第七章測量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識課件

7測量誤差及

數(shù)據(jù)處理的基本知識【本章知識要點(diǎn)】觀測條件；等精度觀測；非等精度觀測；粗差；系統(tǒng)誤差；偶然誤差及其特性；多余觀測；標(biāo)準(zhǔn)差；中誤差；極限誤差；容許誤差；相對誤差；誤差傳播定律；最或是值；改正數(shù)；等精度觀測值中誤差；算術(shù)平均值中誤差；權(quán)；定權(quán)方法；非等精度觀測值精度評定；單位權(quán)中誤差計算。7測量誤差及

數(shù)據(jù)處理的基本知識【本章7.1測量誤差概述7.1.1.誤差來源（儀器、人、環(huán)境）測量中的被觀測量客觀上多存在一個真實(shí)值或理論值，對該量進(jìn)行觀測得到觀測值，觀測值Li與真實(shí)值X（或理論值）

之差稱為真誤差

，即：

i=Li－X7.1.2.誤差分類：(1)系統(tǒng)誤差──（積聚性、可預(yù)知性）(2)偶然誤差──（抵償性、不可預(yù)知性）12/11/20223:09PM7.1測量誤差概述12/11/20229:25AM系統(tǒng)誤差誤差大小、符號按一定規(guī)律變化或保持常數(shù)具有累計性偶然誤差誤差大小、符號無規(guī)律變化抵消性粗差

由于粗心和干擾產(chǎn)生大于限差的誤差12/11/20223:09PM系統(tǒng)誤差12/11/20229:25AM7.1.3.多余觀測必要觀測距離往返測水準(zhǔn)紅黑面讀數(shù)角度多測回

多余觀測→差值→評定精度12/11/20223:09PM7.1.3.多余觀測必要觀測12/11/20229:257.1.4偶然誤差的統(tǒng)計規(guī)律

真誤差定義式：i=Li－X

（X真值；L觀測值）

12/11/20223:09PM7.1.4偶然誤差的統(tǒng)計規(guī)律

12/11/20229:12/11/20223:09PM誤差區(qū)間△″正誤差負(fù)誤差合計個數(shù)k頻率k/n個數(shù)k頻率k/n個數(shù)k頻率k/n0.0～0.2450.126460.128910.2540.2～0.4400.112410.115810.2260.4～0.6330.092330.092660.1840.6～0.8230.064210.059440.1230.8～1.0170.047160.045330.0921.0～1.2130.036130.036260.0731.2～1.460.01750.014110.0311.4～1.640.01120.00660.0171.6以上000000總和1810.5051770.4953581.00012/11/20229:25AM誤差區(qū)間正誤差負(fù)12/11/20223:09PM12/11/20229:25AM

(1)有界性

在一定的觀測條件下，偶然誤差不會超過某一定值(2)單峰性

絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的可能性大(3)對稱性

絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的可能性相等(4)抵償性當(dāng)觀測次數(shù)無限增加，偶然誤差的算術(shù)平均值趨向零誤差分布------正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)差σ12/11/20223:09PM(1)有界性12/11/20229:25AM正態(tài)分布曲線的數(shù)學(xué)方程式12/11/20223:09PM正態(tài)分布曲線的數(shù)學(xué)方程式12/11/20229:25AMπ=3.1416e=2.7183σ為標(biāo)準(zhǔn)差σ2為標(biāo)準(zhǔn)差的平方，稱為方差。12/11/20223:09PMπ=3.1416e=2.718312/11/2甲系統(tǒng)誤差12/11/20223:09PM甲系統(tǒng)誤差12/11/20229:25AM乙偶然誤差12/11/20223:09PM乙偶然誤差12/11/20229:25AM丙偶然誤差12/11/20223:09PM丙偶然誤差12/11/20229:25AM測量精度12/11/20223:09PM測量精度12/11/20229:25AM7.2評定精度的標(biāo)準(zhǔn)

7.2.1標(biāo)準(zhǔn)差與中誤差

(1)定義式

12/11/20223:09PM7.2評定精度的標(biāo)準(zhǔn)12/11/20229:25AM按觀測值的真誤差計算中誤差序號第一組觀測第二組觀測觀測值真誤差△△2觀測值真誤差△△21179°59′59″-1″1180°00′08″+8″642179°59′58″-2″4179°59′54″-6″363180°00′02″+2″4180°00′03″+3″94179°59′57″-3″9180°00′00″0″05180°00′03″+3″9179°59′53″-7″496180°00′00″0″0179°59′51″-9″817179°59′56″-4″16180°00′08″+8″648180°00′03″+3″9180°00′07″+7″499179°59′58″-2″4179°59′54″-6″3610180°00′02″+2″4180°00′04″+4″16∑

