三垂線定理和逆定理

關(guān)于三垂線定理和逆定理第一頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日什么叫平面的斜線、垂線、射影？

如果aα,a⊥AO，思考a與PO的位置關(guān)系如何？∪aAPoαPO是平面α的斜線,O為斜足;PA是平面α的垂線,A為垂足;AO是PO在平面α內(nèi)的射影.三垂線定理第二頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日性質(zhì)判定定理性質(zhì)線面垂直①線線垂直②線面垂直③線線垂直PO平面PAO∪a⊥PO③

三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。PA⊥αaα∪①PA⊥aAO⊥a②a⊥平面PAO三垂線定理PaAoα第三頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日

直線a在一定要在平面內(nèi)，如果a不在平面內(nèi)，定理就不一定成立。PAOaα例如：當(dāng)b⊥時(shí)，

b⊥OA

如果將定理“在平面內(nèi)”的條件去掉，結(jié)論仍然成立嗎？b但

b不垂直于OP思考?第四頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日1、三垂線定理描述的是PO(斜線)、AO(射影)、a(直線)之間的垂直關(guān)系。2、a與PO可以相交，也可以異面。3、三垂線定理的實(shí)質(zhì)是平面的一條斜線和平面內(nèi)的一條直線垂直的判定定理。說(shuō)明：三垂線定理第五頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日例1直接利用三垂線定理證明下列各題：(1)

已知：PA⊥正方形ABCD所在平面，O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)求證：PO⊥BD，PC⊥BD(3)已知：在正方體AC1中，求證：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中點(diǎn)，求證：BC⊥AMADCBA1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD第六頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日(1)

PA⊥正方形ABCD所在平面，O為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，求證：PO⊥BD，PC⊥BDPOABCD證明:∵ABCD為正方形

O為BD的中點(diǎn)∴AO⊥BD

同理，AC⊥BD

AC是PC在ABCD上的射影∴

PC⊥BDPO⊥BD∴AO是PO在平面ABCD上的射影∴PA⊥平面ABCD∵BD平面ABCD又第七頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日PMCAB(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，

M是BC的中點(diǎn)，求證：BC⊥AM證明:PM

⊥BC∴BC⊥AM∴PM是AM在平面PBC上的射影∴PA⊥平面PBC∵PB=PCM是BC的中點(diǎn)∵BC平面PBC又第八頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日(3)在正方體AC1中，求證：A1C⊥BC1

，A1C⊥B1D1∵在正方體AC1中

A1B1⊥面BCC1B1且BC1⊥B1C∴B1C是A1C在面BCC1B1上的射影CBA1B1C1ADD1證明：CBA1B1C1ADD1同理可證，

A1C⊥B1D1由三垂線定理知

A1C⊥BC1

第九頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日PMCABPAOaαA1C1CBB1OAαaP

我們要學(xué)會(huì)從紛繁的已知條件中找出或者創(chuàng)造出符合三垂線定理的條件解題回顧第十頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日三垂線定理解題的關(guān)鍵：找三垂！怎么找？一找直線和平面垂直二找平面的斜線在平面內(nèi)的射影和平面內(nèi)的一條直線垂直注意：由一垂、二垂直接得出第三垂并不是三垂都作為已知條件解題回顧PAOaα第十一頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日

關(guān)于三垂線定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是找出平面(基準(zhǔn)面)的垂線。至于射影則是由垂足、斜足來(lái)確定的，因而是第二位的。

從三垂線定理的證明得到證明a⊥b的一個(gè)程序：一垂、二射、三證。即第一、找平面(基準(zhǔn)面)及平面垂線

第二、找射影線，這時(shí)a、b便成平面上的一條直線與一條斜線。三垂線定理第三、證明射影線與直線a垂直，從而得出a與b垂直。第十二頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日PAOaα三垂線定理包含幾種垂直關(guān)系？②線射垂直PAOaα①線面垂直③線斜垂直PAOaα直線和平面垂直平面內(nèi)的直線和平面一條斜線的射影垂直平面內(nèi)的直線和平面的一條斜線垂直第十三頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日線射垂直線斜垂直PAOaαPAOaα平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線垂直三垂線定理的逆定理？第十四頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日

