概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

（54學(xué)時(shí)）開(kāi)課系：信管系教師：張艷娥Email:zhyane@sina.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁(yè)!概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門(mén)學(xué)科，是重要的一個(gè)數(shù)學(xué)分支。在生活當(dāng)中，經(jīng)常會(huì)接觸到一些現(xiàn)象：確定性現(xiàn)象：在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中其結(jié)果又具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的現(xiàn)象。隨機(jī)現(xiàn)象：在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象。在個(gè)別實(shí)驗(yàn)中其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性；概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在經(jīng)濟(jì)、科技、教育、管理和軍事等方面已得到廣泛應(yīng)用。課程簡(jiǎn)介概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁(yè)!

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

已成為高等理、工科院校教學(xué)計(jì)劃中一門(mén)重要的公共基礎(chǔ)課。通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生掌握處理隨機(jī)現(xiàn)象的基本理論和方法，并且具備一定的分析問(wèn)題和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。退出目錄前一頁(yè)后一頁(yè)課程簡(jiǎn)介概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁(yè)!課程主要內(nèi)容：概率論的基本概念隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量的數(shù)字特征大數(shù)定律及中心極限定理樣本及抽樣分布參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁(yè)!

這里試驗(yàn)的含義十分廣泛，它包括各種各樣的科學(xué)實(shí)驗(yàn)，也包括對(duì)事物的某一特征的觀察。章概率論的基本概念

§1 、隨機(jī)試驗(yàn)（Experiment）§1隨機(jī)試驗(yàn)退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁(yè)!這些試驗(yàn)具有以下特點(diǎn)：章概率論的基本概念3.進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)。2.每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；1.可以在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行；我們把滿足上述三個(gè)條件的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn)。記為E退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁(yè)!一樣本空間(Space)

定義將隨機(jī)試驗(yàn)

E的所有可能結(jié)果組成的集合稱為E的樣本空間，記為S。樣本空間的元素，即E的每個(gè)結(jié)果，稱為樣本點(diǎn)。（也叫基本事件〕E1：S1＝{HH,HT，TH，TT}E2：S2＝{1,2,3,4,5,6}E3：S3＝{0,1,2,3……}E4：S4＝{t|t0}E5：S5＝{(x,y)|M0x,yM1}章概率論的基本概念要求：會(huì)寫(xiě)出隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間。退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄§2樣本空間隨機(jī)事件概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁(yè)!退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄E5：調(diào)查城市居民（以戶為單位）煙、酒的年支出，結(jié)果可以用（x，y）表示，x，y分別是煙、酒年支出的元數(shù).也可以按某種標(biāo)準(zhǔn)把支出分為高、中、低三檔.這時(shí)，樣本點(diǎn)有（高,高）,（高,中），…，(低,低）等9種，樣本空間就由這9個(gè)樣本點(diǎn)構(gòu)成.這時(shí)，樣本空間由坐標(biāo)平面象限內(nèi)一定區(qū)域內(nèi)一切點(diǎn)構(gòu)成.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁(yè)!退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄兩個(gè)特殊的事件：必件然事例如，在擲骰子試驗(yàn)中，“擲出點(diǎn)數(shù)小于7”是必然事件;即在試驗(yàn)中必定發(fā)生的事件，即樣本空間常用S或Ω表示;

不件可事能即在一次試驗(yàn)中不可能發(fā)生的事件，常用φ表示.而“擲出點(diǎn)數(shù)8”則是不可能事件.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁(yè)!例如：S2中章概率論的基本概念事件A={2,4,6}表示“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”;事件B={1,2,3,4}表示“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)4”.顯然它們都是樣本空間的子集退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄§2樣本空間隨機(jī)事件概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁(yè)!SAB3)和（并）事件

章概率論的基本概念事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A,B至少發(fā)生一個(gè).退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄§2樣本空間隨機(jī)事件概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁(yè)!章概率論的基本概念考察下列事件間的包含關(guān)系：退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄§2樣本空間隨機(jī)事件概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁(yè)!6)互不相容（互斥）7)對(duì)立事件（逆事件）SA章概率論的基本概念SBA請(qǐng)注意互不相容與對(duì)立事件的區(qū)別！退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄§2樣本空間隨機(jī)事件概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁(yè)!退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄

n個(gè)事件互斥與兩兩互斥：

若n個(gè)事件A1，A2，…，An中任意兩個(gè)事件都互斥,則稱這n個(gè)事件互斥.