+2″60

+2″404中誤差【△△】=60n=10【△△】=404n=10m1=±2.5″m2=±6.4″12/11/20223:09PM按觀測值的真誤差計算中誤差序號第一組觀測第二組觀測觀測值真誤(2)概率意義12/11/20223:09PM(2)概率意義12/11/20229:25AM7.2.2.極限誤差P(|Δ|<1m)=0.683=68.3%P(|Δ|<2m)=0.954=95.4%P(|Δ|<3m)=0.997=99.7%所以，一般容許或極限誤差取：12/11/20223:09PM7.2.2.極限誤差P(|Δ|<1m)=0.683=687.2.3.

相對誤差K(1)定義(2)適用情況

例：丈量200m和80m的中誤差都是±20mm，精度怎樣描述？12/11/20223:09PM例：丈量200m和80m的中誤差都是±20mm，精度怎樣描述中誤差m極限誤差Δ允=2m相對中誤差絕對誤差平均誤差θ或然誤差ρ12/11/20223:09PM中誤差m12/11/20229:25AM則函數(shù)的中誤差與觀測值中誤差之間的關(guān)系式7.3誤差傳播定律設(shè)有一般函數(shù)：誤差傳播定律描述觀測值的中誤差與觀測值函數(shù)的中誤差之間的關(guān)系(5-27)12/11/20223:09PM則函數(shù)的中誤差與觀測值中誤差之間的關(guān)系式7.3誤差傳播定律1、按問題要求寫出函數(shù)式2、對函數(shù)式全微分3、寫出函數(shù)的中誤差與觀測值中誤差之間的關(guān)系式1）函數(shù)中誤差的計算方法：12/11/20223:09PM1、按問題要求寫出函數(shù)式2、對函數(shù)式全微分3、寫出函數(shù)的中誤第七章測量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識課件例S=ababbmaambmamb12/11/20223:09PM例S=ababbmaambmamb12/11/2）特殊函數(shù)中誤差的計算方法：（1）、倍函數(shù)中誤差（2）、和或差函數(shù)中誤差（3）、線性函數(shù)12/11/20223:09PM2）特殊函數(shù)中誤差的計算方法：（1）、倍函數(shù)中誤差12/11（1）、倍函數(shù)中誤差設(shè)有函數(shù)：

z=kx式中k為常數(shù)；x為觀測值，其中誤差為mx；則函數(shù)Z的中誤差為mz

mz=kmx

即觀測值與某一常數(shù)乘積的中誤差，等于觀測值中誤差乘該常數(shù)12/11/20223:09PM（1）、倍函數(shù)中誤差設(shè)有函數(shù)：12/11/20229

z=kxΔZI=kΔxI

(ΔZI)2=(kΔxI)2

…

mz2=k2mx2

mz=kmx12/11/20223:09PMz=kx12/11/2022例

在1：500地形圖上，量得某線段的平距為dAB=51.2mm±0.2mm，求AB的實(shí)地平距DAB及其中誤差mD。解：函數(shù)關(guān)系為

DAB=500×dAB=25600mm

中誤差式為

mDAB=500mdAB=±100mm

DAB=25.600±0.1m

12/11/20223:09PM例在1：500地形圖上，量得某線段的平距為dAB=51（2）、和或差函數(shù)中誤差設(shè)有函數(shù)：

z=x±yx、y為觀測值，其中誤差分別為mx、my；則函數(shù)Z的中誤差為mz

mz2=mx2＋my2

即兩觀測值代數(shù)和的中誤差平方，等于兩觀測值中誤差平方之和。12/11/20223:09PM（2）、和或差函數(shù)中誤差設(shè)有函數(shù)：12/11/20229:原理HB=HA+(a–b)12/11/20223:09PM原理HB=HA+(a–b)12/11/2022例

