思想并加以運用,體會成功的快樂三、追溯歷史師：這位同學(xué)證明的太好了！其實勾股定理的證明方法有400多種,下面我們就介紹幾種證明方法.1.方法一：三國時期吳國數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時，創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”， 也稱為“弦圖”，這是我國對勾股定理最早的證明. 2022年世界數(shù)學(xué)家大會在北京召開，這屆大會會標(biāo)的中央圖案正是經(jīng)過藝術(shù)處理的“弦圖”，標(biāo)志著中國古代數(shù)學(xué)成就.2.美國總統(tǒng)證法在1876年一個周末的傍晚，在美國首都華盛頓的郊外，有一位中年人正在散步，欣賞黃昏的美景……他走著走著，突然發(fā)現(xiàn)附近的一個小石凳上，有兩個小孩正在聚精會神地談?wù)撝裁?，時而大聲爭論，時而小聲探討．由于好奇心驅(qū)使他循聲向兩個小孩走去，想搞清楚兩個小孩到底在干什么．只見一個小男孩正俯著身子用樹枝在地上畫著一個直角三角形……于是這位中年人不再散步，立即回家，潛心探討小男孩給他留下的難題.他經(jīng)過反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了簡潔的證明方法.

1876年4月1日，他在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對勾股定理的這一證法.師：對于這個題目的證明方法幾乎和圖1和圖2的證明方法差不多，也是都表示梯形的面積，尋找相等關(guān)系，便能證明出勾股定理了.我們課下習(xí)題中也有.3.方法三：據(jù)傳是當(dāng)年畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理時做出的證明.圖1圖2將4個全等的直角三角形拼成邊長為(a＋b)的正方形ABCD，使中間留下邊長c的一個正方形洞．畫出正方形ABCD．移動三角形至圖2所示的位置中，于是留下了邊長分別為a與b的兩個正方形洞．則圖1和圖2中的白色部分面積必定相等，所以c2=a2圖1圖2 4.方法4：我國的“青朱出入圖”,清楚地發(fā)現(xiàn)圖中:小正方形與較大正方形的面積和與最大正方形的面積之間的等量關(guān)系,從而不用運算,單靠移動幾塊圖形就直觀地證出了勾股定理,真是“無字的證明”.圖4圖4圖3圖2圖1圖3圖2圖1活動目的：介紹與勾股定理有關(guān)的歷史，學(xué)生加強了對數(shù)學(xué)史的了解，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；既讓學(xué)生得到充分的鍛煉，同時也活躍了課堂氣氛.四、例題講解初步應(yīng)用BCBC4000例題：我方偵察員小王在距離東西向公路400m處偵察，發(fā)現(xiàn)一輛4000地方汽車在公路上疾駛.他趕緊拿A500A500相距400m,10s后，汽車與他相距500m.你能幫小王計算地方汽車的速度嗎？師：解：有勾股定理得ＡＢ2＝BC2+AC2即：5002=BC2+4002所以BC=3001h行駛了300×6×60=108000﹙m﹚所以它的行駛速度為108km／h活動目的：初步運用勾股定理解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識和能力；體會勾股定理的應(yīng)用價值,把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題并順利解決.五、延伸拓展，能力提升1.議一議:觀察下圖,用數(shù)格子的方法判斷圖中三角形的三邊長是否滿足a2+b2=c2__b_a_a_c_b_c2.一個直角三角形的斜邊為20cm

,且兩直角邊長度比為3:4，求兩直角邊的長.生1：這兩個都不滿足勾股定理.生2：=5205=43×4=12﹙cm﹚4×4=16﹙cm﹚活動目的：學(xué)生通過數(shù)格子的方法可以得出：如果一個三角形不是直角三角形，那么它的三邊a,b,c不滿足a2+b2=c2.通過這個結(jié)論，學(xué)生將對直角三角形三邊的關(guān)系有進一步的認識，并為后續(xù)直角三角形的判別打下基礎(chǔ).六、達標(biāo)檢測1．若△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，則c=；（2）若a=6，c=10，則b=；（3）若a∶b=3∶4，c=10，則a=，b=.2．某農(nóng)舍的大門是一個木制的矩形柵欄，它的高為2m，寬為1.5 3．直角三角形兩直角邊長分別為5cm，12cm，則斜邊上的高為 4．等腰三角形的腰長為13cm，底邊長為10 A．30cm2 B．130cm2 C．120cm七、提高檢測5．一棵9m高的樹被風(fēng)折斷，樹頂落在離樹根3八、知識拓展（學(xué)有余力的同學(xué)課下完成）6．折疊長方形ABCD的一邊AD，使點D落在BC邊的F點處，若AB=8cm，BC=10cm，求EC參考答案：1．（1）13；（2）8；（3）6，8．2．2.5m．3．cm．4．D．5．4m7．3活動目的：設(shè)計分層訓(xùn)練，既滿足了不同學(xué)生的需求，同時也便于老師及時地了解學(xué)生的情況,及時給出指導(dǎo)與評價.九、回顧反思提煉升華師：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么樣的收獲？生1：會證明勾股定理,