流體力學(xué)-第3版-第六章-粘性流體動力學(xué)基礎(chǔ)新課件

第六章粘性流體動力學(xué)基礎(chǔ)流體微團(tuán)的運(yùn)動形式與速度分解定理粘性流體的應(yīng)力狀態(tài)廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（本構(gòu)關(guān)系）Navier-Stokes方程粘性流體運(yùn)動的能量方程粘性流體運(yùn)動的基本性質(zhì)粘性流體運(yùn)動方程組的封閉邊界層近似及其特征平面不可壓縮流體層流邊界層方程平板層流邊界層的相似解邊界層的分離現(xiàn)象12/11/20221第六章粘性流體動力學(xué)基礎(chǔ)流體微團(tuán)的運(yùn)動形式與速度分解定理11、流體微團(tuán)運(yùn)動的基本形式

流體微團(tuán)在運(yùn)動過程中，將發(fā)生剛體運(yùn)動（平動和轉(zhuǎn)動）與變形運(yùn)動（線變形和角變形運(yùn)動）。

流體微團(tuán)的運(yùn)動形式與速度分解定理平動轉(zhuǎn)動線變形角變形12/11/202221、流體微團(tuán)運(yùn)動的基本形式流體微團(tuán)的運(yùn)動形式與速度分解定理平2、速度分解定理德國物理學(xué)家Helmholtz（1821-1894）1858年提出的流場速度的分解定理，正確區(qū)分了流體微團(tuán)的運(yùn)動形式。設(shè)在流場中，相距微量的任意兩點(diǎn)，按泰勒級數(shù)展開給出分解。

在速度為

在點(diǎn)處，速度為12/11/202232、速度分解定理12/11/20223以x方向速度分量為例，由泰勒級數(shù)展開，有將上式分別加、減下列兩項(xiàng)得到12/11/20224以x方向速度分量為例，由泰勒級數(shù)展開，有12/11/2022如果令：綜合起來，有12/11/20225如果令：12/11/20225對于y,z方向的速度分量，也可得到寫成矢量形式其中，第一項(xiàng)表示微團(tuán)的平動速度，第二項(xiàng)表示微團(tuán)轉(zhuǎn)動引起的，第三項(xiàng)表示微團(tuán)變形引起的。12/11/20226對于y,z方向的速度分量，也可得到12/11/20226定義如下：流體微團(tuán)平動速度：流體微團(tuán)線變形速度：

流體微團(tuán)角變形速度（剪切變形速度）：流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度：12/11/20227定義如下：12/11/202273、有旋運(yùn)動與無旋運(yùn)動流體質(zhì)點(diǎn)的渦量定義為表示流體質(zhì)點(diǎn)繞自身軸旋轉(zhuǎn)角速度的2倍。并由渦量是否為零，定義無旋流動與有旋運(yùn)動。4、變形率矩陣（或變形率張量）

在速度分解定理中，最后一項(xiàng)是由流體微團(tuán)變形引起的，其中稱為變形率矩陣，或變形率張量。該項(xiàng)與流體微團(tuán)的粘性應(yīng)力存在直接關(guān)系。12/11/202283、有旋運(yùn)動與無旋運(yùn)動12/11/20228定義，流體微團(tuán)的變形率矩陣為該矩陣是個對稱矩陣，每個分量的大小與坐標(biāo)系的選擇有關(guān)，但有三個量是與坐標(biāo)系選擇無關(guān)的不變量。它們是：12/11/20229定義，流體微團(tuán)的變形率矩陣為12/11/20229

對于第一不變量，具有明確的物理意義。表示速度場的散度，或流體微團(tuán)的相對體積膨脹率。如果選擇坐標(biāo)軸是三個變形率矩陣的主軸，則此時變形率矩陣的非對角線上的分量為零，相應(yīng)的變形率矩陣與不變量為12/11/202210對于第一不變量，具有明確的物理意義。表示速度場的散度粘性流體的應(yīng)力狀態(tài)1、理想流體和粘性流體作用面受力差別流體處于靜止?fàn)顟B(tài)，只能承受壓力，幾乎不能承受拉力和剪力，不具有抵抗剪切變形的能力。理想流體在運(yùn)動狀態(tài)下，流體質(zhì)點(diǎn)之間可以存在相對運(yùn)動，但不具有抵抗剪切變形的能力。因此，作用于流體內(nèi)部任意面上的力只有正向力，無切向力。粘性流體在運(yùn)動狀態(tài)下，流體質(zhì)點(diǎn)之間可以存在相對運(yùn)動，流體具有抵抗剪切變形的能力。因此，作用于流體內(nèi)部任意面上力既有正向力，也有切向力。

12/11/202211粘性流體的應(yīng)力狀態(tài)1、理想流體和粘性流體作用面受力差別12/2、粘性流體中的應(yīng)力狀態(tài)

在粘性流體運(yùn)動中，由于存在切向力，過任意一點(diǎn)單位面積上的表面力就不一定垂直于作用面，且各個方向的大小也不一定相等。因此，作用于任意方向微元面積上合應(yīng)力可分解為法向應(yīng)力和切向應(yīng)力。如果作用面的法線方向與坐標(biāo)軸重合，則合應(yīng)力可分解為三個分量，其中垂直于作用面的為法應(yīng)力，另外兩個與作用面相切為切應(yīng)力，分別平行于另外兩個坐標(biāo)軸，為切應(yīng)力在坐標(biāo)軸向的投影分量。12/11/2022122、粘性流體中的應(yīng)力狀態(tài)12/11/202212由此可見，用兩個下標(biāo)可把各個應(yīng)力分量的作用面方位和投影方向表示清楚。其中第一個下標(biāo)表示作用面的法線方向，第二個下標(biāo)表示應(yīng)力分量的投影方向。如，對于x面的合應(yīng)力可表示為y面的合應(yīng)力表達(dá)式為z面的合應(yīng)力表達(dá)式為12/11/202213由此可見，用兩個下標(biāo)可把各個應(yīng)力分量的作用面方位和投

如果在同一點(diǎn)上給定三個相互垂直坐標(biāo)面上的應(yīng)力，那么過該點(diǎn)任意方向作用面上的應(yīng)力可通過坐標(biāo)變換唯一確定。因此，我們把三個坐標(biāo)面上的九個應(yīng)力分量稱為該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，由這九個應(yīng)力分量組成的矩陣稱為應(yīng)力矩陣（或應(yīng)力張量）。根據(jù)剪力互等定理，在這九分量中，只有六個是獨(dú)立的，其中三法向應(yīng)力和三個切向應(yīng)力。這個應(yīng)力矩陣如同變形率矩陣一樣，是個對稱矩陣。12/11/202214如果在同一點(diǎn)上給定三個相互垂直坐標(biāo)面上的應(yīng)力，那么過（1）在理想流體中，不存在切應(yīng)力，三個法向應(yīng)力相等，等于該點(diǎn)壓強(qiáng)的負(fù)值。即（2）在粘性流體中，任意一點(diǎn)的任何三個相互垂直面上的法向應(yīng)力之和一個不變量，并定義此不變量的平均值為該點(diǎn)的平均壓強(qiáng)的負(fù)值。即（3）在粘性流體中，任意面上的切應(yīng)力一般不為零。12/11/202215（1）在理想流體中，不存在切應(yīng)力，三個法向應(yīng)力相等，等于該點(diǎn)廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（本構(gòu)關(guān)系）1、牛頓內(nèi)摩擦定理啟發(fā)牛頓內(nèi)摩擦定理得到，粘性流體作直線層狀流動時，流層之間的切應(yīng)力與速度梯度成正比。即如果用變形率矩陣和應(yīng)力矩陣表示，有

說明應(yīng)力矩陣與變形率矩陣成正比。對于一般的三維流動，Stokes（1845年）通過引入三條假定，將牛頓內(nèi)摩擦定律進(jìn)行推廣，提出廣義牛頓內(nèi)摩擦定理。12/11/202216廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（本構(gòu)關(guān)系）1、牛頓內(nèi)摩擦定理啟發(fā)12/12、Stokes假設(shè)（1845年）

(Stokes，英國數(shù)學(xué)家、力學(xué)家，1819-1903年）（1）流體是連續(xù)的，它的應(yīng)力矩陣與變形率矩陣成線性關(guān)系，與流體的平動和轉(zhuǎn)動無關(guān)。（2）流體是各向同性的，其應(yīng)力與變形率的關(guān)系與坐標(biāo)系的選擇和位置無關(guān)。（3）當(dāng)流體靜止時，變形率為零，流體中的應(yīng)力為流體靜壓強(qiáng)。由第三條件假定可知，在靜止?fàn)顟B(tài)下，流體的應(yīng)力只有正應(yīng)力，無切應(yīng)力。即12/11/2022172、Stokes假設(shè)（1845年）12/11/202217因此，在靜止?fàn)顟B(tài)下，流體的應(yīng)力狀態(tài)為

