【新教材】高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第三冊第六章計數(shù)原理全章課件

6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理第1課時第1課時【新教材】高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第三冊第六章計數(shù)原理全章課件激趣誘思知識點撥今年暑假期間,如果你想去北京旅游,可供選擇的比較理想的旅游路線中,坐動車有三條,坐飛機有兩條,坐汽車有兩條,那么你可以選擇的旅游的往返路線共有幾條呢?激趣誘思知識點撥今年暑假期間,如果你想去北京旅游,可供選擇的激趣誘思知識點撥一、分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案中有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.激趣誘思知識點撥一、分類加法計數(shù)原理激趣誘思知識點撥名師點析應(yīng)用分類加法計數(shù)原理的注意事項(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事,完成這件事可以有哪些辦法,怎么才算是完成這件事.(2)完成這件事的n類方案,無論用哪類方案中的哪種方法都可以單獨完成這件事,而不需要再用到其他的方法.(3)確立恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn),準(zhǔn)確地對“這件事”進行分類,要求每一種方法必屬于某一類方案,不同類方案的任意兩種方法不同,也就是分類必須既“不重復(fù)”也“不遺漏”.從集合的角度看,若完成一件事分A,B兩類方案,則A∩B=?,A∪B=U(U表示全集).激趣誘思知識點撥名師點析應(yīng)用分類加法計數(shù)原理的注意事項激趣誘思知識點撥微練習(xí)(1)已知某校高二(1)班有54人,高二(2)班有56人,現(xiàn)從這兩個班中任選一人去參加演講比賽,則共有

種不同的選法.

(2)某人從甲地到乙地,可以乘火車,也可以坐輪船,在這一天的不同時間里,火車有4趟,輪船有3班,則此人的走法共有

種.

解析:(1)若這個人來自(1)班,則有54種不同的選法;若來自(2)班,則有56種不同的選法,所以共有110種不同的選法.(2)因為某人從甲地到乙地,乘火車的走法有4種,坐輪船的走法有3種,每一種方法都能從甲地到乙地.根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得此人的走法共有4+3=7(種).答案:(1)110

(2)7激趣誘思知識點撥微練習(xí)解析:(1)若這個人來自(1)班,則有激趣誘思知識點撥二、分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟,做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法.名師點析應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理的注意事項(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事,完成這件事必須要完成幾步.(2)完成這件事需要分成若干個步驟,只有每個步驟都完成了,才算完成這件事,缺少哪一步,這件事都不可能完成.(3)根據(jù)題意正確分步,要求各步之間必須連續(xù),只有按照這幾步逐步地去做,才能完成這件事,各步驟之間既不能重復(fù)也不能遺漏.激趣誘思知識點撥二、分步乘法計數(shù)原理名師點析應(yīng)用分步乘法計數(shù)激趣誘思知識點撥微思考如何區(qū)分“完成一件事”是分類還是分步?提示:區(qū)分“完成一件事”是分類還是分步,關(guān)鍵看一步能否完成這件事,若能完成,則是分類,否則,是分步.激趣誘思知識點撥微思考激趣誘思知識點撥微練習(xí)已知某乒乓球隊有男隊員9人、女隊員8人,現(xiàn)從男、女隊員中各選1人去參加比賽,則共有

種不同的選法.

解析:先從男隊員中選1人,有9種不同的選法,再從女隊員中選1人,有8種不同的選法.由分步乘法計數(shù)原理,得共有9×8=72(種)不同的選法.答案:72激趣誘思知識點撥微練習(xí)激趣誘思知識點撥三、分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別1.聯(lián)系:都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題.2.區(qū)別:分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題,其中各種方法相互獨立,用其中任何一種方法都可以做完這件事;分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題,各個步驟中的方法互相依存,只有每一個步驟都完成才算做完這件事.激趣誘思知識點撥三、分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理的聯(lián)系激趣誘思知識點撥微練習(xí)判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)從書架上任取數(shù)學(xué)書、語文書各一本是分類問題.(

)(2)分步乘法計數(shù)原理是指完成其中一步就完成了整件事情.(

)(3)分類加法計數(shù)原理可用來求完成一件事有若干類方法這類問題.(

)(4)從甲地經(jīng)丙地到乙地是分步問題.(

)答案:(1)×

(2)×

(3)√

(4)√激趣誘思知識點撥微練習(xí)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測分類加法計數(shù)原理例1某校高三共有三個班,各班人數(shù)如下表:班別男生人數(shù)女生人數(shù)總?cè)藬?shù)高三(1)班302050高三(2)班303060高三(3)班352055(1)從三個班中任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會主席,有多少種不同的選法?(2)從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會生活部部長,有多少種不同的選法?探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測分類加法計數(shù)原理班別男生人探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測思路分析:(1)從每個班任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會主席都能獨立地完成這件事,因此應(yīng)采用分類加法計數(shù)原理;(2)完成這件事有三類方案,因此也應(yīng)采用分類加法計數(shù)原理.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測思路分析:(1)從每個班任探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:(1)從三個班中任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會主席,共有三類不同的方案.第1類,從高三(1)班中選出1名學(xué)生,有50種不同的選法;第2類,從高三(2)班中選出1名學(xué)生,有60種不同的選法;第3類,從高三(3)班中選出1名學(xué)生,有55種不同的選法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理知,從三個班中任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會主席,共有50+60+55=165(種)不同的選法.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:(1)從三個班中任選1探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(2)從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會生活部部長,共有三類不同的方案.第1類,從高三(1)班男生中選出1名學(xué)生,有30種不同的選法;第2類,從高三(2)班男生中選出1名學(xué)生,有30種不同的選法;第3類,從高三(3)班女生中選出1名學(xué)生,有20種不同的選法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理知,從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會生活部部長,共有30+30+20=80(種)不同的選法.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(2)從高三(1)班、(2探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