所以，若n個(gè)事件互斥，則其中任意兩個(gè)事件都互斥.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁(yè)!退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄

例1：從一批產(chǎn)品中任取兩件，觀察合格品的情況.記A={兩件產(chǎn)品都是合格品}，若記Bi={取出的第i件是合格品}，i=1,2={兩件產(chǎn)品中至少有一個(gè)是不合格品}

A=B1B2

問(wèn)如何用Bi表示A和？概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁(yè)!章概率論的基本概念例2，在S4中事件A={t|t1000}表示“產(chǎn)品是次品”事件B={t|t1000}

表示“產(chǎn)品是合格品”

事件C={t|t1500}表示“產(chǎn)品是一級(jí)品”則表示“產(chǎn)品是合格品但不是一級(jí)品”;

表示“產(chǎn)品是是一級(jí)品”;表示“產(chǎn)品是合格品”.退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄§2樣本空間隨機(jī)事件概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁(yè)!退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄補(bǔ)充常用的關(guān)系及習(xí)題1.甲，乙兩人同時(shí)向一目標(biāo)射擊一次觀察中靶情況。設(shè)A＝{甲中}，B＝{乙中}，問(wèn)各表示什么事件?是否是相等事件？2.一射手向目標(biāo)射擊3發(fā)子彈，Ai表示第次射擊打中目標(biāo)（i＝1，2，3〕。試用A1，A2，A3及其運(yùn)算表示下列事件（1〕{三發(fā)子彈都打中目標(biāo)}＝B（2〕{發(fā)子彈打中目標(biāo)而第二，第三發(fā)子彈都未打中}＝C（3〕{三發(fā)子彈恰有一發(fā)打中目標(biāo)}＝D（4〕{三發(fā)子彈至少一發(fā)打中目標(biāo)}＝E（5〕{三發(fā)子彈至多一發(fā)打中目標(biāo)}＝F概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁(yè)!章概率論的基本概念練習(xí)P29：設(shè)A,B,C為三個(gè)隨機(jī)事件，用A,B,C的運(yùn)算關(guān)系表示下列各事件.（1）A發(fā)生.(2)A發(fā)生，B與C都不發(fā)生.(3)A,B,C都發(fā)生.(4)A，B,C至少有一個(gè)發(fā)生.退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄§2樣本空間隨機(jī)事件概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第18頁(yè)!§3頻率與概率一頻率的定義和性質(zhì)

定義:在相同的條件下，進(jìn)行了n次試驗(yàn)，在這

n次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)nA稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)。比值n

A/n稱為事件

A發(fā)生的頻率，并記成fn(A)。章概率論的基本概念退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第19頁(yè)!退出前一頁(yè)后一頁(yè)章概率論的基本概念目錄在充分多次試驗(yàn)中，事件的頻率總在一個(gè)定值附近擺動(dòng)，而且，試驗(yàn)次數(shù)越多，一般來(lái)說(shuō)擺動(dòng)越小.這個(gè)性質(zhì)叫做頻率的穩(wěn)定性.請(qǐng)看下面的試驗(yàn)（二）頻率的穩(wěn)定性§3頻率與概率概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第20頁(yè)!退出前一頁(yè)后一頁(yè)章概率論的基本概念目錄§3頻率與概率概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第21頁(yè)!頻率穩(wěn)定值概率

事件發(fā)生的頻繁程度事件發(fā)生的可能性的大小頻率的性質(zhì)概率的公理化定義章概率論的基本概念退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄§3頻率與概率概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第22頁(yè)!（三）概率的定義定義設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，S是它的樣本空間，對(duì)于

E的每一個(gè)事件A賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P(A),稱為事件A的概率，要求集合函數(shù)P(.)滿足下列條件：

