研究生課程《常微分方程續(xù)論》教學(xué)大綱

研究生課程《常微分方程續(xù)論》教學(xué)大綱課程編號：Math2115課程名稱：常微分方程續(xù)論英文名稱：Continuationtheoryofordinarydifferentialequations

開課單位：數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院

開課學(xué)期：秋課內(nèi)學(xué)時(shí)：36

教學(xué)方式：講授適用專業(yè)及層次：數(shù)學(xué)專業(yè)、碩士研究生

考核方式：考查預(yù)修課程：數(shù)學(xué)分析，常微分方程

一、教學(xué)目標(biāo)與要求本課程系統(tǒng)地介紹常微分方程的基本理論及一些非線性分析方法在微分方程中的應(yīng)用。本課程的重點(diǎn)內(nèi)容是常微分方程Cauchy問題的可解性分析（包括解的存在性與唯一性）、解的延拓定理、微分積分不等式、Chaplygin比較定理、解的整體存在性與唯一性、解對初值及參數(shù)的連續(xù)依賴性、線性微分方程解的結(jié)構(gòu)分析、周期系數(shù)線性微分方程的Floquet-Lyapunov理論、增算子與上下解方法、擬上下解方法、幾類微分方程周期有關(guān)邊值問題解的存在性分析等。通過本課程的學(xué)習(xí)，使研究生具備微分方程領(lǐng)域的基礎(chǔ)理論，培養(yǎng)研究生的抽象思維與邏輯推理能力。在重視微分方程數(shù)學(xué)理論學(xué)習(xí)的同時(shí)，培養(yǎng)研究生應(yīng)用微分方程知識解決實(shí)際問題的能力。本課程的學(xué)習(xí)，為他們學(xué)習(xí)后續(xù)課程以及從事微分方程領(lǐng)域的研究打好基礎(chǔ)。

二、課程內(nèi)容與學(xué)時(shí)分配第一章

預(yù)備知識（6學(xué)時(shí)）

1.1

Ascoli-Arzela定理

1.2幾個(gè)不動(dòng)點(diǎn)定理Banach壓縮映像原理Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理Schauder不動(dòng)點(diǎn)定理Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理

1.3Lebesgue控制收斂定理

1.4

幾個(gè)不等式Gronall-Bellman不等式Holder不等式Minkowski不等式

第二章

微分方程基礎(chǔ)理論（14學(xué)時(shí)）

2.1

解的存在唯一性定理Cauchy-Picard解的存在唯一性定理Cauchy-Peano解的存在性定理

2.2

解的延拓性定理

2.3微分積分不等式與Chaplygin比較定理

2.4解的整體存在唯一性定理

2.5解對初值及參數(shù)的連續(xù)依賴性

第三章

線性微分方程基礎(chǔ)理論（6學(xué)時(shí)）

3.1

齊次線性方程與非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)

3.2

周期系數(shù)線性微分方程的Floquet-Lyapunov理論

基本性質(zhì)與可化方程

第四章

邊值問題與上下解方法（10學(xué)時(shí)）

4.1Banach空間中的錐理論、增算子與上下解方法

4.2

微分方程周期邊值問題

4.3

二階微分方程兩點(diǎn)邊值問題

4.4擬上下解方法及其應(yīng)用

4.5

二階Volterra積分微分方程周期邊值問題

三、教材

時(shí)寶，張德存，蓋明久，微分方程理論及其應(yīng)用，北京：國防工業(yè)出版社，2005主要參考書1.WolfgangWalter,OrdinaryDifferentialEquations,Springer-Verlag,19982.

尤秉禮，常微分方程補(bǔ)充