Matlab與數(shù)值分析：第4章 數(shù)值積分

第4章數(shù)值積分(教材第五章)近似計(jì)算思路利用插值多項(xiàng)式

則積分易算。問題的提出：12/10/20221電子工程學(xué)院

在[a,b]上取ax0<x1<…<xn

b，做f的

n

次插值多項(xiàng)式，即得到Ak由決定，與無關(guān)。節(jié)點(diǎn)

f(x)插值型積分公式12/10/20222電子工程學(xué)院誤差12/10/20223電子工程學(xué)院例：對(duì)于[a,b]上1次插值，有考察其代數(shù)精度。f(x)abf(a)f(b)梯形公式解：逐次檢查公式是否精確成立代入P0=1：=代入P1=x：=代入P2=x2：代數(shù)精度=112/10/20224電子工程學(xué)院拋物型求積公式：二次插值求積公式：12/10/20225電子工程學(xué)院Simpson公式12/10/20226電子工程學(xué)院定義

若某個(gè)求積公式所對(duì)應(yīng)的誤差R[f]滿足：R[Pk

]=0對(duì)任意

k

n階的多項(xiàng)式成立，且R[Pn+1

]0對(duì)某個(gè)

n+1階多項(xiàng)式成立，則稱此求積公式的代數(shù)精度為

n

。代數(shù)精度：12/10/20227電子工程學(xué)院怎樣驗(yàn)證代數(shù)精度：12/10/20228電子工程學(xué)院注：形如的求積公式至少有n

次代數(shù)精度

該公式為插值型（即：）12/10/20229電子工程學(xué)院思考：代數(shù)精度是否是越高越好？12/10/202210電子工程學(xué)院梯形公式的誤差12/10/202211電子工程學(xué)院定理證明12/10/202212電子工程學(xué)院辛普森(Simpson)求積公式的誤差：12/10/202213電子工程學(xué)院思考：結(jié)論是什么？怎么辦？12/10/202214電子工程學(xué)院復(fù)合求積：高次插值有Runge現(xiàn)象，故采用分段低次插值分段低次合成的復(fù)合求積公式。復(fù)合梯形公式：在每個(gè)上用梯形公式：12/10/202215電子工程學(xué)院=

Tn/*中值定理*/怎么辦？12/10/202216電子工程學(xué)院44444=

Sn注：為方便編程，可采用另一記法：令n’=2n為偶數(shù)，這時(shí)，有復(fù)合Simpson公式：12/10/202217電子工程學(xué)院復(fù)化求積例：12/10/202218電子工程學(xué)院復(fù)化求積例：兩種方法誰好？12/10/202219電子工程學(xué)院給定精度，如何取n?通常采取將區(qū)間不斷對(duì)分的方法，即取n=2k上例中2k

68k=7注意到區(qū)間再次對(duì)分時(shí)可用來判斷迭代是否停止。12/10/202220電子工程學(xué)院§4.2高斯型積分構(gòu)造具有2n+1次代數(shù)精度的求積公式將節(jié)點(diǎn)x0…xn

以及系數(shù)A0…An

都作為待定系數(shù)。令f(x)=1,x,x2,…,x2n+1

代入可求解，得到的公式具有2n+1

次代數(shù)精度。這樣的節(jié)點(diǎn)稱為Gauss點(diǎn)，公式稱為Gauss型求積公式。12/10/202221電子工程學(xué)院例：在兩點(diǎn)數(shù)值積分公式中，如果積分點(diǎn)也作為未知量，則有4個(gè)未知量,可以列出4個(gè)方程：（在[-1,1]為例）可解出：數(shù)值積分公式具有3階代數(shù)精度，比梯形公式1階代數(shù)精度高12/10/202222電子工程學(xué)院推廣：加權(quán)Gauss積分公式權(quán)函數(shù)12/10/202223電子工程學(xué)院例：求的2

點(diǎn)Gauss公式。解：設(shè)，應(yīng)有3次代數(shù)精度。+101100)()()(xfAxfAdxxfx代入f(x)=1,x,x2,x3不是線性方程組，不易求解。12/10/202224電子工程學(xué)院

x0…xn

為Gauss點(diǎn)

與任意次數(shù)不大于n

的多項(xiàng)式P(x)（帶權(quán)）正交。定理求Gauss點(diǎn)

求w(x)12/10/202225電子工程學(xué)院證明：“”

x0…xn

為Gauss點(diǎn),則公式至少有

2n+1

次代數(shù)精度。對(duì)任意次數(shù)不大于n

的多項(xiàng)式Pm(x)，Pm(x)w(x)的次數(shù)不大于2n+1，則代入公式應(yīng)精確成立：0=0“”要證明x0…xn

為Gauss點(diǎn)，即要證公式對(duì)任意次數(shù)不大于2n+1

的多項(xiàng)式Pm(x)精確成立，即證明：設(shè)012/10/202226電子工程學(xué)院

正交多項(xiàng)式族{0,1,…,n,…}有性質(zhì)：任意次數(shù)不大于n

的多項(xiàng)式P(x)必與n+1

正交。若取w(x)為其中的n+1，則n+1的根就是Gauss點(diǎn)。12/10/202227電子工程學(xué)院再解上例：+101100)()()(xfAxfAdxxfxStep1：構(gòu)造正交多項(xiàng)式2設(shè)cbxxxaxxx++=+==2210)(,)(,1)(jjj53-=a0)(10=+dxaxx0),(10=jj=++-==++=1021102100))(53(0),(0)(0),(dxcbxxxxdxcbxxxjjjj215910=-=cb即：12/10/202228電子工程學(xué)院Step2：求2=0

的2個(gè)根，即為Gauss點(diǎn)x0，x1Step3：代入f(x)=1,x

以求解A0，A1解線性方程組，簡(jiǎn)單。結(jié)果與前一方法相同：

利用此公式計(jì)算的值12/10/202229電子工程學(xué)院Matlab

積分函數(shù)函數(shù)名功能quad采用Simpson計(jì)算積分。精度高，較常用quad8采用8樣條Newton-Cotes公式計(jì)算積分。精度高，最常用trapz采用梯形法計(jì)算積分。精度差，速度快cumtrapz采用梯形法求一區(qū)間上的積分曲線。精度差，速度快sum等寬矩形法求定積分。精度很差，速度快，一般不用cumsum等寬矩形法求一區(qū)間上的積分曲線。精度很差，速度快，一般不用12/10/202230電子工程學(xué)院q=quad(‘fun’,a,b,tol,trace,p1,p2,…)q=quad8(‘fun’,a,b,tol,trace,p1,p2,…)參數(shù)‘fun’是被積函數(shù),可以是表達(dá)式字符串、內(nèi)聯(lián)函數(shù)、M函數(shù)文件名，被積函數(shù)的自變量一般采用字母x；a、b分別是積分的上、下限，都為確定的值；tol

是一二元向量，第一個(gè)元素控制相對(duì)誤差，第二個(gè)元素控制絕對(duì)誤差；trace若取非零值，將以動(dòng)態(tài)圖形展現(xiàn)積分的整個(gè)過程，若取零值，則不畫圖，其缺省值為0；p1、p2是向被積函數(shù)傳遞的參數(shù)。在調(diào)用函數(shù)時(shí)，前三個(gè)參數(shù)是必須的，其余參數(shù)可缺省。12/10/202231電子工程學(xué)院Matlab

積分函數(shù)符號(hào)積分：int(f)—對(duì)f表達(dá)式的缺省變量求積分int(f,v)—對(duì)f表達(dá)式的v變量求積分int(f,v,a,b)—對(duì)f表達(dá)式的v變量在（a,b)