抽樣分布與估計(jì)式課件

第7章

抽樣分佈與估計(jì)式第7章抽樣分佈與估計(jì)式1前言抽樣的目的並不意味著我們關(guān)心的焦點(diǎn)是在樣本的資料上。樣本背後的母體才是關(guān)心的重點(diǎn)。以樣本的統(tǒng)計(jì)量（statistic），如樣本平均數(shù)、樣本變異數(shù)等，來推論母體的參數(shù)（parameter），如母體平均數(shù)、母體變異數(shù)等。要達(dá)到此目的，必須知道樣本的統(tǒng)計(jì)量的機(jī)率分佈，以及如何在眾多的統(tǒng)計(jì)量中，選擇最恰當(dāng)?shù)?，以便估?jì)母體參數(shù)。前言抽樣的目的並不意味著我們關(guān)心的焦點(diǎn)是在樣本的資料上。樣本2第一節(jié)抽樣誤差(1)不針對母體進(jìn)行普查的主要原因有：1.母體太大，客觀條件限制。2.無法確知母體的範(fàn)圍。3.破壞性檢測。4.從樣本的結(jié)果已經(jīng)可以有效推知母體。第一節(jié)抽樣誤差(1)不針對母體進(jìn)行普查的主要原因有：3第一節(jié)抽樣誤差(2)估計(jì)誤差抽樣誤差（samplingerror）：任何因?yàn)槌闃又械臋C(jī)遇（chance）所產(chǎn)生的變動。增加樣本數(shù)，可以降低抽樣誤差。使用恰當(dāng)?shù)臉颖窘y(tǒng)計(jì)量來估計(jì)母體參數(shù)，也是降低抽樣誤差的方法之一。適當(dāng)?shù)某闃臃椒?，可以降低抽樣誤差。非抽樣誤差（nonsamplingerror）：一切不是因?yàn)槌闃铀a(chǎn)生的誤差。例如樣本沒有代表性，在資料的蒐集、整理、分析時也可能產(chǎn)生誤差。第一節(jié)抽樣誤差(2)估計(jì)誤差4第二節(jié)抽樣方法(1)抽樣方法隨機(jī)抽樣（randomsampling）：依照隨機(jī)的方式，使母群體中的每一個份子都有可能被抽到。非隨機(jī)抽樣（nonrandomsampling）：取決於研究者主觀的想法或是參照客觀環(huán)境的限制，所設(shè)計(jì)出來的抽樣方法，因此母群體的某些份子完全沒有被抽到的機(jī)會。

第二節(jié)抽樣方法(1)抽樣方法5第二節(jié)抽樣方法(2)隨機(jī)抽樣1.簡單隨機(jī)抽樣（simplerandomsampling）2.間隔抽樣（intervalsampling）3.分層抽樣（stratifiedsampling）4.集群抽樣（clustersampling）5.分段抽樣（stagedsampling）非隨機(jī)抽樣1.配額抽樣（quotasampling）2.判斷抽樣（judgmentsampling）第二節(jié)抽樣方法(2)隨機(jī)抽樣6第二節(jié)抽樣方法(3)簡單隨機(jī)抽樣先將母體加以編號，然後如抽籤般的抽出200位即可。也可以利用均勻分佈所產(chǎn)生的數(shù)值來代替抽籤。如果母群體很大，將母體加以編號恐怕不切實(shí)際。有時研究者並不確知母群體的大小，簡單隨機(jī)抽樣並不見得可行。

第二節(jié)抽樣方法(3)簡單隨機(jī)抽樣7第二節(jié)抽樣方法(4)間隔抽樣每隔幾個就抽取一個。在工商界中，常用此方法進(jìn)行抽樣，如每隔幾個上門的顧客就訪問一位，每隔幾個產(chǎn)品就抽樣一個。使用間隔抽樣時，必須確保樣本的資料並無規(guī)律性變化才可。第二節(jié)抽樣方法(4)間隔抽樣8第二節(jié)抽樣方法(5)分層抽樣先決定有哪幾個重要的層（strata），接著就依照母體分佈的比率，隨機(jī)抽樣。這樣一來可以保證樣本與母群體的分佈情形非常相近，因此所得到的調(diào)查結(jié)果比簡單隨機(jī)抽樣更能夠推論到母群體。如果選擇一些不相干的層，就會一點(diǎn)效果都沒有。因此在實(shí)務(wù)上，通常只選取少數(shù)幾個最為重要的層而已。第二節(jié)抽樣方法(5)分層抽樣9第二節(jié)抽樣方法(6)集群抽樣先將母群體分為數(shù)個相似的集群，然後隨機(jī)抽取數(shù)個集群，加以調(diào)查。在集群抽樣裡，集群與集群間要非常相似，集群內(nèi)則差異要大（越接近母群體的分佈越好）。在分層抽樣裡，層與層之間的差異要大，但層之內(nèi)要非常相似。第二節(jié)抽樣方法(6)集群抽樣10第二節(jié)抽樣方法(7)分段抽樣採用多種抽樣的方法。例如先集群抽樣，然後再簡單隨機(jī)抽樣?；蛳燃涸俜謱映闃?。實(shí)務(wù)上，仍以兩階段和三階段的抽樣最為普遍。

