教輔同步課時檢測解三角形的實際應(yīng)用舉例

課時跟蹤檢測（三）解三角形的實際應(yīng)用舉例層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1.學(xué)校體育館的人字屋架為等腰三角形，如圖，測得AC的長度為4m，∠A＝30°，則其跨度AB的長為()A．12m B．8mC．3eq\r(3)m D．4eq\r(3)m解析：選D由題意知，∠A＝∠B＝30°，所以∠C＝180°－30°－30°＝120°，由正弦定理得，eq\f(AB,sinC)＝eq\f(AC,sinB)，即AB＝eq\f(AC·sinC,sinB)＝eq\f(4·sin120°,sin30°)＝4eq\r(3).2．一艘船自西向東勻速航行，上午10時到達(dá)一座燈塔P的南偏西75°距塔68nmile的M處，下午2時到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為()\f(17\r(6),2)nmile/h B．34eq\r(6)nmile/h\f(17\r(2),2)nmile/h D．34eq\r(2)nmile/h解析：選A如圖所示，在△PMN中，eq\f(PM,sin45°)＝eq\f(MN,sin120°)，∴MN＝eq\f(68×\r(3),\r(2))＝34eq\r(6)，∴v＝eq\f(MN,4)＝eq\f(17\r(6),2)nmile/h.3．若某人在點A測得金字塔頂端仰角為30°，此人往金字塔方向走了80米到達(dá)點B，測得金字塔頂端的仰角為45°，則金字塔的高度最接近于(忽略人的身高)()A．110米 B．112米C．220米 D．224米解析：選A如圖，設(shè)CD為金字塔，AB＝80米．設(shè)CD＝h，則由已知得(80＋h)×eq\f(\r(3),3)＝h，h＝40(eq\r(3)＋1)≈109(米)．從選項來看110最接近，故選A.4．設(shè)甲、乙兩幢樓相距20m，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°，則甲、乙兩幢樓的高分別是()A．20eq\r(3)m，eq\f(40\r(3),3)m B．10eq\r(3)m,20eq\r(3)mC．10(eq\r(3)－eq\r(2))m,20eq\r(3)m \f(15\r(3),2)m，eq\f(20\r(3),3)m解析：選A由題意，知h甲＝20tan60°＝20eq\r(3)(m)，h乙＝20tan60°－20tan30°＝eq\f(40\r(3),3)(m)．5．海上的A，B兩個小島相距10nmile，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B島與C島之間的距離是()A．10eq\r(3)nmile \f(10\r(6),3)nmileC．5eq\r(2)nmile D．5eq\r(6)nmile解析：選D由題意，做出示意圖，如圖，在△ABC中，C＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理，得eq\f(BC,sin60°)＝eq\f(10,sin45°)，解得BC＝5eq\r(6)(nmile)．6．某人從A處出發(fā)，沿北偏東60°行走3eq\r(3)km到B處，再沿正東方向行走2km到C處，則A，C兩地的距離為________km.解析：如圖所示，由題意可知AB＝3eq\r(3)，BC＝2，∠ABC＝150°.由余弦定理，得AC2＝27＋4－2×3eq\r(3)×2×cos150°＝49，AC＝7.則A，C兩地的距離為7km.答案：77．坡度為45°的斜坡長為100m，現(xiàn)在要把坡度改為30°，則坡底要伸長________m.解析：如圖，BD＝100，∠BDA＝45°，∠BCA＝30°，設(shè)CD＝x，所以(x＋DA)·tan30°＝DA·tan45°，又DA＝BD·cos45°＝100×eq\f(\r(2),2)＝50eq\r(2)，所以x＝eq\f(DA·tan45°,tan30°)－DA＝eq\f(50\r(2)×1,\f(\r(3),3))－50eq\r(2)＝50(eq\r(6)－eq\r(2))m.答案：50(eq\r(6)－eq\r(2))8．一蜘蛛沿東北方向爬行xcm捕捉到一只小蟲，然后向右轉(zhuǎn)105°，爬行10cm捕捉到另一只小蟲，這時它向右轉(zhuǎn)135°爬行回它的出發(fā)點，那么x＝________cm.