能控性和能觀測性分析

第3章能控性和能觀性分析狀態(tài)空間模型建立了輸入、狀態(tài)、輸出之間的關(guān)系。狀態(tài)方程反映控制輸入對狀態(tài)的影響；輸出方程反映系統(tǒng)輸出對控制輸入和狀態(tài)的依賴。能控性揭示系統(tǒng)輸入對狀態(tài)的控制能力；能觀性反映系統(tǒng)外部輸出對內(nèi)部狀態(tài)的觀測能力?？柭岢隽四芸匦?、能觀性概念。能控性和能觀測性分析共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!3.1系統(tǒng)的能控性3.1.1能控性定義

系統(tǒng)模型對系統(tǒng)的一個狀態(tài)x0，如果存在一個有限時刻T和時間段[0,T]上定義的控制信號u，使得以x0為初始狀態(tài)的系統(tǒng)，在這樣一個控制信號的作用下，有x(T)=0，則稱狀態(tài)x0是能控的。若系統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，則稱系統(tǒng)是完全能控的,也簡稱為能控的。有時也稱矩陣對是能控的。能控性和能觀測性分析共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!

3.1.2能控性判據(jù)按定義，要求尋找到一個具體的控制律。由可得矩陣指數(shù)函數(shù)可以表示成有限項(xiàng)的和記則轉(zhuǎn)化成線性方程組的求解問題能控性和能觀測性分析共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!例3.1.1檢驗(yàn)由以下狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)的能控性：解能控性檢驗(yàn)矩陣不是滿秩的，故系統(tǒng)不能控。能控性和能觀測性分析共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!例3.1.4考慮能控標(biāo)準(zhǔn)型

因?yàn)?/p>

能控性檢驗(yàn)矩陣總是非奇異的。故系統(tǒng)是能控的。能控性和能觀測性分析共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!定理的說明1。若系統(tǒng)能控，則對所有時間T，都是非奇異的2。若非奇異，則可以構(gòu)造出將非零初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)的控制律3。若系統(tǒng)能控，由（1），可在任意短時間內(nèi)將非零狀態(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)稱為能控格拉姆矩陣能控性和能觀測性分析共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!定理3.1.4任意單輸入能控系統(tǒng)的任意狀態(tài)空間模型都能等價變換成能控標(biāo)準(zhǔn)型證明以3階系統(tǒng)為例證明。矩陣A的特征多項(xiàng)式是記能控性和能觀測性分析共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!是能控的，故它可等價變換到，相應(yīng)的變換矩陣是，即利用前面的變換關(guān)系，可得定義，則*將能控對等價變換到能控標(biāo)準(zhǔn)型的步驟總結(jié)如下：第1步計(jì)算矩陣A的特征多項(xiàng)式：第2步記定義，則能控性和能觀測性分析共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!3.1.4輸出能控性控制輸入影響輸出的能力—輸出能控性。若對任意的初始輸出y0，存在有限時刻T和在時間段[0,T]上定義的控制信號u，使得在該控制作用下，系統(tǒng)的輸出從初始輸出y0轉(zhuǎn)移到任意給定的最終輸出y(T)，則系統(tǒng)稱為是輸出完全能控的，簡稱輸出能控。檢驗(yàn)條件：矩陣的秩等于該矩陣的行數(shù)。能控性和能觀測性分析共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!3.2系統(tǒng)的能觀性所考慮的系統(tǒng)狀態(tài)變量未必都可以從外部觀測到！1。檢測手段的限制；2。一些狀態(tài)變量不是物理量。問題：如何（可否）通過輸入輸出信息來了解系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)？能控性和能觀測性分析共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!定義3.2.1若以非零初始狀態(tài)x0產(chǎn)生的輸出響應(yīng)(零輸入響應(yīng))恒為零，即對所有的時間t，則稱狀態(tài)x0是不能觀的。若系統(tǒng)中沒有不能觀的狀態(tài)，則系統(tǒng)稱為是狀態(tài)完全能觀的（簡稱能觀），也稱矩陣對是能觀的。不能觀狀態(tài)的物理意義！例系統(tǒng)的狀態(tài)是不能觀的。