第二節(jié)抽樣方法(7)分段抽樣11第二節(jié)抽樣方法(8)配額抽樣它和分層抽樣的概念非常類似，只不過在分層抽樣裡，研究者確知母群體中各層的比率，但在配額抽樣裡，事先並不完全知道母群體的分佈，但依照研究者的學(xué)識和判斷，研擬出配額的依據(jù)。第二節(jié)抽樣方法(8)配額抽樣12第二節(jié)抽樣方法(9)判斷抽樣它必須仰賴研究者主觀的判斷來進(jìn)行抽樣。判斷抽樣又比配額抽樣更為主觀。因?yàn)樵谂漕~抽樣中，研究者只是去估計(jì)母體的比例而已。但在判斷抽樣裡，研究者甚至判斷哪些份子較具代表性，以決定是否要對它進(jìn)行調(diào)查。第二節(jié)抽樣方法(9)判斷抽樣13第三節(jié)抽樣分佈(1)推論統(tǒng)計(jì)學(xué)就是利用樣本統(tǒng)計(jì)量來估計(jì)母體參數(shù)的一門學(xué)問。統(tǒng)計(jì)量的機(jī)率分佈稱為抽樣分佈理論（samplingdistributiontheory）。基本上我們關(guān)心該分佈是何種機(jī)率分佈，平均數(shù)和變異數(shù)各為多少，藉以估計(jì)母體參數(shù)。第三節(jié)抽樣分佈(1)推論統(tǒng)計(jì)學(xué)就是利用樣本統(tǒng)計(jì)量來估計(jì)母14第三節(jié)抽樣分佈(2)定理7.1令X1,…,Xn為獨(dú)立隨機(jī)變項(xiàng)，其平均數(shù)分別為m1,…,mn，其變異數(shù)分別為,…,。若令Y的平均數(shù)和變異數(shù)分別為第三節(jié)抽樣分佈(2)定理7.115第三節(jié)抽樣分佈(3)例子1令X1表示丟公平硬幣出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，X2表示丟公平骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則3X1–2X2的平均數(shù)和變異數(shù)分別是多少？作法公平硬幣出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的平均數(shù)和變異數(shù)分別為0.5以及0.25。丟骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為間斷均勻分佈，平均數(shù)和變異數(shù)分別為3.5以及2.92。X1和X2互為獨(dú)立，得3X1–2X2的平均數(shù)為3×0.5–2×3.5=-5.5，變異數(shù)為32×0.25+22×2.92=13.93。第三節(jié)抽樣分佈(3)例子116第三節(jié)抽樣分佈(4)例子2X和Y變項(xiàng)互為獨(dú)立，X變項(xiàng)的變異數(shù)為，Y變項(xiàng)的變異數(shù)為，aX+bY的變異數(shù)是多少？作法aX+bY的變異數(shù)為a2+b2。第三節(jié)抽樣分佈(4)例子217第三節(jié)抽樣分佈(5)推論1X1，…，Xn的平均數(shù)均為m，變異數(shù)均為，且ai都等於1/n：的平均數(shù)會等於母體平均數(shù)m，變異數(shù)會等於母體變異數(shù)除以n，即s2/n。即：第三節(jié)抽樣分佈(5)推論118第三節(jié)抽樣分佈(6)定理7.2令X1,…,Xn為來自常態(tài)分佈的獨(dú)立隨機(jī)變項(xiàng)，其平均數(shù)分別為m1,…,mn，變異數(shù)分別為,…,。若令則Y為常態(tài)分佈，平均數(shù)為和變異數(shù)分別為第三節(jié)抽樣分佈(6)定理7.219第三節(jié)抽樣分佈(7)推論1令X1,…,Xn為來自常態(tài)分佈N(m,s2)的獨(dú)立隨機(jī)變項(xiàng)，則樣本平均數(shù)推論2令X1,…,Xn為來自常態(tài)分佈N(m,s2)的獨(dú)立隨機(jī)變項(xiàng)，則第三節(jié)抽樣分佈(7)推論120第三節(jié)抽樣分佈(8)推論3令X1,…,Xn為來自標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分佈N(0,1)的獨(dú)立隨機(jī)變項(xiàng)，則第三節(jié)抽樣分佈(8)推論321第三節(jié)抽樣分佈(9)例子3假設(shè)智商的分佈為N(100,225)。隨機(jī)抽樣25人調(diào)查其智商，並計(jì)算智商的樣本平均數(shù)。如果重複抽樣無數(shù)次，每次抽樣25人，並計(jì)算樣本平均數(shù)，則樣本平均數(shù)會成何分佈？其平均數(shù)和變異數(shù)各為多少？作法令這25人的智商分別為X1,…,X25。已知它們均服從常態(tài)分佈N(100,225)，根據(jù)定理7.2得知，樣本平均數(shù)的抽樣分佈為N(100,225/25)。第三節(jié)抽樣分佈(9)例子322第三節(jié)抽樣分佈(10)定理7.3令Z1,…,Zn為標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分佈的獨(dú)立隨機(jī)變項(xiàng)，則定理7.4令X1,…,Xn為來自常態(tài)分佈N(m,s2)的獨(dú)立隨機(jī)變項(xiàng)，且其樣本平均數(shù)為，樣本變異數(shù)為S2，則(1)和S2互相獨(dú)立，(2)第三節(jié)抽樣分佈(10)定理7.323第三節(jié)抽樣分佈(11)例子4假設(shè)智商的分佈為常態(tài)分佈，平均數(shù)和變異數(shù)分別為100和225。如果隨機(jī)抽樣25人調(diào)查其智商，並計(jì)算智商的樣本變異數(shù)S2。如果重複抽樣無數(shù)次，每次抽樣25人，並計(jì)算樣本變異數(shù)，則樣本變異數(shù)S2會成何分佈？其平均數(shù)和變異數(shù)各為多少？第三節(jié)抽樣分佈(11)例子424第三節(jié)抽樣分佈(12)作法令這25人的智商分別為X1,…,X25，均服從常態(tài)分佈N(100,225)，因此由於卡方分佈的平均數(shù)是其自由度，變異數(shù)為2倍的自由度，因此的平均數(shù)是24，變異數(shù)是48。所以S2的平均數(shù)是225，變異數(shù)是4218.7(=48/(24/225)2)。第三節(jié)抽樣分佈(12)作法25第三節(jié)抽樣分佈(13)定理7.5中央極限定理令X1,…,Xn為來自某平均數(shù)為m，變異數(shù)為s2的母體的獨(dú)立隨機(jī)變項(xiàng)，當(dāng)n趨近無限大時，其樣本平均數(shù)會趨近於N(m,s2/n)。在實(shí)用上，只要樣本數(shù)n夠大（如n>25），樣本平均數(shù)就會很接近常態(tài)分佈。其實(shí)即使n小於25，只要母體分佈與常態(tài)分佈相去不遠(yuǎn)，如類似單峰和左右對稱形狀，樣本平均數(shù)會近似常態(tài)分佈。第三節(jié)抽樣分佈(13)定理7.5中央極限定理26第三節(jié)抽樣分佈(14)例子5已知丟骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為間斷均勻分佈，平均數(shù)和變異數(shù)分別為3.5和2.92?，F(xiàn)丟骰子25次，計(jì)算骰子點(diǎn)數(shù)的平均數(shù)。如果這樣無數(shù)次，每次均丟骰子25次，並計(jì)算骰子點(diǎn)數(shù)的平均數(shù)，則骰子點(diǎn)數(shù)的平均數(shù)會成何分佈？其平均數(shù)和變異數(shù)各為多少？作法根據(jù)中央極限定理，樣本平均數(shù)接近常態(tài)分佈，其平均數(shù)為母體平均數(shù)3.5，變異數(shù)為0.12(=2.92/25)。第三節(jié)抽樣分佈(14)例子527第三節(jié)抽樣分佈(15)