水準(zhǔn)測量測站高差計算公式為h=a-b。已知后視讀數(shù)的中誤差為ma±1mm，前視讀數(shù)的中誤差為mb±1mm，求每測站高差的中誤差mh。解：函數(shù)關(guān)系為

h=a–b

中誤差式為

mh=±1.41mm12/11/20223:09PM例水準(zhǔn)測量測站高差計算公式為h=a-b。已知后視讀數(shù)的推廣式設(shè)有函數(shù)：

z=x1±x2±…±xnx、y為觀測值，其中誤差分別為mxi、；則函數(shù)Z的中誤差為mz

mz2=m12＋m22＋…＋mn2

即n個觀測值代數(shù)和的中誤差平方，等于n觀測值中誤差平方之和。

當(dāng)m1=

m2=

…

=

mn=m時；則有

mz2=m2＋m2＋…＋m2

mz2

=nm2

mz=√nm

12/11/20223:09PM推廣式設(shè)有函數(shù)：12/11/20229:25AM（3）、線性函數(shù)設(shè)有函數(shù)：

z=k1x1±k2x2±…±knxn式中ki為常系數(shù)；xi為獨(dú)立觀測值，其中誤差分別為mxi、；則函數(shù)Z的中誤差為mz

mz2=k12

m12＋k22m22＋…＋kn2mn2

即一組常數(shù)與一組獨(dú)立觀測值乘積代數(shù)和的中誤差平方，等于各常數(shù)與相應(yīng)觀測值中誤差乘積的平方之和。12/11/20223:09PM（3）、線性函數(shù)設(shè)有函數(shù)：12/11/20229:25A例對某段距離測量了n次，觀測值為l1,l2,…ln,觀測值為相互獨(dú)立的等精度觀測，觀測值的中誤差為m，求算術(shù)平均值的中誤差mx。

函數(shù)關(guān)系為

全微分式

中誤差式為

12/11/20223:09PM例對某段距離測量了n次，觀測值為l1,l2,…ln,例光電測距三角高程公式為h=Dtanα+i–v，已知D=192.263m±0.006m，α=8°9′16″±6″，i=1.515m±0.002mv=1.627m±0.002m求高差h的中誤差mh。12/11/20223:09PM例光電測距三角高程公式為12/11/20229:25AM函數(shù)關(guān)系為h=Dtanα+i–v，其全微分式為

中誤差式為

Mh=±7mmh=27.437=±0.007m

12/11/20223:09PM函數(shù)關(guān)系為h=Dtanα+i–v，12/11/202計算實(shí)例1.【例7-2】課本P124，任意函數(shù)2.【例7-3】課本P125，倍函數(shù)3.【例7-4】課本P125，和差函數(shù)4.【例7-5】課本P125，線性函數(shù)12/11/20223:09PM計算實(shí)例12/11/20229:25AM中誤差的計算注意：（1）如果是距離D，則需要計算相對誤差K；（2）如果是角度，則不要計算相對誤差K。12/11/20223:09PM中誤差的計算注意：12/11/207.3.2誤差傳播定律的應(yīng)用1）鋼尺分段量距的精度2）一般水準(zhǔn)測量的精度（1）水準(zhǔn)尺讀數(shù)中誤差7.3.2誤差傳播定律的應(yīng)用1）鋼尺分段量距的精度（2）一測站的高差中誤差（3）依據(jù)測站數(shù)計算高差中誤差（4）依據(jù)線路長度計算高差中誤差（2）一測站的高差中誤差（5）往返測所得高差閉合差的容許值（5）往返測所得高差閉合差的容許值3）經(jīng)緯儀測量水平角的精度（1）半測回方向值中誤差（2）半測回角值中誤差（3）上、下半測回角值之差的中誤差（4）一測回角值中誤差3）經(jīng)緯儀測量水平角的精度（1）半測回方向值中誤差7.4等精度觀測值的精度評定7.4.1算術(shù)平均值證明：算術(shù)平均值=最可靠值7.4.2改正數(shù)

v=x－L

特點(diǎn)：(1)［v］=0（可證明）(2)［vv］=min（可證明）12/11/20223:09PM7.4等精度觀測值的精度評定7.4.1算術(shù)平均值12V1=x-l1V2=x

–

l2。。。Vn=x

–

ln[v]=nx-[

l

][v]=012/11/20223:09PMV1=x-l112/11/20229:25AM[vv]min=(x-l1)2+(x-l2)2+…+(x-ln)2

d

[vv]/dx=2[(x

–

l)]=0nx

–[l]=0

x=[l]/n等精度觀測值的算術(shù)平均值x即為：最可靠值12/11/20223:09PM[vv]min=(x-l1)2+(x-l2)2+7.4.3等精度觀測值的中誤差因為在大多數(shù)情況下△為未知V1=x

