等差數(shù)列知識點總結和題型歸納

且m<n，公差為d，則有an⑧對于等差數(shù)列｛a且m<n，公差為d，則有an⑧對于等差數(shù)列｛a｝，若

nmn+m=p+q，貝Ua+a=a+anmp也就是：a+a="+a,1、n2n-1⑨若數(shù)列1｝是等差數(shù)列n等差數(shù)列如下圖所示：3n-2，S是其前n項的和，kGN*n,次a+a+a++a+a++ao__2_vSkk、k+1,v_S2k-Sk10、等差數(shù)列的前n項和的性質(zhì)：①若項數(shù)為2n(ngN*),則S2nn(a+a)nn+1一S=nd奇，一.等差數(shù)列知識點:知識點1、等差數(shù)列的定義：①如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母d表示知識點2、等差數(shù)列的判定方法：②定義法：對于數(shù)列｛a｝，若a-a=d(常數(shù))，則數(shù)列乞｝是等差數(shù)列TOC\o"1-5"\h\znn+1nn③等差中項：對于數(shù)列｛a｝，若2a=a+a，則數(shù)列匕｝是等差數(shù)列nn+1nn+2n知識點3、等差數(shù)列的通項公式：④如果等差數(shù)列｛a｝的首項是a「公差是d，則等差數(shù)列的通項為n1a=a+(n-1)d該公式整理后是關于n的一次函數(shù)n1知識點4、等差數(shù)列的前n項和：⑤S=n(a1±0n2⑥S=na+n^dn2n12對于公式2整理后是關于n的沒有常數(shù)項的二次函數(shù)知識點5、等差中項:⑥如果a,A,b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項即：A="或2A=a+b2在一個等差數(shù)列中，從第2項起，每一項〔有窮等差數(shù)列的末項除外〕都是它的前一項與后一項的等差中項；事實上等差數(shù)列中某一項是與其等距離的前后兩項的等差中項知識點6、等差數(shù)列的性質(zhì)：a是等差數(shù)列的第m項，m⑦等差數(shù)列任意兩項間的關系：如果a是等差數(shù)列的第m項，m4.②若項數(shù)為2n-1(ngN)則S2n-1=(2〃-1)an，且S奇-S偶二an+1S=na,S=(n-1)a〕.奇n偶n二、題型選析：

題型一、計算求值〔等差數(shù)列基本概念的應用〕、.等差數(shù)列例｝的前三項依次為a-6,2a-5,-3a+2，則a等于(：)A.-1B.1C.-2D.2TOC\o"1-5"\h\z.在數(shù)列例｝中,a產(chǎn)，2an+1=2an+1,則的值為〔〕A.49B.50C.51D.52.等差數(shù)列1,-1,-3,-89的項數(shù)是〔〕A.92B.47C.46D.454、已知等差數(shù)列｛〃｝中，a=16,a=1,則。的值是()n79412()A15B30C31D645.首項為-24的等差數(shù)列，從第10項起開始為正數(shù)，則公差的取值X圍是〔〕A.d>8B.dv3C.8<d<3D.8<d<3333，點(、丁，、：「)在直％-y-3=0上，nn-16、.在數(shù)列｛a｝，點(、丁，、：「)在直％-y-3=0上，nn-17、在等差數(shù)列｛aj中，a5=3,a6=-2,則a4+a5+…+a10n.11*5645108、等差數(shù)列L｝的前n項和為S，若a=1,a=3,則S=〔〕nn234〔A〕12〔B〕10〔C〕8〔D〕69、設數(shù)列么｝的首項a=-7,且滿足a=a+2(ngN)，則a+a+■+a=n1n+1n121710、已知｛2"為等差數(shù)列，a3+a8=22，a6=7，貝Ua5=11、已知數(shù)列」的通項an=-5n+2,則其前n項和為Sn=.12、設S為等差數(shù)列卷｝的前n項和，S=14：S-S=30，則S=.,nn、一41079題型二、等差數(shù)列性質(zhì)、已知｛an｝為等差數(shù)列，a2+a8=12，則a、已知｛an｝為等差數(shù)列，a2+a8=12，則a5等于〔〕(A)4(B)5(C)6(D)7設S是等差數(shù)列｛a｝的前n項和，若S=35，則a=〔〕nn74A.8B.7若等差數(shù)列｛a｝中記等差數(shù)列｛a｝的前nA.7B.6等差數(shù)列｛a｝中，nC.6D.5,a+a-a=8,a

371011項和為S，若S=4

n2C.3D.2已知a4=113—a=4,則Ua=.47,S=20，則該數(shù)列的公差d=〔4a2+a5=4，an=33，則n為〔(A)48(B)49(C)50〔D〕51等差數(shù)列｛an｝中，a1=1,a3+a5=14,其前n項和Sn=100,則n=〔〕(A)9(B)10(C)11(D)12n設S是等差數(shù)列｛a｝的前n項和，若a5=5,則S9=〔〕nna9S351A.1B.-1C.2D.-2已知等差數(shù)列｛an｝滿足1+2+3++101=0則有()A.1+9、如果a,1101>°B.2+100<0C.3+99=0D.51=51a，…，a28為各項都大于零的等差數(shù)列，公差d豐0，則（）〔A〕aa>aa〔B〕aa<aa18458145〔C〕a+a>a+a