定理7.6若由平均數(shù)為m1和m2，變異數(shù)為和的常態(tài)分佈母體抽隨機(jī)抽出樣本數(shù)為n1和n2的獨(dú)立樣本，則如果母體並非常態(tài)分佈，只要樣本數(shù)n1和n2夠大（如均大於25），就可放心使用常態(tài)分佈了。第三節(jié)抽樣分佈(15)定理7.628第三節(jié)抽樣分佈(16)例子6丟硬幣25次，計(jì)算出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的平均數(shù)（正面一點(diǎn)，反正零點(diǎn)），也丟骰子25次，計(jì)算出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的平均數(shù)。然後將硬幣的平均數(shù)減骰子的平均數(shù)，得到兩平均數(shù)差異。如果重複這樣無數(shù)多次，這些無數(shù)多次的平均數(shù)差異成何分佈？平均數(shù)和變異數(shù)各式多少？第三節(jié)抽樣分佈(16)例子629第三節(jié)抽樣分佈(17)作法丟硬幣出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的平均數(shù)和變異數(shù)分別為0.5以及0.25。丟骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的平均數(shù)和變異數(shù)分別為3.5以及2.92。令為硬幣的平均數(shù)，為骰子的平均數(shù)，則 的平均數(shù)為0.5–3.5=-3，變異數(shù)為

