傅里葉變換的應(yīng)用

《信號與系統(tǒng)》 第六章：傅里葉變換的應(yīng)用第六章：傅里葉變換的應(yīng)用§6.1傅里葉系統(tǒng)函數(shù)（《信號與系統(tǒng)》第二版（鄭君里） 5.2）系統(tǒng)的輸入輸出描述：時域直接描述圖6-1適用范圍：零狀態(tài)，因果 /非因果時域算子描述圖6-2適用范圍：零狀態(tài)，因果 /非因果1vtetvt，t0（6-1）p系統(tǒng)函數(shù)描述（復(fù)頻域）圖6-3適用范圍：零狀態(tài)，因果系統(tǒng)、因果信號傅立葉系統(tǒng)函數(shù)描述圖6-4ytF1HjVj（6-2）定義（傅里葉系統(tǒng)函數(shù)）：1《信號與系統(tǒng)》 第六章：傅里葉變換的應(yīng)用HjFht（6-3）適用范圍：零狀態(tài)；因果 /非因果；vt是穩(wěn)定信號（既vt絕對可積）；ht L1 , ，即系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定。微分方程描述：由HpNp，ytNpvtDpytNpvtDpDpy0,,yn10在零狀態(tài)時為0；y0,n10在零狀態(tài)時可能不為0。y,譜方法類比：矩陣Ann，detIA01,,n為n個特征根，則有Aiii，0iRn，i1,2,,n，i為n個線性無關(guān)的特征向量。由這些特征向量張成的線性空間為span1,,n，則對XRn，有X=1122nnnnn（6-4）AX=AiiiAiiiii1i1i1上式即所謂譜方法。類似地有：圖6-5若vt1T1,T1，則vtVnejn1t，tT1,T1，即。L222FSn-2BIBO穩(wěn)定ytTvtVnTejn1tVnHjn1ejn1t，其中，Hjn1為nn系統(tǒng)T的算子譜（特征根），ejn1t為其特征函數(shù)，與線性代數(shù)中的譜方法相對應(yīng)。若vtL1,，則vt+ejtdf，即FT。VytTvt+TejtdfV+Hejtdfht（6-5）Vvt2《信號與系統(tǒng)》 第六章：傅里葉變換的應(yīng)用§6.2無失真?zhèn)鬏敚ā缎盘柵c系統(tǒng)》第二版（鄭君里） 5.3）失真的情況：圖6-6若CADB，則產(chǎn)生幅度失真；若12，則產(chǎn)生相位失真，兩者都是12線性失真。若產(chǎn)生新的頻率則為非線性失真。例：圖6-7的平方器，使輸出產(chǎn)生了新的頻率分量，為非線性失真。圖6-7無失真?zhèn)鬏敚狠敵鲈佻F(xiàn)輸入，系統(tǒng)對輸入不同頻率分量的幅度加權(quán)相同，對不同頻率分量的相位延遲相等。ytkxtt0htktt0（6-6）HFhtkejt0Hk，t0圖6-8無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的頻率響應(yīng)特性dt0相位延遲。注：1）群延遲：d2）無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)全通系統(tǒng)。3）無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)BIBO穩(wěn)定。3《信號與系統(tǒng)》 第六章：傅里葉變換的應(yīng)用思考：對于帶通系統(tǒng)，怎樣考慮其無失真?zhèn)鬏攷ㄐ盘?？?.3理想低通濾波器（《信號與系統(tǒng)》第二版（鄭君里） 5.4）定義：對 帶限信號 F F u u 能無失真?zhèn)鬏數(shù)南到y(tǒng)。圖6-9理想低通濾波器的頻率響應(yīng)HHejHKuu（6-7）t0uu單位沖激響應(yīng)：不失一般性，令K=1，可求得htF1HSatt0（6-8）當(dāng)時，htlimSatt0tt0。這是因?yàn)檩斎雝的頻譜無限寬，當(dāng)理想低通濾波器的帶寬也是無限寬，即時，則能無失真地傳輸輸入的t信號，得到其延遲輸出tt0。(a)輸入沖激信號 (b)輸出Sinc信號圖6-10理想低通濾波器的單位沖激響應(yīng)結(jié)論：理想低通濾波器——非因果，非 BIBO穩(wěn)定。當(dāng) 時，成為無失真?zhèn)鬏斁W(wǎng)絡(luò)。4《信號與系統(tǒng)》 第六章：傅里葉變換的應(yīng)用單位階躍響應(yīng)：圖6-11理想低通濾波器的單位階躍響應(yīng)tytxthtSat0d（6-9）2，為理想低通濾波器的等效帶寬tr 2 ，為階躍響應(yīng)的上升時間， minyt maxytBtr 4tr也可有其他定義： tr：0 1或tr：0.1 0.9，但無論怎么定義總有Btr C（常數(shù)）。為實(shí)現(xiàn)寬度為的脈沖信號的傳輸，需滿足2trBC，即CB。輸出解析表達(dá)式：yttSat0d1tt0sinxdx10sinxdx1sinxdx11Six（6-10）tt0tt0x0x2其中，Siyysinxdx，稱為正弦積分。0x11Simaxytyt|tt01.08952minytyt|tt011Si0.08952當(dāng)時，階躍響應(yīng)仍然存在過沖，峰起仍為maxyt1.0895。Gibbs現(xiàn)象：有第一類間斷點(diǎn)的信號通過理想低通產(chǎn)生的現(xiàn)象。5《信號與系統(tǒng)》 第六章：傅里葉變換的應(yīng)用圖6-12圖6-13圖6-14limftlimF1F原信號ft，在ft的連續(xù)點(diǎn)（6-11）Gibbs振蕩，在ft的第一類間斷點(diǎn)Gibbs現(xiàn)象：在ft的第一類間斷點(diǎn)處產(chǎn)生振蕩。即使當(dāng)時，仍存在相對峰起（約為9%），且在tt0處，輸出收斂至yt01ft0ft0。2可見，即使理想低通濾波器的截止頻率為無窮大，即它已經(jīng)成為無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)，當(dāng)間斷信號通過它時，也產(chǎn)生Gibbs震蕩現(xiàn)象。思考題：脈沖信號的傅立葉變換為Sinc函數(shù)，請問時域跳變點(diǎn)附近是否存在Gibbs現(xiàn)象？怎樣分析？6《信號與系統(tǒng)》 第六章：傅里葉變換的應(yīng)用§6.4系統(tǒng)的物理可實(shí)現(xiàn)性（Paley——Wiener準(zhǔn)則）（《信號與系統(tǒng)》第二版（鄭君里） 5.5）物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的時域 ht ht定理（Paley——Wiener定理）：對+ lnF1則存在