根據(jù)第一條假定，并受第三條假定的啟發(fā)，可將應(yīng)力矩陣與變形率矩陣寫成如下線性關(guān)系式（本構(gòu)關(guān)系）。式中，系數(shù)a、b是與坐標(biāo)選擇無關(guān)的標(biāo)量。參照牛頓內(nèi)摩擦定理，系數(shù)a只取決于流體的物理性質(zhì)，可取12/11/202218因此，在靜止?fàn)顟B(tài)下，流體的應(yīng)力狀態(tài)為12/11/20221由于系數(shù)b與坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動無關(guān)，因此可以推斷，要保持應(yīng)力與變形率成線性關(guān)系，系數(shù)b只能由應(yīng)力矩陣與變形率矩陣中的那些線性不變量構(gòu)成。即令式中，為待定系數(shù)。將a、b代入，有取等式兩邊矩陣主對角線上的三個分量之和，可得出12/11/202219由于系數(shù)b與坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動無關(guān)，因此可以推斷，要保持12/11歸并同類項(xiàng)，得到在靜止?fàn)顟B(tài)下，速度的散度為零，且有于是，有由于b1和b2均為常數(shù)，且要求p0在靜止?fàn)顟B(tài)的任何情況下均成立，則然后代入第一式中，有12/11/202220歸并同類項(xiàng)，得到12/11/202220如果令稱為流體壓強(qiáng)。則本構(gòu)關(guān)系為上式即為廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（為牛頓流體的本構(gòu)方程）。用指標(biāo)形式，上式可表示為12/11/202221如果令12/11/202221對于不可壓縮流體,有如果用坐標(biāo)系表示，有粘性切應(yīng)力：法向應(yīng)力：12/11/202222對于不可壓縮流體,有12/11/202222Navier-Stokes方程1、流體運(yùn)動的基本方程

利用牛頓第二定理推導(dǎo)以應(yīng)力形式表示的流體運(yùn)動微分方程。(在流場中取一個微分六面體流體微團(tuán)進(jìn)行分析，以x方向?yàn)槔⑦\(yùn)動方程）。12/11/202223Navier-Stokes方程1、流體運(yùn)動的基本方程12/1整理后，得到

這是以應(yīng)力形式表示的流體運(yùn)動微分方程，具有普遍意義，既適應(yīng)于理想流體，也適應(yīng)于粘性流體。這是一組不封閉的方程，在質(zhì)量力已知的情況下，方程中多了6個應(yīng)力分量，要想得到封閉形式，必須引入本構(gòu)關(guān)系，如粘性流體的廣義牛頓內(nèi)摩擦定律。12/11/202224整理后，得到12/11/2022242、Navier-Stokes方程組（粘性流體運(yùn)動方程組）人類對流體運(yùn)動的描述歷史是：1500年以前DaVinci（1452-1519，意大利科學(xué)家）定性。1755年Euler（瑞士科學(xué)家，1707-1783）推導(dǎo)出理想流體運(yùn)動方程。1822年Navier（1785-1836，法國科學(xué)家）開始考慮粘性1829年P(guān)oisson(1781-1846)、1843年SaintVenant（1795-1886)、1845年Stokes(1819-1903，英國科學(xué)家)結(jié)束，完成了推導(dǎo)過程，提出現(xiàn)在形式的粘性流體運(yùn)動方程。（歷時90年）12/11/2022252、Navier-Stokes方程組（粘性流體運(yùn)動方程組）1以x方向的方程為例，給出推導(dǎo)。引入廣義牛頓內(nèi)摩擦定理，即代入得到12/11/202226以x方向的方程為例，給出推導(dǎo)。12/11/202226對于y和z方向的方程為

這就是描述粘性流體運(yùn)動的N-S方程組，適應(yīng)于可壓縮和不可壓縮流體。12/11/202227對于y和z方向的方程為12/11/202227寫成張量的形式為對于不可縮流體，，且粘性系數(shù)近似看作常數(shù)，方程組可得到簡化。仍以x向方程進(jìn)行說明。

12/11/202228寫成張量的形式為12/11/202228由此可得到張量形式矢量形式12/11/202229由此可得到12/11/202229為了研究流體的有旋性，Lamb等將速度的隨體導(dǎo)數(shù)加以分解，把渦量分離出來，形成如下形式的Lamb型方程。

12/11/202230為了研究流體的有旋性，Lamb等將速度的隨體導(dǎo)數(shù)加3、Bernoulli積分

伯努利家族（瑞士）前后四代，數(shù)十人，形成歷史上罕見的數(shù)學(xué)大家族。其中，Bernoulli,Nocholas(尼古拉斯·伯努利）,1623-1708，瑞士伯努利數(shù)學(xué)家族第一代。Bernoulli,Johann（約翰伯努利），1667-1748，伯努利數(shù)學(xué)家族第二代，提出著名的虛位移原理。Bernoulli,Daniel（丹尼爾伯努利），1700-1782，伯努利數(shù)學(xué)家族第三代，Johann.伯努利的兒子，著有《流體動力學(xué)》（1738），將微積分方法運(yùn)用到流體動力學(xué)中，提出著名的伯努利方程。12/11/2022313、Bernoulli積分12/11/202231與Bernoulli積分理想流體運(yùn)動方程類似，積分N-S方程假定：（1）不可壓縮粘性流體；（2）定常流動；（3）質(zhì)量力有勢；（4）沿流線積分。沿流線積分N-S方程，可推導(dǎo)出粘性流體的能量方程。與理想流體能量不同的是，方程中多了一項(xiàng)因粘性引起的損失項(xiàng)，表示流體質(zhì)點(diǎn)克服粘性應(yīng)力所消耗的能量。在粘性不可壓縮定常流動中，任取一條流線，在流線上某處取一微段ds，該處所對應(yīng)的流速為12/11/202232與Bernoulli積分理想流體運(yùn)動方程類似，積分N-S方程沿流線積分N-S方程，有在定常流情況下，跡線和流線重合。12/11/202233沿流線積分N-S方程，有12/11/202233流線微段與速度之間的關(guān)系為12/11/202234流線微段與速度之間的關(guān)系為12/11/202234質(zhì)量力有勢，因此有不可壓縮定常流動，有粘性項(xiàng)寫成為在流線微段上，微分形式為12/11/202235質(zhì)量力有勢，因此有12/11/202235與理想流體能量微分方程相比，在上式中多了一項(xiàng)與粘性有關(guān)的項(xiàng)，物理上表示單位質(zhì)量流體質(zhì)點(diǎn)克服粘性應(yīng)力所做的功，代表機(jī)械能的損失，不可能再被流體質(zhì)點(diǎn)機(jī)械運(yùn)動所利用。故稱其為單位質(zhì)量流體的機(jī)械能損失或能量損失。對于質(zhì)量力只有重力的情況，方程的形式變?yōu)?/p>

方程兩邊同除以g，得到表示單位重量流體總機(jī)械能量沿流線的變化。12/11/202236與理想流體能量微分方程相比，在上式中多了一項(xiàng)如果令能量方程變?yōu)閱挝恢亓苛黧w所具有的機(jī)械能為；單位重量流體粘性力所做的功為。沿著同一條流線積分，得到12/11/202237如果令12/11/202237上式說明，在粘性流體中，沿同一條流線上單位重量流體的所具有的機(jī)械能總是沿程減小的，不能保持守恒（理想流體時，總機(jī)械能是保持守恒的，無機(jī)械能損失），減小的部分代表流體質(zhì)點(diǎn)克服粘性應(yīng)力做功所消耗的機(jī)械能量。粘性流體Bernoulli積分方程說明，粘性流體在流動中，無論勢能、壓能和動能如何轉(zhuǎn)化，但總機(jī)械能是沿程減小的，總是從機(jī)械能高的地方流向機(jī)械能低的地方。12/11/202238上式說明，在粘性流體中，沿同一條流線上單位重量流體的粘性流體運(yùn)動的能量方程1、熱力學(xué)第一定理能量方程是熱力學(xué)第一定理在運(yùn)動流體中的表現(xiàn)形式。熱力學(xué)第一定理表示：單位時間內(nèi)作用于系統(tǒng)上所有力對系統(tǒng)所做的功與單位時間內(nèi)輸入系統(tǒng)的熱量之和等于系統(tǒng)總能量的變化率。即其中，Q為單位時間輸入系統(tǒng)的總熱量，包括熱輻射和熱傳導(dǎo)；W為單位時間作用于系統(tǒng)上所有力對系統(tǒng)所做的功。作用力包括表面力和體積力。12/11/202239粘性流體運(yùn)動的能量方程1、熱力學(xué)第一定理12/11/20222、能量方程推導(dǎo)在粘性流體空間中，任取一個微分平行六面體的流體微團(tuán)作為系統(tǒng)，六面體為控制體，則該系統(tǒng)單位時間內(nèi)總能量的變化率應(yīng)等于單位時間作用于系統(tǒng)上所有作用力的功與外界傳給系統(tǒng)的熱量之和。用e表示單位質(zhì)量流體所具有的內(nèi)能，那么單位質(zhì)量流體所具有的總能量（內(nèi)能+動能）為