根據(jù)中央極限定理，近似常態(tài)分佈。第三節(jié)抽樣分佈(17)作法30第四節(jié)估計(jì)式(1)推論統(tǒng)計(jì)包括兩大部份：估計(jì)和假設(shè)檢定。估計(jì)分為點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。母體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)：利用統(tǒng)計(jì)量的某一個值加以估計(jì)。例如用樣本平均數(shù)這個統(tǒng)計(jì)量的（大寫表示變項(xiàng)，小寫表示特定的數(shù)值）估計(jì)母體平均數(shù)m。統(tǒng)計(jì)量又稱為估計(jì)式（estimator），以表明其估計(jì)母體參數(shù)的功用。同一個參數(shù)可以有好多個估計(jì)式。第四節(jié)估計(jì)式(1)推論統(tǒng)計(jì)包括兩大部份：估計(jì)和假設(shè)檢定。31第四節(jié)估計(jì)式(2)不偏性

令q為所欲估計(jì)的參數(shù)，（唸做thetahat）為其估計(jì)式。如果E()=q，那麼就具有不偏性。或謂是q的不偏估計(jì)式（unbiasedestimator）。樣本平均數(shù)的期望值為母體平均數(shù)，因此樣本平均數(shù)是母體平均數(shù)的不偏估計(jì)式。第四節(jié)估計(jì)式(2)不偏性32第四節(jié)估計(jì)式(3)例子7令X1,X2,X3,X4為隨機(jī)從母體抽出的4個值，樣本平均數(shù)是母體平均數(shù)m的不偏估計(jì)式，已如上述。但X1、、、 是否也是母體平均數(shù)的不偏估計(jì)式？第四節(jié)估計(jì)式(3)例子733第四節(jié)估計(jì)式(3)作法 E(X1)=m第四節(jié)估計(jì)式(3)作法34第四節(jié)估計(jì)式(4)例子8樣本變異數(shù)S2是母體變異數(shù)s2的不偏估計(jì)式嗎？作法第四節(jié)估計(jì)式(4)例子835第四節(jié)估計(jì)式(5)有效性

假設(shè)q是所欲估計(jì)的參數(shù)，是眾多估計(jì)式中的一種。若E(-q)2在所有的估計(jì)式中最小，就是最有效的估計(jì)式。在所有的估計(jì)式中，具有最小的均方誤，就是最有效的估計(jì)式。如果只限於從不偏估計(jì)式中挑選最有效的，那麼該估計(jì)式就是不偏的最小變異估計(jì)式。第四節(jié)估計(jì)式(5)有效性36第四節(jié)估計(jì)式(6)例子9在例子7中，、X1、Y1、Y2都是母體平均數(shù)的不偏估計(jì)式。何者較為有效？作法

第四節(jié)估計(jì)式(6)例子937第四節(jié)估計(jì)式(7)一致性如果樣本數(shù)n越大，估計(jì)式與母體參數(shù)q的誤差量越小。如果樣本數(shù)趨近於無限大，與q的差量小於微量e的機(jī)率趨近1。即該估計(jì)式就具有一致性（consistency）是母體平均數(shù)的不偏估計(jì)式，且變異數(shù)為s2/n。如果n趨近於無限大，則s2/n趨近於0，因此具有一致性。第四節(jié)估計(jì)式(7)一致性38第四節(jié)估計(jì)式(8)例子10例子7中的X1、Y1、Y2是否具有一致性？作法即使樣本數(shù)n再大，X1、Y1、Y2的變異數(shù)都不會改變，當(dāng)然也不會趨近於0。換句話說，樣本數(shù)增加，並無助於X1、Y1、Y2趨近於母體平均數(shù)，因此它們不具有一致性。第四節(jié)估計(jì)式(8)例子1039第四節(jié)估計(jì)式(9)充分性令X1，，Xn為隨機(jī)變項(xiàng)，其聯(lián)合機(jī)率函數(shù)為f(x1,,xn;q)。統(tǒng)計(jì)量是q的充分統(tǒng)計(jì)式或具有充分性，若且為若 f(x1,,xn;q)=g(;q)h(x1,,xn) 其中h(x1,,xn)與q無關(guān)。此時，包含了所有從樣本資料來推估q的訊息，再也沒有其他剩餘的訊息了。 固定充分統(tǒng)計(jì)量後，X1，，Xn的條件機(jī)率就與q無關(guān)。 第四節(jié)估計(jì)式(9)充分性40第四節(jié)估計(jì)式(10)在二項(xiàng)式分佈中，樣本中成功次數(shù)就是成功機(jī)率p的充分統(tǒng)計(jì)量。其他的訊息（例如這幾次試驗(yàn)中，哪幾次是成功，哪幾次是失敗。）是無法用來幫助估計(jì)成功機(jī)率的。對於一個變異數(shù)已知的常態(tài)分佈而言，樣本平均數(shù)就是母體平均數(shù)的充分統(tǒng)計(jì)量。對於一個母體平均數(shù)已知的常態(tài)母體，樣本變異數(shù)就是母體變異數(shù)的充分統(tǒng)計(jì)量。 第四節(jié)估計(jì)式(10)在二項(xiàng)式分佈中，樣本中成功次數(shù)就是成41第四節(jié)估計(jì)式(11)最大概率估計(jì)法