–l1V2=x–l2。。。Vn=x–ln△1＝X－l1△2＝X－l2。。?！?/p>

n=X–ln只能通過上面兩關(guān)系式找出m

與

v

之間的關(guān)系12/11/20223:09PM7.4.3等精度觀測值的中誤差因為在大多數(shù)情況下△為未知V觀測值中誤差：12/11/20223:09PM觀測值中誤差：12/11/20229:25AM7.4.4算術(shù)平均值中誤差7.4.4算術(shù)平均值中誤差用改正數(shù)(v)計算最或是值中誤差：用改正數(shù)(v)計算最或是值中誤差：表7-2算術(shù)平均值：觀測值中誤差：算術(shù)平均值中誤差：序號L（m）V（cm）VV精度評定1251.52-39最后結(jié)果可寫成x=251.49±0.01（m）2251.46+393251.49004251.48-115251.50+11[V]=0[VV]=20算術(shù)平均值相對中誤差：表7-2算術(shù)平均值：觀測值中誤差：算術(shù)平均值中誤差：序號L（7.5非等精度觀測值的精度評定（1）不等精度觀測不同觀測條件（2）不等精度觀測→權(quán)權(quán)大，精度高，觀測值可靠性強(qiáng)權(quán)小，精度低，觀測值可靠性差7.5非等精度觀測值的精度評定（1）不等精度觀測問題:怎樣求P點(diǎn)的高程ACBPN3=35站N2=20站N1=15站S1=2kmS3=4kmS2=3kmh1h2h3HP=HA+h1HP=HB+h2HP=HC+h312/11/20223:09PM問題:怎樣求P點(diǎn)的高程ACBPN3=35站N2=20站N1=第一組觀測了四次,

l1,l2,l3,l4第二組觀測了兩次,

l1’,l2’例

對某一觀測量進(jìn)行了兩組觀測:12/11/20223:09PM例對某一觀測量進(jìn)行了兩組觀測:12/11/20229:x1=(l1+l2+l3+l4)/4x2=(l1’+l2’)/2

l1l2l3l4

l1’l2’的精度是相同的，x1與x2的精度是不同的!X=(l1+l2+l3+l4

+l1’+l2’)/6=(4x1

+2x2)/(4+2)12/11/20223:09PMx1=(l1+l2+l3+l4)/412/1單位權(quán)

等于1的權(quán)

單位權(quán)觀測值

P=1的觀測值

單位權(quán)中誤差μ

單位權(quán)觀測值的中誤差權(quán)的概念中誤差小，精度高，觀測值可靠性大，權(quán)大中誤差大，精度低，觀測值可靠性差，權(quán)小12/11/20223:09PM單位權(quán)等于1的權(quán)

單位權(quán)權(quán)與中誤差關(guān)系l1l2l3l4

l1’l2’的精度是相同的，設(shè)其中誤差皆為m，則x1與x2的中誤差分別為

12/11/20223:09PM上式可以說明可以任意選擇μ的值，但并不改變觀測值之間的權(quán)的比

。權(quán)與中誤差關(guān)系l1l2l3l4l1’距離、高差、角度觀測值的定權(quán)方法同精度丈量時，邊長的權(quán)與邊長成反比

Pi=c/si當(dāng)每公里水準(zhǔn)測量精度相同時，水準(zhǔn)路線觀測高差的權(quán)與路線長度成反比

Pi=c/si由角度觀測值求算術(shù)平均值時，其權(quán)與觀測值個數(shù)（測回數(shù)）成正比Pi=ni/c12/11/20223:09PM距離、高差、角度觀測值的定權(quán)方法同精度丈量時，邊長的權(quán)與邊長例設(shè)對某量進(jìn)行了n次等精度觀測，求算術(shù)平均值的權(quán)。解：設(shè)一測回角度觀測值中誤差為m則算術(shù)平均值的中誤差為令μ=m一測回角度觀測值權(quán)為p=μ2/m2=1算術(shù)平均值的權(quán)為p=μ2/mx2=n12/11/20223:09PM例設(shè)對某量進(jìn)行了n次等精度觀測，求算術(shù)平均值的權(quán)。127.5.2權(quán)及中誤差加權(quán)算術(shù)平均值：12/11/20223:09PM7.5.2權(quán)及中誤差加權(quán)算術(shù)平均值：12/11/2022加權(quán)平均值的中誤差μ怎么求？12/11/20223:09PM加權(quán)平均值的中誤差μ怎么求？12/11/20229:257.5.3單位權(quán)中誤差的計算