章概率論的基本概念退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第23頁(yè)!4）概率的性質(zhì)與推廣SAB章概率論的基本概念退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄§3頻率與概率概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第24頁(yè)!SA章概率論的基本概念退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄因?yàn)?=P(S)=P(A)+P()§3頻率與概率概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第25頁(yè)!退出前一頁(yè)后一頁(yè)章概率論的基本概念目錄又因再由性質(zhì)3便得(8).性質(zhì)6對(duì)任意兩個(gè)事件A、B，有(8)§3頻率與概率概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第26頁(yè)!性質(zhì)9章概率論的基本概念要求：熟練掌握概率的性質(zhì)。退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄§3頻率與概率概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第27頁(yè)!章概率論的基本概念1）加法原理：完成某件事有兩類方法，類有n種，第二類有m種，則完成這件事共有n+m種方法。3）排列：(1)有重復(fù)排列:在有放回選取中，從n個(gè)不同元素中取r個(gè)元素進(jìn)行排列，稱為有重復(fù)排列，其總數(shù)為。四、排列組合公式2）乘法原理：完成某件事有兩個(gè)步驟，步有n種方法，第二步有m種方法，則完成這件事共有nm種方法。退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄§3頻率與概率概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第28頁(yè)!章概率論的基本概念（2）多組組合：把n個(gè)不同元素分成k組,使第組有個(gè)元素，，若組內(nèi)元素不考慮順序，那么不同分法有種。（3）常用組合公式：說(shuō)明：熟練運(yùn)用排列組合公式對(duì)求概率問(wèn)題是很重要的退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第29頁(yè)!

生活中有這樣一類試驗(yàn)，它們的共同特點(diǎn)是：

樣本空間的元素只有有限個(gè)；

每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同。

即“有限等可能”。

一、等可能概型（古典概型）

我們把這類實(shí)驗(yàn)稱為等可能概型，考慮到它在概率論早期發(fā)展中的重要地位，又把它叫做古典概型。章概率論的基本概念§4等可能概型退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第30頁(yè)!若事件A包含k個(gè)基本事件，即A={e1,e2,…ek},則有：章概率論的基本概念§4等可能概型退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第31頁(yè)!

例2（分球入盒）將

n

只球隨機(jī)的放入N(Nn)

個(gè)盒子中去，求每個(gè)盒子至多有一只球的概率(設(shè)盒子的容量不限）。解：將

n

只球放入

N個(gè)盒子中去,共有而每個(gè)盒子中至多放一只球, 共有章概率論的基本概念思考：某指定的n個(gè)盒子中各有一球的概率?！?等可能概型退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第32頁(yè)!退出前一頁(yè)后一頁(yè)章概率論的基本概念§2等可能概型目錄用上面的公式可以計(jì)算此事出現(xiàn)的概率為=1-0.524=0.476

美國(guó)數(shù)學(xué)家伯格米尼曾經(jīng)做過(guò)一個(gè)別開(kāi)生面的實(shí)驗(yàn)，在一個(gè)盛況空前、人山人海的世界杯足球賽賽場(chǎng)上，他隨機(jī)地在某號(hào)看臺(tái)上召喚了22個(gè)球迷，請(qǐng)他們分別寫(xiě)下自己的生日，結(jié)果竟發(fā)現(xiàn)其中有兩人同生日.即22個(gè)球迷中至少有兩人同生日的概率為0.476.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第33頁(yè)!（分組問(wèn)題）例4：30名學(xué)生中有3名運(yùn)動(dòng)員，將這30名學(xué)生平均分成3組，求：（1）每組有一名運(yùn)動(dòng)員的概率；（2）3名運(yùn)動(dòng)員集中在一個(gè)組的概率。解:設(shè)A為“每組有一名運(yùn)動(dòng)員”這一事件;B為“3名運(yùn)動(dòng)員集中在一組”這一事件。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第34頁(yè)!章概率論的基本概念等可能概型§4等可能概型退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第35頁(yè)!退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄例5（抽球問(wèn)題）設(shè)有10件產(chǎn)品，其中有4件次品，從中任取3件，每次取一件不放回，連取三次；求下列事件的概率：

A:所取3件均為正品；B:3件均為次品；

C:3件中恰有一件為次品；D:直到第3次才取到正品。解:.不考慮所取3件的次序，可能結(jié)果為組合問(wèn)題得樣本空間樣本點(diǎn)數(shù):n=C103

所取3均為正品的樣本點(diǎn)數(shù)：mA=C63

所取3件均為次品的樣本點(diǎn)數(shù):mB=C43

mC=C31C62C41

mD=4×3×6=72則P(A)=1/6,P(B)=1/30，P(C)=3/5，P(D)=1/10概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第36頁(yè)!于是所求的概率為：此式即為超幾何分布的概率公式。由乘法原理知：在N件產(chǎn)品中取n件，其中恰有k件次品的取法共有章概率論的基本概念等可能概型§4等可能概型退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第37頁(yè)!