例子11假設(shè)有一特製硬幣，不知道它出現(xiàn)正面的機(jī)率p會是多少?，F(xiàn)丟硬幣5次，共出現(xiàn)3次正面。試問硬幣出現(xiàn)正面的機(jī)率p是多少？第四節(jié)估計(jì)式(11)最大概率估計(jì)法42第四節(jié)估計(jì)式(12)這個參數(shù)p有可能介於0和1之間的任何一個值。每一個值都有可能出現(xiàn)以上的結(jié)果。是哪一個值「最有可能」產(chǎn)生上述的結(jié)果？如果p值是0.1，丟5次出現(xiàn)3次正面的概率就是第四節(jié)估計(jì)式(12)這個參數(shù)p有可能介於0和1之間的任何43抽樣分布與估計(jì)式課件44第7章

抽樣分佈與估計(jì)式第7章抽樣分佈與估計(jì)式45前言抽樣的目的並不意味著我們關(guān)心的焦點(diǎn)是在樣本的資料上。樣本背後的母體才是關(guān)心的重點(diǎn)。以樣本的統(tǒng)計(jì)量（statistic），如樣本平均數(shù)、樣本變異數(shù)等，來推論母體的參數(shù)（parameter），如母體平均數(shù)、母體變異數(shù)等。要達(dá)到此目的，必須知道樣本的統(tǒng)計(jì)量的機(jī)率分佈，以及如何在眾多的統(tǒng)計(jì)量中，選擇最恰當(dāng)?shù)?，以便估?jì)母體參數(shù)。前言抽樣的目的並不意味著我們關(guān)心的焦點(diǎn)是在樣本的資料上。樣本46第一節(jié)抽樣誤差(1)不針對母體進(jìn)行普查的主要原因有：1.母體太大，客觀條件限制。2.無法確知母體的範(fàn)圍。3.破壞性檢測。4.從樣本的結(jié)果已經(jīng)可以有效推知母體。第一節(jié)抽樣誤差(1)不針對母體進(jìn)行普查的主要原因有：47第一節(jié)抽樣誤差(2)估計(jì)誤差抽樣誤差（samplingerror）：任何因?yàn)槌闃又械臋C(jī)遇（chance）所產(chǎn)生的變動。增加樣本數(shù)，可以降低抽樣誤差。使用恰當(dāng)?shù)臉颖窘y(tǒng)計(jì)量來估計(jì)母體參數(shù)，也是降低抽樣誤差的方法之一。適當(dāng)?shù)某闃臃椒?，可以降低抽樣誤差。非抽樣誤差（nonsamplingerror）：一切不是因?yàn)槌闃铀a(chǎn)生的誤差。例如樣本沒有代表性，在資料的蒐集、整理、分析時也可能產(chǎn)生誤差。第一節(jié)抽樣誤差(2)估計(jì)誤差48第二節(jié)抽樣方法(1)抽樣方法隨機(jī)抽樣（randomsampling）：依照隨機(jī)的方式，使母群體中的每一個份子都有可能被抽到。非隨機(jī)抽樣（nonrandomsampling）：取決於研究者主觀的想法或是參照客觀環(huán)境的限制，所設(shè)計(jì)出來的抽樣方法，因此母群體的某些份子完全沒有被抽到的機(jī)會。

