2023屆北京市第三中學(xué)高三上學(xué)期期中學(xué)業(yè)測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages44頁(yè)2023屆北京市第三中學(xué)高三上學(xué)期期中學(xué)業(yè)測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)交集的定義，求解即可.【詳解】根據(jù)交集的定義，.故選：B2．下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減的是A． B． C． D．【答案】C【解析】判斷四個(gè)選項(xiàng)中的函數(shù)的奇偶性和在上的單調(diào)性，得到答案.【詳解】選項(xiàng)A中，，是奇函數(shù)，但在上單調(diào)遞增，不滿足要求；選項(xiàng)B中，，是偶函數(shù)，不滿足要求，選項(xiàng)C中，，是奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減，滿足要求；選項(xiàng)D中，，是偶函數(shù)，不滿足要求.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，屬于簡(jiǎn)單題.3．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)（

）A．-1 B．1 C．2 D．-2【答案】B【解析】根據(jù)已知向量坐標(biāo)，將應(yīng)用坐標(biāo)表示，由知，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)公式求參數(shù)值【詳解】∵向量，∴又∴，即，解得故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求參數(shù)，根據(jù)向量垂直，由數(shù)量積的坐標(biāo)公式列方程求參數(shù)4．已知，，，則，，的大小關(guān)系是A． B． C． D．【答案】D【解析】分別對(duì)，，與特殊值或進(jìn)行比較，從而判斷出出它們的大小關(guān)系，得到答案.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所?故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查判斷對(duì)數(shù)的大小關(guān)系，屬于簡(jiǎn)單題.5．設(shè)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，討論結(jié)合指對(duì)數(shù)的單調(diào)性求的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，可得，故；當(dāng)時(shí)，，可得，故.綜上，.故選：C.6．在等差數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出等差數(shù)列的公差，進(jìn)而可求得的值.【詳解】由題意可知，等差數(shù)列的公差為，因此，.故選：A.7．函數(shù)是A．奇函數(shù)，且最大值為2 B．偶函數(shù)，且最大值為2C．奇函數(shù)，且最大值為 D．偶函數(shù)，且最大值為【答案】D【分析】由函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可判斷奇偶性；利用二倍角公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷最大值.【詳解】由題意，，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，又，所以當(dāng)時(shí)，取最大值.故選：D.8．在等差數(shù)列中，設(shè)，則是的A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分非必要條件【答案】D【分析】舉出特殊數(shù)列的例子，即可排除選項(xiàng)．【詳解】若等差數(shù)列為則當(dāng)時(shí)，成立，但不成立，所以非充分條件當(dāng)時(shí)，成立，但不成立，所以非必要條件綜上可知，是的既非充分非必要條件所以選D.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的定義，充分必要條件的判定，注意特殊值法在選擇題中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9．在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽(yáng)的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．【答案】A【解析】由題意得到關(guān)于的等式，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可得亮度的比值.【詳解】?jī)深w星的星等與亮度滿足,令,.故選A.【點(diǎn)睛】本題以天文學(xué)問題為背景,考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算.10．已知函數(shù)，若對(duì)于任意正數(shù)，關(guān)于的方程都恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則滿足條件的實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．無(wú)數(shù)【答案】B【分析】分、、三種情況討論，作出函數(shù)的圖象，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式與不等式，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的取值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)根，不合乎題意；當(dāng)時(shí)，，如下圖所示：函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，由題意可得，解得；若，則，如下圖所示：函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由題意可得，此時(shí)無(wú)解.綜上所述，.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.二、填空題11．函數(shù)的定義域是____________．【答案】【分析】根據(jù)分母不為零、真數(shù)大于零列不等式組，解得結(jié)果.【詳解】由題意得，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)定義域，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.12．若函數(shù)，對(duì)任意的都滿足，則常數(shù)的一個(gè)取值為_______.【答案】（答案不唯一）【分析】由，代入利用兩角和與差的余弦公式化簡(jiǎn)即可.【詳解】由，即，即，即，又，所以，所以，即常數(shù)的一個(gè)取值為，故答案為：.13．