62現(xiàn)代數(shù)學(xué)(一)幾何學(xué)的變革課件

第九章

幾何學(xué)的變革第九章

幾何學(xué)的變革1第二節(jié)幾何學(xué)的變革希爾伯特說：“19世紀(jì)最富有啟發(fā)性和最值得注意的成就是非歐幾里得幾何的發(fā)現(xiàn)?！钡诙?jié)幾何學(xué)的變革希爾伯特說：“19世紀(jì)最富有2直到18世紀(jì)末，幾何領(lǐng)域仍然是歐幾里得一統(tǒng)天下。解析幾何改變了幾何研究的方法，但沒有從實(shí)質(zhì)上改變歐幾里得幾何本身的內(nèi)容。解析方法的運(yùn)用雖然在相當(dāng)長的時(shí)間內(nèi)沖淡了人們對綜合幾何的興趣，但歐幾里得幾何作為數(shù)學(xué)嚴(yán)格性的典范始終保持著神圣的地位。直到18世紀(jì)末，幾何領(lǐng)域仍然是歐幾里得一統(tǒng)天下。解析幾何改變39.1歐幾里得平行公設(shè)許多學(xué)者都視歐幾里得幾何為絕對真理。然而，這種近乎科學(xué)“圣經(jīng)”的幾何學(xué)并非無懈可擊。事實(shí)上，從公元前3世紀(jì)到18世紀(jì)末，另一批數(shù)學(xué)始終沒有放棄對歐幾里得第五公設(shè)的疑惑。9.1歐幾里得平行公設(shè)許多學(xué)者都視歐幾里得幾何為絕對真理。然4為澄清這種疑惑，一代代數(shù)學(xué)家想盡了方法，然而他們所給“證明”要么隱含著等價(jià)的命題假定，要么存在著形式的推理錯(cuò)誤。而且，這類工作中的大多數(shù)在數(shù)學(xué)思想上顯得毫無意義。為澄清這種疑惑，一代代數(shù)學(xué)家想盡了方法，然而他們所給“證明”5歐氏幾何公理：（1）等于同量的量彼此相等；（2）等量加等量，和相等；（3）等量減等量，差相等；（4）彼此重合的圖形是全等的；（5）整體大于部分。歐氏幾何公理：6歐氏幾何公設(shè)：（1）假定從任意一點(diǎn)到任意一點(diǎn)可作一直線；（2）一條有限直線可不斷延長；（3）以任意中心和半徑可以畫圓；（4）凡直角部彼此相等；（5）若一直線落在兩直線上所構(gòu)成的同旁內(nèi)角和小于兩直角，那么把兩直線無限延長，它們將在同旁內(nèi)角和小于兩直角的一側(cè)相交。歐氏幾何公設(shè)：762現(xiàn)代數(shù)學(xué)(一)幾何學(xué)的變革課件8替代公設(shè)：存在一對同平面的直線彼此處處等距離；過已知直線外的已知點(diǎn)只能作一條直線平行于已知直線(蘇格蘭數(shù)學(xué)家普雷菲爾與1795年提出）；存在一對相似但不全等的三角形；過任何三個(gè)不在同一直線上的點(diǎn)可作一個(gè)圓；替代公設(shè)：9替代公設(shè)：如果一個(gè)四邊形有一對對邊相等，并且它們與第三邊構(gòu)成的角均為直角，則余下的兩個(gè)角也是直角；如果四邊形有三個(gè)角是直角，則第四個(gè)角也是直角；至少存在一個(gè)三角形，其三角和等于二直角；三角形的面積無上限。替代公設(shè)：1018世紀(jì)中葉，達(dá)朗貝爾無奈地把平行公設(shè)的證明問題稱為“幾何原理中的家丑”。但就在此前后，對第五公設(shè)的研究開始出現(xiàn)有意義的進(jìn)展。在這方面的代表人物是意大利數(shù)學(xué)家薩凱里、德國數(shù)學(xué)家克呂格爾和瑞士數(shù)學(xué)家蘭伯特。18世紀(jì)中葉，達(dá)朗貝爾無奈地把平行公設(shè)的證明問題稱為“幾何原111733年，薩凱里使用歸謬法來證明平行公設(shè)。他的出發(fā)點(diǎn)是一個(gè)等腰雙直角四邊形。薩凱里在假定直線為無限長的情況下，先由鈍角假設(shè)推出了矛盾；然后在考慮銳角假設(shè)的過程中，他獲得了一系列新奇有趣的結(jié)果：如三角形三內(nèi)角之和小于兩個(gè)直角等。雖然這些結(jié)果實(shí)質(zhì)上并不包含任何矛盾，但薩凱里認(rèn)為它們太不合情理，便以為自己導(dǎo)出了矛盾而判定銳角假設(shè)是不真實(shí)的。1733年，薩凱里使用歸謬法來證明平行公設(shè)。他的出發(fā)點(diǎn)是一個(gè)12薩凱里的工作激發(fā)了數(shù)學(xué)家們進(jìn)一步的思考。1763年，克呂格爾首先指出薩凱里的工作實(shí)際上并未導(dǎo)出矛盾，只是得到了似乎與經(jīng)驗(yàn)不符的結(jié)論?？藚胃駹柺堑谝晃粚ζ叫泄O(shè)能否由其他公理加以證明表示懷疑的數(shù)學(xué)家。他的見解啟迪了蘭伯特。薩凱里的工作激發(fā)了數(shù)學(xué)家們進(jìn)一步的思考。1763年，克呂格爾131766年，蘭伯特對此問題進(jìn)行了更為深入的探討。他從一個(gè)具有三直角的四邊形出發(fā)，按照第四個(gè)角是直角、鈍角還是銳角作出了三個(gè)假設(shè)。由于鈍角假設(shè)導(dǎo)致矛盾，所以他很快就放棄了它。與薩凱里不同的是，蘭伯特并不認(rèn)為銳角假設(shè)導(dǎo)出的結(jié)論是矛盾，而且他認(rèn)識到一組假設(shè)如果不引起矛盾的話，就提供了一種可能的新幾何。1766年，蘭伯特對此問題進(jìn)行了更為深入的探討。他從一個(gè)具有14蘭伯特最先指出了通過替換平行公設(shè)而展開新的無矛盾的幾何學(xué)的道路。突破具有兩千年根基的歐氏幾何傳統(tǒng)的束縛，需要更高大的巨人，這樣的時(shí)機(jī)在19世紀(jì)初逐漸成熟，并且也像解析幾何、微積分的創(chuàng)立一樣，這樣的人物出現(xiàn)了不止一位。