第二節(jié)抽樣方法(1)抽樣方法49第二節(jié)抽樣方法(2)隨機(jī)抽樣1.簡單隨機(jī)抽樣（simplerandomsampling）2.間隔抽樣（intervalsampling）3.分層抽樣（stratifiedsampling）4.集群抽樣（clustersampling）5.分段抽樣（stagedsampling）非隨機(jī)抽樣1.配額抽樣（quotasampling）2.判斷抽樣（judgmentsampling）第二節(jié)抽樣方法(2)隨機(jī)抽樣50第二節(jié)抽樣方法(3)簡單隨機(jī)抽樣先將母體加以編號，然後如抽籤般的抽出200位即可。也可以利用均勻分佈所產(chǎn)生的數(shù)值來代替抽籤。如果母群體很大，將母體加以編號恐怕不切實(shí)際。有時研究者並不確知母群體的大小，簡單隨機(jī)抽樣並不見得可行。

第二節(jié)抽樣方法(3)簡單隨機(jī)抽樣51第二節(jié)抽樣方法(4)間隔抽樣每隔幾個就抽取一個。在工商界中，常用此方法進(jìn)行抽樣，如每隔幾個上門的顧客就訪問一位，每隔幾個產(chǎn)品就抽樣一個。使用間隔抽樣時，必須確保樣本的資料並無規(guī)律性變化才可。第二節(jié)抽樣方法(4)間隔抽樣52第二節(jié)抽樣方法(5)分層抽樣先決定有哪幾個重要的層（strata），接著就依照母體分佈的比率，隨機(jī)抽樣。這樣一來可以保證樣本與母群體的分佈情形非常相近，因此所得到的調(diào)查結(jié)果比簡單隨機(jī)抽樣更能夠推論到母群體。如果選擇一些不相干的層，就會一點(diǎn)效果都沒有。因此在實(shí)務(wù)上，通常只選取少數(shù)幾個最為重要的層而已。第二節(jié)抽樣方法(5)分層抽樣53第二節(jié)抽樣方法(6)集群抽樣先將母群體分為數(shù)個相似的集群，然後隨機(jī)抽取數(shù)個集群，加以調(diào)查。在集群抽樣裡，集群與集群間要非常相似，集群內(nèi)則差異要大（越接近母群體的分佈越好）。在分層抽樣裡，層與層之間的差異要大，但層之內(nèi)要非常相似。第二節(jié)抽樣方法(6)集群抽樣54第二節(jié)抽樣方法(7)分段抽樣採用多種抽樣的方法。例如先集群抽樣，然後再簡單隨機(jī)抽樣。或先集群再分層抽樣。實(shí)務(wù)上，仍以兩階段和三階段的抽樣最為普遍。