1.分類加法計數(shù)原理的推廣分類加法計數(shù)原理:完成一件事有n類不同的方案,在第1類方案中有m1種不同的方法,在第2類方案中有m2種不同的方法,……,在第n類方案中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1+m2+m3+…+mn種不同的方法.2.能用分類加法計數(shù)原理解決的問題具有如下特點(1)完成一件事有若干種方案,這些方案可以分成n類;(2)用每一類中的每一種方法都可以單獨完成這件事;(3)把各類的方法數(shù)相加,就可以得到完成這件事的所有方法數(shù).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟1.分類加法計數(shù)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測3.利用分類加法計數(shù)原理解題的一般步驟(1)分類,即將完成這件事情的方法分成若干類;(2)計數(shù),求出每一類中的方法數(shù);(3)結(jié)論,將各類的方法數(shù)相加得出結(jié)果.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測3.利用分類加法計數(shù)原理解探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1甲盒中有3個編號不同的紅球,乙盒中有5個編號不同的白球,某同學(xué)要從甲、乙兩盒中摸出1個球,則不同的方法有(

)A.3種 B.5種 C.8種 D.15種解析:要完成“摸出1個球”這件事,有兩類不同的方法.第1類,從甲盒中取出1個球,有3種不同的取法;第2類,從乙盒中取出1個球,有5種不同的取法.故共有3+5=8(種)不同的方法.答案:C探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1甲盒中有3個編號探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測分步乘法計數(shù)原理例2一種號碼鎖有4個撥號盤,每個撥號盤上有從0到9共十個數(shù)字,這4個撥號盤可以組成多少個四位數(shù)的號碼?(各位上的數(shù)字允許重復(fù))解:按從左到右的順序撥號可以分四步完成:第1步,有10種撥號方式,所以m1=10;第2步,有10種撥號方式,所以m2=10;第3步,有10種撥號方式,所以m3=10;第4步,有10種撥號方式,所以m4=10.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共可以組成N=10×10×10×10=10

000(個)四位數(shù)的號碼.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測分步乘法計數(shù)原理解:按從左探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究

若各位上的數(shù)字不允許重復(fù),那么這個撥號盤可以組成多少個四位數(shù)的號碼?解:按從左到右的順序撥號可以分四步完成:第1步,有10種撥號方式,即m1=10;第2步,去掉第1步撥的數(shù)字,有9種撥號方式,即m2=9;第3步,去掉前兩步撥的數(shù)字,有8種撥號方式,即m3=8;第4步,去掉前三步撥的數(shù)字,有7種撥號方式,即m4=7.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共可以組成N=10×9×8×7=5

040(個)四位數(shù)的號碼.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究若各位上的數(shù)字不探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

利用分步乘法計數(shù)原理解題的一般思路(1)分步,將完成這件事的過程分成若干步;(2)計數(shù),求出每一步中的方法數(shù);(3)結(jié)論,將每一步中的方法數(shù)相乘得最終結(jié)果.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟利用分步乘法計數(shù)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2張老師要從教學(xué)樓的一層走到三層,已知從一層到二層有4個扶梯可走,從二層到三層有2個扶梯可走,則張老師從一層到三層有多少種不同的走法?解:第1步,從一層到二層有4種不同的走法;第2步,從二層到三層有2種不同的走法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知,張老師從教學(xué)樓的一層到三層的不同走法有4×2=8(種).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2張老師要從教學(xué)樓探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測兩個計數(shù)原理的應(yīng)用例3現(xiàn)有高一四個班的學(xué)生34人,其中一、二、三、四班各有7人、8人、9人、10人,他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組.(1)選其中一人為負(fù)責(zé)人,有多少種不同的選法?(2)每班選一名組長,有多少種不同的選法?(3)推選兩人做中心發(fā)言,這兩人需來自不同的班級,有多少種不同的選法?探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測兩個計數(shù)原理的應(yīng)用探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:(1)分四類:第1類,從一班學(xué)生中選1人,有7種選法;第2類,從二班學(xué)生中選1人,有8種選法;第3類,從三班學(xué)生中選1人,有9種選法;第4類,從四班學(xué)生中選1人,有10種選法.由分類加法計數(shù)原理知共有不同的選法N=7+8+9+10=34(種).(2)分四步:第1、2、3、4步分別從一、二、三、四班學(xué)生中選一人任組長.由分步乘法計數(shù)原理知共有不同的選法N=7×8×9×10=5

040(種).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:(1)分四類:第1類,探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(3)分六類,每類又分兩步.從一、二班學(xué)生中各選1人,有7×8種不同的選法;從一、三班學(xué)生中各選1人,有7×9種不同的選法;從一、四班學(xué)生中各選1人,有7×10種不同的選法;從二、三班學(xué)生中各選1人,有8×9種不同的選法;從二、四班學(xué)生中各選1人,有8×10種不同的選法;從三、四班學(xué)生中各選1人,有9×10種不同的選法.由分類加法計數(shù)原理知共有不同的選法N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431(種).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(3)分六類,每類又分兩步探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

1.使用兩個原理的原則使用兩個原理解題時,一定要從“分類”“分步”的角度入手.“分類”是對于較復(fù)雜應(yīng)用問題的元素分成互相排斥的幾類,逐類解決,用分類加法計數(shù)原理;“分步”就是把問題分化為幾個互相關(guān)聯(lián)的步驟,然后逐步解決,這時可用分步乘法計數(shù)原理.2.應(yīng)用兩個計數(shù)原理計數(shù)的四個步驟(1)明確完成的這件事是什么.(2)思考如何完成這件事.(3)判斷它屬于分類還是分步,是先分類后分步,還是先分步后分類.(4)選擇計數(shù)原理進行計算.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟1.使用兩個原理探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練3如圖,從甲地到乙地有3條公路可走,從乙地到丙地有2條公路可走,從甲地不經(jīng)過乙地到丙地有2條水路可走.從甲地到丙地共有多少種不同的走法?探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練3如圖,從甲地到乙探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:要從甲地到丙地共有兩類不同的方案:第1類,從甲地經(jīng)乙地到丙地,共需兩步完成,第1步,從甲地到乙地,有3條公路可走;第2步,從乙地到丙地,有2條公路可走.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,從甲地經(jīng)乙地到丙地有3×2=6(種)不同的走法.第2類,從甲地不經(jīng)乙地到丙地,有2條水路可走,即有2種不同的走法.由分類加法計數(shù)原理知,從甲地到丙地共有6+2=8(種)不同的走法.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:要從甲地到丙地共有兩類探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測分類討論思想的應(yīng)用典例在某種信息傳輸過程中,用4個數(shù)字的一個排列(數(shù)字允許重復(fù))表示一個信息,不同排列表示不同信息.若所用數(shù)字只有0和1,則與信息0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為(