單位時間內(nèi)，微元流體系統(tǒng)總能量的變化率為12/11/2022402、能量方程推導(dǎo)12/11/202240作用系統(tǒng)上的力包括：通過控制面作用于系統(tǒng)上的表面力和系統(tǒng)上的質(zhì)量力。單位時間內(nèi)，所有作用力對系統(tǒng)所做的功為：質(zhì)量力功率：x方向表面力的功率：12/11/202241作用系統(tǒng)上的力包括：通過控制面作用于系統(tǒng)上的表面力和同理可得，y和z方向的功率為總功率為12/11/202242同理可得，y和z方向的功率為12/11/202242單位時間內(nèi)，外界傳給系統(tǒng)的總熱量Q包括熱輻射和熱傳導(dǎo)。令q表示單位時間因熱輻射傳給單位質(zhì)量流體的熱量，總的輻射熱量為由Fourier定理可得，通過控制面?zhèn)鹘o系統(tǒng)的熱量。對于x方向，單位時間通過控制面?zhèn)魅胂到y(tǒng)的熱量為12/11/202243單位時間內(nèi)，外界傳給系統(tǒng)的總熱量Q包括熱輻射和熱傳導(dǎo)同理可得，y和z方向的熱傳導(dǎo)量。單位時間內(nèi)，總的熱傳導(dǎo)量為將以上各式代入12/11/202244同理可得，y和z方向的熱傳導(dǎo)量。12/11/202244整理得到該方程為能量方程的微分形式。寫成張量形式為12/11/202245整理得到12/11/202245另外，如果用ui乘以運(yùn)動方程，有代入能量方程，得到另一種形式的能量方程。12/11/202246另外，如果用ui乘以運(yùn)動方程，有12/11/202246上式的物理意義是：在單位時間內(nèi)，單位體積流體內(nèi)能的變化率等于流體變形時表面力作功與外部傳入熱量之和。其中，表面力作功包括壓力作功和剪切力作功，壓力作功表示流體變形時法向力作膨脹功，剪切力作功表示流體運(yùn)動是克服摩擦力作功，這部分是由于流體粘性引起的，將流體部分機(jī)械能不可逆轉(zhuǎn)化為熱能而消耗掉。利用廣義牛頓內(nèi)摩擦定理，可得其中，為耗散函數(shù)。12/11/202247上式的物理意義是：在單位時間內(nèi)，單位體積流體內(nèi)能的變這樣，能量方程也可寫成為說明，單位體積流體內(nèi)能的變化率等于法向力作功、外加熱量以及由于粘性而消耗的機(jī)械能之和。由連續(xù)方程，有12/11/202248這樣，能量方程也可寫成為12/11/202248代入能量方程中，得到對于不可壓縮流體，有12/11/202249代入能量方程中，得到12/11/202249粘性流體運(yùn)動的基本性質(zhì)包括：運(yùn)動的有旋性，旋渦的擴(kuò)散性，能量的耗散性。

1、粘性流體運(yùn)動的渦量輸運(yùn)方程為了討論旋渦在粘性流體流動中的性質(zhì)和規(guī)律，推導(dǎo)渦量輸運(yùn)方程是必要的。其Lamb型方程是引入廣義牛頓內(nèi)摩擦定理粘性流體運(yùn)動的基本性質(zhì)12/11/202250粘性流體運(yùn)動的基本性質(zhì)包括：運(yùn)動的有旋性，旋渦的擴(kuò)Lamb型方程變?yōu)閷ι鲜絻蛇吶⌒?，得到整理后得?2/11/202251Lamb型方程變?yōu)?2/11/202251這是最一般的渦量輸運(yùn)方程。該式清楚地表明：流體的粘性、非正壓性和質(zhì)量力無勢，是破壞旋渦守恒的根源。在這三者中，最常見的是粘性作用。由于（1）如果質(zhì)量力有勢、流體正壓、且無粘性，則渦量方程簡化為這個方程即為Helmholtz渦量守恒方程。12/11/202252這是最一般的渦量輸運(yùn)方程。該式清楚地表明：流體的（2）如果質(zhì)量力有勢，流體為不可壓縮粘性流體，則渦量輸運(yùn)方程變?yōu)閺埩啃问綖椋?）對于二維流動，上式簡化為12/11/202253（2）如果質(zhì)量力有勢，流體為不可壓縮粘性流體，則渦量12/12、粘性流體運(yùn)動的有旋性理想流體運(yùn)動可以是無旋的，也可以是有旋的。但粘性流體運(yùn)動一般總是有旋的。用反證法可說明這一點(diǎn)。對于不可壓縮粘性流體，其運(yùn)動方程組為根據(jù)場論知識，有代入上式，得到12/11/2022542、粘性流體運(yùn)動的有旋性12/11/202254如果流動無旋，則這與不可壓縮理想流體的方程組完全相同，粘性力的作用消失，說明粘性流體流動與理想流體流動完全相同，且原方程的數(shù)學(xué)性質(zhì)也發(fā)生了變化，由原來的二階偏微分方程組變成一階偏微分方程組。但問題出在固壁邊界上。在粘性流體中，固壁面的邊界條件是：不穿透條件和不滑移條件。即要求降階后的方程組同時滿足這兩個邊界條件一般是不可能的。這說明粘性流體流動一般總是有旋的。12/11/202255如果流動無旋，則12/11/202255但也有特例。如果固壁的切向速度正好等于固壁面處理想流體的速度，也就是固壁面與理想流體質(zhì)點(diǎn)不存在相對滑移，這時不滑移條件自動滿足，這樣理想流體方程自動滿足固壁面邊界條件。說明在這種情況下，粘性流體流動可以是無渦的。但一般情況下，固壁面與理想流體質(zhì)點(diǎn)總是存在相對滑移的，受流體粘性的作用，必然要產(chǎn)生旋渦。由此可得出結(jié)論：粘性流體旋渦是由存在相對運(yùn)動的固壁面與流體的粘性相互作用產(chǎn)生的。3、粘性流體旋渦的擴(kuò)散性

粘性流體中，旋渦的大小不僅可以隨時間產(chǎn)生、發(fā)展、衰減、消失，而且還會擴(kuò)散，渦量從強(qiáng)度大的地方向強(qiáng)度小的地方擴(kuò)散，直至旋渦強(qiáng)度均衡為止。12/11/202256但也有特例。如果固壁的切向速度正好等于固壁面處理想流以一空間孤立渦線的擴(kuò)散規(guī)律為例說明之。渦線強(qiáng)度的定解問題為這是一個擴(kuò)散方程的定解問題，其解為12/11/202257以一空間孤立渦線的擴(kuò)散規(guī)律為例說明之。渦線強(qiáng)度12/4、粘性流體能量的耗散性在粘性流體中，流體運(yùn)動必然要克服粘性應(yīng)力作功而消耗機(jī)械能。耗散函數(shù)的引入是表征這一特性的重要物理量。按照定義，單位時間、單位體積流體所消耗的能量為在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式為12/11/2022584、粘性流體能量的耗散性12/11/202258對于粘性流體，只有兩種可能使耗散函數(shù)為零的情況，也就是無機(jī)械能損失。一種是相當(dāng)于流體無變形運(yùn)動，也就是平動和轉(zhuǎn)動不消耗機(jī)械能。另一種是相當(dāng)于流體運(yùn)動，無剪切變形，只有各向同性的膨脹或壓縮。這說明，粘性流體的變形運(yùn)動與機(jī)械能損失是同時存在的，而且耗散函數(shù)與變形率的平方成正比，因此粘性流體的機(jī)械能損失是不可避免的。12/11/202259對于粘性流體，只有兩種可能使耗散函數(shù)為零的情況，也就1、粘性流體運(yùn)動方程組的封閉性在推導(dǎo)粘性流體方程組時，所引入的獨(dú)立未知物理量有：流體密度、流體速度、質(zhì)量力、粘性系數(shù)、熱傳導(dǎo)系數(shù)k、壓強(qiáng)p、內(nèi)能e、溫度T和熱輻射量q，共13個標(biāo)量。但所導(dǎo)出的方程只有5個，其中1個連續(xù)方程、3個運(yùn)動方程和1個能量方程。要向求解必須給出補(bǔ)充關(guān)系，封閉方程。通常，質(zhì)量力是已知的；粘性系數(shù)和熱傳導(dǎo)系數(shù)決定于流體性質(zhì)，也是已知的；熱輻射量已知，這樣未知量的個數(shù)變?yōu)?個，即3個速度分量，流體密度、壓強(qiáng)、溫度和內(nèi)能。因此，需要補(bǔ)充2個方程。2、狀態(tài)方程

