3絕對(duì)值不等式課件

第一講不等式和絕對(duì)值不等式1、不等式第一講不等式和絕對(duì)值不等式1、不等式二、絕對(duì)值不等式1、絕對(duì)值三角不等式

實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值|a|的幾何意義是表示數(shù)軸上坐標(biāo)為a的點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離：OaAx|a|xABab|a-b|任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、B，那么|a-b|的幾何意義是A、B兩點(diǎn)間的距離。二、絕對(duì)值不等式1、絕對(duì)值三角不等式OaAx|a|xABab

聯(lián)系絕對(duì)值的幾何意義，從“運(yùn)算”的角度研究|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之間的關(guān)系：分ab>0和ab<0兩種情形討論：（1）當(dāng)ab>0時(shí)，如下圖可得|a+b|=|a|+|b|Oxaba+bOxaba+b聯(lián)系絕對(duì)值的幾何意義，從“運(yùn)算”的角度研究|a|,|b|（2）當(dāng)ab<0時(shí)，也分為兩種情況：如果a>0,b<0，如下圖可得：|a+b|<|a|+|b|Obaxa+b如果a<0,b>0，如下圖可得：|a+b|<|a|+|b|a+babxO（3）如果ab=0，則a=0或b=0，易得：

|a+b|=|a|+|b|（2）當(dāng)ab<0時(shí)，也分為兩種情況：如果a>0,b<0，如下

定理1如果a,b是實(shí)數(shù)，則

|a+b|≤|a|+|b|當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)，等號(hào)成立。探究如果把定理1中的實(shí)數(shù)a,b分別換成向量a,b,能得出什么結(jié)果？你能解釋它的幾何意義嗎？Oxy探究當(dāng)向量a,b共線時(shí)，有怎樣的結(jié)論？這個(gè)不等式稱為絕對(duì)值三角不等式。定理1如果a,b是實(shí)數(shù)，則探究如果把定定理1的代數(shù)證明：定理1的代數(shù)證明：探究你能根據(jù)定理1的研究思路，探究一下|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之間的其他關(guān)系嗎？例如：|a|-|b|與|a+b|，|a|+|b|與|a-b|，|a|-|b|與|a-b|等之間的關(guān)系。

|a|-|b|≤|a+b|,|a|+|b|≥|a-b|,|a|-|b|≤|a-b|.

如果a,b是實(shí)數(shù)，那么

|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|探究你能根據(jù)定理1的研究思路，探究一下|a|,|b|例1已知ε>0，|x-a|<ε,|y-b|<ε，求證：

|2x+3y-2a-3b|<5ε.證明：|2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)|=|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b|<2ε

+3ε=5ε.所以|2x+3y-2a-3b|<5ε.例1已知ε>0，|x-a|<ε,|y-b|<ε，求證：定理2如果a,b,c是實(shí)數(shù)，那么

|a-c|≤|a-b|+|b-c|當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)≥0時(shí)，等號(hào)成立。證明：根據(jù)絕對(duì)值三角不等式有

|a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)≥0時(shí)，等號(hào)成立。B定理2如果a,b,c是實(shí)數(shù)，那么證明：根據(jù)絕對(duì)值2、絕對(duì)值不等式的解法復(fù)習(xí)：如果a>0，則

|x|<a的解集是(-a,a)；

|x|>a的解集是(-∞,-a)∪(a,+∞)Oa-axO-aax|x|<a|x|>a2、絕對(duì)值不等式的解法復(fù)習(xí)：如果a>0，則Oa-axO-aa（1）|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法：①分段討論法：②換元法：令t=ax+b,轉(zhuǎn)化為|t|≤c和|t|≥c型不等式，然后再求x，得原不等式的解集。（1）|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的

絕對(duì)值不等式的解法例1：解不等式(1)|x2-3x-4|<x+1;(2)|x2-3x-4|>x+2(3)|x2-2x+3|<|3x-1|;絕對(duì)值不等式的解法例1：解不等式例1：解不等式(1)|x2-3x-4|<x+1

解1：⑴原不等式故原不等式的解集為{x|3<x<5}解2-(x+1)<x2-3x-4<x+1例1：解不等式(1)|x2-3x-4|<x+1故原不等式例1：解不等式(2)|x2-3x-4|>x+2解:⑵原不等式