)A.10 B.11 C.12 D.15探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測分類討論思想的應(yīng)用探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解析:分0個相同、1個相同、2個相同討論.(1)若0個相同,則信息為1001,共1個.(2)若1個相同,則信息為0001,1101,1011,1000,共4個.(3)若2個相同,又分為以下情況:①若位置一與二相同,則信息為0101;②若位置一與三相同,則信息為0011;③若位置一與四相同,則信息為0000;④若位置二與三相同,則信息為1111;⑤若位置二與四相同,則信息為1100;⑥若位置三與四相同,則信息為1010.共有6個.故與信息0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個數(shù)為1+4+6=11.答案:B

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解析:分0個相同、1個相同探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測方法點睛

利用分類加法計數(shù)原理解題時的注意點(1)切實理解“完成一件事”的含義,根據(jù)問題的特點確定一個合適的分類標(biāo)準(zhǔn),分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一,不能遺漏;(2)分類時,注意完成這件事情的任何一種方法必屬于某一類方案,分類的關(guān)鍵在于做到“不重不漏”;(3)確定題目中是否有特殊條件限制.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測方法點睛利用分類加法計數(shù)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.某校高一年級共8個班,高二年級共6個班,從中選一個班級擔(dān)任學(xué)校星期一早晨升旗任務(wù),安排方法共有(

)A.8種 B.6種 C.14種 D.48種解析:由分類加法計數(shù)原理,得完成升旗這一任務(wù)分兩類,安排方法共有8+6=14(種).答案:C探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.某校高一年級共8個班,探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測2.現(xiàn)有4件不同款式的上衣和7條不同顏色的長褲,如果一條長褲與一件上衣配成一套,那么不同的配法種數(shù)為(

)A.11 B.28 C.16384 D.2401解析:要完成配套,分兩步:第1步,選上衣,從4件上衣中任選一件,有4種不同的選法;第2步,選長褲,從7條長褲中任選一條,有7種不同的選法.故共有4×7=28(種)不同的配法.答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測2.現(xiàn)有4件不同款式的上衣探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測3.(2020山東濟南高三三模)中國有十二生肖,又叫十二屬相,每一個人的出生年份對應(yīng)了十二種動物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種.現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個,已知甲同學(xué)喜歡牛、馬和猴,乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊,丙同學(xué)所有的吉祥物都喜歡,讓甲、乙、丙三位同學(xué)依次從中選一個作為禮物珍藏,若各人所選取的禮物都是自己喜歡的,則不同的選法有(

)A.50種 B.60種 C.80種 D.90種探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測3.(2020山東濟南高三探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解析:根據(jù)題意,按甲的選擇不同分成2種情況討論:若甲選擇牛,此時乙的選擇有2種,丙的選擇有10種,此時有2×10=20(種)不同的選法.若甲選擇馬或猴,此時甲的選擇有2種,乙的選擇有3種,丙的選擇有10種,此時有2×3×10=60(種)不同的選法.一共有20+60=80(種)不同的選法.故選C.答案:C探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解析:根據(jù)題意,按甲的選擇探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測4.從集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取兩個互不相等的數(shù)a,b組成復(fù)數(shù)a+bi,其中虛數(shù)有

個.

解析:第1步,確定數(shù)b,有6種不同取值;第2步,確定數(shù)a,也有6種不同取值.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,知共有虛數(shù)6×6=36(個).答案:36探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測4.從集合{0,1,2,3探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測5.某校高中三年級一班有優(yōu)秀團員8人,二班有優(yōu)秀團員10人,三班有優(yōu)秀團員6人,學(xué)校組織他們?nèi)⒂^某愛國主義教育基地.若推選1人為總負(fù)責(zé)人,有

種不同的選法.

解析:分三類:第1類,從一班的8名優(yōu)秀團員中產(chǎn)生,有8種不同的選法;第2類,從二班的10名優(yōu)秀團員中產(chǎn)生,有10種不同的選法;第3類,從三班的6名優(yōu)秀團員中產(chǎn)生,有6種不同的選法.由分類加法計數(shù)原理可得,共有N=8+10+6=24(種)不同的選法.答案:24探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測5.某校高中三年級一班有優(yōu)6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理第2課時第2課時【新教材】高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第三冊第六章計數(shù)原理全章課件激趣誘思知識點撥電視臺在“歡樂今宵”節(jié)目中拿出兩個信箱,其中存放著先后兩次競猜中成績優(yōu)秀的觀眾來信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封,現(xiàn)由主持人抽獎決定幸運觀眾,若先確定一名幸運之星,再從兩信箱中各確定一名幸運伙伴,有多少種不同的選擇?激趣誘思知識點撥電視臺在“歡樂今宵”節(jié)目中拿出兩個信箱,其中激趣誘思知識點撥兩個計數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別1.聯(lián)系分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理都是解決計數(shù)問題最基本、最重要的方法.激趣誘思知識點撥兩個計數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別激趣誘思知識點撥2.區(qū)別