在研究可壓縮流體時，必然涉及熱力學(xué)狀態(tài)參數(shù)對流體運(yùn)動的影響。表征流體熱力學(xué)狀態(tài)的物理量稱為熱狀態(tài)參數(shù)。粘性流體運(yùn)動方程組的封閉12/11/2022601、粘性流體運(yùn)動方程組的封閉性粘性流體運(yùn)動方程組的封閉12/熱狀態(tài)物理量p、T、，這些參數(shù)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系叫做狀態(tài)方程。對于完全氣體，有內(nèi)能和焓的表達(dá)式為3、可壓縮流體的封閉方程組連續(xù)方程：12/11/202261熱狀態(tài)物理量p、T、，這些參數(shù)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系運(yùn)動方程：廣義牛頓內(nèi)摩擦定理：能量方程：狀態(tài)方程：12/11/202262運(yùn)動方程：12/11/2022624、不可壓縮流體方程組連續(xù)方程：運(yùn)動方程：能量方程：5、定解條件定解條件包括：初始條件和邊界條件。（1）初始條件給定初始時刻流場物理量的函數(shù)值（速度、壓強(qiáng)、溫度、密度）。12/11/2022634、不可壓縮流體方程組12/11/202263（2）邊界條件固壁面條件（滿足不穿透和不滑移條件）。

不同流體分界面條件（在分界面上速度、壓強(qiáng)、溫度是連續(xù)的）。進(jìn)出口邊界條件（給定進(jìn)口斷面速度、壓強(qiáng)、溫度分布）。12/11/202264（2）邊界條件12/11/202264邊界層近似及其特征1、邊界層概念的提出業(yè)已知道，流動Re數(shù)（O.Reynolds，1883年，英國流體力學(xué)家）是用以表征流體質(zhì)點(diǎn)的慣性力與粘性力對比關(guān)系的。根據(jù)量級分析，作用于流體上的慣性力和粘性力可表示為:慣性力：

粘性力：慣性力/粘性力：

因此，在高Re數(shù)下，流體運(yùn)動的慣性力遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于粘性力。這樣研究忽略粘性力的流動問題是有實(shí)際意義的。12/11/202265邊界層近似及其特征1、邊界層概念的提出12/11/20226這也是早期發(fā)展理想流體力學(xué)的重要依據(jù)，而且確實(shí)較成功地解決了與粘性關(guān)系不大的一系列流動問題，諸如繞流物體的升力、波動等問題，但對繞流物體阻力、渦的擴(kuò)散等問題，理想流體力學(xué)的解與實(shí)際相差甚遠(yuǎn)，且甚至得出完全相反的結(jié)論，圓柱繞流無阻力的D’Alembert疑題就是一個典型的例子。（D’Alembert，法國力學(xué)家，1717-1783）那么，如何考慮流體的粘性，怎樣解決擾流物體的阻力問題，這在當(dāng)時確實(shí)是一個阻礙流體力學(xué)發(fā)展的難題，直到1904年國際流體力學(xué)大師德國學(xué)者L.Prandtl通過大量實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，雖然整體流動的Re數(shù)很大，但在靠近物面的薄層流體內(nèi)，流場的特征與理想流動相差甚遠(yuǎn)，沿著法向存在很大的速度梯度，粘性力無法忽略。Prandtl把這一物面近區(qū)粘性力起重要作用的薄層稱為邊界層（Boundarylayer）。12/11/202266這也是早期發(fā)展理想流體力學(xué)的重要依據(jù)，而且確實(shí)較成功Prandtl邊界層概念的提出，為人們?nèi)绾斡嬋胝承缘淖饔瞄_辟了劃時代的途徑，因此稱其為粘性流體力學(xué)之父。對整個流場提出的基本分區(qū)是:（1）整個流動區(qū)域可分成理想流體的流動區(qū)域（勢流區(qū)）和粘性流體的流動區(qū)域（粘流區(qū)）。（2）在遠(yuǎn)離物體的理想流體流動區(qū)域，可忽略粘性的影響，按勢流理論處理。（3）粘性流動區(qū)域僅限于物面近區(qū)的薄層內(nèi)，稱為邊界層。既然是粘流區(qū)，粘性力的作用不能忽略，與慣性力同量級，流體質(zhì)點(diǎn)作有旋運(yùn)動。2、邊界層的特征（1）邊界層定義嚴(yán)格而言，邊界層區(qū)與主流區(qū)之間無明顯界線，通常以速度達(dá)到主流區(qū)速度的0.99U作為邊界層的外緣。由邊界層外緣到物面的垂直距離稱為邊界層名義厚度，用表示。12/11/202267Prandtl邊界層概念的提出，為人們?nèi)绾斡嬋胝承缘淖鳎?）邊界層的有渦性粘性流體運(yùn)動總伴隨渦量的產(chǎn)生、擴(kuò)散、衰減。邊界層就是渦層，當(dāng)流體繞過物面時，無滑移邊界條件相當(dāng)于使物面成為具有一定強(qiáng)度的連續(xù)分布的渦源。以二維流動為例說明之。此時，物面上的渦源強(qiáng)度為對于不可壓縮流體，二維流動的渦量輸運(yùn)方程為上式表明，由于粘性的影響，物面上的渦量一方面沿垂直流線方向擴(kuò)散，另一方面，渦量沿主流方向遷移，并隨之而逐漸衰減。渦量的擴(kuò)散速度與粘性有關(guān)，渦量的遷移速度取決于流動速度。12/11/202268（2）邊界層的有渦性12/11/202268（3）邊界層厚度的量級估計根據(jù)邊界層內(nèi)粘性力與慣性力同量級的條件，可估算邊界層的厚度。以平板繞流為例說明。設(shè)來流的速度為U，在x方向的長度為L，邊界層厚度為。慣性力：粘性力：

由慣性力與粘性力同量級得到

12/11/202269（3）邊界層厚度的量級估計12/11/202269由此可見，在高Re數(shù)下，邊界層的厚度遠(yuǎn)小于被繞流物體的特征長度。（4）邊界層各種厚度定義（a）邊界層排移厚度在邊界層內(nèi)，理想流體的質(zhì)量流量為其中，ue為邊界層外緣速度。由于粘性的存在，實(shí)際流體通過的質(zhì)量流量為上述兩項(xiàng)之差表示粘性存在而損失的流量，這部分流量被排擠到主流場中，相當(dāng)于主流區(qū)增加了一層流體。12/11/202270由此可見，在高Re數(shù)下，邊界層的厚度遠(yuǎn)小于被繞流物體的主流區(qū)所增加的厚度為這部分主流區(qū)增加的流體厚度是由邊界層流體排擠入主流區(qū)造成的。因此，稱其為排移厚度。（b）邊界層動量損失厚度在邊界層內(nèi)，在質(zhì)量流量不變的條件下，理想流體通過的動量為由于粘性的存在，實(shí)際流體通過的動量為12/11/202271主流區(qū)所增加的厚度為12/11/202271上述兩項(xiàng)之差表示粘性存在而損失的動量，這部分動量損失用外流流速ue（理想流體）折算的動量損失厚度為（c）邊界層能量損失厚度在邊界層內(nèi)，在質(zhì)量流量不變的條件下，以外流速度（理想流體）通過的動能為由于粘性的存在，實(shí)際流體通過的動能為12/11/202272上述兩項(xiàng)之差表示粘性存在而損失的動量，這部分動量12上述兩項(xiàng)之差表示粘性存在而損失的動能，這部分動能損失用主流流速ue（理想流體）折算的動能損失厚度為:

上述各種厚度的計算公式，對于不可壓縮流體而言，變?yōu)?12/11/202273上述兩項(xiàng)之差表示粘性存在而損失的動能，這部分動能12平面不可壓縮流體層流邊界層方程1、平壁面上邊界層方程根據(jù)Prandtl邊界層概念，通過量級比較，可對N-S方程組進(jìn)行簡化，得到邊界層近似方程。對于二維不可壓縮流動，N-S方程為

選取長度特征L，速度尺度ue，時間尺度t=L/ue，邊界層近似假定：12/11/202274平面不可壓縮流體層流邊界層方程1、平壁面上邊界層方程12/1（1）根據(jù)邊界層定義，縱向偏導(dǎo)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于橫向偏導(dǎo)數(shù)。（2）法向速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于縱向速度。（3）邊界層內(nèi)的壓強(qiáng)與外流速度的平方成正比。將這些量級關(guān)系式代入到N-S方程中，得到12/11/202275（1）根據(jù)邊界層定義，縱向偏導(dǎo)數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于橫向偏導(dǎo)數(shù)。12/1N-S方程組與各項(xiàng)量級比較:12/11/202276N-S方程組與12/11/202276在高Re數(shù)情況下，忽略小量得到忽略質(zhì)量力，由第三個方程得到這說明，在高Re數(shù)情況下，在邊界層內(nèi)壓力沿法向是不變的。12/11/202277在高Re數(shù)情況下，忽略小量得到12/11/202277邊界層內(nèi)的壓力分布與邊界層外邊界線上的壓力分布相等。也就是，p與y無關(guān)，僅是x和t的函數(shù)。即忽略質(zhì)量力，Prandtl邊界層方程變?yōu)檫吔鐥l件：12/11/202278邊界層內(nèi)的壓力分布與邊界層外邊界線上的壓力分布相等。在邊界層外邊界線上，可按照理想流體勢流方程確定壓強(qiáng)。即