（μ怎么求？）因為可以用Δi代替mi，nμ2=[pm2]=[pΔΔ]μ2=[pΔΔ]/n實(shí)際應(yīng)用時，v=x–l

12/11/20223:09PM7.5.3單位權(quán)中誤差的計算

（μ怎么求？單位權(quán)中誤差μ2=[pvv]/(n-1)加權(quán)平均值中誤差mx=μ/√[p]12/11/20223:09PM單位權(quán)中誤差μ2=[pvv]/(n-1)12/11/例7-8例7-8算例7-9序號測回數(shù)觀測值°′″權(quán)pivipivi2備注124020142+432244020174224Σ1660X=40°20′18″μ=±5.5″mx=±1.6″12/11/20223:09PM算例7-9序號測回數(shù)觀測值權(quán)pivipivi2備注12課堂作業(yè)：設(shè)某矩形長和寬分別為A、B，其測量中誤差分別為mA、mB，試求其周長和面積的中誤差。課外作業(yè)：

7.2、7.3、7.4、7.10、7.14

12/11/20223:09PM課堂作業(yè)：12/11/20229:25AM本章小結(jié)1、測量誤差（來源、分類、處理方法）。2、偶然誤差及其特性3、精度的概念：等精度、非等精度粗差。4、精度標(biāo)準(zhǔn)：標(biāo)準(zhǔn)差、中誤差、極限誤差、容許誤差、相對誤差。5、誤差傳播定律及應(yīng)用。6、權(quán)的概念；定權(quán)方法；非等精度觀測值精度評定；單位權(quán)中誤差計算。本章小結(jié)1、測量誤差（來源、分類、處理方法）。7測量誤差及

數(shù)據(jù)處理的基本知識【本章知識要點(diǎn)】觀測條件；等精度觀測；非等精度觀測；粗差；系統(tǒng)誤差；偶然誤差及其特性；多余觀測；標(biāo)準(zhǔn)差；中誤差；極限誤差；容許誤差；相對誤差；誤差傳播定律；最或是值；改正數(shù)；等精度觀測值中誤差；算術(shù)平均值中誤差；權(quán)；定權(quán)方法；非等精度觀測值精度評定；單位權(quán)中誤差計算。7測量誤差及

數(shù)據(jù)處理的基本知識【本章7.1測量誤差概述7.1.1.誤差來源（儀器、人、環(huán)境）測量中的被觀測量客觀上多存在一個真實(shí)值或理論值，對該量進(jìn)行觀測得到觀測值，觀測值Li與真實(shí)值X（或理論值）

之差稱為真誤差

，即：

i=Li－X7.1.2.誤差分類：(1)系統(tǒng)誤差──（積聚性、可預(yù)知性）(2)偶然誤差──（抵償性、不可預(yù)知性）12/11/20223:09PM7.1測量誤差概述12/11/20229:25AM系統(tǒng)誤差誤差大小、符號按一定規(guī)律變化或保持常數(shù)具有累計性偶然誤差誤差大小、符號無規(guī)律變化抵消性粗差

由于粗心和干擾產(chǎn)生大于限差的誤差12/11/20223:09PM系統(tǒng)誤差12/11/20229:25AM7.1.3.多余觀測必要觀測距離往返測水準(zhǔn)紅黑面讀數(shù)角度多測回

多余觀測→差值→評定精度12/11/20223:09PM7.1.3.多余觀測必要觀測12/11/20229:257.1.4偶然誤差的統(tǒng)計規(guī)律

真誤差定義式：i=Li－X

（X真值；L觀測值）

12/11/20223:09PM7.1.4偶然誤差的統(tǒng)計規(guī)律

12/11/20229:12/11/20223:09PM誤差區(qū)間△″正誤差負(fù)誤差合計個數(shù)k頻率k/n個數(shù)k頻率k/n個數(shù)k頻率k/n0.0～0.2450.126460.128910.2540.2～0.4400.112410.115810.2260.4～0.6330.092330.092660.1840.6～0.8230.064210.059440.1230.8～1.0170.047160.045330.0921.0～1.2130.036130.036260.0731.2～1.460.01750.014110.0311.4～1.640.01120.00660.0171.6以上000000總和1810.5051770.4953581.00012/11/20229:25AM誤差區(qū)間正誤差負(fù)12/11/20223:09PM12/11/20229:25AM