類型分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理區(qū)別一完成一件事共有n類方案,關(guān)鍵詞是“分類”完成一件事共有n個步驟,關(guān)鍵詞是“分步”區(qū)別二每類方案中的每種方法都能獨立地完成這件事,它是獨立的、一次的且每種方法得到的都是最后結(jié)果,只需一種方法就可完成這件事除最后一步外,其他每步得到的只是中間結(jié)果,任何一步都不能獨立完成這件事,缺少任何一步也不能完成這件事,只有各個步驟都完成了,才能完成這件事區(qū)別三各類方案之間是互斥的、并列的、獨立的各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨立的,“關(guān)聯(lián)”確保不遺漏,“獨立”確保不重復(fù)激趣誘思知識點撥2.區(qū)別類型分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原激趣誘思知識點撥名師點析處理具體問題時,一是合理分類,準(zhǔn)確分步:分類時,要不重不漏;分步時,要合理設(shè)計步驟、順序,使各步互不干擾.對于一些較復(fù)雜的題目,往往既要分類又要分步.二是特殊優(yōu)先,一般在后:解含有特殊元素、特殊位置的計數(shù)問題時,應(yīng)優(yōu)先安排特殊元素,優(yōu)先確定特殊位置,再考慮其他元素與其他位置.激趣誘思知識點撥名師點析處理具體問題時,一是合理分類,準(zhǔn)確分激趣誘思知識點撥微思考分類“不重不漏”的含義是什么?提示:分類時,首先要根據(jù)問題的特點確定一個分類標(biāo)準(zhǔn),然后在這個標(biāo)準(zhǔn)下進行分類.一般地,標(biāo)準(zhǔn)不同,分類的結(jié)果也不同;其次,分類時要注意滿足一個基本要求:完成這件事的任何一種方法必須屬于且只能屬于某一類方案.簡單地說,就是應(yīng)用分類加法計數(shù)原理時要做到“不重不漏”.激趣誘思知識點撥微思考激趣誘思知識點撥微練習(xí)(1)某小組有8名男生、6名女生,從中任選男生、女生各一名去參加座談會,則不同的選法有(

)A.48種 B.24種 C.14種 D.12種(2)一項工作可以用兩種方法完成,有3人會用第1種方法完成,有5人會用第2種方法完成,從中選出1人來完成這項工作,不同的選法種數(shù)是(

)A.8 B.15 C.16 D.30(3)用數(shù)字2,3組成四位數(shù),且數(shù)字2,3都至少出現(xiàn)一次,這樣的四位數(shù)共有

個.

激趣誘思知識點撥微練習(xí)激趣誘思知識點撥解析:(1)從8名男生中任意挑選一名參加座談會,有8種不同的選法;從6名女生中任意挑選一名參加座談會,有6種不同的選法.由分步乘法計數(shù)原理知,不同選法共有8×6=48(種).(2)第1類,從會第1種方法的3人中選1人,有3種不同的選法;第2類,從會第2種方法的5人中選1人,有5種不同的選法,共有5+3=8(種)不同的選法.(3)可用排除法,這個四位數(shù)每一位上的數(shù)只能是2或3,則這樣的四位數(shù)共有24個.而題目要求數(shù)字2,3都至少出現(xiàn)一次,所以全是2或全是3的四位數(shù)不滿足,即滿足要求的四位數(shù)有24-2=14(個).答案:(1)A

(2)A

(3)14激趣誘思知識點撥解析:(1)從8名男生中任意挑選一名參加座談探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測組數(shù)問題例1用0,1,2,3,4五個數(shù)字,(1)可以組成多少個三位數(shù)字的電話號碼?(2)可以組成多少個三位數(shù)?(3)可以組成多少個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測組數(shù)問題探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:(1)三位數(shù)字的電話號碼,百位上的數(shù)字可以是0,數(shù)字也可以重復(fù),每個位置上的數(shù)字都有5種取法,可以組成5×5×5=53=125(個)三位數(shù)字的電話號碼.(2)三位數(shù)的百位上的數(shù)字不能為0,但可以有重復(fù)數(shù)字,首先考慮百位上的數(shù)字的取法,除0外共有4種取法,個、十位上的數(shù)字可以取0,因此,可以組成4×5×5=100(個)三位數(shù).(3)被2整除的數(shù)即偶數(shù),個位數(shù)字可取0,2,4,因此,可以分兩類,一類是個位數(shù)字是0,可以組成4×3=12(個)三位數(shù);一類是個位數(shù)字不是0,則個位上的數(shù)字有2種取法,即2或4,再考慮百位上的數(shù)字,因為0不能是百位上的數(shù)字,所以有3種取法,十位有3種取法,因此有2×3×3=18(個)三位數(shù).因而有12+18=30(個)三位數(shù).即可以組成30個能被2整除的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:(1)三位數(shù)字的電話號探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究

由本例中的五個數(shù)字可組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)?解:完成“組成無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事,可以分四步:第1步定個位,只能從1,3中任取一個,有2種方法;第2步定千位,把1,2,3,4中除去用過的一個數(shù),在剩下的3個數(shù)中任取一個,有3種方法;第3步,第4步把剩下的包括0在內(nèi)的3個數(shù)字先排百位,有3種方法,再排十位,有2種方法.由分步乘法計數(shù)原理知共能組成2×3×3×2=36(個)無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究由本例中的五個數(shù)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

對于組數(shù)問題應(yīng)掌握的原則(1)明確特殊位置或特殊數(shù)字,是我們采用“分類”還是“分步”的關(guān)鍵.一般按特殊位置分類,分類中再按特殊位置(或特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成;如果正面分類較多,可采用間接法求解.(2)要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)字或兩位數(shù)字以上的數(shù)的最高位.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟?qū)τ诮M數(shù)問題應(yīng)掌探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1從0,2中選一個數(shù)字,從1,3,5中選兩個數(shù)字,組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),其中奇數(shù)的個數(shù)為(

)A.24 B.18 C.12 D.6解析:由于題目要求是奇數(shù),那么對于此三位數(shù)可以分成兩種情況:奇偶奇,偶奇奇.如果是第一種奇偶奇的情況,可以從個位開始分析(3種情況),之后十位(2種情況),最后百位(2種情況),共12種情況;如果是第二種偶奇奇的情況,則個位(3種情況),十位(2種情況),百位(不能是0,一種情況),共6種.因此總共有12+6=18(種)情況.故選B.答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1從0,2中選一個探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測抽取(分配)問題例2高三年級的三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐,其中甲工廠必須有班級去,每班去哪個工廠可自由選擇,則不同的分配方案有(

)A.16種 B.18種 C.37種 D.48種思路分析:解決此類問題可以用直接法先分類再分步,也可用排除法.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測抽取(分配)問題探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解析:(方法一