在定常流動情況下，有12/11/202279在邊界層外邊界線上，可按照理想流體勢流方程確定壓強(qiáng)。即綜上所述，邊界層基本特性可歸納為2、曲壁面上的邊界層方程在實(shí)際流動中所遇到的物面常是彎曲的，因此推導(dǎo)曲壁面上的邊界層方程具有重要意義。在推導(dǎo)中，使用曲壁面上的邊界層坐標(biāo)系。其中，x軸貼著壁面，y軸垂直于壁面。在邊界層內(nèi)任取一點(diǎn)M，其坐標(biāo)x=ONy=NMM’為M的鄰點(diǎn)，MM’的弧長為ds12/11/202280綜上所述，邊界層基本特性可歸納為12/11/202280在x處，設(shè)曲壁的曲率半徑為R(x)，有則有

仍以u和v分別表示邊界層坐標(biāo)系中的x和y方向的速度分量，則由正交曲線坐標(biāo)系方程，得到12/11/202281在x處，設(shè)曲壁的曲率半徑為R(x)，有12/11/20228運(yùn)動方程為:12/11/202282運(yùn)動方程為:12/11/202282假定物面的曲率半徑R(x)與x向的特征長度L同量級，y的量級與邊界層厚度同量級，故有:量級比較，簡化的邊界層方程為:12/11/202283假定物面的曲率半徑R(x)與x向的特征長度L同量級，這就是曲壁面上的邊界層方程，與平壁面的方程相比，只是y方向的方程有所不同。為了和流動彎曲所產(chǎn)生的離心力相平衡，必須有y方向的壓力梯度。以下估計這個壓力梯度的量級大小。初步假定邊界層內(nèi)速度分布為線性分布。從y=0到y(tǒng)=s積分，有在R>>s的情況下，此壓差是個小量，可忽略。由此仍得出在曲壁面的邊界層內(nèi)，法向壓力不變是個常數(shù)。這說明，在曲率半徑不太小且變化不太大的情況下，曲壁面上的邊界層方程與平壁面上的邊界層方程完全相同。12/11/202284這就是曲壁面上的邊界層方程，與平壁面的方程相比，只是1908年，Prandtl學(xué)生Blasius利用邊界層速度分布的相似性求解了平板層流邊界層方程。對于零壓梯度、定常、不可壓縮流體平板層流繞流，邊界層方程為相應(yīng)的邊界條件為Blasius假設(shè)，在平板上邊界層內(nèi)的速度分布具有相似性特征。即平板層流邊界層的相似解12/11/2022851908年，Prandtl學(xué)生Blasius利用邊界根據(jù)量級比較，邊界層厚度的量級為:

引入流函數(shù)，可消掉一個連續(xù)方程。

12/11/202286根據(jù)量級比較，邊界層厚度的量級為:12/11/202286由此得到代入方程中，得到12/11/202287由此得到12/11/202287化簡后變?yōu)檫吔鐥l件為Blasius用無窮級數(shù)進(jìn)行了求解。假設(shè)：其中，為待定系數(shù)。12/11/202288化簡后變?yōu)?2/11/202288由邊界條件，可得（1）邊界層厚度（）（2）邊界層位移厚度（3）邊界層動量損失厚度12/11/202289由邊界條件，可得12/11/202289（4）壁面切應(yīng)力（5）壁面摩擦阻力系數(shù)（6）平均壁面摩擦總阻力系數(shù)

郭永懷（1953年）對平板前緣點(diǎn)的修正，得到適用范圍：12/11/202290（4）壁面切應(yīng)力12/11/202290邊界層動量積分關(guān)系式是由Karman1921導(dǎo)出的，對近似求解邊界層特性具有重要作用。適應(yīng)于層流邊界層和湍流邊界層。今在邊界層內(nèi)任取一控制體，控制體長度為dx，控制面為Aab、Abc、Acd、Ada?，F(xiàn)對控制體應(yīng)用動量定律，可得由Aab面流入控制體的質(zhì)量為

由Acd面流出控制體的質(zhì)量為12/11/202291邊界層動量積分關(guān)系式是由Karman1921導(dǎo)出的，根據(jù)質(zhì)量守恒定律，通過Abc流入控制體的質(zhì)量為由Aab面流入控制體的動量為由Acd面流出控制體的動量為通過Abc流入控制體的動量在x方向的分量為12/11/202292根據(jù)質(zhì)量守恒定律，通過Abc流入控制體的質(zhì)量為12/11/2在Aab面上的作用力為在Acd面上的作用力為在Abc面上的力為在Aad面上的切應(yīng)力為

12/11/202293在Aab面上的作用力為12/11/202293現(xiàn)對控制體建立x方向的動量方程為整理后，得由于12/11/202294現(xiàn)對控制體建立x方向的動量方程為12/11/202294由Bernoulli方程，可得這就是邊界層動量積分方程。是一個一階常微分方程，適應(yīng)于層流和湍流邊界層。12/11/202295由Bernoulli方程，可得12/11/202295如果寫成無量綱形式，有對于零壓梯度的平板邊界層流動，有動量積分方程也可通過直接積分邊界層微分方程獲得。對于二維不可壓縮流體邊界層方程為12/11/202296如果寫成無量綱形式，有12/11/202296用ue乘以連續(xù)方程，并把動量方程改寫。兩式相減，得到積分上式，有12/11/20229712/11/202297整理后，得到這與Karman方程完全一樣。動量積分方程含有三個未知數(shù)，排移厚度、動量損失厚度、壁面切應(yīng)力。因此，必須尋求補(bǔ)充關(guān)系，積分求解。由于三個未知量都取決與邊界層的速度分布，因此只要給定速度分布，就可以求解。顯然，該方法的精度取決于邊界層內(nèi)速度分布的合理性。通常假定，邊界層內(nèi)速度分布為確定系數(shù)的條件為12/11/202298整理后，得到12/11/202298邊界層的分離現(xiàn)象1、邊界層分離現(xiàn)象

邊界層中的流體質(zhì)點(diǎn)受慣性力、粘性力和壓力的作用。其中，粘性力的作用始終是阻滯流體質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動，使流體質(zhì)點(diǎn)減速，失去動能；壓力的作用取決于繞流物體的形狀和流道形狀，順壓梯度有助于流體加速前進(jìn)，而逆壓梯度阻礙流體運(yùn)動。以圓柱繞流為例說明邊界層的分離現(xiàn)象。

對于理想流體，流體微團(tuán)繞過圓柱時，在OM段為加速減壓區(qū)，壓能轉(zhuǎn)化為動能。在MF段為減速增壓區(qū)，動能減小壓能增加12/11/202299邊界層的分離現(xiàn)象1、邊界層分離現(xiàn)象對于理對于粘性流體，在上述能量的轉(zhuǎn)化過程中，由于粘性的作用，邊界層內(nèi)的流體質(zhì)點(diǎn)將要克服粘性力作功而消耗機(jī)械能。因此微團(tuán)在逆壓區(qū)，不可能到達(dá)F點(diǎn)，而是在MF段中的某點(diǎn)處微團(tuán)速度降為零，以后來的質(zhì)點(diǎn)將改道進(jìn)入主流中，使來流邊界層與壁面分離。在分離點(diǎn)下游的區(qū)域，受逆壓梯度的作用而發(fā)生倒流。分離點(diǎn)定義為緊鄰壁面順流區(qū)與倒流區(qū)的分界點(diǎn)在分離點(diǎn)附近和分離區(qū)，由于邊界層厚度大大增加，邊界層假設(shè)不再成立。邊界層分離的必要條件是：逆壓梯度和物面粘性的阻滯作用結(jié)果。僅有粘性的阻滯作用而無逆壓梯度，不會發(fā)生邊界層的分離，因?yàn)闊o反推力使邊界層流體進(jìn)入到外流區(qū)。這說明，順壓梯度的流動不可能發(fā)生邊界層分離。只有逆壓梯度而無粘性的阻滯作用，同樣也不會發(fā)生分離現(xiàn)象，因?yàn)闊o阻滯作用，運(yùn)動流體不可能消耗動能而滯止下來。12/11/2022100對于粘性流體，在上述能量的轉(zhuǎn)化過程中，由于粘性的作用氣流繞翼型的流動與邊界層分離現(xiàn)象。