例7某廠家稱一批數(shù)量為1000件的產(chǎn)品的次品率為5%?，F(xiàn)從該批產(chǎn)品中有放回地抽取了30件，經(jīng)檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)有次品5件，問(wèn)該廠家是否謊報(bào)了次品率？解：章概率論的基本概念§4等可能概型假設(shè)這批產(chǎn)品的次品率為5%，那么1000件產(chǎn)品中有次品為50件。這時(shí)有放回地抽取30件，次品有5件的概率為退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第38頁(yè)!例將n個(gè)男生和m個(gè)女生(m<n)隨機(jī)地排成一列,問(wèn)：任意兩個(gè)女生都不相鄰的概率是多少？解：章概率論的基本概念§4等可能概型任意兩個(gè)女生都不相鄰時(shí)，首先n個(gè)男生的排法有n!種，每?jī)蓚€(gè)相鄰男生之間有一個(gè)位置可以站女生，還有隊(duì)列兩側(cè)各有一個(gè)位置可以站女生，這樣m個(gè)女生共有n+1個(gè)位置可以站，所以，任意兩個(gè)女生都不相鄰這一事件的概率為n+m個(gè)學(xué)生隨機(jī)地排成一列共有排法(n+m)!種總共排法有種。退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第39頁(yè)!

例8袋中有a只白球，b只黑球．從中將球取出依次排成一列，問(wèn)第k次取出的球是黑球的概率．

解：設(shè)A=“第k次取出的球是黑球”章概率論的基本概念§4等可能概型退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第40頁(yè)!退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄于是=0.518

因此

==0.482由于將一顆骰子拋擲4次,共有

=1296種等可能結(jié)果,而導(dǎo)致事件={4次拋擲中都未出“6”點(diǎn)}的結(jié)果數(shù)有=625種

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第41頁(yè)!§1隨機(jī)試驗(yàn)§2樣本空間，隨機(jī)事件§3頻率與概率§4等可能概型（古典概率）§5條件概率§6獨(dú)立性章概率論的基本概念退出目錄前一頁(yè)后一頁(yè)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第42頁(yè)!退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄

E1：拋一枚硬幣兩次，觀察正面H（Heads）、反面T

（Tails）出現(xiàn)的情況。E2：拋一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。E3：觀察某一時(shí)間段通過(guò)某一路口的車輛數(shù)。

E4：觀察某一電子元件（如燈泡〕的壽命。

其典型的例子有E5：觀察某城市居民（以戶為單位〕煙酒年支出。概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第43頁(yè)!一樣本空間二隨機(jī)事件三事件間的關(guān)系與運(yùn)算§2樣本空間，隨機(jī)事件章概率論的基本概念退出目錄前一頁(yè)后一頁(yè)§2樣本空間隨機(jī)事件概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第44頁(yè)!退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄E4：如果試驗(yàn)是測(cè)試某燈泡的壽命：

則樣本點(diǎn)是一非負(fù)數(shù)，由于不能確知壽命的上界，所以可以認(rèn)為任一非負(fù)實(shí)數(shù)都是一個(gè)可能結(jié)果，

S

4：={t：t≥0｝故樣本空間§2樣本空間隨機(jī)事件概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第45頁(yè)!隨機(jī)事件:稱試驗(yàn)E的樣本空間S的子集為E的

隨機(jī)事件，記作A,B,C等等；基本事件:有一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集；必然事件:樣本空間S本身；不可能事件:空集。

二隨機(jī)事件我們稱一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)它所包含的一個(gè)樣本點(diǎn)在試驗(yàn)中出現(xiàn)。章概率論的基本概念退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄§2樣本空間隨機(jī)事件概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第46頁(yè)!退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄事件基本事件復(fù)合事件（相對(duì)于觀察目的不可再分解的事件）（兩個(gè)或一些基本事件并在一起，就構(gòu)成一個(gè)復(fù)合事件）事件B={擲出奇數(shù)點(diǎn)}如在擲骰子試驗(yàn)中，觀察擲出的點(diǎn)數(shù).