直接法)以甲工廠分配班級情況進行分類,共分為三類.第1類,三個班級都去甲工廠,此時分配方案只有1種;第2類,有兩個班級去甲工廠,剩下的班級去另外三個工廠,其分配方案有3×3=9(種);第3類,有一個班級去甲工廠,另外兩個班級去其他三個工廠,其分配方案有3×3×3=27(種).綜上所述,不同的分配方案共有1+9+27=37(種).(方法二

間接法)先計算三個班自由選擇去哪個工廠的總數(shù),再扣除甲工廠無人去的情況,即有4×4×4-3×3×3=37(種)不同的分配方案.答案:C

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解析:(方法一直接法)答探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

解決抽取(分配)問題的方法(1)當(dāng)涉及對象的數(shù)目不大時,一般選用列舉法、樹狀圖法、框圖法或圖表法.(2)當(dāng)涉及對象的數(shù)目很大時,一般有兩種方法:①直接使用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理.一般地,若抽取是有順序的,則按分步進行;若是按對象特征抽取的,則按分類進行.②間接法.去掉限制條件,計算所有的抽取方法數(shù),然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟解決抽取(分配)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練2

7名學(xué)生中有3名學(xué)生會下象棋但不會下圍棋,有2名學(xué)生會下圍棋但不會下象棋,另2名學(xué)生既會下象棋又會下圍棋.現(xiàn)從中選出會下象棋和會下圍棋的學(xué)生各1人參加比賽,共有多少種不同的選法?探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練27名學(xué)生中有3探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:第1類,從3名只會下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,同時從2名只會下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽,由分步乘法計數(shù)原理得N1=3×2=6(種).第2類,從3名只會下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,同時從2名既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽,由分步乘法計數(shù)原理得N2=3×2=6(種).第3類,從2名既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,同時從2名只會下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽,由分步乘法計數(shù)原理得N3=2×2=4(種).第4類,從2名既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,另一名參加圍棋比賽,有N4=2種.綜上,由分類加法計數(shù)原理可知,不同選法共有N=N1+N2+N3+N4=6+6+4+2=18(種).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:第1類,從3名只會下象探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測涂色問題例3將紅、黃、藍、白、黑五種顏色涂在如圖所示“田”字形的4個小方格內(nèi),每格涂一種顏色,相鄰兩格涂不同的顏色,如果顏色可以反復(fù)使用,共有多少種不同的涂色方法?思路分析:注意考慮不相鄰區(qū)域顏色是否相同.

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測涂色問題思路分析:注意考慮探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:第1個小方格可以從五種顏色中任取一種顏色涂上,有5種不同的涂法.①當(dāng)?shù)?個、第3個小方格涂不同顏色時,有4×3=12(種)不同的涂法,第4個小方格有3種不同的涂法,由分步乘法計數(shù)原理可知有5×12×3=180(種)不同的涂法.②當(dāng)?shù)?個、第3個小方格涂相同顏色時,有4種涂法,由于相鄰兩格不同色,因此,第4個小方格也有4種不同的涂法,由分步乘法計數(shù)原理可知有5×4×4=80(種)不同的涂法.由分類加法計數(shù)原理可得共有180+80=260(種)不同的涂法.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:第1個小方格可以從五種探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究

本例中的區(qū)域改為如圖所示,其他條件均不變,則不同的涂法共有多少種?探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究本例中的區(qū)域改為探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:依題意,可分兩類:①④不同色;①④同色.

第1類,①④不同色,則①②③④所涂的顏色各不相同,我們可將這件事情分成四步來完成.第1步涂①,從5種顏色中任選一種,有5種涂法;第2步涂②,從余下的4種顏色中任選一種,有4種涂法;第3步涂③與第4步涂④時,分別有3種涂法和2種涂法.于是由分步乘法計數(shù)原理得,不同的涂法為5×4×3×2=120(種).第2類,①④同色,則①②③不同色,我們可將涂色工作分成三步來完成.第1步涂①④,有5種涂法;第2步涂②,有4種涂法;第3步涂③,有3種涂法.于是由分步乘法計數(shù)原理得,不同的涂法有5×4×3=60(種).綜上可知,所求的涂色方法共有120+60=180(種).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:依題意,可分兩類:①④探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

解決涂色(種植)問題的一般思路涂色問題一般是綜合利用兩個計數(shù)原理求解,有幾種常用方法:(1)按區(qū)域的不同,以區(qū)域為主分步計數(shù),用分步乘法計數(shù)原理分析.(2)以顏色為主分類討論,適用于“區(qū)域、點、線段”等問題,用分類加法計數(shù)原理分析.(3)將空間問題平面化,轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色問題.種植問題按種植的順序分步進行,用分步乘法計數(shù)原理計數(shù)或按種植品種恰當(dāng)選取情況分類,用分類加法計數(shù)原理計數(shù).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟解決涂色(種植)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練3如圖所示的幾何體是由一個三棱錐P-ABC與三棱柱ABC-A1B1C1組合而成的,現(xiàn)用3種不同顏色對這個幾何體的表面涂色(底面A1B1C1不涂色),要求相鄰的面均不同色,則不同的涂色方案共有

種.

解析:先涂三棱錐P-ABC的三個側(cè)面,再涂三棱柱的三個側(cè)面,由分步乘法計數(shù)原理,共有3×2×1×2=12(種)不同的涂法.答案:12探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練3如圖所示的幾何體探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測元素重復(fù)選取的計數(shù)問題典例(1)5名學(xué)生從4項體育項目中選取一項參賽,若每一名學(xué)生只能參加一項,則有多少種不同的參賽方法?(2)若5名學(xué)生爭奪4項比賽冠軍(每一名學(xué)生參賽項目不限,沒有并列冠軍),則冠軍獲得者有幾種不同情況?解:(1)每名學(xué)生都可從4項體育項目中選一項,有4種選法,故5名學(xué)生的參賽方法有4×4×4×4×4=45=1

024(種).(2)每個冠軍皆有可能被5名學(xué)生中任1人獲得,則冠軍獲得者的不同情況有5×5×5×5=54=625(種).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測元素重復(fù)選取的計數(shù)問題探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測方法點睛