對非歐幾何來說，他們是高斯，波約和羅巴切夫斯基。蘭伯特最先指出了通過替換平行公設(shè)而展開新的無矛盾的幾何學(xué)的道159.2非歐幾何的誕生“非歐幾何”的名稱來源于高斯。盡管在其正式建立之前，許多技術(shù)性的內(nèi)容已被大量導(dǎo)出，但最先對其意義有深刻理解的是高斯。他從1799年開始意識到平行公設(shè)不能由其他公理推出，并從1813年起發(fā)展了這種平行公設(shè)在其中不成立的新幾何。然而由于擔(dān)心世俗的攻擊，這位“數(shù)學(xué)之王”決定將自己的發(fā)現(xiàn)秘而不宣。9.2非歐幾何的誕生“非歐幾何”的名稱來源于高斯。盡管在其正16為了驗(yàn)證“非歐幾何”應(yīng)用的可能性，他實(shí)際測量了由三座山峰構(gòu)成的三角形，此三角形的三邊分別為：69，85與109公里。他發(fā)現(xiàn)其內(nèi)角和比1800大了近15〞。為了驗(yàn)證“非歐幾何”應(yīng)用的可能性，他實(shí)際測量了由三座山峰構(gòu)成171832年，對發(fā)現(xiàn)非歐幾何深緘其口的高斯突然收到一篇論文《絕對空間的科學(xué)》，文章的作者是一位名叫波約的匈牙利青年，文中論述的“絕對幾何”事實(shí)上就是非歐幾何，且與高斯的思想方法不謀而合?？梢韵胂?，急于得到支持的波約等來的會(huì)是什么。高斯淡然而缺乏熱情的評語使他十分灰心，從此放棄了發(fā)表論文的想法。1832年，對發(fā)現(xiàn)非歐幾何深緘其口的高斯突然收到一篇論文《絕18在非歐幾何的三位發(fā)明人中，只有俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基最早、最系統(tǒng)地發(fā)表了自己的研究成果，并且也是最堅(jiān)定的宣傳和捍衛(wèi)自己新思想的一位。在非歐幾何的三位發(fā)明人中，只有俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基最早、最19羅巴切夫斯基1792年生于俄國下諾伏哥羅德（今高爾基城），1807年進(jìn)入喀山大學(xué)，1811年畢業(yè)并獲碩士學(xué)位。羅巴切夫斯基畢業(yè)后留校任職，歷任教授助理、非常任教授、常任教授、物理數(shù)學(xué)系主任，35歲被任命為校長。1846年以后任喀山學(xué)區(qū)副督學(xué)，直至逝世。如果沒有羅氏幾何學(xué)，羅巴切夫斯基只能算一個(gè)優(yōu)秀的科學(xué)與教育管理者。羅巴切夫斯基1792年生于俄國下諾伏哥羅德（今高爾基城），120他先是于1826年在喀山大學(xué)發(fā)表了《簡要論述平行線定理的一個(gè)嚴(yán)格證明》的演講，報(bào)告了自己關(guān)于非歐幾何的發(fā)現(xiàn)，而后又在1829年發(fā)表了題為《論幾何原理》的論文，這是歷史上第一篇公開發(fā)表的非歐幾何文獻(xiàn)。他先是于1826年在喀山大學(xué)發(fā)表了《簡要論述平行線定理的一個(gè)21羅巴切夫斯基為發(fā)展、闡釋這種新幾何學(xué)付出了畢生心血。他生前發(fā)表了許多論著，其中1835—1838年間的系列論文《具有完備的平行線理論的新幾何學(xué)原理》較好地表述了他的思想，1840年用德文出版的《平行理論的幾何研究》引起高斯的關(guān)注，這使他在1842年成為德國哥廷根科學(xué)協(xié)會(huì)會(huì)員。羅巴切夫斯基為發(fā)展、闡釋這種新幾何學(xué)付出了畢生心血。他生前發(fā)22羅巴切夫斯基非歐幾何與高斯、波約的基本思想一致，即用與歐幾里得第五公設(shè)相反的斷言：過直線外一點(diǎn)，可引不止一條直線與已知直線不相交，作為替代公設(shè)，進(jìn)行邏輯推導(dǎo)而得出一連串新幾何學(xué)的定理，它們并不包含矛盾，因而在總體上形成了一個(gè)邏輯上可能的、無矛盾的理論。這個(gè)理論就是一種新的幾何學(xué)——非歐幾里得幾何學(xué)。羅巴切夫斯基非歐幾何與高斯、波約的基本思想一致，即用與歐幾里23設(shè)給定了直線a和直線外一點(diǎn)A，從A引a的垂直線AB。按照羅巴切夫斯基的基本假設(shè)，至少存在兩條直線b,b’，通過點(diǎn)A且不與直線a相交。羅巴切夫斯基考慮所有過A不與a相交的直線的極限情形，指出這樣的極限直線有兩條(c與c’)，并證明了它們也不與a相交。因此，c與c’便構(gòu)成了所有不與相交的直線的邊界，在這兩條邊界直線所成夾角內(nèi)的所有直線都不與a相交。設(shè)給定了直線a和直線外一點(diǎn)A，從A引a的垂直線AB。按照羅巴24羅巴切夫斯基稱c與c’為a的“平行線”，而落在夾角內(nèi)的所有直線叫不相交直線。如果按不相交即平行的意義理解，那么羅巴切夫斯基的幾何里，過直線外一點(diǎn)就可以引無窮多條直線與給定的直線平行。羅巴切夫斯基稱c與c’為a的“平行線”，而落在夾角內(nèi)的所有直25羅巴切夫斯基還將夾角的一半稱為“平行角”，因小于兩直角，故平行角小于直角。羅巴切夫斯基發(fā)現(xiàn)，平行角是點(diǎn)A到直線a的距離d的函數(shù)。若把平行角記作，則時(shí)，就得到歐氏平行公設(shè)。若，則單調(diào)增加且趨于；而時(shí)，單調(diào)減少且趨于0。羅巴切夫斯基還將夾角的一半稱為“平行角”，因小于兩26換句話說，如果在離直線很遠(yuǎn)處作與此直線垂線夾角很小的直線，那么我們可以沿著這條“傾斜”的直線前進(jìn)而永遠(yuǎn)不與直線相遇！用歐氏幾何的眼光來看，羅巴切夫斯基幾何還有許多令人驚奇的結(jié)果，如：1.三角形三內(nèi)角之和小于兩直角，假如三角形變大，使它所有三條高都無限增長，則它的三個(gè)內(nèi)角全部趨向于零；2.不存在面積任意大的三角形；3.如果兩個(gè)三角形的三個(gè)角相等，它們就全等。換句話說，如果在離直線很遠(yuǎn)處作與此直線垂線夾角很小的直線，那279.3非歐幾何的發(fā)展與確認(rèn)