ut，沖激響應(yīng)ht是因果信號。f t L2 , ，若滿足2 d （6-12）hthtutL20,L2,（6-13）使HF，其幅頻特性可以物理實(shí)現(xiàn)。（6-12）式稱為P-W條件，是幅度譜物理可實(shí)現(xiàn)的必要條件。ftL2,，則+2+2-ftdt-Fdf（6-14）在L2空間中，滿足Paley—Wiener定理的幅度譜才可能有因果實(shí)現(xiàn)，不滿足則不能物理實(shí)現(xiàn)。Paley—Wiener定理僅限于判定L2函數(shù)的物理可實(shí)現(xiàn)性，對于非L2函數(shù)，不能使用Paley—Wiener判決準(zhǔn)則，迄今亦無規(guī)律性的結(jié)論可循。圖6-15P-W條件的適用性無失真?zhèn)鬏斁W(wǎng)絡(luò)HKhtKtL2，它不是平方可積+2+2。但是，純電阻網(wǎng)絡(luò)的沖激響應(yīng)是沖的，htdtKdf激函數(shù)，它卻是物理可實(shí)現(xiàn)的。這也表明，用Paley—Wiener準(zhǔn)則來討論系統(tǒng)函數(shù)的物理可實(shí)現(xiàn)性，首先要考慮它的適用范圍，即L2空間。在非零測度集（有限頻段）上為零，則一定物理不可實(shí)現(xiàn)。例如，理想濾波器不可物理實(shí)現(xiàn)?？捎蒙嘞倚螤罘l特性的濾波器來逼近。7《信號與系統(tǒng)》 第六章：傅里葉變換的應(yīng)用2高斯信號ft1expt2,是速降信號，但FeL222由于+lnF+2+12d2dd11112tg12lim/2不滿足P-L準(zhǔn)則，因此，高斯信號（幅度譜）物理不可實(shí)現(xiàn)。ft滿足P—W條件，構(gòu)造hthtut來實(shí)現(xiàn)F的方法：1）FjFjFj2已知；2）令sj，構(gòu)造FsFs，零點(diǎn)／極點(diǎn)分布在s全平面；3）取FsFs在左半開平面的零／極點(diǎn)構(gòu)造Hs，Hs即為所求。由此方法得到的Hs是嚴(yán)格最小相位的，在不考慮比例因子時，Hs是唯一的。§6.5希爾伯特變換（HilbertTransform）（《信號與系統(tǒng)》第二版（鄭君里）5.6）定義：實(shí)信號fx的Hilbert變換f?x定義為：f?x111+f（6-15）fxdxxf?x的逆Hilbert變換fx：fx1?11+f?（6-16）fxdxx圖6-16希爾伯特變換器的特點(diǎn)：非BIBO穩(wěn)定、非因果、線性。8《信號與系統(tǒng)》 第六章：傅里葉變換的應(yīng)用圖6-17積分核的譜：1jsgnFtjsgne2（6-17）可見，HT相當(dāng)于 2移相器。Hilbert 變換器的幅頻特性是常數(shù)。正交性：f?t f t，即ft，f?t0（6-18）證明：由內(nèi)積不變性有??**ft,ftftftdtFdfFFjsgnF*df2Fsgnfd，實(shí)0信號的幅度譜偶對稱HT具有歐氏范數(shù)不變性：HT具有自相關(guān)函數(shù)不變性：RffR??（6-19）ff證明：R??tf?tf?tffFR??tFf?tFf?tfff?tft1tFf?tFjsgnFf?tFjsgnFR??tFFffFRffFftftFF9《信號與系統(tǒng)》 第六章：傅里葉變換的應(yīng)用RffR??ff復(fù)信號不定義Hilbert變換一個實(shí)信號ft，若F0，當(dāng),0，則f?tHft存在。（說明：移相90度，相當(dāng)于延遲（/2），若接近于0頻，則無法實(shí)現(xiàn)。）定理：設(shè)ft、gtL2,，f?t、g?t為其HT，則有：??ftgtdtftdttg??ddftgtftgttt證明：FFft?F?tFft1，F(xiàn)ft?jsgnFF亦即：ftL2,f?tL2,??ft,ft?ft,ftFf?tgtdtf?t,gtFjsgnGdf同理可證另一結(jié)論。應(yīng)用：一個實(shí)信號f t的解析信號定義為：解析信號的頻譜特點(diǎn)：