解答這類問題,切忌死記公式“mn”和“nm”.而應(yīng)弄清哪類元素必須用完,從而以它為主進行分析,再用分步乘法計數(shù)原理求解.實際上,哪類元素允許重復(fù)選取,就以哪類元素的個數(shù)為冪的底數(shù).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測方法點睛解答這類問題,切探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.從0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字中,任取兩個不同的數(shù)字相加,其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)為(

)A.30 B.20 C.10 D.6解析:從0,1,2,3,4,5六個數(shù)字中,任取兩個不同的數(shù)字相加,和為偶數(shù)可分為兩類,①取出的兩數(shù)都是偶數(shù),共有3種取法;②取出的兩數(shù)都是奇數(shù),共有3種取法.故由分類加法計數(shù)原理得,共有N=3+3=6(種)取法.答案:D探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.從0,1,2,3,4,探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測2.將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色,并使同一條棱的兩個端點異色,若只有4種顏色可供使用,則不同的染色方法共有(

)A.48種 B.72種

C.96種 D.108種解析:設(shè)四棱錐為P-ABCD.當(dāng)A,C顏色相同時,先染P有4種方法,再染A,C有3種方法,然后染B有2種方法,最后染D也有2種方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知,共有4×3×2×2=48(種)方法;當(dāng)A,C顏色不相同時,先染P有4種方法,再染A有3種方法,然后染C有2種方法,最后染B,D都有1種方法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知,共有4×3×2×1×1=24(種)方法.綜上,共有48+24=72(種)方法.故選B.答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測2.將一個四棱錐的每個頂點探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測3.(2020甘肅靖遠(yuǎn)第四中學(xué)高二期中)我校兼程樓共有5層,每層均有兩個樓梯,由一樓到五樓的走法有(

)A.10種 B.16種 C.25種 D.32種解析:走法共分四步,一層到二層2種,二層到三層2種,三層到四層2種,四層到五層2種,一共24=16(種).故選B.答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測3.(2020甘肅靖遠(yuǎn)第四探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測4.某藝術(shù)小組有9人,每人至少會鋼琴和小號中的一種樂器,其中7人會鋼琴,3人會小號,從中選出會鋼琴與會小號的各1人,有多少種不同的選法?解:由題意可知,在藝術(shù)小組9人中,有且僅有1人既會鋼琴又會小號(把該人記為甲),只會鋼琴的有6人,只會小號的有2人.把從中選出會鋼琴與會小號各1人的方法分為兩類.第1類,甲入選,另1人只需從其他8人中任選1人,故這類選法共8種;第2類,甲不入選,則會鋼琴的只能從6個只會鋼琴的人中選出,有6種不同的選法,會小號的也只能從只會小號的2人中選出,有2種不同的選法,所以這類選法共有6×2=12(種).因此共有8+12=20(種)不同的選法.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測4.某藝術(shù)小組有9人,每人6.2.1排列6.2.2排列數(shù)6.2.1排列6.2.2排列數(shù)【新教材】高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第三冊第六章計數(shù)原理全章課件激趣誘思知識點撥經(jīng)歷了7月高考的洗禮,考生們就可以報考自己理想的大學(xué)了.大學(xué)錄取的依據(jù)是考生所填寫的高考錄取志愿表和考生的考分.大學(xué)錄取是按批次進行的,每個批次里考生可以選擇若干個學(xué)校.假如你已經(jīng)選中了第一批本科中較為滿意的8個學(xué)校和5個專業(yè),那么在填寫錄取志愿表時,將有多少種不同的填寫方法呢?激趣誘思知識點撥經(jīng)歷了7月高考的洗禮,考生們就可以報考自己理激趣誘思知識點撥一、排列的相關(guān)概念1.排列:一般地,從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素,并按照一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.2.相同排列:兩個排列的元素完全相同,且元素的排列順序也相同.名師點析理解排列應(yīng)注意的問題(1)排列的定義中包括兩個基本內(nèi)容,一是“取出元素”,二是“按一定順序排列”.(2)定義中的“一定順序”說明了排列的本質(zhì):有序.激趣誘思知識點撥一、排列的相關(guān)概念激趣誘思知識點撥微思考如何判斷一個具體問題是否為排列問題?提示:(1)首先要保證元素?zé)o重復(fù)性,即從n個不同元素中,取出m個不同的元素,否則不是排列問題.(2)要保證元素的有序性,即安排這m個元素時是有序的,有序就是排列,無序則不是排列.而檢驗它是否有序的依據(jù)是變換元素的位置,看結(jié)果是否發(fā)生變化,有變化是有序,無變化就是無序.激趣誘思知識點撥微思考激趣誘思知識點撥微練習(xí)下列問題中:①10本不同的書分給10名同學(xué),每人一本;②10位同學(xué)互通一次電話;③10位同學(xué)互通一封信;④10個沒有任何三點共線的點構(gòu)成的線段.屬于排列的有(

)A.1個

B.2個

C.3個

D.4個解析:由排列的定義可知①③是排列,②④不是排列.答案:B激趣誘思知識點撥微練習(xí)激趣誘思知識點撥二、排列數(shù)與排列數(shù)公式1.排列數(shù)的定義:從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù),用符號

表示.激趣誘思知識點撥二、排列數(shù)與排列數(shù)公式激趣誘思知識點撥激趣誘思知識點撥激趣誘思知識點撥微思考你認(rèn)為“排列”和“排列數(shù)”是同一個概念嗎?它們有什么區(qū)別?提示:“排列”與“排列數(shù)”是兩個不同的概念,一個排列是指“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素,按照一定的順序排成一列”,它不是一個數(shù),而是具體的一件事.“排列數(shù)”是指“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)”,它是一個數(shù).激趣誘思知識點撥微思考激趣誘思知識點撥微練習(xí)從5面不同顏色的小旗中取出三面,按從上到下的順序排在一起表示信號,不同的順序表示不同的信號,則一共可表示

種不同的信號.