x2-3x-4>x+2x2-3x-4<-(x+2)或故不等式的解集為：例1：解不等式(2)|x2-3x-4|>x+2解:⑵例1：解不等式(3)|x2-2x+3|<|3x-1|-(x2⑶原不等式2-2x+3)<(3x1)2??2--2--(x2+x+2)(x2-5x+4)<0∴1<x<4故不等式的解為{x|1<x<4}[(x2x+3)+(3x1)][(x-2x+3)(3x1)]<0?例1：解不等式(3)|x2-2x+3|<|3x-1|-3絕對(duì)值不等式課件3絕對(duì)值不等式課件x12-2-3ABA1B1x12-2-3ABA1B13絕對(duì)值不等式課件yxO-32-2yxO-32-2①利用絕對(duì)值不等式的幾何意義②零點(diǎn)分區(qū)間法③構(gòu)造函數(shù)法①利用絕對(duì)值不等式的幾何意義②零點(diǎn)分區(qū)間法③構(gòu)造函數(shù)法例3：解不等式|2x+1|-|2-x|>2∴x<-5或x>1故不等式的解為：{x|x<-5或x>1}解:原不等式例3：解不等式|2x+1|-|2-x|>2∴x<-5或x>

已知a＞0，不等式|x-4|+|x-3|＜a在實(shí)數(shù)集R上的解集不是空集，求a的取值范圍.【解題回顧】此題所用的構(gòu)造函數(shù)及數(shù)形結(jié)合的方法，是行之有效的常用方法.

變題1若不等式|x-4|+|x-3|＞a對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒成立，求a的取值范圍.

變題2若不等式|x-4|-|x-3|＜a的解集在R上不是空集．求a的取值范圍.變題3不等式|x-4|-|x-3|＞a在R上恒成立，求a的取值范圍.練習(xí)4已知a＞0，不等式|x-4|+|x-3|＜a在實(shí)數(shù)集R小結(jié)4----絕對(duì)值不等式的解法

根據(jù)題目的不同條件,分別利用絕對(duì)值的定義、平方和各因式的零點(diǎn)去絕對(duì)值，從而轉(zhuǎn)化為一般不等式。小結(jié)4----絕對(duì)值不等式的解法根據(jù)題目的不同條件,五簡(jiǎn)單的無(wú)理不等式的解法C練習(xí):解不等式(1)√2x-1<2-x.五簡(jiǎn)單的無(wú)理不等式的解法C練習(xí):解不等式(1)√2x-1<1.設(shè)√3-x≥x-1，x2-(a+1)x+a≤0的解集為A、B.(1)若AB，求a的取值范圍；(2)若AB，求a的取值范圍；(3)若A∩B為僅含一個(gè)元素的集合，求a的值.練習(xí)52:解不等式1.設(shè)√3-x≥x-1，x2-(a+1)x+a≤0的解集為A小結(jié)：簡(jiǎn)單的無(wú)理不等式的解法小結(jié)：簡(jiǎn)單的無(wú)理不等式的解法【解題回顧】此題所用的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在解不等式中常常用到，如將無(wú)理不等式轉(zhuǎn)化為等價(jià)的有理不等式(組)，是這種數(shù)學(xué)思想的體現(xiàn).解二利用圖形解決問(wèn)題是數(shù)形結(jié)合的思想，即作出相應(yīng)函數(shù)圖象，將式子之間的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形之間的關(guān)系，使問(wèn)題簡(jiǎn)化.解一則是運(yùn)用了分類討論思想.這三種數(shù)學(xué)思想以及函數(shù)與方程思想均是高考?？純?nèi)容.2.設(shè)a＞0，解不等式√a(a-x)＞a-2x.變題設(shè)a∈R，解不等式√a(a-x)＞a-2x.【解題回顧】此題所用的等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在解不等式中常常用到，如將第一講不等式和絕對(duì)值不等式1、不等式第一講不等式和絕對(duì)值不等式1、不等式二、絕對(duì)值不等式1、絕對(duì)值三角不等式

實(shí)數(shù)a的絕對(duì)值|a|的幾何意義是表示數(shù)軸上坐標(biāo)為a的點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離：OaAx|a|xABab|a-b|任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A、B，那么|a-b|的幾何意義是A、B兩點(diǎn)間的距離。二、絕對(duì)值不等式1、絕對(duì)值三角不等式OaAx|a|xABab

聯(lián)系絕對(duì)值的幾何意義，從“運(yùn)算”的角度研究|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之間的關(guān)系：分ab>0和ab<0兩種情形討論：（1）當(dāng)ab>0時(shí)，如下圖可得|a+b|=|a|+|b|Oxaba+bOxaba+b聯(lián)系絕對(duì)值的幾何意義，從“運(yùn)算”的角度研究|a|,|b|（2）當(dāng)ab<0時(shí)，也分為兩種情況：如果a>0,b<0，如下圖可得：|a+b|<|a|+|b|Obaxa+b如果a<0,b>0，如下圖可得：|a+b|<|a|+|b|a+babxO（3）如果ab=0，則a=0或b=0，易得：