(1)有界性

在一定的觀測條件下，偶然誤差不會超過某一定值(2)單峰性

絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的可能性大(3)對稱性

絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的可能性相等(4)抵償性當(dāng)觀測次數(shù)無限增加，偶然誤差的算術(shù)平均值趨向零誤差分布------正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)差σ12/11/20223:09PM(1)有界性12/11/20229:25AM正態(tài)分布曲線的數(shù)學(xué)方程式12/11/20223:09PM正態(tài)分布曲線的數(shù)學(xué)方程式12/11/20229:25AMπ=3.1416e=2.7183σ為標(biāo)準(zhǔn)差σ2為標(biāo)準(zhǔn)差的平方，稱為方差。12/11/20223:09PMπ=3.1416e=2.718312/11/2甲系統(tǒng)誤差12/11/20223:09PM甲系統(tǒng)誤差12/11/20229:25AM乙偶然誤差12/11/20223:09PM乙偶然誤差12/11/20229:25AM丙偶然誤差12/11/20223:09PM丙偶然誤差12/11/20229:25AM測量精度12/11/20223:09PM測量精度12/11/20229:25AM7.2評定精度的標(biāo)準(zhǔn)

7.2.1標(biāo)準(zhǔn)差與中誤差

(1)定義式

12/11/20223:09PM7.2評定精度的標(biāo)準(zhǔn)12/11/20229:25AM按觀測值的真誤差計算中誤差序號第一組觀測第二組觀測觀測值真誤差△△2觀測值真誤差△△21179°59′59″-1″1180°00′08″+8″642179°59′58″-2″4179°59′54″-6″363180°00′02″+2″4180°00′03″+3″94179°59′57″-3″9180°00′00″0″05180°00′03″+3″9179°59′53″-7″496180°00′00″0″0179°59′51″-9″817179°59′56″-4″16180°00′08″+8″648180°00′03″+3″9180°00′07″+7″499179°59′58″-2″4179°59′54″-6″3610180°00′02″+2″4180°00′04″+4″16∑

+2″60

+2″404中誤差【△△】=60n=10【△△】=404n=10m1=±2.5″m2=±6.4″12/11/20223:09PM按觀測值的真誤差計算中誤差序號第一組觀測第二組觀測觀測值真誤(2)概率意義12/11/20223:09PM(2)概率意義12/11/20229:25AM7.2.2.極限誤差P(|Δ|<1m)=0.683=68.3%P(|Δ|<2m)=0.954=95.4%P(|Δ|<3m)=0.997=99.7%所以，一般容許或極限誤差?。?2/11/20223:09PM7.2.2.極限誤差P(|Δ|<1m)=0.683=687.2.3.

相對誤差K(1)定義(2)適用情況

例：丈量200m和80m的中誤差都是±20mm，精度怎樣描述？12/11/20223:09PM例：丈量200m和80m的中誤差都是±20mm，精度怎樣描述中誤差m極限誤差Δ允=2m相對中誤差絕對誤差平均誤差θ或然誤差ρ12/11/20223:09PM中誤差m12/11/20229:25AM則函數(shù)的中誤差與觀測值中誤差之間的關(guān)系式7.3誤差傳播定律設(shè)有一般函數(shù)：誤差傳播定律描述觀測值的中誤差與觀測值函數(shù)的中誤差之間的關(guān)系(5-27)12/11/20223:09PM則函數(shù)的中誤差與觀測值中誤差之間的關(guān)系式7.3誤差傳播定律1、按問題要求寫出函數(shù)式2、對函數(shù)式全微分3、寫出函數(shù)的中誤差與觀測值中誤差之間的關(guān)系式1）函數(shù)中誤差的計算方法：12/11/20223:09PM1、按問題要求寫出函數(shù)式2、對函數(shù)式全微分3、寫出函數(shù)的中誤第七章測量誤差及數(shù)據(jù)處理的基本知識課件例S=ababbmaambmamb12/11/20223:09PM例S=ababbmaambmamb12/11/2）特殊函數(shù)中誤差的計算方法：（1）、倍函數(shù)中誤差（2）、和或差函數(shù)中誤差（3）、線性函數(shù)12/11/20223:09PM2）特殊函數(shù)中誤差的計算方法：（1）、倍函數(shù)中誤差12/11（1）、倍函數(shù)中誤差設(shè)有函數(shù)：