解析:一共可表示

=5×4×3=60(種)不同的信號.答案:60激趣誘思知識點撥微練習(xí)解析:一共可表示=5×4×探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測簡單的排列問題例1(1)有5個不同的科研小課題,從中選3個由高二(6)班的3個學(xué)習(xí)興趣小組進行研究,每組一個課題,共有多少種不同的安排方法?(2)12名選手參加校園歌手大獎賽,比賽設(shè)一等獎、二等獎、三等獎各一名,每人最多獲得一種獎項,共有多少種不同的獲獎情況?思路分析:(1)從5個不同的科研小課題中選出3個分給3個興趣小組,要注意各個小組得到不同的科研課題屬于不同的情況;(2)從12名選手中選出3名選手分別得一等獎、二等獎、三等獎.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測簡單的排列問題探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:(1)從5個不同的科研小課題中選出3個,由3個學(xué)習(xí)興趣小組進行研究,對應(yīng)于從5個不同元素中取出3個元素的一個排列.因此不同的安排方法有

=5×4×3=60(種).(2)從12名選手中選出3名獲獎并安排獎次,共有

=12×11×10=1

320(種)不同的獲獎情況.反思感悟

對簡單的沒有限制條件的排列問題,在分清元素和位置的情況下,直接用排列數(shù)公式進行計算.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:(1)從5個不同的科研探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1從甲、乙、丙三人中選兩人站成一排的所有站法為(

)A.甲乙、乙甲、甲丙、丙甲B.甲乙丙、乙丙甲C.甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙D.甲乙、甲丙、乙丙解析:從三人中選出兩人,而且要考慮這兩人的順序,所以有如下幾種站法:甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙.答案:C探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1從甲、乙、丙三人探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測排列數(shù)公式例2求解下列問題:(1)用排列數(shù)表示(55-n)(56-n)…(69-n)(n∈N*,且n<55).思路分析:(1)用排列數(shù)公式的定義解答即可;(2)直接用排列數(shù)公式計算;(3)用排列數(shù)的公式展開得方程求解,要注意x的取值范圍,并檢驗根是否合理.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測排列數(shù)公式思路分析:(1)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:(1)因為55-n,56-n,…,69-n中的最大數(shù)為69-n,且共有69-n-(55-n)+1=15(個),探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解:(1)因為55-n,5探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解得x≥3,x∈N*.根據(jù)排列數(shù)公式,原方程化為(2x+1)·2x·(2x-1)·(2x-2)=140x·(x-1)·(x-2).因為x≥3,兩邊同除以4x(x-1),得(2x+1)(2x-1)=35(x-2),即4x2-35x+69=0,解得x=3或x=

(因為x為整數(shù),所以應(yīng)舍去).所以原方程的解為x=3.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測解得x≥3,x∈N*.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

應(yīng)用排列數(shù)公式時應(yīng)注意三個方面問題(1)準(zhǔn)確展開.應(yīng)用排列數(shù)公式展開時要注意展開式的項數(shù)要準(zhǔn)確.(2)合理約分.若運算式是分式形式,則要先約分后計算.(3)合理組合.運算時要結(jié)合數(shù)據(jù)特點,應(yīng)用乘法的交換律、結(jié)合律,進行數(shù)據(jù)的組合,可以提高運算的速度和準(zhǔn)確性.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟應(yīng)用排列數(shù)公式時探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測“鄰”與“不鄰”問題例37人站成一排.(1)甲、乙兩人相鄰的排法有多少種?(2)甲、乙兩人不相鄰的排法有多少種?(3)甲、乙、丙三人必相鄰的排法有多少種?(4)甲、乙、丙三人兩兩不相鄰的排法有多少種?思路分析:若元素相鄰,則可將相鄰元素視為一個元素,即將甲、乙或甲、乙、丙“捆綁”在一起,視為一個元素,與其他元素一起排列.至于不相鄰問題,可以用“總”的排法減去“相鄰”的排法,也可以用插空法解決.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測“鄰”與“不鄰”問題探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究

對于本例中的7人,甲、乙兩人之間只有1人的排法有多少種?探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究對于本例中的7人探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

元素相鄰和不相鄰問題的解題策略

限制條件解題策略元素相鄰?fù)ǔ２捎谩袄墶狈?即把相鄰元素看作一個整體參與其他元素排列元素不相鄰?fù)ǔ２捎谩安蹇铡狈?即先考慮不受限制的元素的排列,再將不相鄰元素插在前面元素排列的空中探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟元素相鄰和不相鄰探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練3用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字:(1)能組成多少個無重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)?(2)能組成多少個無重復(fù)數(shù)字且為5的倍數(shù)的五位數(shù)?(3)能組成多少個比1325大的四位數(shù)?探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練3用0,1,2,3探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測一題多解——用多種方法解決排列問題典例有4名男生、5名女生,全體排成一行,問下列情形各有多少種不同的排法?(1)甲不在中間,也不在兩端;(2)甲、乙兩人必須排在兩端;(3)男女相間.【審題視點】這是一個排列問題,一般情況下,從受到限制的特殊元素開始考慮,或從特殊的位置開始考慮.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測一題多解——用多種方法解決探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測方法點睛

1.此類題目從不同的視角可以選擇不同的方法,我們用各種方法解決這個題的目的是:希望通過對本題的感悟,能掌握更多的解決這類問題的方法.2.元素分析法最基本,位置分析法對重要元素區(qū)別對待,間接法對對立面比較容易求解的題目特別實用.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測方法點睛1.此類題目從不探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測跟蹤訓(xùn)練有語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物6門課程,從中選4門安排在上午的4節(jié)課中,其中化學(xué)不排在第四節(jié),共有多少種不同的安排方法?探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測跟蹤訓(xùn)練有語文、數(shù)學(xué)、英語探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.從5本不同的書中選兩本送給2名同學(xué),每人一本,則不同的送書方法的種數(shù)為(

)A.5 B.10 C.20 D.60解析:此問題相當(dāng)于從5個不同元素中取出2個元素的排列數(shù),即共有

=20(種)不同的送書方法.答案:C探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測1.從5本不同的書中選兩本探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測A.(20-m)(21-m)(22-m)(23-m)(24-m)(25-m)B.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)C.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)D.(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)解析:

是指從20-m開始依次連續(xù)的6個數(shù)相乘,即(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m).答案:C探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測A.(20-m)(21-m探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測3.(2020浙江高三專題練習(xí))某次演出共有6位演員參加,規(guī)定甲只能排在第一個或最后一個出場,乙和丙必須排在相鄰的順序出場,不同的演出順序共有(

)A.24種 B.144種

C.48種 D.96種答案:D

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測3.(2020浙江高三專題探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測4.有8種不同的菜種,任選4種種在不同土質(zhì)的4塊地里,有

種不同的種法.