第二節(jié)抽樣方法(7)分段抽樣55第二節(jié)抽樣方法(8)配額抽樣它和分層抽樣的概念非常類似，只不過在分層抽樣裡，研究者確知母群體中各層的比率，但在配額抽樣裡，事先並不完全知道母群體的分佈，但依照研究者的學(xué)識和判斷，研擬出配額的依據(jù)。第二節(jié)抽樣方法(8)配額抽樣56第二節(jié)抽樣方法(9)判斷抽樣它必須仰賴研究者主觀的判斷來進(jìn)行抽樣。判斷抽樣又比配額抽樣更為主觀。因?yàn)樵谂漕~抽樣中，研究者只是去估計(jì)母體的比例而已。但在判斷抽樣裡，研究者甚至判斷哪些份子較具代表性，以決定是否要對它進(jìn)行調(diào)查。第二節(jié)抽樣方法(9)判斷抽樣57第三節(jié)抽樣分佈(1)推論統(tǒng)計(jì)學(xué)就是利用樣本統(tǒng)計(jì)量來估計(jì)母體參數(shù)的一門學(xué)問。統(tǒng)計(jì)量的機(jī)率分佈稱為抽樣分佈理論（samplingdistributiontheory）?；旧衔覀冴P(guān)心該分佈是何種機(jī)率分佈，平均數(shù)和變異數(shù)各為多少，藉以估計(jì)母體參數(shù)。第三節(jié)抽樣分佈(1)推論統(tǒng)計(jì)學(xué)就是利用樣本統(tǒng)計(jì)量來估計(jì)母58第三節(jié)抽樣分佈(2)定理7.1令X1,…,Xn為獨(dú)立隨機(jī)變項(xiàng)，其平均數(shù)分別為m1,…,mn，其變異數(shù)分別為,…,。若令Y的平均數(shù)和變異數(shù)分別為第三節(jié)抽樣分佈(2)定理7.159第三節(jié)抽樣分佈(3)例子1令X1表示丟公平硬幣出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，X2表示丟公平骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則3X1–2X2的平均數(shù)和變異數(shù)分別是多少？作法公平硬幣出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的平均數(shù)和變異數(shù)分別為0.5以及0.25。丟骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為間斷均勻分佈，平均數(shù)和變異數(shù)分別為3.5以及2.92。X1和X2互為獨(dú)立，得3X1–2X2的平均數(shù)為3×0.5–2×3.5=-5.5，變異數(shù)為32×0.25+22×2.92=13.93。第三節(jié)抽樣分佈(3)例子160第三節(jié)抽樣分佈(4)例子2X和Y變項(xiàng)互為獨(dú)立，X變項(xiàng)的變異數(shù)為，Y變項(xiàng)的變異數(shù)為，aX+bY的變異數(shù)是多少？作法aX+bY的變異數(shù)為a2+b2。第三節(jié)抽樣分佈(4)例子261第三節(jié)抽樣分佈(5)推論1X1，…，Xn的平均數(shù)均為m，變異數(shù)均為，且ai都等於1/n：的平均數(shù)會等於母體平均數(shù)m，變異數(shù)會等於母體變異數(shù)除以n，即s2/n。即：第三節(jié)抽樣分佈(5)推論162第三節(jié)抽樣分佈(6)定理7.2令X1,…,Xn為來自常態(tài)分佈的獨(dú)立隨機(jī)變項(xiàng)，其平均數(shù)分別為m1,…,mn，變異數(shù)分別為,…,。若令則Y為常態(tài)分佈，平均數(shù)為和變異數(shù)分別為第三節(jié)抽樣分佈(6)定理7.263第三節(jié)抽樣分佈(7)推論1令X1,…,Xn為來自常態(tài)分佈N(m,s2)的獨(dú)立隨機(jī)變項(xiàng)，則樣本平均數(shù)推論2令X1,…,Xn為來自常態(tài)分佈N(m,s2)的獨(dú)立隨機(jī)變項(xiàng)，則第三節(jié)抽樣分佈(7)推論164第三節(jié)抽樣分佈(8)推論3令X1,…,Xn為來自標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分佈N(0,1)的獨(dú)立隨機(jī)變項(xiàng)，則第三節(jié)抽樣分佈(8)推論365第三節(jié)抽樣分佈(9)例子3假設(shè)智商的分佈為N(100,225)。隨機(jī)抽樣25人調(diào)查其智商，並計(jì)算智商的樣本平均數(shù)。如果重複抽樣無數(shù)次，每次抽樣25人，並計(jì)算樣本平均數(shù)，則樣本平均數(shù)會成何分佈？其平均數(shù)和變異數(shù)各為多少？作法令這25人的智商分別為X1,…,X25。已知它們均服從常態(tài)分佈N(100,225)，根據(jù)定理7.2得知，樣本平均數(shù)的抽樣分佈為N(100,225/25)。第三節(jié)抽樣分佈(9)例子366第三節(jié)抽樣分佈(10)定理7.3令Z1,…,Zn為標(biāo)準(zhǔn)常態(tài)分佈的獨(dú)立隨機(jī)變項(xiàng)，則定理7.4令X1,…,Xn為來自常態(tài)分佈N(m,s2)的獨(dú)立隨機(jī)變項(xiàng)，且其樣本平均數(shù)為，樣本變異數(shù)為S2，則(1)和S2互相獨(dú)立，(2)第三節(jié)抽樣分佈(10)定理7.367第三節(jié)抽樣分佈(11)例子4假設(shè)智商的分佈為常態(tài)分佈，平均數(shù)和變異數(shù)分別為100和225。如果隨機(jī)抽樣25人調(diào)查其智商，並計(jì)算智商的樣本變異數(shù)S2。如果重複抽樣無數(shù)次，每次抽樣25人，並計(jì)算樣本變異數(shù)，則樣本變異數(shù)S2會成何分佈？其平均數(shù)和變異數(shù)各為多少？第三節(jié)抽樣分佈(11)例子468第三節(jié)抽樣分佈(12)作法令這25人的智商分別為X1,…,X25，均服從常態(tài)分佈N(100,225)，因此由於卡方分佈的平均數(shù)是其自由度，變異數(shù)為2倍的自由度，因此的平均數(shù)是24，變異數(shù)是48。所以S2的平均數(shù)是225，變異數(shù)是4218.7(=48/(24/225)2)。第三節(jié)抽樣分佈(12)作法69第三節(jié)抽樣分佈(13)定理7.5中央極限定理令X1,…,Xn為來自某平均數(shù)為m，變異數(shù)為s2的母體的獨(dú)立隨機(jī)變項(xiàng)，當(dāng)n趨近無限大時，其樣本平均數(shù)會趨近於N(m,s2/n)。在實(shí)用上，只要樣本數(shù)n夠大（如n>25），樣本平均數(shù)就會很接近常態(tài)分佈。其實(shí)即使n小於25，只要母體分佈與常態(tài)分佈相去不遠(yuǎn)，如類似單峰和左右對稱形狀，樣本平均數(shù)會近似常態(tài)分佈。第三節(jié)抽樣分佈(13)定理7.5中央極限定理70第三節(jié)抽樣分佈(14)例子5已知丟骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為間斷均勻分佈，平均數(shù)和變異數(shù)分別為3.5和2.92?，F(xiàn)丟骰子25次，計(jì)算骰子點(diǎn)數(shù)的平均數(shù)。如果這樣無數(shù)次，每次均丟骰子25次，並計(jì)算骰子點(diǎn)數(shù)的平均數(shù)，則骰子點(diǎn)數(shù)的平均數(shù)會成何分佈？其平均數(shù)和變異數(shù)各為多少？作法根據(jù)中央極限定理，樣本平均數(shù)接近常態(tài)分佈，其平均數(shù)為母體平均數(shù)3.5，變異數(shù)為0.12(=2.92/25)。第三節(jié)抽樣分佈(14)例子571第三節(jié)抽樣分佈(15)