z=kx式中k為常數(shù)；x為觀測值，其中誤差為mx；則函數(shù)Z的中誤差為mz

mz=kmx

即觀測值與某一常數(shù)乘積的中誤差，等于觀測值中誤差乘該常數(shù)12/11/20223:09PM（1）、倍函數(shù)中誤差設(shè)有函數(shù)：12/11/20229

z=kxΔZI=kΔxI

(ΔZI)2=(kΔxI)2

…

mz2=k2mx2

mz=kmx12/11/20223:09PMz=kx12/11/2022例

在1：500地形圖上，量得某線段的平距為dAB=51.2mm±0.2mm，求AB的實(shí)地平距DAB及其中誤差mD。解：函數(shù)關(guān)系為

DAB=500×dAB=25600mm

中誤差式為

mDAB=500mdAB=±100mm

DAB=25.600±0.1m

12/11/20223:09PM例在1：500地形圖上，量得某線段的平距為dAB=51（2）、和或差函數(shù)中誤差設(shè)有函數(shù)：

z=x±yx、y為觀測值，其中誤差分別為mx、my；則函數(shù)Z的中誤差為mz

mz2=mx2＋my2

即兩觀測值代數(shù)和的中誤差平方，等于兩觀測值中誤差平方之和。12/11/20223:09PM（2）、和或差函數(shù)中誤差設(shè)有函數(shù)：12/11/20229:原理HB=HA+(a–b)12/11/20223:09PM原理HB=HA+(a–b)12/11/2022例

水準(zhǔn)測量測站高差計算公式為h=a-b。已知后視讀數(shù)的中誤差為ma±1mm，前視讀數(shù)的中誤差為mb±1mm，求每測站高差的中誤差mh。解：函數(shù)關(guān)系為

h=a–b

中誤差式為

mh=±1.41mm12/11/20223:09PM例水準(zhǔn)測量測站高差計算公式為h=a-b。已知后視讀數(shù)的推廣式設(shè)有函數(shù)：

z=x1±x2±…±xnx、y為觀測值，其中誤差分別為mxi、；則函數(shù)Z的中誤差為mz

mz2=m12＋m22＋…＋mn2

即n個觀測值代數(shù)和的中誤差平方，等于n觀測值中誤差平方之和。

當(dāng)m1=

m2=

…

=

mn=m時；則有

mz2=m2＋m2＋…＋m2

mz2

=nm2

mz=√nm

12/11/20223:09PM推廣式設(shè)有函數(shù)：12/11/20229:25AM（3）、線性函數(shù)設(shè)有函數(shù)：

z=k1x1±k2x2±…±knxn式中ki為常系數(shù)；xi為獨(dú)立觀測值，其中誤差分別為mxi、；則函數(shù)Z的中誤差為mz

mz2=k12

m12＋k22m22＋…＋kn2mn2

即一組常數(shù)與一組獨(dú)立觀測值乘積代數(shù)和的中誤差平方，等于各常數(shù)與相應(yīng)觀測值中誤差乘積的平方之和。12/11/20223:09PM（3）、線性函數(shù)設(shè)有函數(shù)：12/11/20229:25A例對某段距離測量了n次，觀測值為l1,l2,…ln,觀測值為相互獨(dú)立的等精度觀測，觀測值的中誤差為m，求算術(shù)平均值的中誤差mx。

函數(shù)關(guān)系為

全微分式

中誤差式為

12/11/20223:09PM例對某段距離測量了n次，觀測值為l1,l2,…ln,例光電測距三角高程公式為h=Dtanα+i–v，已知D=192.263m±0.006m，α=8°9′16″±6″，i=1.515m±0.002mv=1.627m±0.002m求高差h的中誤差mh。12/11/20223:09PM例光電測距三角高程公式為12/11/20229:25AM函數(shù)關(guān)系為h=Dtanα+i–v，其全微分式為