非歐幾何要獲得普遍接受，還需要確實(shí)地建立自身的無矛盾性和現(xiàn)實(shí)意義。1854年，德國數(shù)學(xué)家黎曼發(fā)展了羅巴切夫斯基等人的思想，以高斯關(guān)于曲面的內(nèi)蘊(yùn)微分幾何為基礎(chǔ)，建立了一種更廣泛的幾何。即現(xiàn)在所稱的黎曼幾何。9.3非歐幾何的發(fā)展與確認(rèn)非歐幾何要獲得普遍接受，還需要28黎曼黎曼29黎曼幾何中，最重要的一種對象就是所謂的常曲率空間，對于三維空間，曲率可以為正常數(shù)、負(fù)常數(shù)、或恒為零。黎曼指出后兩種情形分別對應(yīng)于羅巴切夫斯基的非歐幾何學(xué)和通常的歐幾里得幾何學(xué)。而第一種情形則是黎曼本人的創(chuàng)造。黎曼幾何中，最重要的一種對象就是所謂的常曲率空間，對于三維空30在這種幾何中，過已知直線外一點(diǎn)，不能作任何平行于已知直線的直線。這實(shí)際上是以薩凱里等人的鈍角假設(shè)為基礎(chǔ)而展開的非歐幾何學(xué)。黎曼可以說是最先理解非歐幾何全部意義的數(shù)學(xué)家。在這種幾何中，過已知直線外一點(diǎn)，不能作任何平行于已知直線的直31他創(chuàng)立的黎曼幾何不僅是對已經(jīng)出現(xiàn)的非歐幾何的承認(rèn)，而且顯示了創(chuàng)造其他非歐幾何的可能性。但黎曼的理論仍然難以被同時(shí)代的人理解，據(jù)說除了年邁的高斯外沒人能聽懂黎曼的意思。黎曼也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)史上最具創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)家之一。他創(chuàng)立的黎曼幾何不僅是對已經(jīng)出現(xiàn)的非歐幾何的承認(rèn)，而且顯示了3219世紀(jì)70年代以后，意大利數(shù)學(xué)家貝爾特拉米基于內(nèi)蘊(yùn)幾何觀點(diǎn)，給出一個(gè)叫“偽球面”的曲面作為羅巴切夫斯基幾何模型。隨后，克萊因、龐加萊也各自對羅巴切夫斯基幾何給出自己的歐幾里得模型。他們的工作，揭示了非歐幾何的現(xiàn)實(shí)意義，同時(shí)使非歐幾何具有了至少與歐幾里得幾何同等的真實(shí)性。至此，非歐幾何作為一種幾何的合法地位充分建立起來，并開始得到廣泛的理解和接受。19世紀(jì)70年代以后，意大利數(shù)學(xué)家貝爾特拉米基于內(nèi)蘊(yùn)幾何觀點(diǎn)33非歐幾何的模型1）貝爾特拉米（E.Beltrami,1835-1899）模型；2）克萊因（F.Keller，1849-1925）模型；3）龐加萊（H.Poincare,1854-1912）模型。4）球面幾何模型非歐幾何的模型1）貝爾特拉米（E.Beltrami,183534貝爾特拉米非歐幾何模型貝爾特拉米非歐幾何模型35克萊因非歐幾何模型克36龐加萊模型龐加萊模型3762現(xiàn)代數(shù)學(xué)(一)幾何學(xué)的變革課件389.4射影幾何的繁榮非歐幾何揭示了空間的彎曲性質(zhì)，將平直空間的歐幾里得幾何變成了某種特例。實(shí)際上，如果將歐幾里得幾何限制于其原先的涵義——三維、平直、剛性空間的幾何學(xué)，那么，19世紀(jì)的幾何學(xué)就可以理解為一場廣義的“非歐”運(yùn)動(dòng)：從三維到高維，從平直到彎曲，而射影幾何的發(fā)展又從另一個(gè)方向使“神圣”的歐幾里得幾何再度“降格”為其他幾何的特例。9.4射影幾何的繁榮非歐幾何揭示了空間的彎曲性質(zhì)，將平直空39在19世紀(jì)以前，射影幾何一直是在歐幾里得幾何框架下被研究的，其早期開拓者德沙格、帕斯卡等主要是以歐氏幾何的方法處理問題，并且他們的工作由于18世紀(jì)解析幾何與微積分發(fā)展的洪流而被人遺忘。到18世紀(jì)末與19世紀(jì)初，蒙日的《畫法幾何學(xué)》以及其學(xué)生卡諾等人的工作，重新激發(fā)了人們對綜合射影幾何的興趣。不過將射影幾何真正變革為具有獨(dú)立目標(biāo)與方法的學(xué)科的數(shù)學(xué)家，是曾受教于蒙日的龐斯列。在19世紀(jì)以前，射影幾何一直是在歐幾里得幾何框架下被研究的，40與德沙格和帕斯卡不同，龐斯列更喜歡探討一般性問題：圖形在投射和截影下保持不變的性質(zhì)，這也是后來射影幾何研究的主題。與他的老師蒙日也不同，龐斯列采用中心投影而不是平行投影，并將其提高為研究問題的一般方法。與德沙格和帕斯卡不同，龐斯列更喜歡探討一般性問題：圖形在投射41在龐斯列實(shí)現(xiàn)射影幾何目標(biāo)的一般研究中，有兩個(gè)基本原理扮演了重要角色。首先是連續(xù)性原理，它涉及到圖形通過投影變換時(shí)的幾何不變性。龐斯列將它發(fā)展到包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的情形，由此引出了具有重要作用的無窮遠(yuǎn)元素與虛元素概念。