定理7.6若由平均數(shù)為m1和m2，變異數(shù)為和的常態(tài)分佈母體抽隨機(jī)抽出樣本數(shù)為n1和n2的獨(dú)立樣本，則如果母體並非常態(tài)分佈，只要樣本數(shù)n1和n2夠大（如均大於25），就可放心使用常態(tài)分佈了。第三節(jié)抽樣分佈(15)定理7.672第三節(jié)抽樣分佈(16)例子6丟硬幣25次，計(jì)算出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的平均數(shù)（正面一點(diǎn)，反正零點(diǎn)），也丟骰子25次，計(jì)算出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的平均數(shù)。然後將硬幣的平均數(shù)減骰子的平均數(shù)，得到兩平均數(shù)差異。如果重複這樣無數(shù)多次，這些無數(shù)多次的平均數(shù)差異成何分佈？平均數(shù)和變異數(shù)各式多少？第三節(jié)抽樣分佈(16)例子673第三節(jié)抽樣分佈(17)作法丟硬幣出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的平均數(shù)和變異數(shù)分別為0.5以及0.25。丟骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的平均數(shù)和變異數(shù)分別為3.5以及2.92。令為硬幣的平均數(shù)，為骰子的平均數(shù)，則 的平均數(shù)為0.5–3.5=-3，變異數(shù)為

根據(jù)中央極限定理，近似常態(tài)分佈。第三節(jié)抽樣分佈(17)作法74第四節(jié)估計(jì)式(1)推論統(tǒng)計(jì)包括兩大部份：估計(jì)和假設(shè)檢定。估計(jì)分為點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。母體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)：利用統(tǒng)計(jì)量的某一個值加以估計(jì)。例如用樣本平均數(shù)這個統(tǒng)計(jì)量的（大寫表示變項(xiàng)，小寫表示特定的數(shù)值）估計(jì)母體平均數(shù)m。統(tǒng)計(jì)量又稱為估計(jì)式（estimator），以表明其估計(jì)母體參數(shù)的功用。同一個參數(shù)可以有好多個估計(jì)式。第四節(jié)估計(jì)式(1)推論統(tǒng)計(jì)包括兩大部份：估計(jì)和假設(shè)檢定。75第四節(jié)估計(jì)式(2)不偏性

令q為所欲估計(jì)的參數(shù)，（唸做thetahat）為其估計(jì)式。如果E()=q，那麼就具有不偏性?；蛑^是q的不偏估計(jì)式（unbiasedestimator）。樣本平均數(shù)的期望值為母體平均數(shù)，因此樣本平均數(shù)是母體平均數(shù)的不偏估計(jì)式。第四節(jié)估計(jì)式(2)不偏性76第四節(jié)估計(jì)式(3)例子7令X1,X2,X3,X4為隨機(jī)從母體抽出的4個值，樣本平均數(shù)是母體平均數(shù)m的不偏估計(jì)式，已如上述。但X1、、、 是否也是母體平均數(shù)的不偏估計(jì)式？第四節(jié)估計(jì)式(3)例子777第四節(jié)估計(jì)式(3)作法 E(X1)=m第四節(jié)估計(jì)式(3)作法78第四節(jié)估計(jì)式(4)例子8樣本變異數(shù)S2是母體變異數(shù)s2的不偏估計(jì)式嗎？作法第四節(jié)估計(jì)式(4)例子879