|a+b|=|a|+|b|（2）當(dāng)ab<0時(shí)，也分為兩種情況：如果a>0,b<0，如下

定理1如果a,b是實(shí)數(shù)，則

|a+b|≤|a|+|b|當(dāng)且僅當(dāng)ab≥0時(shí)，等號(hào)成立。探究如果把定理1中的實(shí)數(shù)a,b分別換成向量a,b,能得出什么結(jié)果？你能解釋它的幾何意義嗎？Oxy探究當(dāng)向量a,b共線時(shí)，有怎樣的結(jié)論？這個(gè)不等式稱為絕對(duì)值三角不等式。定理1如果a,b是實(shí)數(shù)，則探究如果把定定理1的代數(shù)證明：定理1的代數(shù)證明：探究你能根據(jù)定理1的研究思路，探究一下|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之間的其他關(guān)系嗎？例如：|a|-|b|與|a+b|，|a|+|b|與|a-b|，|a|-|b|與|a-b|等之間的關(guān)系。

|a|-|b|≤|a+b|,|a|+|b|≥|a-b|,|a|-|b|≤|a-b|.

如果a,b是實(shí)數(shù)，那么

|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|探究你能根據(jù)定理1的研究思路，探究一下|a|,|b|例1已知ε>0，|x-a|<ε,|y-b|<ε，求證：

|2x+3y-2a-3b|<5ε.證明：|2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)|=|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b|<2ε

+3ε=5ε.所以|2x+3y-2a-3b|<5ε.例1已知ε>0，|x-a|<ε,|y-b|<ε，求證：定理2如果a,b,c是實(shí)數(shù)，那么

|a-c|≤|a-b|+|b-c|當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)≥0時(shí)，等號(hào)成立。證明：根據(jù)絕對(duì)值三角不等式有

|a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c|當(dāng)且僅當(dāng)(a-b)(b-c)≥0時(shí)，等號(hào)成立。B定理2如果a,b,c是實(shí)數(shù)，那么證明：根據(jù)絕對(duì)值2、絕對(duì)值不等式的解法復(fù)習(xí)：如果a>0，則

|x|<a的解集是(-a,a)；

|x|>a的解集是(-∞,-a)∪(a,+∞)Oa-axO-aax|x|<a|x|>a2、絕對(duì)值不等式的解法復(fù)習(xí)：如果a>0，則Oa-axO-aa（1）|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法：①分段討論法：②換元法：令t=ax+b,轉(zhuǎn)化為|t|≤c和|t|≥c型不等式，然后再求x，得原不等式的解集。（1）|ax+b|≤c和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的

絕對(duì)值不等式的解法例1：解不等式(1)|x2-3x-4|<x+1;(2)|x2-3x-4|>x+2(3)|x2-2x+3|<|3x-1|;絕對(duì)值不等式的解法例1：解不等式例1：解不等式(1)|x2-3x-4|<x+1

解1：⑴原不等式故原不等式的解集為{x|3<x<5}解2-(x+1)<x2-3x-4<x+1例1：解不等式(1)|x2-3x-4|<x+1故原不等式例1：解不等式(2)|x2-3x-4|>x+2解:⑵原不等式

x2-3x-4>x+2x2-3x-4<-(x+2)或故不等式的解集為：例1：解不等式(2)|x2-3x-4|>x+2解:⑵例1：解不等式(3)|x2-2x+3|<|3x-1|-(x2⑶原不等式2-2x+3)<(3x1)2??2--2--(x2+x+2)(x2-5x+4)<0∴1<x<4故不等式的解為{x|1<x<4}[(x2x+3)+(3x1)][(x-2x+3)(3x1)]<0?例1：解不等式(3)|x2-2x+3|<|3x-1|-3絕對(duì)值不等式課件3絕對(duì)值不等式課件x12-2-3ABA1B1x12-2-3ABA1B13絕對(duì)值不等式課件yxO-32-2yxO-32-2①利用絕對(duì)值不等式的幾何意義②零點(diǎn)分區(qū)間法③構(gòu)造函數(shù)法①利用絕對(duì)值不等式的幾何意義②零點(diǎn)分區(qū)間法③構(gòu)造函數(shù)法例3：解不等式|2x+1|-|2-x|>2∴x<-5或x>1故不等式的解為：{x|x<-5或x>1}解:原不等式例3：解不等式|2x+1|-|2-x|>2∴x<-5或x>

已知a＞0，不等式|x-4|+|x-3|＜a在實(shí)數(shù)集R上的解集不是空集，求a的取值范圍.【解題回顧】此題所用的構(gòu)造函數(shù)及數(shù)形結(jié)合的方法，是行之有效的常用方法.

變題1若不等式|x-4|+|x-3|＞a對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒成立，求a的取值范圍.

變題2若不等式|x-4|-|x-3|＜a的解集在R上不是空集．求a的取值范圍.變題3不等式|x-4|-|x-3|＞a在R上恒成