龐斯列強(qiáng)調(diào)的另一個(gè)原理是對偶原理。平面圖形的“點(diǎn)”和“線”之間存在著異乎尋常的對稱性。如果在它們所涉及的定理中，將這一對概念互換，那么就可以得到一個(gè)新定理。在龐斯列實(shí)現(xiàn)射影幾何目標(biāo)的一般研究中，有兩個(gè)基本原理扮演了重42在龐斯列用綜合方法為射影幾何奠基的同時(shí)，德國數(shù)學(xué)家默比烏斯和普呂克則開創(chuàng)了射影幾何研究的解析途徑。1827年，默比烏斯首次引進(jìn)了齊次坐標(biāo)概念，這種坐標(biāo)后被普呂克發(fā)展為更一般的形式，它實(shí)際上是對笛卡爾坐標(biāo)的推廣。齊次坐標(biāo)成為代數(shù)地推導(dǎo)包括對偶原理在內(nèi)的許多射影幾何基本結(jié)果的有效工具。在龐斯列用綜合方法為射影幾何奠基的同時(shí)，德國數(shù)學(xué)家默比烏斯和431847年，施陶特在不借助長度概念的情況下建立起射影幾何的基本工具，使射影幾何擺脫了度量關(guān)系，成為與長度等度量概念無關(guān)的全新學(xué)科。施陶特的工作鼓舞了英國數(shù)學(xué)家凱萊和普呂克的學(xué)生克萊因，他們著手在射影幾何概念的基礎(chǔ)上重建歐幾里得幾何乃至非歐幾何的有關(guān)性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)它們不過都是射影幾何的特例。他們的工作明確了各種幾何學(xué)之間的邏輯關(guān)系，從而為各種幾何學(xué)的統(tǒng)一輔平了道路。1847年，施陶特在不借助長度概念的情況下建立起射影幾何的基449.5幾何學(xué)的統(tǒng)一在數(shù)學(xué)史上，羅巴切夫斯基被稱為“幾何學(xué)上的哥白尼”。這是因?yàn)榉菤W幾何的創(chuàng)立不只是解決了兩千年來一直懸而未決的平行公設(shè)問題，更重要的是它引起了關(guān)于幾何觀念和空間觀念的最深刻的革命。9.5幾何學(xué)的統(tǒng)一在數(shù)學(xué)史上，羅巴切夫斯基被稱為“幾何學(xué)上45首先，非歐幾何對于人們的空間觀念產(chǎn)生了極其深遠(yuǎn)的影響。在19世紀(jì)，占統(tǒng)治地位的是歐幾里得的絕對空間觀念。非歐幾何的創(chuàng)始人無一例外地都對這種傳統(tǒng)觀念提出了挑戰(zhàn)。正是黎曼幾何為愛因斯坦的廣義相對論提供了最恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)表達(dá)，而根據(jù)廣義相對論所進(jìn)行的一系列天文觀測、實(shí)驗(yàn)，也證實(shí)了宇宙流形的非歐幾里得性。首先，非歐幾何對于人們的空間觀念產(chǎn)生了極其深遠(yuǎn)的影響。在1946其次，非歐幾何的出現(xiàn)打破了長期以來只有一種幾何學(xué)即歐幾里得幾何學(xué)的局面。19世紀(jì)中葉以后，通過否定歐幾里得幾何中這樣或那樣的公設(shè)、公理，產(chǎn)生了各種新而又新的幾何學(xué)，除了上述幾種非歐幾何、黎曼幾何外，還有如非阿基米德幾何、非德沙格幾何、非黎曼幾何、有限幾何等等，加上與非歐幾何并行發(fā)展的高維幾何、射影幾何、微分幾何以及較晚才出現(xiàn)的拓?fù)鋵W(xué)等，其次，非歐幾何的出現(xiàn)打破了長期以來只有一種幾何學(xué)即歐幾里得幾4719世紀(jì)的幾何學(xué)展現(xiàn)了無限廣闊的發(fā)展前景。在這樣的形勢下，尋找不同幾何學(xué)之間的內(nèi)在聯(lián)系，用統(tǒng)一的觀點(diǎn)來解釋它們，便成為數(shù)學(xué)家們追求的一個(gè)目標(biāo)。19世紀(jì)的幾何學(xué)展現(xiàn)了無限廣闊的發(fā)展前景。在這樣的形勢下，尋48統(tǒng)一幾何學(xué)的第一個(gè)大膽計(jì)劃是由德國數(shù)學(xué)家克萊因提出的。1872年，克萊因發(fā)表了著名的演講《愛爾朗根綱要》，闡述了幾何學(xué)統(tǒng)一的新思想：所謂幾何學(xué)，就是研究幾何圖形對于某類變換群保持不變的性質(zhì)的學(xué)問。這樣一來，不僅19世紀(jì)涌現(xiàn)的幾種重要的、表面上互不相干的幾何學(xué)被聯(lián)系到一起，而且變換群的任何一種分類也對應(yīng)于幾何學(xué)的一種分類。統(tǒng)一幾何學(xué)的第一個(gè)大膽計(jì)劃是由德國數(shù)學(xué)家克萊因提出的。18749按照克萊因的觀點(diǎn)，歐幾里得幾何只是仿射幾何的一個(gè)特例。仿射幾何則是更一般的幾何——射影幾何的一個(gè)特例。然而，并非所有幾何都能納入克萊因方案，例如今天的代數(shù)幾何和微分幾何，然而克萊因的綱領(lǐng)的確能給大部分幾何提供一個(gè)系統(tǒng)的分類方法，對幾何思想的發(fā)展產(chǎn)生了持久的影響。按照克萊因的觀點(diǎn)，歐幾里得幾何只是仿射幾何的一個(gè)特例。仿射幾50統(tǒng)一幾何學(xué)的另一條途徑，為希爾伯特所開通，那就是對現(xiàn)代數(shù)學(xué)影響深遠(yuǎn)的公理化方法。公理化方法肇始于歐幾里得，然而《原本》中的公理體系卻潛含著某種邏輯缺陷。在重建嚴(yán)格統(tǒng)一的幾何基礎(chǔ)的努力中，以希爾伯特在《幾何基礎(chǔ)》（1899）中使用的公理化方法最為成功。