大一上-第七章07習題課

（一）向量代（二）空間解（一）表示表示線性運向量向量的數量

混合

向量1、向量的概向量的模單位向量、零向量自由向量等向量向量平行向量

向徑2、向量的線性運 加法

babab

aba減法：aba

b向量與數的乘法設是一個數，向量a

的乘積

規(guī)定為

a與a同向|a|

|a(2)

a(3)

a與a反向

|

||a3、向量的表示

axi

ay

azk在三個坐標軸上的分向量axi

ayj

azk向量的坐標表示式：a

{ax

ay

az向量的坐

ax

ay,az其中ax,ay

分別為向量

y,

軸上向量的加減法、向量與數的乘積等的坐標表達a{ax

ay

az

b{bx

by

bza

{ax

bx

ay

by

az

(ax

bx

(ayby)

bzab{ax

bx

ayby

azbz(ax

bx

(ay

by)

bza{ax

ay,az(ax

(ay)

(aza2xy2aza2xy2azaa2xy2a2xy2aza2xa2xy2aza2xa2xy2az

cos ay(cos2

cos2

cos2

14、數量

(點積、內積aa

|a||

|

其中為

與b的夾角數量積的坐標表abaxbx

ayby

azbz兩向量夾角余弦的坐標表示cos

axbx

ayby

azbza2xa2xy2azb2xy2bzbab

ayby

azbz5、向量

(叉積、外積caca

其中為a與b的夾角bc的方向既垂直于a，又垂直于，指向符合手規(guī)則向量積的坐標表

abax

ay azby (aybz

azby

(azbx

axbz)

(axby

aybx

ay

az6、混合

ax ay az [abc]

(ab)

bxcx

by cy cz在幾何上向量的混合積[abc]

的絕對值a,b,c為棱的平行六面體的[abc]abc共面[abc]（二）空間直角坐標面柱參數方曲旋轉面柱參數方曲旋轉曲一般方一般方一般方二次曲參數方對稱參數方對稱式方點法式方一般方1、空間直角坐標空間的(空間的(x,y,z)有序數

y縱zoxyzoxy共有一個原點,三個坐標軸,三個坐標面,八個卦限兩點間距離公式設M1x1

y1z1)、M2x2

y2z2為空間兩點它們距離x212x2122122122、曲曲面方程的定義如果曲面S與三元方程Fx,yz)0有下述關系：不在曲面S上的點的坐標都不滿足方程；那么，方程F(x,

y,z)

0就叫做曲S曲面S就叫做方程的圖形研究空間曲面的兩個基本問題已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程已知坐標間的關系式，研究曲面形狀旋轉曲這條定直線叫旋轉曲面的軸方程特點

f(

y)設有平面曲線L

z

曲線L

x軸旋轉所成的旋轉曲y2zf(x,y2z(2)

曲線L

y軸旋轉所成的旋轉曲x2zf( x2z 球

圓錐

旋轉雙曲x2

y2z2

x2

x2 y2z2 a2 a2

z2 c2 柱定義：平行于定直線并沿定曲線C移動的直L所形成的曲面稱之從柱面方程看柱面的特征只含x,

yz的方程Fx,

y)

0間直角坐標系中表示母線z軸的柱面準線xoy面上曲C.平

y圓柱

拋物柱

橢圓柱x2

x22py

y22 a2 b2 2 (p二次曲定義:三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面2z橢球2z

橢圓拋物2 y22

z2

y21a2 b2 c21

2 (

p與q同號 馬鞍

單葉雙曲

圓錐zx y2 z2

2a2 b22

z2 c2

x2

z2(p與q同號3、空間曲空間曲線的一般方F(G(x,

y,z)y,z)空間曲線的參數xx(ty y(tyz z(tz1x21x2y2 1

1(x )

( 參數方程

1costx xy1sinty2z

sin2空間曲線在坐標面上的投F(x,

y,z)設空間曲線的一般方程

G(

y,z)消去變量z后得：H(

y)

H(

y)z曲線在xoy面上的投影曲線z yoz面上的投影曲

面上的投影曲R(y,z)

T(x,z)xy00 xy00 如圖:投影曲線的研究過程空間曲

投影柱

投影曲空 或曲面在坐標面上的投M0MoM0(M0MoM0(x0,y0,z0平面的點法式方

x0)B(y

y0 C(z

z0) 平面的一般方

n{cocoba

B,CAxByCzD平面的截距式方xyz 2平面的夾 21:A1xB1yC1zD1 2121

B2yC2zD2cos

C1C2 2222

C22222兩平面位置特征2222

12

C1C2

1

22

B1

C25、空間直L12o空間直線的一L12o1

2

B2yC2zD2

C1zD1 AxByCzD sM0LsM0Loyx y z 空間直線的參數方程x

x0mt

M0(x0

yyyy s

{m,n,zzptzzpt L1

x m

yy1

zp直線L

xx2

y

zz2 m2n2m2n2p2111m2n2p222

|

n1n2

p1p2 兩直線的夾角公兩直線的位置關系

p1p2

m2m

n1 p1 直線與平面的夾L x y z

Dsin

|Am

Bn

Cp

(0A2A2B2C2m2n2p2直線與平面的夾角公直線與平面的位置

L

Am

BC (2)

L//

Am

Cpac例1已知ibj2k,ac

2jk求一單位向量

0

0共面解0

c

,a,

由題設條件01x2y2z2101x2y2z21n02 02

2yz0n ab0n

2yz解

(20i 0i

2j k3

已知向量的a1,b 2,且(a,b)

,求

ba a a

b）aabaaba22

^bcos(a,b)^1221

cos242

2)2122 ab 5.

已知向量的

13,

19,

24,

abaaabaab

b）

a a

a

b

2aba

a

b

2abababa

2

2

幾何意義

2

2bb

a aaa

48.

ab

48422aaa2a

1,

求a：已知向量3,b(a,b)ab與b求a：已知向量3,b(a,b)a ：a

a

baabba2

31 a

a

ba

2

bcos(a,b)

b32

cos363

1a aab 7.

aa

a

a

ab）aa

a

a

b

2

bcos(a,b)32

cos363

1

331

a

（aa（aab）abaaca

ab,aab與 ab與

b的b的夾角為

7177177.例2求過直線:

5y

且與平面

4

12xz4 xz44

角的平面解過已知直線的平面束方程x5y

z(x

z4)即(1)x

5

(1)z

其法n1{1,5,1又已知平面的法向

由題設

cos

n

n(1)(1)15(4)(1)(8)12(4)2(8)2(1)252(1)2

n1

,5,1

222272

由此解

34代回平面束方程得所求方程為x20y7z12例3求過點

(1,1,1且與兩直線

:y2 z2L:yz2

3x2x

zz都相交的直線

x解將兩已知直線方程化為參x

xL1:y L2:y3tzzt 2tzzt設所求直L

的交點分

1和

M0(1,1,1A

A(t1,2t1,t1M0AM0B

B(t2,3t2

于是M0

M0

對應坐標成比,即t11

2t1

(t11)1t2

(3t24)

(2t2

1)解之得

點M0(1,1,1和B(2,2,3)同在直線L上L的方程x11

y11

z12例4求直線L:2x

y

1

在平 xyz 1xyz:x

2y

0上的投影直線的方程解過直線L的平面束方程(2x

y

1)

(x

y

1)即(2

)x

1)

(1