中誤差式為

Mh=±7mmh=27.437=±0.007m

12/11/20223:09PM函數(shù)關(guān)系為h=Dtanα+i–v，12/11/202計算實(shí)例1.【例7-2】課本P124，任意函數(shù)2.【例7-3】課本P125，倍函數(shù)3.【例7-4】課本P125，和差函數(shù)4.【例7-5】課本P125，線性函數(shù)12/11/20223:09PM計算實(shí)例12/11/20229:25AM中誤差的計算注意：（1）如果是距離D，則需要計算相對誤差K；（2）如果是角度，則不要計算相對誤差K。12/11/20223:09PM中誤差的計算注意：12/11/207.3.2誤差傳播定律的應(yīng)用1）鋼尺分段量距的精度2）一般水準(zhǔn)測量的精度（1）水準(zhǔn)尺讀數(shù)中誤差7.3.2誤差傳播定律的應(yīng)用1）鋼尺分段量距的精度（2）一測站的高差中誤差（3）依據(jù)測站數(shù)計算高差中誤差（4）依據(jù)線路長度計算高差中誤差（2）一測站的高差中誤差（5）往返測所得高差閉合差的容許值（5）往返測所得高差閉合差的容許值3）經(jīng)緯儀測量水平角的精度（1）半測回方向值中誤差（2）半測回角值中誤差（3）上、下半測回角值之差的中誤差（4）一測回角值中誤差3）經(jīng)緯儀測量水平角的精度（1）半測回方向值中誤差7.4等精度觀測值的精度評定7.4.1算術(shù)平均值證明：算術(shù)平均值=最可靠值7.4.2改正數(shù)

v=x－L

特點(diǎn)：(1)［v］=0（可證明）(2)［vv］=min（可證明）12/11/20223:09PM7.4等精度觀測值的精度評定7.4.1算術(shù)平均值12V1=x-l1V2=x

–

l2。。。Vn=x

–

ln[v]=nx-[

l

][v]=012/11/20223:09PMV1=x-l112/11/20229:25AM[vv]min=(x-l1)2+(x-l2)2+…+(x-ln)2

d

[vv]/dx=2[(x

–

l)]=0nx

–[l]=0

x=[l]/n等精度觀測值的算術(shù)平均值x即為：最可靠值12/11/20223:09PM[vv]min=(x-l1)2+(x-l2)2+7.4.3等精度觀測值的中誤差因為在大多數(shù)情況下△為未知V1=x

–l1V2=x–l2。。。Vn=x–ln△1＝X－l1△2＝X－l2。。。△

n=X–ln只能通過上面兩關(guān)系式找出m

與

v

之間的關(guān)系12/11/20223:09PM7.4.3等精度觀測值的中誤差因為在大多數(shù)情況下△為未知V觀測值中誤差：12/11/20223:09PM觀測值中誤差：12/11/20229:25AM7.4.4算術(shù)平均值中誤差7.4.4算術(shù)平均值中誤差用改正數(shù)(v)計算最或是值中誤差：用改正數(shù)(v)計算最或是值中誤差：表7-2算術(shù)平均值：觀測值中誤差：算術(shù)平均值中誤差：序號L（m）V（cm）VV精度評定1251.52-39最后結(jié)果可寫成x=251.49±0.01（m）2251.46+393251.49004251.48-115251.50+11[V]=0[VV]=20算術(shù)平均值相對中誤差：表7-2算術(shù)平均值：觀測值中誤差：算術(shù)平均值中誤差：序號L（7.5非等精度觀測值的精度評定（1）不等精度觀測不同觀測條件（2）不等精度觀測→權(quán)權(quán)大，精度高，觀測值可靠性強(qiáng)權(quán)小，精度低，觀測值可靠性差7.5非等精度觀測值的精度評定（1）不等精度觀測問題:怎樣求P點(diǎn)的高程ACBPN3=35站N2=20站N1=15站S1=2kmS3=4kmS2=3kmh1h2h3HP=HA+h1HP=HB+h2HP=HC+h312/11/20223:09PM問題:怎樣求P點(diǎn)的高程ACBPN3=35站N2=20站N1=第一組觀測了四次,

l1,l2,l3,l4第二組觀測了兩次,

l1’,l2’例

對某一觀測量進(jìn)行了兩組觀測:12/11/20223:09PM例對某一觀測量進(jìn)行了兩組觀測:12/11/20229:x1=(l1+l2+l3+