統(tǒng)一幾何學(xué)的另一條途徑，為希爾伯特所開通，那就是對現(xiàn)代數(shù)學(xué)影51希爾伯特在這方面的貢獻(xiàn)具有劃時(shí)代意義，因?yàn)樗热魏吻叭硕几油笍氐嘏辶斯硐到y(tǒng)的邏輯結(jié)構(gòu)與內(nèi)在聯(lián)系。在對他的公理系統(tǒng)作出自然地劃分之后，希爾伯特在歷史上第一次明確地提出了選擇和組織公理系統(tǒng)的原則，即相容性，獨(dú)立性，完備性。如此組織起來的公理系統(tǒng)中，通過否定或者替換其中的一條或幾條公理，就可以得到相應(yīng)的某種幾何。這樣的做法，不僅給出了已有幾門非歐幾何的統(tǒng)一處理，而且還可以引出新的幾何學(xué)。希爾伯特在這方面的貢獻(xiàn)具有劃時(shí)代意義，因?yàn)樗热魏吻叭硕几?21900年希爾伯特38歲時(shí)在巴黎舉行的第二屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上作了題為《數(shù)學(xué)問題》的著名講演．提出了新世紀(jì)所面臨的23個(gè)問題．這23個(gè)問題涉及現(xiàn)代數(shù)學(xué)的大部分重要領(lǐng)域?qū)@些問題的研究有力地推動(dòng)了20世紀(jì)各個(gè)數(shù)學(xué)分支的發(fā)展．1900年希爾伯特38歲時(shí)在巴黎舉行的第二屆國際53希爾伯特公理體系第一組，聯(lián)系公理，包括8條公理，又叫結(jié)合公理或關(guān)連公理第二組，順序公理，由4條公理組成；第三組，合同公理，包括5條公理；第四組，平行公理；第五組，連續(xù)公理，由阿基米德公理和直線完全性公理構(gòu)成。希爾伯特公理體系第一組，聯(lián)系公理，包括8條公理，又叫結(jié)合公54希爾伯特《數(shù)學(xué)問題》演講我們當(dāng)中有誰不想揭開未來的帷幕，看一看今后的世紀(jì)里我們這門科學(xué)發(fā)展的前景和奧秘呢？我們下一代的主要數(shù)學(xué)思潮將追求什么樣的特殊目標(biāo)？在廣闊而豐富的數(shù)學(xué)思想領(lǐng)域？新世紀(jì)將會(huì)帶來什么樣的新方法和新成果？……希爾伯特《數(shù)學(xué)問題》演講我們當(dāng)中有誰不想揭開未來的55思考題非歐幾何三位發(fā)明人是誰？他們中哪位是最早、最系統(tǒng)地發(fā)表自己關(guān)于非歐幾何的研究成果？思考題非歐幾何三位發(fā)明人是誰？他們中哪位是最早、最系統(tǒng)地發(fā)表56第九章

幾何學(xué)的變革第九章

幾何學(xué)的變革57第二節(jié)幾何學(xué)的變革希爾伯特說：“19世紀(jì)最富有啟發(fā)性和最值得注意的成就是非歐幾里得幾何的發(fā)現(xiàn)?！钡诙?jié)幾何學(xué)的變革希爾伯特說：“19世紀(jì)最富有58直到18世紀(jì)末，幾何領(lǐng)域仍然是歐幾里得一統(tǒng)天下。解析幾何改變了幾何研究的方法，但沒有從實(shí)質(zhì)上改變歐幾里得幾何本身的內(nèi)容。解析方法的運(yùn)用雖然在相當(dāng)長的時(shí)間內(nèi)沖淡了人們對綜合幾何的興趣，但歐幾里得幾何作為數(shù)學(xué)嚴(yán)格性的典范始終保持著神圣的地位。直到18世紀(jì)末，幾何領(lǐng)域仍然是歐幾里得一統(tǒng)天下。解析幾何改變599.1歐幾里得平行公設(shè)許多學(xué)者都視歐幾里得幾何為絕對真理。然而，這種近乎科學(xué)“圣經(jīng)”的幾何學(xué)并非無懈可擊。事實(shí)上，從公元前3世紀(jì)到18世紀(jì)末，另一批數(shù)學(xué)始終沒有放棄對歐幾里得第五公設(shè)的疑惑。9.1歐幾里得平行公設(shè)許多學(xué)者都視歐幾里得幾何為絕對真理。然60為澄清這種疑惑，一代代數(shù)學(xué)家想盡了方法，然而他們所給“證明”要么隱含著等價(jià)的命題假定，要么存在著形式的推理錯(cuò)誤。而且，這類工作中的大多數(shù)在數(shù)學(xué)思想上顯得毫無意義。為澄清這種疑惑，一代代數(shù)學(xué)家想盡了方法，然而他們所給“證明”61歐氏幾何公理：（1）等于同量的量彼此相等；（2）等量加等量，和相等；（3）等量減等量，差相等；（4）彼此重合的圖形是全等的；（5）整體大于部分。歐氏幾何公理：62歐氏幾何公設(shè)：（1）假定從任意一點(diǎn)到任意一點(diǎn)可作一直線；（2）一條有限直線可不斷延長；（3）以任意中心和半徑可以畫圓；（4）凡直角部彼此相等；（5）若一直線落在兩直線上所構(gòu)成的同旁內(nèi)角和小于兩直角，那么把兩直線無限延長，它們將在同旁內(nèi)角和小于兩直角的一側(cè)相交。歐氏幾何公設(shè)：6362現(xiàn)代數(shù)學(xué)(一)幾何學(xué)的變革課件64替代公設(shè)：存在一對同平面的直線彼此處處等距離；過已知直線外的已知點(diǎn)只能作一條直線平行于已知直線(蘇格蘭數(shù)學(xué)家普雷菲爾與1795年提出）；存在一對相似但不全等的三角形；過任何三個(gè)不在同一直線上的點(diǎn)可作一個(gè)圓；替代公設(shè)：65替代公設(shè)：如果一個(gè)四邊形有一對對邊相等，并且它們與第三邊構(gòu)成的角均為直角，則余下的兩個(gè)角也是直角；如果四邊形有三個(gè)角是直角，則第四個(gè)角也是直角；至少存在一個(gè)三角形，其三角和等于二直角；三角形的面積無上限。