?F,F,FjsgnFGdfft?dtgtzt f t jf?tFztFftjFf?tFjjsgnF（6-20）2F u即：解析信號z(t)的頻譜Z()是因果信號(右邊信號)。因果信號的頻譜是解析信號，即其實(shí)部與虛部是 HT關(guān)系。由傅立葉變換的對稱性質(zhì)，上述結(jié)論不難想象。考察時域因果信號： f t f tutF ft F f tutF R jX10《信號與系統(tǒng)》 第六章：傅里葉變換的應(yīng)用RjX112j1RX11X12jjR2RX1XH1（6-21）XRHR§6.6帶通信號通過帶通系統(tǒng)——復(fù)包絡(luò)方法（《信號與系統(tǒng)》第二版（鄭君里） 5.7，5.8）帶通信號：基帶信號：未經(jīng)調(diào)制，等效帶寬有限（帶限）信號，亦稱調(diào)制信號。帶通信號：基帶信號經(jīng)調(diào)制成為帶通信號，亦稱已調(diào)信號或已調(diào)波。調(diào)制作用：把基帶信號的頻譜搬移到相對較高的頻段。調(diào)制的目的有兩個，一是輻射、二是復(fù)用。有線傳輸也存在復(fù)用的問題。圖6-18ft是基帶信號，包含待傳輸?shù)男畔?。statcosctt是已調(diào)信號。fctcost是載波，是單頻信號，其瞬時頻率t不隨時間變化，tc，即載波的角頻率是常數(shù)，載波信號的相位為：t0ttdcd0cdct0（6-22）根據(jù)調(diào)制信號ft對已調(diào)信號st的作用，調(diào)制分為調(diào)幅、調(diào)頻、調(diào)相：調(diào)幅：atABft，t常數(shù)，調(diào)幅是線性調(diào)制，頻譜結(jié)構(gòu)不變。調(diào)頻：at常數(shù)，st的頻率受調(diào)制信號ft的控制，在載頻附近作相應(yīng)tFft，則ttFfd變化，令td。特別地，11《信號與系統(tǒng)》 第六章：傅里葉變換的應(yīng)用td，則tdtKft，tKfcttdt

c kf t，為線性調(diào)頻，即已調(diào)信號頻率的變化與調(diào)制信號成正比。在調(diào)制指數(shù)（亦稱調(diào)制深度）較小時，為線性調(diào)制，已調(diào)信號的頻譜與調(diào)制信號的頻譜相似；調(diào)制指數(shù)較大時，為非線性調(diào)制。調(diào)相：at 常數(shù)， t Kf t為調(diào)相，屬于非線性調(diào)制（譜形狀不相似）。若f t含于at 和 t 中，則為幅相聯(lián)合調(diào)制，也是非線性調(diào)制。復(fù)包絡(luò)：假設(shè)at、 t都是實(shí)函數(shù)，則有statcosctt1jctt-jcttatee21atejtejct1ate-jte-jct（6-23）2ct2ct1xtej1xtej*22Rextejct定義：帶通信號st的復(fù)包絡(luò)為xtatejt（6-24）FxtXFx*tX*圖6-19復(fù)包絡(luò)信號x(t)譜結(jié)構(gòu)示意圖（舉例：陰影僅指示左右）Fst1X2

c X* c （6-25）12《信號與系統(tǒng)》 第六章：傅里葉變換的應(yīng)用圖6-20已調(diào)信號s(t)譜結(jié)構(gòu)示意圖（幅度減半）帶通系統(tǒng)：hth0tcosctt1hbtejct1hb*te-jct（6-26）22為帶通系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，hbth0tejt為帶通系統(tǒng)沖激響應(yīng)的復(fù)包絡(luò)。圖6-21帶通系統(tǒng)沖激響應(yīng)復(fù)包絡(luò)的幅度譜（相位譜與帶通信號相位譜相仿）帶通信號通過帶通系統(tǒng)：圖6-22帶通信號通過帶通系統(tǒng)的響應(yīng)由1jct1*-jcthth0tcosctt2hbte2hbte及statcosctt1xtejct1xtejct*22有：13《信號與系統(tǒng)》 第六章：傅里葉變換的應(yīng)用ytstht1xtejctx*tejct1hbtej