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，設(shè)，給出以下四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)的最小正周期是；②函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；③函數(shù)的圖象過點(diǎn)；④直線為函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是____________．【答案】①②④【分析】根據(jù)函數(shù)圖象求出，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)而求出函數(shù)的零點(diǎn)，作出圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想依次判斷結(jié)論即可.【詳解】由圖象得，，又函數(shù)圖象過點(diǎn)，所以，由，得，所以，所以，令，所以函數(shù)的零點(diǎn)有，作出圖象，如圖，由圖象可得，的最小正周期為，故①正確；函數(shù)在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，故②正確；令，得，即函數(shù)圖象過點(diǎn)，故③錯(cuò)誤；由函數(shù)圖象知直線是圖象的一條對(duì)稱軸，故④正確.故答案為：①②④三、雙空題14．已知正方形的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P滿足，則_________；_________．【答案】

【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標(biāo)系，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得以及的值.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)、、、，，則點(diǎn)，，，因此，，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的模和數(shù)量積的計(jì)算，建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15．已知數(shù)列滿足，記，則_____________；_____________．【答案】

##【分析】根據(jù)題設(shè)中的遞推關(guān)系可得，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】解：由題設(shè)可得，又，，，所以，，所以，，即，所以為等差數(shù)列，公差為，首項(xiàng)為所以，．故答案為：；四、解答題16．已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線斜率為8．（1）求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值．【答案】（1）

a=4，b=?3；（2）函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（3）函數(shù)f(x)在[?1,1]上的最大值為6，最小值為【分析】(1)由已知，利用f(1)=2，解方程求解即可；(2)求出，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；(3)由(2)知,函數(shù)f(x)在處取得極小值，結(jié)合，比較大小即可得結(jié)果.【詳解】(1)由可得∵函數(shù)的圖象過點(diǎn)P(1,2)∴f(1)=2，∴a+b=1，又函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為8，解得a=4，b=?3，(2)由(1)得，令f′(x)>0,得x<?3或，令f′(x)<0,得，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(3)由(2)知,又函數(shù)f(x)在處取得極小值，，所以函數(shù)f(x)在[?1,1]上的最大值為6,最小值為.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)解答函數(shù)最值的一般步驟：第一步：利用或求單調(diào)區(qū)間；第二步：解；第三步：比較方程的根同區(qū)間端點(diǎn)的大??；第四步：求極值；第五步：比較區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與極值的大?。?7．已知函數(shù)，，再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：（1）的最小正周期；（2）在區(qū)間上的最大值．條件①：；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】若選①，（1），（2）最大值為；若選②，（1），（2）最大值為；【分析】若選①，（1），再計(jì)算周期即可.（2）根據(jù)得到，從而得到，即可得到函數(shù)的最大值.若選②，（1），再計(jì)算周期即可.（2）根據(jù)得到，從而得到，即可得到函數(shù)的最大值.【詳解】若選①，（1）..（2）因?yàn)?，所以，所以，即的最大值?若選②，..（2）因?yàn)?，所以，所以，即的最大值?18．“雙減”政策實(shí)施以來(lái)，各地紛紛推行課后服務(wù)“5+2"模式，即學(xué)校每周周一至周五5天都要面向所有學(xué)生提供課后服務(wù)，每天至少2小時(shí)．某學(xué)校的課后服務(wù)有學(xué)業(yè)輔導(dǎo)體育鍛煉、實(shí)踐能力創(chuàng)新培養(yǎng)三大類別，為了解該校學(xué)生上個(gè)月參加課后服務(wù)的情況，該校從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人作為樣本．發(fā)現(xiàn)樣本中未參加任何課后服務(wù)的有14人，樣本中僅參加某一類課后服務(wù)的學(xué)生分布情況如下：每周參加活動(dòng)天數(shù)課后服務(wù)活動(dòng)1天2~4天5天僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)10人11人4人僅參加體育鍛煉5人12人1人僅參加實(shí)踐能力創(chuàng)新培養(yǎng)3人12人1人(1)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人．估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月至少參加了兩類課后服務(wù)活動(dòng)的概率；(2)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取3人．以頻率估計(jì)概率，以X表示這3人中上個(gè)月僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)的人數(shù)．求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(3)若樣本中上個(gè)月未參加任何課后服務(wù)的學(xué)生有人在本月選擇僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)．樣本中其他學(xué)生參加課后服務(wù)的情況在本月沒有變化．從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取3人．