需要指出的是：逆壓梯度和壁面粘性阻滯作用是邊界層分離的必要條件，但不是充分的，也就是說只有在一定的逆壓梯度下，才有可能發(fā)生分離。12/11/2022101氣流繞翼型的流動與邊界層分離現(xiàn)象。12/11/20221012、在不同壓力梯度區(qū)邊界層的速度分布特征根據(jù)邊界層動量方程，在壁面上壓力梯度對邊界層內(nèi)流動速度分布產(chǎn)生一定的影響。對于順壓梯度的情況，有對于逆壓梯度的情況，有12/11/20221022、在不同壓力梯度區(qū)邊界層的速度分布特征12/11/2022對于零壓梯度的情況，有由此可見，隨著壓力梯度的變號，邊界層速度分布的曲率將改變符號。12/11/2022103對于零壓梯度的情況，有12/11/2022103對于順壓梯度區(qū)，壓力沿程減小，速度沿程增加。在壁面處，另一方面，在邊界層的外邊界上，有由此說明，在順壓梯度區(qū)，邊界層內(nèi)的速度沿y方向是單調(diào)增加的，分布曲線無拐點(diǎn)，是一條向外凸的光滑曲線，流動是穩(wěn)定的。12/11/2022104對于順壓梯度區(qū)，壓力沿程減小，速度沿程增加。在12對于逆壓梯度區(qū)，壓力沿程增加，速度沿程減小。在壁面處，有另一方面，在邊界層的外邊界上，有于是在邊界層內(nèi)，速度分布曲率從正變?yōu)樨?fù)，在某點(diǎn)處必然有這一點(diǎn)是速度分布的拐點(diǎn)。拐點(diǎn)的出現(xiàn)改變了速度分布的形狀，在拐點(diǎn)以上為外凸型，在拐點(diǎn)以下為外凹型，存在拐點(diǎn)的速度分布型是不穩(wěn)定的。12/11/2022105對于逆壓梯度區(qū)，壓力沿程增加，速度沿程減小。在12

在最小壓力點(diǎn)處，有說明拐點(diǎn)在物面上，隨著流體質(zhì)點(diǎn)向下游流動，拐點(diǎn)向外邊界移動，物面近區(qū)的速度分布愈來愈瘦小，但當(dāng)拐點(diǎn)移動到某點(diǎn)時，物面處出現(xiàn)12/11/202210612/11/2022106該點(diǎn)稱為分離點(diǎn)。在分離點(diǎn)下游區(qū)，有發(fā)生了回流，回流把主流推離壁面，邊界層假設(shè)失效。由上分析可見，逆壓梯度愈大，邊界層分離愈靠前。邊界層分離后，流動特征發(fā)生了變化。如：（1）從分離點(diǎn)不斷脫離出旋渦，在分離點(diǎn)下游形成不穩(wěn)定的旋渦區(qū)，從而使得主流區(qū)由原來的無渦區(qū)變成有渦。（2）物面上壓力分布由原來的幾乎對稱分布變成不對稱分布，在分離點(diǎn)后出現(xiàn)低壓區(qū)（或負(fù)壓區(qū)），從而大大增加了繞流物體的阻力。12/11/2022107該點(diǎn)稱為分離點(diǎn)。在分離點(diǎn)下游區(qū)，有12/11/2022107在線教務(wù)輔導(dǎo)網(wǎng)：

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流體微團(tuán)在運(yùn)動過程中，將發(fā)生剛體運(yùn)動（平動和轉(zhuǎn)動）與變形運(yùn)動（線變形和角變形運(yùn)動）。

流體微團(tuán)的運(yùn)動形式與速度分解定理平動轉(zhuǎn)動線變形角變形12/11/20221311、流體微團(tuán)運(yùn)動的基本形式流體微團(tuán)的運(yùn)動形式與速度分解定理平2、速度分解定理德國物理學(xué)家Helmholtz（1821-1894）1858年提出的流場速度的分解定理，正確區(qū)分了流體微團(tuán)的運(yùn)動形式。設(shè)在流場中，相距微量的任意兩點(diǎn)，按泰勒級數(shù)展開給出分解。

在速度為

在點(diǎn)處，速度為12/11/20221322、速度分解定理12/11/20223以x方向速度分量為例，由泰勒級數(shù)展開，有將上式分別加、減下列兩項(xiàng)得到12/11/2022133以x方向速度分量為例，由泰勒級數(shù)展開，有12/11/2022如果令：綜合起來，有12/11/2022134如果令：12/11/20225對于y,z方向的速度分量，也可得到寫成矢量形式其中，第一項(xiàng)表示微團(tuán)的平動速度，第二項(xiàng)表示微團(tuán)轉(zhuǎn)動引起的，第三項(xiàng)表示微團(tuán)變形引起的。12/11/2022135對于y,z方向的速度分量，也可得到12/11/20226定義如下：流體微團(tuán)平動速度：流體微團(tuán)線變形速度：

流體微團(tuán)角變形速度（剪切變形速度）：流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度：12/11/2022136定義如下：12/11/202273、有旋運(yùn)動與無旋運(yùn)動流體質(zhì)點(diǎn)的渦量定義為表示流體質(zhì)點(diǎn)繞自身軸旋轉(zhuǎn)角速度的2倍。并由渦量是否為零，定義無旋流動與有旋運(yùn)動。4、變形率矩陣（或變形率張量）

在速度分解定理中，最后一項(xiàng)是由流體微團(tuán)變形引起的，其中稱為變形率矩陣，或變形率張量。該項(xiàng)與流體微團(tuán)的粘性應(yīng)力存在直接關(guān)系。12/11/20221373、有旋運(yùn)動與無旋運(yùn)動12/11/20228定義，流體微團(tuán)的變形率矩陣為該矩陣是個對稱矩陣，每個分量的大小與坐標(biāo)系的選擇有關(guān)，但有三個量是與坐標(biāo)系選擇無關(guān)的不變量。它們是：12/11/2022138定義，流體微團(tuán)的變形率矩陣為12/11/20229

對于第一不變量，具有明確的物理意義。表示速度場的散度，或流體微團(tuán)的相對體積膨脹率。如果選擇坐標(biāo)軸是三個變形率矩陣的主軸，則此時變形率矩陣的非對角線上的分量為零，相應(yīng)的變形率矩陣與不變量為12/11/2022139對于第一不變量，具有明確的物理意義。表示速度場的散度粘性流體的應(yīng)力狀態(tài)1、理想流體和粘性流體作用面受力差別流體處于靜止?fàn)顟B(tài)，只能承受壓力，幾乎不能承受拉力和剪力，不具有抵抗剪切變形的能力。理想流體在運(yùn)動狀態(tài)下，流體質(zhì)點(diǎn)之間可以存在相對運(yùn)動，但不具有抵抗剪切變形的能力。因此，作用于流體內(nèi)部任意面上的力只有正向力，無切向力。粘性流體在運(yùn)動狀態(tài)下，流體質(zhì)點(diǎn)之間可以存在相對運(yùn)動，流體具有抵抗剪切變形的能力。因此，作用于流體內(nèi)部任意面上力既有正向力，也有切向力。

12/11/2022140粘性流體的應(yīng)力狀態(tài)1、理想流體和粘性流體作用面受力差別12/2、粘性流體中的應(yīng)力狀態(tài)

在粘性流體運(yùn)動中，由于存在切向力，過任意一點(diǎn)單位面積上的表面力就不一定垂直于作用面，且各個方向的大小也不一定相等。因此，作用于任意方向微元面積上合應(yīng)力可分解為法向應(yīng)力和切向應(yīng)力。如果作用面的法線方向與坐標(biāo)軸重合，則合應(yīng)力可分解為三個分量，其中垂直于作用面的為法應(yīng)力，另外兩個與作用面相切為切應(yīng)力，分別平行于另外兩個坐標(biāo)軸，為切應(yīng)力在坐標(biāo)軸向的投影分量。12/11/20221412、粘性流體中的應(yīng)力狀態(tài)12/11/202212由此可見，用兩個下標(biāo)可把各個應(yīng)力分量的作用面方位和投影方向表示清楚。其中第一個下標(biāo)表示作用面的法線方向，第二個下標(biāo)表示應(yīng)力分量的投影方向。如，對于x面的合應(yīng)力可表示為y面的合應(yīng)力表達(dá)式為z面的合應(yīng)力表達(dá)式為12/11/2022142由此可見，用兩個下標(biāo)可把各個應(yīng)力分量的作用面方位和投

如果在同一點(diǎn)上給定三個相互垂直坐標(biāo)面上的應(yīng)力，那么過該點(diǎn)任意方向作用面上的應(yīng)力可通過坐標(biāo)變換唯一確定。因此，我們把三個坐標(biāo)面上的九個應(yīng)力分量稱為該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，由這九個應(yīng)力分量組成的矩陣稱為應(yīng)力矩陣（或應(yīng)力張量）。根據(jù)剪力互等定理，在這九分量中，只有六個是獨(dú)立的，其中三法向應(yīng)力和三個切向應(yīng)力。這個應(yīng)力矩陣如同變形率矩陣一樣，是個對稱矩陣。12/11/2022143如果在同一點(diǎn)上給定三個相互垂直坐標(biāo)面上的應(yīng)力，那么過（1）在理想流體中，不存在切應(yīng)力，三個法向應(yīng)力相等，等于該點(diǎn)壓強(qiáng)的負(fù)值。即（2）在粘性流體中，任意一點(diǎn)的任何三個相互垂直面上的法向應(yīng)力之和一個不變量，并定義此不變量的平均值為該點(diǎn)的平均壓強(qiáng)的負(fù)值。即（3）在粘性流體中，任意面上的切應(yīng)力一般不為零。12/11/2022144（1）在理想流體中，不存在切應(yīng)力，三個法向應(yīng)力相等，等于該點(diǎn)廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（本構(gòu)關(guān)系）1、牛頓內(nèi)摩擦定理啟發(fā)牛頓內(nèi)摩擦定理得到，粘性流體作直線層狀流動時，流層之間的切應(yīng)力與速度梯度成正比。即如果用變形率矩陣和應(yīng)力矩陣表示，有