系統(tǒng)的輸出響應(yīng)能控性和能觀測性分析共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!定理3.2.1系統(tǒng)能觀的充分必要條件是能觀性檢驗(yàn)矩陣。例檢驗(yàn)系統(tǒng)的能觀性：因此系統(tǒng)是不能觀的。能控性和能觀測性分析共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!定義能觀格拉姆矩陣：結(jié)論：系統(tǒng)能觀的充分必要條件是矩陣非奇異定理3.2.2若對某個常數(shù)T，矩陣非奇異，則系統(tǒng)的初始狀態(tài)可用時間段[0,T]上的輸出信號確定：由于，故可以用任意短時間內(nèi)的輸出信號來確定狀態(tài)。能控性和能觀測性分析共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!對于互為對偶的系統(tǒng)系統(tǒng)（I）能控（能觀）的充分必要條件是系統(tǒng)（II）能觀（能控）。優(yōu)點(diǎn)：能觀（能控）性問題可以轉(zhuǎn)化為能控（能觀）性問題來處理。例能觀與能控標(biāo)準(zhǔn)型互為對偶系統(tǒng)(特征多項(xiàng)式同)能控性和能觀測性分析共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!系統(tǒng)的傳遞函數(shù)有一個公因子零極相消導(dǎo)致能控、能觀性的缺失。能控性和能觀測性分析共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!（2）在中的零極相消考慮

沒有零極相消的充分必要條件是，能控！能控性和能觀測性分析共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!即定理3.1.1系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是（即上述線性方程有唯一解，亦即在[0，T]上存在著控制信號u）式中為能控性檢驗(yàn)矩陣。檢驗(yàn)是否滿秩的方法：計(jì)算的行列式能控性和能觀測性分析共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!例3.1.2倒立擺系統(tǒng)線性化狀態(tài)空間模型的系數(shù)矩陣是能控性檢驗(yàn)矩陣故系統(tǒng)是能控的。能控性和能觀測性分析共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁!定理3.1.2系統(tǒng)完全能控的充分必要條件是存在常數(shù)T>0，使得n維矩陣是非奇異的。

構(gòu)造控制律故由能控性定義得到系統(tǒng)的能控性。能控性和能觀測性分析共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁!

3.1.3能控性的性質(zhì)能控性基于狀態(tài)方程系數(shù)矩陣A、B定義。定理3.1.3等價的狀態(tài)空間模型具有相同的能控性。由T是非奇異矩陣可得結(jié)論。能控性和能觀測性分析共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁!由系統(tǒng)能控性推出矩陣T是可逆的，故可見能控矩陣對等價于；而能控標(biāo)準(zhǔn)型也等價于；證明任意能控矩陣對等價于能控標(biāo)準(zhǔn)型！記能控性和能觀測性分析共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁!例3.1.7考慮由以下狀態(tài)空間模型描述的連續(xù)系統(tǒng)

（能控）檢驗(yàn)其離散化狀態(tài)空間模型的能控性。當(dāng)，其第2行為零，不能控。能控性和能觀測性分析共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁!例3.1.8判斷以下系統(tǒng)的狀態(tài)和輸出能控性

系統(tǒng)的狀態(tài)能控性矩陣由于，故系統(tǒng)不是狀態(tài)完全能控的。輸出能控性矩陣

顯然它是行滿秩的，故輸出能控。

結(jié)論：系統(tǒng)輸出能控，但不是狀態(tài)能控的。能控性和能觀測性分析共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁!已知系統(tǒng)的輸出方程，是否可以通過輸入輸出數(shù)據(jù)確定狀態(tài)呢？按狀態(tài)方程，能觀性關(guān)鍵為確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)！

左邊是已知信號，右邊是包含待估計(jì)的能控性和能觀測性分析共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁!引理3.2.1若x0是系統(tǒng)的不能觀狀態(tài)，則證明根據(jù)條件，對時間t連續(xù)微分，可得取t＝0即得到結(jié)論。能控性和能觀測性分析共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁!例考慮倒立擺系統(tǒng)，假定只有小車的位移可以測量，

由可得系統(tǒng)是能觀的。因此，可以通過小車的位移估計(jì)小車的速度、擺桿的偏移角和角速度。能控性和能觀測性分析共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁!3.3能控能觀性的對偶原理由于定理3.3.1能控的充分必要條件是能觀能觀標(biāo)準(zhǔn)型（能控標(biāo)準(zhǔn)型的轉(zhuǎn)置）是能觀的能控性和能觀測性分析共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁!3.4基于傳遞函數(shù)的能控能觀性條件描述系統(tǒng)內(nèi)部特性的能控、能觀性和傳遞函數(shù)的關(guān)系例

同一個系統(tǒng)的不同狀態(tài)空間模型（對偶而非等價變換）帶來顯著的能控、能觀性的差異！能控性和能觀測性分析共30頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁!（1）在中的零