替代公設(shè)：6618世紀(jì)中葉，達(dá)朗貝爾無奈地把平行公設(shè)的證明問題稱為“幾何原理中的家丑”。但就在此前后，對第五公設(shè)的研究開始出現(xiàn)有意義的進(jìn)展。在這方面的代表人物是意大利數(shù)學(xué)家薩凱里、德國數(shù)學(xué)家克呂格爾和瑞士數(shù)學(xué)家蘭伯特。18世紀(jì)中葉，達(dá)朗貝爾無奈地把平行公設(shè)的證明問題稱為“幾何原671733年，薩凱里使用歸謬法來證明平行公設(shè)。他的出發(fā)點(diǎn)是一個(gè)等腰雙直角四邊形。薩凱里在假定直線為無限長的情況下，先由鈍角假設(shè)推出了矛盾；然后在考慮銳角假設(shè)的過程中，他獲得了一系列新奇有趣的結(jié)果：如三角形三內(nèi)角之和小于兩個(gè)直角等。雖然這些結(jié)果實(shí)質(zhì)上并不包含任何矛盾，但薩凱里認(rèn)為它們太不合情理，便以為自己導(dǎo)出了矛盾而判定銳角假設(shè)是不真實(shí)的。1733年，薩凱里使用歸謬法來證明平行公設(shè)。他的出發(fā)點(diǎn)是一個(gè)68薩凱里的工作激發(fā)了數(shù)學(xué)家們進(jìn)一步的思考。1763年，克呂格爾首先指出薩凱里的工作實(shí)際上并未導(dǎo)出矛盾，只是得到了似乎與經(jīng)驗(yàn)不符的結(jié)論?？藚胃駹柺堑谝晃粚ζ叫泄O(shè)能否由其他公理加以證明表示懷疑的數(shù)學(xué)家。他的見解啟迪了蘭伯特。薩凱里的工作激發(fā)了數(shù)學(xué)家們進(jìn)一步的思考。1763年，克呂格爾691766年，蘭伯特對此問題進(jìn)行了更為深入的探討。他從一個(gè)具有三直角的四邊形出發(fā)，按照第四個(gè)角是直角、鈍角還是銳角作出了三個(gè)假設(shè)。由于鈍角假設(shè)導(dǎo)致矛盾，所以他很快就放棄了它。與薩凱里不同的是，蘭伯特并不認(rèn)為銳角假設(shè)導(dǎo)出的結(jié)論是矛盾，而且他認(rèn)識到一組假設(shè)如果不引起矛盾的話，就提供了一種可能的新幾何。1766年，蘭伯特對此問題進(jìn)行了更為深入的探討。他從一個(gè)具有70蘭伯特最先指出了通過替換平行公設(shè)而展開新的無矛盾的幾何學(xué)的道路。突破具有兩千年根基的歐氏幾何傳統(tǒng)的束縛，需要更高大的巨人，這樣的時(shí)機(jī)在19世紀(jì)初逐漸成熟，并且也像解析幾何、微積分的創(chuàng)立一樣，這樣的人物出現(xiàn)了不止一位。對非歐幾何來說，他們是高斯，波約和羅巴切夫斯基。蘭伯特最先指出了通過替換平行公設(shè)而展開新的無矛盾的幾何學(xué)的道719.2非歐幾何的誕生“非歐幾何”的名稱來源于高斯。盡管在其正式建立之前，許多技術(shù)性的內(nèi)容已被大量導(dǎo)出，但最先對其意義有深刻理解的是高斯。他從1799年開始意識到平行公設(shè)不能由其他公理推出，并從1813年起發(fā)展了這種平行公設(shè)在其中不成立的新幾何。然而由于擔(dān)心世俗的攻擊，這位“數(shù)學(xué)之王”決定將自己的發(fā)現(xiàn)秘而不宣。9.2非歐幾何的誕生“非歐幾何”的名稱來源于高斯。盡管在其正72為了驗(yàn)證“非歐幾何”應(yīng)用的可能性，他實(shí)際測量了由三座山峰構(gòu)成的三角形，此三角形的三邊分別為：69，85與109公里。他發(fā)現(xiàn)其內(nèi)角和比1800大了近15〞。為了驗(yàn)證“非歐幾何”應(yīng)用的可能性，他實(shí)際測量了由三座山峰構(gòu)成731832年，對發(fā)現(xiàn)非歐幾何深緘其口的高斯突然收到一篇論文《絕對空間的科學(xué)》，文章的作者是一位名叫波約的匈牙利青年，文中論述的“絕對幾何”事實(shí)上就是非歐幾何，且與高斯的思想方法不謀而合?？梢韵胂?，急于得到支持的波約等來的會(huì)是什么。高斯淡然而缺乏熱情的評語使他十分灰心，從此放棄了發(fā)表論文的想法。1832年，對發(fā)現(xiàn)非歐幾何深緘其口的高斯突然收到一篇論文《絕74在非歐幾何的三位發(fā)明人中，只有俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基最早、最系統(tǒng)地發(fā)表了自己的研究成果，并且也是最堅(jiān)定的宣傳和捍衛(wèi)自己新思想的一位。在非歐幾何的三位發(fā)明人中，只有俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基最早、最75羅巴切夫斯基1792年生于俄國下諾伏哥羅德（今高爾基城），1807年進(jìn)入喀山大學(xué)，1811年畢業(yè)并獲碩士學(xué)位。羅巴切夫斯基畢業(yè)后留校任職，歷任教授助理、非常任教授、常任教授、物理數(shù)學(xué)系主任，35歲被任命為校長。1846年以后任喀山學(xué)區(qū)副督學(xué)，直至逝世。如果沒有羅氏幾何學(xué)，羅巴切夫斯基只能算一個(gè)優(yōu)秀的科學(xué)與教育管理者。羅巴切夫斯基1792年生于俄國下諾伏哥羅德（今高爾基城），176他先是于1826年在喀山大學(xué)發(fā)表了《簡要論述平行線定理的一個(gè)嚴(yán)格證明》的演講，報(bào)告了自己關(guān)于非歐幾何的發(fā)現(xiàn)，而后又在1829年發(fā)表了題為《論幾何原理》的論文，這是歷史上第一篇公開發(fā)表的非歐幾何文獻(xiàn)。