說明應(yīng)力矩陣與變形率矩陣成正比。對于一般的三維流動，Stokes（1845年）通過引入三條假定，將牛頓內(nèi)摩擦定律進(jìn)行推廣，提出廣義牛頓內(nèi)摩擦定理。12/11/2022145廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（本構(gòu)關(guān)系）1、牛頓內(nèi)摩擦定理啟發(fā)12/12、Stokes假設(shè)（1845年）

(Stokes，英國數(shù)學(xué)家、力學(xué)家，1819-1903年）（1）流體是連續(xù)的，它的應(yīng)力矩陣與變形率矩陣成線性關(guān)系，與流體的平動和轉(zhuǎn)動無關(guān)。（2）流體是各向同性的，其應(yīng)力與變形率的關(guān)系與坐標(biāo)系的選擇和位置無關(guān)。（3）當(dāng)流體靜止時，變形率為零，流體中的應(yīng)力為流體靜壓強(qiáng)。由第三條件假定可知，在靜止?fàn)顟B(tài)下，流體的應(yīng)力只有正應(yīng)力，無切應(yīng)力。即12/11/20221462、Stokes假設(shè)（1845年）12/11/202217因此，在靜止?fàn)顟B(tài)下，流體的應(yīng)力狀態(tài)為

根據(jù)第一條假定，并受第三條假定的啟發(fā)，可將應(yīng)力矩陣與變形率矩陣寫成如下線性關(guān)系式（本構(gòu)關(guān)系）。式中，系數(shù)a、b是與坐標(biāo)選擇無關(guān)的標(biāo)量。參照牛頓內(nèi)摩擦定理，系數(shù)a只取決于流體的物理性質(zhì)，可取12/11/2022147因此，在靜止?fàn)顟B(tài)下，流體的應(yīng)力狀態(tài)為12/11/20221由于系數(shù)b與坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動無關(guān)，因此可以推斷，要保持應(yīng)力與變形率成線性關(guān)系，系數(shù)b只能由應(yīng)力矩陣與變形率矩陣中的那些線性不變量構(gòu)成。即令式中，為待定系數(shù)。將a、b代入，有取等式兩邊矩陣主對角線上的三個分量之和，可得出12/11/2022148由于系數(shù)b與坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)動無關(guān)，因此可以推斷，要保持12/11歸并同類項(xiàng)，得到在靜止?fàn)顟B(tài)下，速度的散度為零，且有于是，有由于b1和b2均為常數(shù)，且要求p0在靜止?fàn)顟B(tài)的任何情況下均成立，則然后代入第一式中，有12/11/2022149歸并同類項(xiàng)，得到12/11/202220如果令稱為流體壓強(qiáng)。則本構(gòu)關(guān)系為上式即為廣義牛頓內(nèi)摩擦定理（為牛頓流體的本構(gòu)方程）。用指標(biāo)形式，上式可表示為12/11/2022150如果令12/11/202221對于不可壓縮流體,有如果用坐標(biāo)系表示，有粘性切應(yīng)力：法向應(yīng)力：12/11/2022151對于不可壓縮流體,有12/11/202222Navier-Stokes方程1、流體運(yùn)動的基本方程

利用牛頓第二定理推導(dǎo)以應(yīng)力形式表示的流體運(yùn)動微分方程。(在流場中取一個微分六面體流體微團(tuán)進(jìn)行分析，以x方向?yàn)槔?，建立運(yùn)動方程）。12/11/2022152Navier-Stokes方程1、流體運(yùn)動的基本方程12/1整理后，得到

這是以應(yīng)力形式表示的流體運(yùn)動微分方程，具有普遍意義，既適應(yīng)于理想流體，也適應(yīng)于粘性流體。這是一組不封閉的方程，在質(zhì)量力已知的情況下，方程中多了6個應(yīng)力分量，要想得到封閉形式，必須引入本構(gòu)關(guān)系，如粘性流體的廣義牛頓內(nèi)摩擦定律。12/11/2022153整理后，得到12/11/2022242、Navier-Stokes方程組（粘性流體運(yùn)動方程組）人類對流體運(yùn)動的描述歷史是：1500年以前DaVinci（1452-1519，意大利科學(xué)家）定性。1755年Euler（瑞士科學(xué)家，1707-1783）推導(dǎo)出理想流體運(yùn)動方程。1822年Navier（1785-1836，法國科學(xué)家）開始考慮粘性1829年P(guān)oisson(1781-1846)、1843年SaintVenant（1795-1886)、1845年Stokes(1819-1903，英國科學(xué)家)結(jié)束，完成了推導(dǎo)過程，提出現(xiàn)在形式的粘性流體運(yùn)動方程。（歷時90年）12/11/20221542、Navier-Stokes方程組（粘性流體運(yùn)動方程組）1以x方向的方程為例，給出推導(dǎo)。引入廣義牛頓內(nèi)摩擦定理，即代入得到12/11/2022155以x方向的方程為例，給出推導(dǎo)。12/11/202226對于y和z方向的方程為

這就是描述粘性流體運(yùn)動的N-S方程組，適應(yīng)于可壓縮和不可壓縮流體。12/11/2022156對于y和z方向的方程為12/11/202227寫成張量的形式為對于不可縮流體，，且粘性系數(shù)近似看作常數(shù)，方程組可得到簡化。仍以x向方程進(jìn)行說明。

12/11/2022157寫成張量的形式為12/11/202228由此可得到張量形式矢量形式12/11/2022158由此可得到12/11/202229為了研究流體的有旋性，Lamb等將速度的隨體導(dǎo)數(shù)加以分解，把渦量分離出來，形成如下形式的Lamb型方程。

12/11/2022159為了研究流體的有旋性，Lamb等將速度的隨體導(dǎo)數(shù)加3、Bernoulli積分

伯努利家族（瑞士）前后四代，數(shù)十人，形成歷史上罕見的數(shù)學(xué)大家族。其中，Bernoulli,Nocholas(尼古拉斯·伯努利）,1623-1708，瑞士伯努利數(shù)學(xué)家族第一代。Bernoulli,Johann（約翰伯努利），1667-1748，伯努利數(shù)學(xué)家族第二代，提出著名的虛位移原理。Bernoulli,Daniel（丹尼爾伯努利），1700-1782，伯努利數(shù)學(xué)家族第三代，Johann.伯努利的兒子，著有《流體動力學(xué)》（1738），將微積分方法運(yùn)用到流體動力學(xué)中，提出著名的伯努利方程。12/11/20221603、Bernoulli積分12/11/202231與Bernoulli積分理想流體運(yùn)動方程類似，積分N-S方程假定：（1）不可壓縮粘性流體；（2）定常流動；（3）質(zhì)量力有勢；（4）沿流線積分。沿流線積分N-S方程，可推導(dǎo)出粘性流體的能量方程。與理想流體能量不同的是，方程中多了一項(xiàng)因粘性引起的損失項(xiàng)，表示流體質(zhì)點(diǎn)克服粘性應(yīng)力所消耗的能量。在粘性不可壓縮定常流動中，任取一條流線，在流線上某處取一微段ds，該處所對應(yīng)的流速為12/11/2022161與Bernoulli積分理想流體運(yùn)動方程類似，積分N-S方程沿流線積分N-S方程，有在定常流情況下，跡線和流線重合。12/11/2022162沿流線積分N-S方程，有12/11/202233流線微段與速度之間的關(guān)系為12/11/2022163流線微段與速度之間的關(guān)系為12/11/202234質(zhì)量力有勢，因此有不可壓縮定常流動，有粘性項(xiàng)寫成為在流線微段上，微分形式為12/11/2022164質(zhì)量力有勢，因此有12/11/202235與理想流體能量微分方程相比，在上式中多了一項(xiàng)與粘性有關(guān)的項(xiàng)，物理上表示單位質(zhì)量流體質(zhì)點(diǎn)克服粘性應(yīng)力所做的功，代表機(jī)械能的損失，不可能再被流體質(zhì)點(diǎn)機(jī)械運(yùn)動所利用。故稱其為單位質(zhì)量流體的機(jī)械能損失或能量損失。對于質(zhì)量力只有重力的情況，方程的形式變?yōu)?/p>