解析：如圖所示，設(shè)蜘蛛原來在O點，先爬行到A點，再爬行到B點，易知在△AOB中，AB＝10cm，∠OAB＝75°，∠ABO＝45°，則∠AOB＝60°，由正弦定理知：x＝eq\f(AB·sin∠ABO,sin∠AOB)＝eq\f(10×sin45°,sin60°)＝eq\f(10\r(6),3)(cm)．答案：eq\f(10\r(6),3)9.如圖，甲船以每小時30eq\r(2)海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當(dāng)甲船位于A1處時，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，此時兩船相距20海里，當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A2處時，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時兩船相距10eq\r(2)海里，求乙船航行的速度．解：如圖，連接A1B2，在△A1A2B2中，易知∠A1A2B2＝60°，又易求得A1A2＝30eq\r(2)×eq\f(1,3)＝10eq\r(2)＝A2B2，∴△A1A2B2為正三角形，∴A1B2＝10eq\r(2).在△A1B1B2中，易知∠B1A1B2＝45°∴(B1B2)2＝400＋200－2×20×10eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝200，∴B1B2＝10eq\r(2)，∴乙船每小時航行30eq\r(2)10.如圖所示，在地面上共線的三點A，B，C處測得一建筑物的仰角分別為30°，45°，60°，且AB＝BC＝60m，求建筑物的高度．解：設(shè)建筑物的高度為h，由題圖知，PA＝2h，PB＝eq\r(2)h，PC＝eq\f(2\r(3),3)h，∴在△PBA和△PBC中，分別由余弦定理，得cos∠PBA＝eq\f(602＋2h2－4h2,2×60×\r(2)h)，①cos∠PBC＝eq\f(602＋2h2－\f(4,3)h2,2×60×\r(2)h).②∵∠PBA＋∠PBC＝180°，∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0.③由①②③，解得h＝30eq\r(6)或h＝－30eq\r(6)(舍去)，即建筑物的高度為30eq\r(6)m.層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1.如圖，從氣球A上測得其正前下方的河流兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時氣球的高度AD是60m，則河流的寬度BC是()A．240(eq\r(3)－1)m B．180(eq\r(2)－1)mC．120(eq\r(3)－1)m D．30(eq\r(3)＋1)m解析：選C由題意知，在Rt△ADC中，∠C＝30°，AD＝60m，∴AC＝120m．在△ABC中，∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，得BC＝eq\f(ACsin∠BAC,sin∠ABC)＝eq\f(120×\f(\r(2),2),\f(\r(6)＋\r(2),4))＝120(eq\r(3)－1)(m)．2.如圖所示為起重機裝置示意圖．支桿BC＝10m，吊桿AC＝15m，吊索AB＝5eq\r(19)mA．30m \f(15\r(3),2)mC．15eq\r(3)m D．45m解析：選B在△ABC中，AC＝15m，AB＝5eq\r(19)m，BC＝由余弦定理得cos∠ACB＝eq\f(AC2＋BC2－AB2,2×AC×BC)＝eq\f(152＋102－5\r(19)2,2×15×10)＝－eq\f(1,2)，∴sin∠ACB＝eq\f(\r(3),2).又∠ACB＋∠ACD＝180°，∴sin∠ACD＝sin∠ACB＝eq\f(\r(3),2).在Rt△ADC中，AD＝AC·sin∠ACD＝15×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(15\r(3),2)m.3.如圖所示，要測量底部不能到達(dá)的某電視塔AB的高度，在塔的同一側(cè)選擇C，D兩個觀測點，且在C，D兩點測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°，30°，在水平面上測得∠BCD＝120°，C，D兩地相距500m，則電視塔AB的高度是()A．100eq\r(2)m B．400mC．200eq\r(3)m D．