以頻率估計(jì)概率，以X表示這3人中上個(gè)月僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)的人數(shù)，以Y表示這3人中本月僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)的人數(shù)．試判斷方差、的大小關(guān)系（結(jié)論不要求證明）．【答案】(1)(2)分布列祥見解析、數(shù)學(xué)期望(3)【分析】（1）計(jì)算出樣本中上個(gè)月至少參加了兩類課后服務(wù)活動(dòng)的人數(shù)，除以100即可解決；（2）以n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)恰有k次發(fā)生的概率公式去求解X的4個(gè)概率；（3）以二項(xiàng)分布的方差公式去求解兩個(gè)方差.【詳解】（1）由題意得，樣本中僅參加某一類課后服務(wù)的學(xué)生共有（人）又樣本中未參加任何課后服務(wù)的有14人，故樣本中上個(gè)月至少參加了兩類課后服務(wù)活動(dòng)的學(xué)生共有（人）則從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月至少參加了兩類課后服務(wù)活動(dòng)的頻率為由此，可估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月至少參加了兩類課后服務(wù)活動(dòng)的概率（2）樣本中，上個(gè)月僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)的有（人），對(duì)應(yīng)頻率為0.25以頻率估計(jì)概率，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，上個(gè)月僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)的概率為0.25，X的可能取值為0，1，2，3，X的分布列為X0123PX的數(shù)學(xué)期望（3）由題意可知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，故.又知：上個(gè)月未參加任何課后服務(wù)的學(xué)生有人在本月選擇僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)（樣本中其他學(xué)生參加課后服務(wù)的情況在本月沒有變化．），則本月從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)的概率估計(jì)為P，且.以Y表示這3人中本月僅參加學(xué)業(yè)輔導(dǎo)的人數(shù)，由題意可知隨機(jī)變量Y服從二項(xiàng)分布，故,.19．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且(1)求的值；(2)給出以下三個(gè)條件：條件①：；條件②；條件③.這三個(gè)條件中僅有兩個(gè)正確，請(qǐng)選出正確的條件并回答下面的問題：（i）求的值；（ii）求的角平分線的長(zhǎng).【答案】(1)；(2)條件正確，(i)；(ii).【分析】(1)根據(jù)兩角和與差的正弦公式、輔助角公式化簡(jiǎn)計(jì)算可得，即可求得B；(2)利用余弦定理即可推出條件①不正確；根據(jù)三角形面積公式和余弦定理求出，結(jié)合正弦定理即可求出，再次利用正弦定理可得，解方程組即可.【詳解】（1），，，，得Z，由，得；（2）若條件①正確，由，得，由余弦定理，得，即，解得不符合題意，故條件①不正確，則條件②③正確；(i)由，，得，解得，由余弦定理，得，因?yàn)?，所以，由正弦定理，得，即?ii)由正弦定理，得，即，因?yàn)槠椒?，，所以，在中，由正弦定理，得，在中，由正弦定理，得，又，上述兩式相除，得，解得，所?20．已知函數(shù)（）.（Ⅰ）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）若有兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）若，求在區(qū)間上的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【分析】由題意得；（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求得，，根據(jù)點(diǎn)斜式方程即可求出切線方程；（Ⅱ）由題意得兩個(gè)不等的正根，令，則，由此可得函數(shù)的單調(diào)性，由此可求出答案；（Ⅲ）由題意可得，由二階導(dǎo)的取值符號(hào)可得到的單調(diào)性，得到，由此可求出函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而求出最值．【詳解】解：∵，∴；（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，，∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（Ⅱ）∵若有兩個(gè)極值點(diǎn)，∴有兩個(gè)不等的正根，即兩個(gè)不等的正根，令，，，令，當(dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞增，；當(dāng)時(shí)，此時(shí)單調(diào)遞減，∴函數(shù)在處取得極大值，也是最大值，因?yàn)閮蓚€(gè)不等的正根，∴，得，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是；（Ⅲ）∵，∴，，∵，，令，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，故，∴在上單調(diào)遞減，故在上的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，考查計(jì)算能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于難題．21．設(shè)正整數(shù)數(shù)列，，，滿足，其中.如果存在，3，，，使得數(shù)列中任意項(xiàng)的算術(shù)平均值均為整數(shù)，則稱為“階平衡數(shù)列”.(1)判斷數(shù)列2，4，6，8，10和數(shù)列1，5，9，13，17是否為“4階平衡數(shù)列”？(2)若為偶數(shù)，證明：數(shù)列，2，3，，不是“階平衡數(shù)列”，其中，3，，.(3)如果，且對(duì)于任意，3，，，數(shù)列均為“階平衡數(shù)列”，求數(shù)列中所有元素之和的最大值.【答案】(1)數(shù)列2，4，6，8，10不是4階平衡數(shù)列，數(shù)列1，5，9，13，17是4階平衡數(shù)列(2)證明見解析(3)12873【分析】（1）由不為整數(shù)，數(shù)列1，5，9，13，17為等差數(shù)列，結(jié)合新定義即可得到結(jié)論；（2）討論為偶數(shù)或奇數(shù)，結(jié)合新定義即可得證；（3）在數(shù)列中任意兩項(xiàng)，，，作差可得數(shù)列中任意兩項(xiàng)之差都是的倍數(shù)，，3，，，討論數(shù)列的項(xiàng)數(shù)超過8，推得數(shù)列的項(xiàng)數(shù)至多7項(xiàng).討論數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為7，數(shù)列的項(xiàng)數(shù)小于或等于6，奇數(shù)可得所