18410、若一個等差數(shù)列前3項的和為34，最后3A.1+9、如果a,1101>°B.2+100<0C.3+99=0D.51=51a，…，a28為各項都大于零的等差數(shù)列，公差d豐0，則（）〔A〕aa>aa〔B〕aa<aa18458145〔C〕a+a>a+a

18410、若一個等差數(shù)列前3項的和為34，最后3項的和為146〔D〕aa=aa1845且所有項的和為390，則這個數(shù)列有〔〕〔A〕13項〔B〕12項〔C〕11項〔D〕10項題型三、等差數(shù)列前n項和1、等差數(shù)列｛a｝中，已知a+a+a+n123=p=p

102、A.等差數(shù)列-2,1,4,…的前n項和為—n（3n-4）B.—n（3n-7）C.22an-9〕（3n+4）3、A.4、5、+a+=q，則其前n項和S=.n已知等差數(shù)列｛a｝滿足a+a+a+…+a=0，則na+a>0B.在等差數(shù)列。｝中n12a+a<0199a+a+a1233C.二15,a99a+a=0199+a+an-1n-2貝Un=。等差數(shù)列｛a｝的前n項和為SnA．12B．18C．246、若等差數(shù)列共有2n+1項、eN則項數(shù)為A.5B.7C.97、8、〔〕D.=78a=5050S=155,n若S=2,S=10,則S等于D．42且奇數(shù)項的和為44偶數(shù)項的和為33，D.11設等差數(shù)列｛a｝的前n項和為S，若S=9，S=36

6若兩個等差數(shù)列｛a｝和｛b｝的前n項和分別是S，T

nn7已知STn897n

n+3,7B.2C,27D.21題型四、等差數(shù)列綜合題精選1、等差數(shù)列｛a｝的前n項和記為Sn』Da10=30,a20=50.〔I〕求通項a；n〔II〕若Sn=242,求n.2、3、〔1〕求｛a｝的通項a；〔2〕求｛a｝前n項和S的最大值。設a｝為等差數(shù)列，S為數(shù)列a｝的前n項和，已知S=7,nnn7S<=75,T為數(shù)列］'1的前n項和，求T。15nnn

4、已知^a｝是等差數(shù)列，a=2,a=18；弘｝也是等差數(shù)列，a—b=4,n13n22b+b+b+b=a+a+a。1234123〔1〕求數(shù)列%」的通項公式與前n項和Sn的公式；nn5、設等差數(shù)列｛a｝的首項a1與公差nn5、設等差數(shù)列｛a｝的首項a1與公差d都為整數(shù)，前n項和為S(I)若a11=0,S14=98,求數(shù)列｛a｝的通項公式；"(II)若a1三6,a11>0,S14W77,求所有可能的數(shù)列｛a｝的通項公式.6、已知二次函數(shù)y=f(x)的圖像經(jīng)過坐標原點，其導函數(shù)為尸(x)=6x-2,數(shù)列ij｛a｝的前n項和為S,nn點(n,S)(neN*)均在函數(shù)y=f(x)的圖像上。(1)求數(shù)列｛a｝的通項公式；nn3m(II)設b=,T是數(shù)列｛b｝的前n項和，求使得T<—對所有neN*都成立的最小正整數(shù)m；TOC\o"1-5"\h\znaannn20nn+1五、等差數(shù)列習題精選1、等差數(shù)列｛a｝的前三項依次為x,2x+1,4x+2,則它的第5項為〔〕nA、5x+5B、2x+1C、5D、42、設等差數(shù)列｛a｝中，a=5,a=17,則a[,的值等于〔〕n4914A、11B、22C、29D、123、設｛a｝是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若a+a+a=15，aaa=80，n123123貝Ua+a+a=（）111213A．120BA．120B．105C．90D．754、若等差數(shù)列｛a｝的公差d中0，則〔〕n5、〔5、〔A〕aa>aa〔B〕2635〔C〕aa=aa〔D〕2635已知｛a｝滿足，對一切自然數(shù)n均有a>a,nn+1naa<aa2635aa與aa的大小不確定2635且a=n2+入n恒成立，則實數(shù)九的取值Xn圍是〔〕A.X>0B.X<0C.九=0D.X>-36、等差數(shù)列煒，a=1,公差△￡0,若〃，〃，“成等比數(shù)列，則d為(：〕n1125(A)3(B)2(C)-2(D)2或—27、在等差數(shù)列｝中，〃=q,a=p(pwq)，則〃二npqp+qAsp+qBs-(p+q)C、0D、pq8、設數(shù)列(z｝是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，前三項和為12,前三項的積為48,則它的首項是nTOC\o"1-5"\h\zA、1B、2C、4D、89、已知(％》為等差數(shù)列，4+〃3+4=1。5,+〃4+〃6=99，則匕得于〔〕A.-1B.1C.3D.710、已知｛〃｝為等差數(shù)列，且〃-2〃=-1,〃=0,則公差d二n743_1_A.-2B.-C」D.2211、在等差數(shù)列｛〃｝中，a+a=4，則其前9項的和S9等于〔〕n289A.18B27C36D912、設等差數(shù)列｛a｝的前n項和為S，若S=9，S=36，則a+a+a=〔〕nn36789A.63B.45C.36D.2713、在等差數(shù)列^｝中,a+a+a=15,a+a+a=78,S=155,n123nn-1n-2n貝Un=。14、數(shù)列(z｝是等差數(shù)列，它的前n項和可以表示為〔〕nA.S=An2+Bn+CB.S=An2+BnC.S=An2+Bn十C(a豐0)D.S=An2+Bn(a牛0)nn小結1、等差中項：若a,A成等差數(shù)列，則人叫做a與b的等差中項，且A二竽2、為減少運算量，要注意設元的技巧，如奇數(shù)個數(shù)成等差，可設為…可設為…a-2d,a-d,a,a+d,a+2d…〔公差為d〕；偶數(shù)個數(shù)成等差a-3d,a-d,a+d,a+3d，…〔公差為2d〕可設為…3、當公差d中0時，等差數(shù)列的通項公式a=a+(n-1)d=dn+a-d是關于n的一次函數(shù)，n11且斜率為公差d；若公差d>0，則為遞增等差數(shù)列，若公差d<0，則為遞減等差數(shù)列，若公差d=0，則為常數(shù)列。4、當m+n=p+q時，則有a+a=a+a，特別地，當m+n=2p時，則有a+a=2a.mnpqmnp5、若｛a｝、｛b｝是等差數(shù)列，則伏a｝、｛ka+pb](k、p是非零常數(shù))、｛a｝(p,qeN*)、nnnnnp+nqS,S-S,S-S，…也成等差數(shù)列，而｛a%｝成等比數(shù)列；n2nn3n2n等差數(shù)列參考答案題型一：計算求值題號1234567答案1=1BDCAD3n2-49題號891011121314答案1=1C15315-(5n2+n)/254題型二、等差數(shù)列的性質(zhì)1、C2、D3、12〔a3+a7-a10+a11-a4=8+4=a7=12〕4、C5、C6、B7、A8、C9、B