解析:將4塊不同土質(zhì)的地看作4個不同的位置,從8種不同的菜種中任選4種種在4塊不同土質(zhì)的地里,則本題即為從8個不同元素中任選4個元素的排列問題,所以不同的種法共有

=8×7×6×5=1

680(種).答案:1680探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測4.有8種不同的菜種,任選探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測5.用1、2、3、4、5、6、7這7個數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).(1)這些四位數(shù)中偶數(shù)有多少個?能被5整除的有多少個?(2)這些四位數(shù)中大于6500的有多少個?探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測5.用1、2、3、4、5、6.2.3組合6.2.4組合數(shù)6.2.3組合6.2.4組合數(shù)【新教材】高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第三冊第六章計數(shù)原理全章課件激趣誘思知識點撥某校開展冬季校運會招募了20名志愿者,他們的編號分別是1號,2號,…,19號,20號.若要從中任意選取4人再按編號大小分成兩組去做一些預(yù)備服務(wù)工作,其中兩個編號較小的人在一組,兩個編號較大的在另一組,那么確保5號與14號入選并被分配到同一組的選取方法有多少種?激趣誘思知識點撥某校開展冬季校運會招募了20名志愿者,他們的激趣誘思知識點撥一、組合的相關(guān)概念1.組合:一般地,從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素作為一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.2.相同組合:兩個組合只要元素相同,不論元素的順序如何,都是相同的.名師點析排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系(1)共同點:兩者都是從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素.(2)不同點:排列與元素的順序有關(guān),組合與元素的順序無關(guān).激趣誘思知識點撥一、組合的相關(guān)概念激趣誘思知識點撥微練習(xí)下列問題是組合的是

.

①在天津、濟南、西安三個民航站之間的直達航線上,有多少種不同的飛機票?②在①中有多少種不同的飛機票價?③高中部11個班進行籃球單循環(huán)比賽,需要進行多少場比賽?④從全班23人中選出3人分別擔(dān)任班長、副班長、學(xué)習(xí)委員三個職務(wù),有多少種不同的選法?答案:②③激趣誘思知識點撥微練習(xí)激趣誘思知識點撥二、組合數(shù)與組合數(shù)公式1.組合數(shù)的定義:從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù),用符號

表示.激趣誘思知識點撥二、組合數(shù)與組合數(shù)公式激趣誘思知識點撥激趣誘思知識點撥激趣誘思知識點撥微思考“組合”與“組合數(shù)”是同一概念嗎?它們有什么區(qū)別?提示:“組合”與“組合數(shù)”是兩個不同的概念,組合是指“從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素作為一組”,它不是一個數(shù),而是具體的一組對象;組合數(shù)是指“從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)”,它是一個數(shù).激趣誘思知識點撥微思考激趣誘思知識點撥微練習(xí)若

=28,則n的值為(

)

A.9

B.8

C.7

D.6答案:B

激趣誘思知識點撥微練習(xí)答案:B激趣誘思知識點撥三、組合數(shù)的性質(zhì)

答案:190

161700

激趣誘思知識點撥三、組合數(shù)的性質(zhì)答案:19016170探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測組合概念的理解與應(yīng)用例1判斷下列問題是排列問題還是組合問題,并求出相應(yīng)的排列數(shù)或組合數(shù).(1)10個人相互寫一封信,一共寫了多少封信?(2)10個人相互通一次電話,一共通了多少次電話?(3)從10個人中選3人去開會,有多少種選法?(4)從10個人中選出3人擔(dān)任不同學(xué)科的課代表,有多少種選法?思路分析:觀察取出的元素與順序有關(guān)還是無關(guān),從而確定是排列問題,還是組合問題.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測組合概念的理解與應(yīng)用探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟

1.組合的特點是只選不排,即組合只是從n個不同的元素中取出m(m≤n)個不同的元素.2.只要兩個組合中的元素完全相同,不管順序如何,這兩個組合就是相同的組合.3.判斷組合與排列的依據(jù)是看是否與順序有關(guān),與順序有關(guān)的是排列問題,與順序無關(guān)的是組合問題.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測反思感悟1.組合的特點是探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1下列四個問題中,屬于組合問題的是(

)A.從3個不同小球中,取出2個排成一列B.老師在排座次時將甲、乙兩位同學(xué)安排為同桌C.在電視節(jié)目中,主持人從100位幸運觀眾中選出2名幸運之星D.將3張不同的電影票分給10人中的3人,每人1張解析:只有從100名幸運觀眾中選出2名幸運之星與順序無關(guān),是組合問題.答案:C探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測變式訓(xùn)練1下列四個問題中,探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測組合數(shù)公式

思路分析:(1)先考慮利用組合數(shù)的性質(zhì)對原式進行化簡,再利用組合數(shù)公式展開計算.(2)式子中涉及字母,可以用階乘式證明.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測組合數(shù)公式思路分析:(1探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測常見的組合問題例3在一次數(shù)學(xué)競賽中,某學(xué)校有12人通過了初試,學(xué)校要從中選出5人去參加市級培訓(xùn),在下列條件下,有多少種不同的選法?(1)任意選5人;(2)甲、乙、丙三人必須參加;(3)甲、乙、丙三人不能參加;(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加;(5)甲、乙、丙三人至少1人參加.思路分析:本題屬于組合問題中的最基本的問題,可根據(jù)題意分別對不同問題中的“含”與“不含”作出正確的判斷和分析.注意“至少”“至多”問題,運用間接法求解會簡化思維過程.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測常見的組合問題思路分析:本探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測延伸探究