500m解析：選D設(shè)AB＝x，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝x.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BD＝eq\r(3)x.在△BCD中，∠BCD＝120°，CD＝500m，由余弦定理得(eq\r(3)x)2＝x2＋5002－2×500xcos120°，解得x＝500m.4.如圖所示，位于東海某島的雷達(dá)觀測站A，發(fā)現(xiàn)其北偏東45°，與觀測站A距離20eq\r(2)海里的B處有一貨船正勻速直線行駛，半小時后，又測得該貨船位于觀測站A東偏北θ(0°<θ<45°)的C處，且cosθ＝eq\f(4,5).已知A，C兩處的距離為10海里，則該貨船的船速為()A．4eq\r(85)海里/小時 B．3eq\r(85)海里/小時C．2eq\r(7)海里/小時 D．4eq\r(6)海里/小時解析：選A因為cosθ＝eq\f(4,5)，0°<θ<45°，所以sinθ＝eq\f(3,5)，cos(45°－θ)＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(4,5)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(3,5)＝eq\f(7\r(2),10)，在△ABC中，BC2＝(20eq\r(2))2＋102－2×20eq\r(2)×10×eq\f(7\r(2),10)＝340，所以BC＝2eq\r(85)，該貨船的船速為eq\f(2\r(85),\f(1,2))＝4eq\r(85)海里/小時．5.如圖所示，客輪以速度2v由A至B再到C勻速航行，貨輪從AC的中點D出發(fā)，以速度v沿直線勻速航行，將貨物送達(dá)客輪．已知AB⊥BC，且AB＝BC＝50nmile，若兩船同時起航出發(fā)，則兩船相遇之處距C點________nmile(結(jié)果精確到小數(shù)點后一位)．解析：由題易知兩船相遇之處M位于BC上，如圖，設(shè)|MC|＝d，則eq\f(100±d,2v)＝eq\f(\r(d2＋25\r(2)2±2·d·25\r(2)cos45°),v)(M位于BC延長線上取“＋”，M位于BC上取“－”)，所以(100±d)2＝4[d2＋(25eq\r(2))2±50d]，即3d2＝1002－5000，所以d2＝eq\f(5000,3)，即d≈(nmile)．答案：6．甲船在A處觀察乙船，乙船在它的北偏東60°方向的B處，兩船相距anmile，乙船正向北行駛，若甲船的速度是乙船的eq\r(3)倍，則甲船應(yīng)沿________方向行駛才能追上乙船；追上時甲船行駛了________nmile.解析：如圖所示，設(shè)在C處甲船追上乙船，乙船到C處用的時間為t，乙船的速度為v，則BC＝tv，AC＝eq\r(3)tv，又B＝120°，則由正弦定理eq\f(BC,sin∠CAB)＝eq\f(AC,sinB)，得eq\f(1,sin∠CAB)＝eq\f(\r(3),sin120°)，∴sin∠CAB＝eq\f(1,2)，∴∠CAB＝30°，∴甲船應(yīng)沿北偏東30°方向行駛．又∠ACB＝180°－120°－30°＝30°，∴BC＝AB＝anmile，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BCcos120°)＝eq\r(a2＋a2－2a2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq\r(3)a(nmile)答案：北偏東30°eq\r(3)a7.如圖所示，在社會實踐中，小明觀察一棵桃樹．他在點A處發(fā)現(xiàn)桃樹頂端點C的仰角大小為45°，往正前方走4m后，在點B處發(fā)現(xiàn)桃樹頂端點C的仰角大小為75°.(1)求BC的長；(2)若小明身高為1.70m，求這棵桃樹頂端點C離地面的高度(精確到0.01m，其中eq\r(3)≈．解：(1)在△ABC中，∠CAB＝45°，∠DBC＝75°，則∠ACB＝75°－45°＝30°，AB＝4，由正弦定理得eq\f(BC,sin45°)＝eq\f(4,sin30°)，解得BC＝4eq\r(2)(m)．即BC的長為4eq\r(2)m.(2)在△CBD中，∠CDB＝90°，BC＝4eq\r(2)，所以DC＝4eq\r(2)sin75°.因為sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4)，則DC＝2＋2eq\r(3).所以CE＝ED＋DC＝＋2＋2eq\r(3)≈＋≈(m)．即這棵桃樹頂端點C離地面的高度為7.1