10、A題型三、等差數(shù)列前n項和TOC\o"1-5"\h\z1、5n(p+q)2、B3、C4、n=105、246、S奇/$偶=團巾1=4/3,n=47、458、D〔a5/b5=S9/T9〕題型四：等差數(shù)列綜合題精選1、解：〔I〕由a=a+(n-1)d,a=30,a=50,得方程組n11020fa+9d=30,<1……4分解得a=12,d=2.所以a=2n+10.Ia+19d=50.1n1〔II〕由S=na+n(n°d,S=242得方程n12n12n+n(n-1)x2=242.……10分解得n=11或n=-22(舍去).22、解：〔2、解：〔I〕設｛a｝的公差為d,

nIa+d=1由已知條件，得<1q<Ia+4d=-513、解出a=3,d=-3、解出a=3,d=-2.所以a=a+(n-1)d=-2n+5.1n1〔II〕S=na+nn_—d=-n2+4n=4-(n-2)2.n12所以n=2時，S取到最大值4.n解：設等差數(shù)列｛a｝的公差為d，則S=na+1n(n-1%nn12S=7，S=75，71517a+21d=7,<115a+105d=75,1解得a=-2，d=1。??一n-=a+—(n—1%=-2+—(n—1)，1n122屋-工=L.?.數(shù)列;SnI是等差數(shù)列，其首項為-2，公差為1，n+1n2InI2:?Tn19=—n2n44a—a4、解：〔1〕設｛an｝的公差為d1，｛勾｝的公差為d2由a3=a1+2d1得*=31=8所以an依題意，=2+所以an依題意，=2+8(n-1)=8n-6，所以a2=10,fb+d=614b+24x3,d22fb=3=30解得Id1=3L2a1+a2+a3=30，所以bn=3+3(n-1)=3nn(n(b+b)331n—=—n2+—n.2223(m+2)一一〔2〕設an=bm,則8n-6=3m,既n=———①，要是①式對非零自然數(shù)m、n成立，只需8m+2=8k,keN，所以m=8k-2,keN②TOC\o"1-5"\h\z++②代入①得，n=3k,keN，所以a『b-=24k-6,對一切keN都成立。，+，3k8k-2+所以，數(shù)列L;與%;有無數(shù)個相同的項。nn553.一令24k-6<100，得k<—,又keN*，所以卜=1,2,3,4.即100以內(nèi)有4個相同項。JL乙5、解：〔1〕由S14=98得2a1+13d=14,又a11=a1+10d=0,故解得d=—2,a1=20.因此，｛an｝的通項公式是an=22—2n,n=1,2,3…S<77,14S<77,14〔II〕由〈a〉0,11a>612a+