事件Ai

={擲出i點(diǎn)}

i=1,2,3,4,5,6概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第47頁(yè)!1)

包含關(guān)系

三、事件間的關(guān)系與運(yùn)算SAB章概率論的基本概念如果A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生，則2）相等關(guān)系

退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄§2樣本空間隨機(jī)事件概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第48頁(yè)!章概率論的基本概念4)

積（交）事件SAB事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)

A,B同時(shí)發(fā)生.退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄§2樣本空間隨機(jī)事件概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第49頁(yè)!5)差事件SAB章概率論的基本概念A(yù)SAB

發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A

發(fā)生B不發(fā)生.退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄§2樣本空間隨機(jī)事件概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第50頁(yè)!退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄

互斥與互逆的區(qū)別：

兩事件A、B互斥：兩事件A、B互逆或互為對(duì)立事件即A與B不可能同時(shí)發(fā)生.除要求A、B互斥()外，還要求

A+B=S概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第51頁(yè)!退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄

對(duì)于一個(gè)具體事件，要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)表示；反之，對(duì)于用數(shù)學(xué)符號(hào)表示的事件，要清楚其具體含義是什么.也就是說(shuō)，要正確無(wú)誤地“互譯”出來(lái).概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第52頁(yè)!

A3

A4

A3

A4

如圖(1)、(2)兩個(gè)系統(tǒng)中令A(yù)i表示第i個(gè)元件工作正?！?

Bi表示“第i個(gè)系統(tǒng)工作正?！?試用A1,

A2

,A3,A4表示B1,

B2.

解:

(1)B1=A1A2∪A3

A4

(2)B2=(A1∪A3)(A2∪A4)EX2

(1)

A1

A2(2)

A1

A2

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第53頁(yè)!8)隨機(jī)事件的運(yùn)算規(guī)律冪等律:交換律:章概率論的基本概念

結(jié)合律:分配律:

DeMorgan（德摩根）定律:退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第54頁(yè)!解:

B＝A1A2A3C=

A1－A2－A3＝A1－(A2＋A3)＝A1ā2ā3D＝A1∪A2∪A3=S-ā1ā2ā3==A1∪ā1A2∪ā1ā2A3E=A1ā2ā3∪ā1A2ā3∪ā1ā2A3＝G=A1A2A3∪ā1A2A3∪A1ā2A3∪A1A2ā3

=A1A2∪A2A3∪A1A3

F=ā1ā2∪ā1ā3∪ā2ā3

=A1ā2ā3∪ā1A2ā3∪ā1ā2A3∪ā1ā2ā3

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第55頁(yè)!章概率論的基本概念(5)A，B,C都不發(fā)生.(6)A，B,C不多于一個(gè)發(fā)生.(7)A，B,C不多于兩個(gè)發(fā)生.(8)A，B,C至少有兩個(gè)發(fā)生.退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄§2樣本空間隨機(jī)事件概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第56頁(yè)!章概率論的基本概念

它具有下述性質(zhì):§3頻率與概率退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第57頁(yè)!

實(shí)驗(yàn)者德?摩根蒲豐K?皮爾遜K?皮爾遜nnHfn(H)