方程兩邊同除以g，得到表示單位重量流體總機(jī)械能量沿流線的變化。12/11/2022165與理想流體能量微分方程相比，在上式中多了一項(xiàng)如果令能量方程變?yōu)閱挝恢亓苛黧w所具有的機(jī)械能為；單位重量流體粘性力所做的功為。沿著同一條流線積分，得到12/11/2022166如果令12/11/202237上式說明，在粘性流體中，沿同一條流線上單位重量流體的所具有的機(jī)械能總是沿程減小的，不能保持守恒（理想流體時，總機(jī)械能是保持守恒的，無機(jī)械能損失），減小的部分代表流體質(zhì)點(diǎn)克服粘性應(yīng)力做功所消耗的機(jī)械能量。粘性流體Bernoulli積分方程說明，粘性流體在流動中，無論勢能、壓能和動能如何轉(zhuǎn)化，但總機(jī)械能是沿程減小的，總是從機(jī)械能高的地方流向機(jī)械能低的地方。12/11/2022167上式說明，在粘性流體中，沿同一條流線上單位重量流體的粘性流體運(yùn)動的能量方程1、熱力學(xué)第一定理能量方程是熱力學(xué)第一定理在運(yùn)動流體中的表現(xiàn)形式。熱力學(xué)第一定理表示：單位時間內(nèi)作用于系統(tǒng)上所有力對系統(tǒng)所做的功與單位時間內(nèi)輸入系統(tǒng)的熱量之和等于系統(tǒng)總能量的變化率。即其中，Q為單位時間輸入系統(tǒng)的總熱量，包括熱輻射和熱傳導(dǎo)；W為單位時間作用于系統(tǒng)上所有力對系統(tǒng)所做的功。作用力包括表面力和體積力。12/11/2022168粘性流體運(yùn)動的能量方程1、熱力學(xué)第一定理12/11/20222、能量方程推導(dǎo)在粘性流體空間中，任取一個微分平行六面體的流體微團(tuán)作為系統(tǒng)，六面體為控制體，則該系統(tǒng)單位時間內(nèi)總能量的變化率應(yīng)等于單位時間作用于系統(tǒng)上所有作用力的功與外界傳給系統(tǒng)的熱量之和。用e表示單位質(zhì)量流體所具有的內(nèi)能，那么單位質(zhì)量流體所具有的總能量（內(nèi)能+動能）為

單位時間內(nèi)，微元流體系統(tǒng)總能量的變化率為12/11/20221692、能量方程推導(dǎo)12/11/202240作用系統(tǒng)上的力包括：通過控制面作用于系統(tǒng)上的表面力和系統(tǒng)上的質(zhì)量力。單位時間內(nèi)，所有作用力對系統(tǒng)所做的功為：質(zhì)量力功率：x方向表面力的功率：12/11/2022170作用系統(tǒng)上的力包括：通過控制面作用于系統(tǒng)上的表面力和同理可得，y和z方向的功率為總功率為12/11/2022171同理可得，y和z方向的功率為12/11/202242單位時間內(nèi)，外界傳給系統(tǒng)的總熱量Q包括熱輻射和熱傳導(dǎo)。令q表示單位時間因熱輻射傳給單位質(zhì)量流體的熱量，總的輻射熱量為由Fourier定理可得，通過控制面?zhèn)鹘o系統(tǒng)的熱量。對于x方向，單位時間通過控制面?zhèn)魅胂到y(tǒng)的熱量為12/11/2022172單位時間內(nèi)，外界傳給系統(tǒng)的總熱量Q包括熱輻射和熱傳導(dǎo)同理可得，y和z方向的熱傳導(dǎo)量。單位時間內(nèi)，總的熱傳導(dǎo)量為將以上各式代入12/11/2022173同理可得，y和z方向的熱傳導(dǎo)量。12/11/202244整理得到該方程為能量方程的微分形式。寫成張量形式為12/11/2022174整理得到12/11/202245另外，如果用ui乘以運(yùn)動方程，有代入能量方程，得到另一種形式的能量方程。12/11/2022175另外，如果用ui乘以運(yùn)動方程，有12/11/202246上式的物理意義是：在單位時間內(nèi)，單位體積流體內(nèi)能的變化率等于流體變形時表面力作功與外部傳入熱量之和。其中，表面力作功包括壓力作功和剪切力作功，壓力作功表示流體變形時法向力作膨脹功，剪切力作功表示流體運(yùn)動是克服摩擦力作功，這部分是由于流體粘性引起的，將流體部分機(jī)械能不可逆轉(zhuǎn)化為熱能而消耗掉。利用廣義牛頓內(nèi)摩擦定理，可得其中，為耗散函數(shù)。12/11/2022176上式的物理意義是：在單位時間內(nèi)，單位體積流體內(nèi)能的變這樣，能量方程也可寫成為說明，單位體積流體內(nèi)能的變化率等于法向力作功、外加熱量以及由于粘性而消耗的機(jī)械能之和。由連續(xù)方程，有12/11/2022177這樣，能量方程也可寫成為12/11/202248代入能量方程中，得到對于不可壓縮流體，有12/11/2022178代入能量方程中，得到12/11/202249粘性流體運(yùn)動的基本性質(zhì)包括：運(yùn)動的有旋性，旋渦的擴(kuò)散性，能量的耗散性。

1、粘性流體運(yùn)動的渦量輸運(yùn)方程為了討論旋渦在粘性流體流動中的性質(zhì)和規(guī)律，推導(dǎo)渦量輸運(yùn)方程是必要的。其Lamb型方程是引入廣義牛頓內(nèi)摩擦定理粘性流體運(yùn)動的基本性質(zhì)12/11/2022179粘性流體運(yùn)動的基本性質(zhì)包括：運(yùn)動的有旋性，旋渦的擴(kuò)Lamb型方程變?yōu)閷ι鲜絻蛇吶⌒龋玫秸砗蟮玫?2/11/2022180Lamb型方程變?yōu)?2/11/202251這是最一般的渦量輸運(yùn)方程。該式清楚地表明：流體的粘性、非正壓性和質(zhì)量力無勢，是破壞旋渦守恒的根源。在這三者中，最常見的是粘性作用。由于（1）如果質(zhì)量力有勢、流體正壓、且無粘性，則渦量方程簡化為這個方程即為Helmholtz渦量守恒方程。12/11/2022181這是最一般的渦量輸運(yùn)方程。該式清楚地表明：流體的（2）如果質(zhì)量力有勢，流體為不可壓縮粘性流體，則渦量輸運(yùn)方程變?yōu)閺埩啃问綖椋?）對于二維流動，上式簡化為12/11/2022182（2）如果質(zhì)量力有勢，流體為不可壓縮粘性流體，則渦量12/12、粘性流體運(yùn)動的有旋性理想流體運(yùn)動可以是無旋的，也可以是有旋的。但粘性流體運(yùn)動一般總是有旋的。用反證法可說明這一點(diǎn)。對于不可壓縮粘性流體，其運(yùn)動方程組為根據(jù)場論知識，有代入上式，得到12/11/20221832、粘性流體運(yùn)動的有旋性12/11/202254如果流動無旋，則這與不可壓縮理想流體的方程組完全相同，粘性力的作用消失，說明粘性流體流動與理想流體流動完全相同，且原方程的數(shù)學(xué)性質(zhì)也發(fā)生了變化，由原來的二階偏微分方程組變成一階偏微分方程組。但問題出在固壁邊界上。在粘性流體中，固壁面的邊界條件是：不穿透條件和不滑移條件。即要求降階后的方程組同時滿足這兩個邊界條件一般是不可能的。這說明粘性流體流動一般總是有旋的。12/11/2022184如果流動無旋，則12/11/202255但也有特例。如果固壁的切向速度正好等于固壁面處理想流體的速度，也就是固壁面與理想流體質(zhì)點(diǎn)不存在相對滑移，這時不滑移條件自動滿足，這樣理想流體方程自動滿足固壁面邊界條件。說明在這種情況下，粘性流體流動可以是無渦的。但一般情況下，固壁面與理想流體質(zhì)點(diǎn)總是存在相對滑移的，受流體粘性的作用，必然要產(chǎn)生旋渦。由此可得出結(jié)論：粘性流體旋渦是由存在相對運(yùn)動的固壁面與流體的粘性相互作用產(chǎn)生的。3、粘性流體旋渦的擴(kuò)散性

粘性流體中，旋渦的大小不僅可以隨時間產(chǎn)生、發(fā)展、衰減、消失，而且還會擴(kuò)散，渦量從強(qiáng)度大的地方向強(qiáng)度小的地方擴(kuò)散，直至旋渦強(qiáng)度均衡為止。12/11/2022185但也有特例。如果固壁的切向速度正好等于固壁面處理想流以一空間孤立渦線的擴(kuò)散規(guī)律為例說明之。渦線強(qiáng)度的定解問題為這是一個擴(kuò)散方程的定解問題，其解為12/11/2022186以一空間孤立渦線的擴(kuò)散規(guī)律為例說明之。渦線強(qiáng)度12/4、粘性流體能量的耗散性在粘性流體中，流體運(yùn)動必然要克服粘性應(yīng)力作功而消耗機(jī)械能。耗散函數(shù)的引入是表征這一特性的重要物理量。按照定義，單位時間、單位體積流體所消耗的能量為在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式為12/11/20221874、粘性流體能量的耗散性12/11/202258對于粘性流體，只有兩種可能使耗散函數(shù)為零