他先是于1826年在喀山大學(xué)發(fā)表了《簡要論述平行線定理的一個(gè)77羅巴切夫斯基為發(fā)展、闡釋這種新幾何學(xué)付出了畢生心血。他生前發(fā)表了許多論著，其中1835—1838年間的系列論文《具有完備的平行線理論的新幾何學(xué)原理》較好地表述了他的思想，1840年用德文出版的《平行理論的幾何研究》引起高斯的關(guān)注，這使他在1842年成為德國哥廷根科學(xué)協(xié)會(huì)會(huì)員。羅巴切夫斯基為發(fā)展、闡釋這種新幾何學(xué)付出了畢生心血。他生前發(fā)78羅巴切夫斯基非歐幾何與高斯、波約的基本思想一致，即用與歐幾里得第五公設(shè)相反的斷言：過直線外一點(diǎn)，可引不止一條直線與已知直線不相交，作為替代公設(shè)，進(jìn)行邏輯推導(dǎo)而得出一連串新幾何學(xué)的定理，它們并不包含矛盾，因而在總體上形成了一個(gè)邏輯上可能的、無矛盾的理論。這個(gè)理論就是一種新的幾何學(xué)——非歐幾里得幾何學(xué)。羅巴切夫斯基非歐幾何與高斯、波約的基本思想一致，即用與歐幾里79設(shè)給定了直線a和直線外一點(diǎn)A，從A引a的垂直線AB。按照羅巴切夫斯基的基本假設(shè)，至少存在兩條直線b,b’，通過點(diǎn)A且不與直線a相交。羅巴切夫斯基考慮所有過A不與a相交的直線的極限情形，指出這樣的極限直線有兩條(c與c’)，并證明了它們也不與a相交。因此，c與c’便構(gòu)成了所有不與相交的直線的邊界，在這兩條邊界直線所成夾角內(nèi)的所有直線都不與a相交。設(shè)給定了直線a和直線外一點(diǎn)A，從A引a的垂直線AB。按照羅巴80羅巴切夫斯基稱c與c’為a的“平行線”，而落在夾角內(nèi)的所有直線叫不相交直線。如果按不相交即平行的意義理解，那么羅巴切夫斯基的幾何里，過直線外一點(diǎn)就可以引無窮多條直線與給定的直線平行。羅巴切夫斯基稱c與c’為a的“平行線”，而落在夾角內(nèi)的所有直81羅巴切夫斯基還將夾角的一半稱為“平行角”，因小于兩直角，故平行角小于直角。羅巴切夫斯基發(fā)現(xiàn)，平行角是點(diǎn)A到直線a的距離d的函數(shù)。若把平行角記作，則時(shí)，就得到歐氏平行公設(shè)。若，則單調(diào)增加且趨于；而時(shí)，單調(diào)減少且趨于0。羅巴切夫斯基還將夾角的一半稱為“平行角”，因小于兩82換句話說，如果在離直線很遠(yuǎn)處作與此直線垂線夾角很小的直線，那么我們可以沿著這條“傾斜”的直線前進(jìn)而永遠(yuǎn)不與直線相遇！用歐氏幾何的眼光來看，羅巴切夫斯基幾何還有許多令人驚奇的結(jié)果，如：1.三角形三內(nèi)角之和小于兩直角，假如三角形變大，使它所有三條高都無限增長，則它的三個(gè)內(nèi)角全部趨向于零；2.不存在面積任意大的三角形；3.如果兩個(gè)三角形的三個(gè)角相等，它們就全等。換句話說，如果在離直線很遠(yuǎn)處作與此直線垂線夾角很小的直線，那839.3非歐幾何的發(fā)展與確認(rèn)

非歐幾何要獲得普遍接受，還需要確實(shí)地建立自身的無矛盾性和現(xiàn)實(shí)意義。1854年，德國數(shù)學(xué)家黎曼發(fā)展了羅巴切夫斯基等人的思想，以高斯關(guān)于曲面的內(nèi)蘊(yùn)微分幾何為基礎(chǔ)，建立了一種更廣泛的幾何。即現(xiàn)在所稱的黎曼幾何。9.3非歐幾何的發(fā)展與確認(rèn)非歐幾何要獲得普遍接受，還需要84黎曼黎曼85黎曼幾何中，最重要的一種對象就是所謂的常曲率空間，對于三維空間，曲率可以為正常數(shù)、負(fù)常數(shù)、或恒為零。黎曼指出后兩種情形分別對應(yīng)于羅巴切夫斯基的非歐幾何學(xué)和通常的歐幾里得幾何學(xué)。而第一種情形則是黎曼本人的創(chuàng)造。黎曼幾何中，最重要的一種對象就是所謂的常曲率空間，對于三維空86在這種幾何中，過已知直線外一點(diǎn)，不能作任何平行于已知直線的直線。這實(shí)際上是以薩凱里等人的鈍角假設(shè)為基礎(chǔ)而展開的非歐幾何學(xué)。黎曼可以說是最先理解非歐幾何全部意義的數(shù)學(xué)家。在這種幾何中，過已知直線外一點(diǎn)，不能作任何平行于已知直線的直87他創(chuàng)立的黎曼幾何不僅是對已經(jīng)出現(xiàn)的非歐幾何的承認(rèn)，而且顯示了創(chuàng)造其他非歐幾何的可能性。但黎曼的理論仍然難以被同時(shí)代的人理解，據(jù)說除了年邁的高斯外沒人能聽懂黎曼的意思。黎曼也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)史上最具創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)家之一。他創(chuàng)立的黎曼幾何不僅是對已經(jīng)出現(xiàn)的非歐幾何的承認(rèn)，而且顯示了8819世紀(jì)70年代以后，意大利數(shù)學(xué)家貝爾特拉米基于內(nèi)蘊(yùn)幾何觀點(diǎn)，給出一個(gè)叫“偽球面”的曲面作為羅巴切夫斯基幾何模型。隨后，克萊因、龐加萊也各自對羅巴切夫斯基幾何給出自己的歐幾里得模型。他們的工作，揭示了非歐幾何的現(xiàn)實(shí)意義，同時(shí)使非歐幾何具有了至少與歐幾里得幾何同等的真實(shí)性。