204840401200024000

106120486019120120.51810.50960.50160.5005章概率論的基本概念退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄§3頻率與概率概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第58頁(yè)!退出前一頁(yè)后一頁(yè)章概率論的基本概念目錄頻率在一定程度上反映了事件發(fā)生的可能性大小.盡管每進(jìn)行一連串（n次）試驗(yàn)，所得到的頻率可以各不相同，但只要n相當(dāng)大，頻率與概率是會(huì)非常接近的.因此，概率是可以通過(guò)頻率來(lái)“測(cè)量”的,頻率是概率的一個(gè)近似.頻率概率§3頻率與概率概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第59頁(yè)!退出前一頁(yè)后一頁(yè)章概率論的基本概念目錄即通過(guò)規(guī)定概率應(yīng)具備的基本性質(zhì)來(lái)定義概率.下面介紹用公理給出的概率定義.1933年，前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家柯?tīng)柲缏宸蚪o出了概率的公理化定義.柯?tīng)柲缏宸蛱岢龅墓頌閿?shù)很少且極為簡(jiǎn)單，但在此基礎(chǔ)上建立起了概率論的宏偉大廈.§3頻率與概率概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第60頁(yè)!退出前一頁(yè)后一頁(yè)章概率論的基本概念目錄由概率的三條公理，我們可以推導(dǎo)出概率的若干性質(zhì).下面我們就來(lái)給出概率的一些簡(jiǎn)單性質(zhì).在說(shuō)明這些性質(zhì)時(shí)，為了便于理解，我們常常借助于文氏圖.§3頻率與概率概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第61頁(yè)!退出前一頁(yè)后一頁(yè)章概率論的基本概念§2等可能概型目錄移項(xiàng)得(6),便得(7).再由由可加性性質(zhì)3設(shè)Ａ、B是兩個(gè)事件，若,則有(6)(7)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第62頁(yè)!性質(zhì)5在概率的計(jì)算上很有用，如果正面計(jì)算事件A的概率不容易，而計(jì)算其對(duì)立事件的概率較易時(shí)，可以先計(jì)算，再計(jì)算P(A).退出前一頁(yè)后一頁(yè)章概率論的基本概念目錄§3頻率與概率概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第63頁(yè)!SBA章概率論的基本概念·退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄§3頻率與概率概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第64頁(yè)!章概率論的基本概念退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄例1：設(shè)P(A)=1/3,P(B)=1/2

1)若事件A與B互不相容，求P()

2)若 ,求P()

3〕若P(AB)=1/8,求P()

例2：A，B是E中兩個(gè)事件，已知P(A)=0.3,P(A+B)=0.6,求P()§3頻率與概率概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第65頁(yè)!章概率論的基本概念4）組合：

（1）從n個(gè)不同元素中取r個(gè)元素組成一組，不考慮其順序，稱為組合，其總數(shù)為（2）選排列：在無(wú)放回選取中，從n個(gè)不同元素中取r個(gè)元素進(jìn)行排列，稱為選排列，其總數(shù)為

說(shuō)明：如果把n個(gè)不同元素分成兩組，一組r個(gè)，另一組n-r個(gè)，組內(nèi)元素不考慮順序，那么不同分法有種。退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第66頁(yè)!§4等可能概型等可能概型（古典概型）章概率論的基本概念概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第67頁(yè)!設(shè)S={e1,e2,…en},由古典概型的等可能性，得}.{}{}{21ne=PePePL==又由于基本事件兩兩互不相容；所以章概率論的基本概念§4等可能概型退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第68頁(yè)!

例1把一套4卷本的書(shū)隨機(jī)地?cái)[放在書(shū)架上，問(wèn)：恰好排成序（從左至右或從右至左）的概率是多少？解：章概率論的基本概念§4等可能概型將書(shū)隨機(jī)地?cái)[放在書(shū)架上，每一種放法就是一個(gè)基本事件，共有放法4！種。把書(shū)恰好排成序有兩種放法。所以，所求概率為退出前一頁(yè)后一頁(yè)目錄概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第69頁(yè)!退出前一頁(yè)后一頁(yè)§4等可能概型目錄例3

（生日問(wèn)題）

有r個(gè)人，設(shè)每個(gè)人的生日是365天的任何一天是等可能的，試求事件“至少有兩人同生日”的概率.

rrPAP)365()(365=rrPAPAP)365(1)(1)(365-=-=為求P(A),先求P()解：令A(yù)={至少有兩人同生日}={r個(gè)人的生日都不同}則概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第70頁(yè)!退出前一頁(yè)后一頁(yè)§4等可能概型目錄

表3.1人數(shù)至少有兩人同 生日的概率200.411210.444220.476230.507240.538300.706400.891500.970600.994

所有這些概率都是在假定一個(gè)人的生日在365天的任何一天是等可能的前提下計(jì)算出來(lái)的.實(shí)際上,這個(gè)假定并不完全成立，有關(guān)的實(shí)際概率比表中給出的還要大.當(dāng)人數(shù)超過(guò)23時(shí)，打賭說(shuō)至少有兩人同生日是有利的.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙江大學(xué))共79頁(yè)，您現(xiàn)在瀏覽的是第71頁(yè)!例*同時(shí)擲5顆骰子，試求下列事件的概率：