至此，非歐幾何作為一種幾何的合法地位充分建立起來，并開始得到廣泛的理解和接受。19世紀(jì)70年代以后，意大利數(shù)學(xué)家貝爾特拉米基于內(nèi)蘊(yùn)幾何觀點(diǎn)89非歐幾何的模型1）貝爾特拉米（E.Beltrami,1835-1899）模型；2）克萊因（F.Keller，1849-1925）模型；3）龐加萊（H.Poincare,1854-1912）模型。4）球面幾何模型非歐幾何的模型1）貝爾特拉米（E.Beltrami,183590貝爾特拉米非歐幾何模型貝爾特拉米非歐幾何模型91克萊因非歐幾何模型克92龐加萊模型龐加萊模型9362現(xiàn)代數(shù)學(xué)(一)幾何學(xué)的變革課件949.4射影幾何的繁榮非歐幾何揭示了空間的彎曲性質(zhì)，將平直空間的歐幾里得幾何變成了某種特例。實(shí)際上，如果將歐幾里得幾何限制于其原先的涵義——三維、平直、剛性空間的幾何學(xué)，那么，19世紀(jì)的幾何學(xué)就可以理解為一場廣義的“非歐”運(yùn)動(dòng)：從三維到高維，從平直到彎曲，而射影幾何的發(fā)展又從另一個(gè)方向使“神圣”的歐幾里得幾何再度“降格”為其他幾何的特例。9.4射影幾何的繁榮非歐幾何揭示了空間的彎曲性質(zhì)，將平直空95在19世紀(jì)以前，射影幾何一直是在歐幾里得幾何框架下被研究的，其早期開拓者德沙格、帕斯卡等主要是以歐氏幾何的方法處理問題，并且他們的工作由于18世紀(jì)解析幾何與微積分發(fā)展的洪流而被人遺忘。到18世紀(jì)末與19世紀(jì)初，蒙日的《畫法幾何學(xué)》以及其學(xué)生卡諾等人的工作，重新激發(fā)了人們對綜合射影幾何的興趣。不過將射影幾何真正變革為具有獨(dú)立目標(biāo)與方法的學(xué)科的數(shù)學(xué)家，是曾受教于蒙日的龐斯列。在19世紀(jì)以前，射影幾何一直是在歐幾里得幾何框架下被研究的，96與德沙格和帕斯卡不同，龐斯列更喜歡探討一般性問題：圖形在投射和截影下保持不變的性質(zhì)，這也是后來射影幾何研究的主題。與他的老師蒙日也不同，龐斯列采用中心投影而不是平行投影，并將其提高為研究問題的一般方法。與德沙格和帕斯卡不同，龐斯列更喜歡探討一般性問題：圖形在投射97在龐斯列實(shí)現(xiàn)射影幾何目標(biāo)的一般研究中，有兩個(gè)基本原理扮演了重要角色。首先是連續(xù)性原理，它涉及到圖形通過投影變換時(shí)的幾何不變性。龐斯列將它發(fā)展到包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的情形，由此引出了具有重要作用的無窮遠(yuǎn)元素與虛元素概念。龐斯列強(qiáng)調(diào)的另一個(gè)原理是對偶原理。平面圖形的“點(diǎn)”和“線”之間存在著異乎尋常的對稱性。如果在它們所涉及的定理中，將這一對概念互換，那么就可以得到一個(gè)新定理。在龐斯列實(shí)現(xiàn)射影幾何目標(biāo)的一般研究中，有兩個(gè)基本原理扮演了重98在龐斯列用綜合方法為射影幾何奠基的同時(shí)，德國數(shù)學(xué)家默比烏斯和普呂克則開創(chuàng)了射影幾何研究的解析途徑。1827年，默比烏斯首次引進(jìn)了齊次坐標(biāo)概念，這種坐標(biāo)后被普呂克發(fā)展為更一般的形式，它實(shí)際上是對笛卡爾坐標(biāo)的推廣。齊次坐標(biāo)成為代數(shù)地推導(dǎo)包括對偶原理在內(nèi)的許多射影幾何基本結(jié)果的有效工具。在龐斯列用綜合方法為射影幾何奠基的同時(shí)，德國數(shù)學(xué)家默比烏斯和991847年，施陶特在不借助長度概念的情況下建立起射影幾何的基本工具，使射影幾何擺脫了度量關(guān)系，成為與長度等度量概念無關(guān)的全新學(xué)科。施陶特的工作鼓舞了英國數(shù)學(xué)家凱萊和普呂克的學(xué)生克萊因，他們著手在射影幾何概念的基礎(chǔ)上重建歐幾里得幾何乃至非歐幾何的有關(guān)性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)它們不過都是射影幾何的特例。他們的工作明確了各種幾何學(xué)之間的邏輯關(guān)系，從而為各種幾何學(xué)的統(tǒng)一輔平了道路。1847年，施陶特在不借助長度概念的情況下建立起射影幾何的基1009.5幾何學(xué)的統(tǒng)一在數(shù)學(xué)史上，羅巴切夫斯基被稱為“幾何學(xué)上的哥白尼”。這是因?yàn)榉菤W幾何的創(chuàng)立不只是解決了兩千年來一直懸而未決的平行公設(shè)問題，更重要的是它引起了關(guān)于幾何觀念和空間觀念的最深刻的革命。9.5幾何學(xué)的統(tǒng)一在數(shù)學(xué)史上，羅巴切夫斯基被稱為“幾何學(xué)上101首先，非歐幾何對于人們的空間觀念產(chǎn)生了極其深遠(yuǎn)的影響。在19世紀(jì)，占統(tǒng)治地位的是歐幾里得的絕對空間觀念。非歐幾何的創(chuàng)始人無一例外地都對這種傳統(tǒng)觀念提出了挑戰(zhàn)。正是黎曼幾何為愛因斯坦的廣義相對論提供了最恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)表達(dá)，而根據(jù)廣義相對論所進(jìn)行的一系列天文觀測、實(shí)驗(yàn)，也證實(shí)了宇宙流形的非歐幾里得性。首先，非歐幾何對于人們的空間觀念產(chǎn)生了極其深遠(yuǎn)的影響。在19102其次，非歐