在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直。PAOaα

已知：PA，PO分別是平面的垂線和斜線，AO是PO在平面的射影,a,a⊥PO求證：a

⊥AO三垂線定理的逆定理第十五頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日例2如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上。已知：∠BAC在平面內(nèi)，點(diǎn)P，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥，垂足分別是E、F、O，PE=PF求證：∠BAO=∠CAO分析：要證∠BAO=∠CAO只須證OE=OF,OE⊥AB,OF⊥ACPCBAOFE???證明：∵PO⊥∴OE、OF是PE、PF在內(nèi)的射影∵PE=PF∴OE=OF由OE是PE的射影且PE⊥AB得OE⊥AB同理可得OF⊥AC結(jié)論成立第十六頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日

三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。小結(jié)三垂線定理

三垂線逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直。第十七頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日3°操作程序分三個(gè)步驟——“一垂二射三證”1°定理中四條線均針對(duì)同一平面而言2°應(yīng)用定理關(guān)鍵是找“基準(zhǔn)面”這個(gè)參照系第十八頁(yè)，共二十頁(yè)，2022年，8月28日；/nqx59kop猶豫豫地往院子四周圍仔仔細(xì)細(xì)地觀察一番；之后，就摸索著慢慢地揭開(kāi)了篷布。把篷布和壽棺上面放著的全部物件輕輕地放在地上之后，這三個(gè)黑影就開(kāi)始鼓搗著想打開(kāi)棺蓋了。他們先在棺蓋周圍摸了一遍，然后又在自己的身上摸索著什么，最后就圍在棺蓋周圍開(kāi)始翹棺蓋了。沒(méi)有用多長(zhǎng)時(shí)間，棺蓋就被他們合抬著輕輕地放在了地上。其中最矮小的那個(gè)黑影心急，一伸手就把里邊的模特兒給抓起來(lái)了，臭豆腐和雜七雜八調(diào)味粉參雜在一起的難聞氣味兒差一點(diǎn)兒熏得這家伙失手扔掉手里的東西。另一個(gè)稍微高大一些的黑影趕快和他一起將模特兒放在地上。然后，他倆就將模特兒上上下下仔細(xì)摸索了一番，大概認(rèn)定這只是一個(gè)假人，于是不再管它。另一個(gè)塊頭最大的黑影則一直在壽棺里邊摸索著。最后，三個(gè)黑影索性將壽棺里邊的東西全部拿了出來(lái)，并且還在所有的衣物和每一條褥子上仔細(xì)摸索著……忽然，聽(tīng)到一個(gè)家伙低低地說(shuō)：“真他媽的騙他娘的！”另一個(gè)低低的聲音傳來(lái)：“會(huì)不會(huì)是挪窩了？”第三個(gè)低低的聲音傳來(lái)：“不可能的，他們沒(méi)有這個(gè)時(shí)間！人定之前我們不是一直輪流觀察來(lái)著嘛，這院子里不像是有過(guò)大動(dòng)靜的，而且看這情況，也不像是動(dòng)過(guò)的樣子??！”第一個(gè)說(shuō)話的家伙又低低地說(shuō)：“要不咱們?cè)僬艺?？看樣子不像是窮困潦倒回來(lái)的??！”三個(gè)黑影開(kāi)始左顧右盼觀察起來(lái)……耿正正要回身推醒爹爹，忽然感覺(jué)自己的肩膀被推了一下。原來(lái)，耿正只顧全神貫注地觀察三個(gè)竊賊的一舉一動(dòng)，并沒(méi)有發(fā)現(xiàn)爹爹早就爬在窗簾中間的那一條小縫隙那兒也在專注地觀察多時(shí)了。耿老爹低聲說(shuō)：“俺說(shuō)夢(mèng)話了！”于是離開(kāi)窗戶略遠(yuǎn)一點(diǎn)兒，斷斷續(xù)續(xù)不高不低地說(shuō)開(kāi)了：“唉，俺沒(méi)，沒(méi)臉，回家啊！啊哈—”耿正也離開(kāi)窗戶略遠(yuǎn)一點(diǎn)兒，趕快不高不低地說(shuō)：“爹，你醒醒，怎么又說(shuō)夢(mèng)話了？”耿老爹換一種語(yǔ)氣：“哦，爹又做夢(mèng)了，正傷心呢。爹只想著發(fā)財(cái)呢，結(jié)果連命也差點(diǎn)兒給丟了，白白害俺娃娃們受苦哇！”耿正說(shuō)：“爹，你就不要再傷心了，沒(méi)有發(fā)財(cái)不打緊，咱父子們能活著回來(lái)比什么都強(qiáng)啊！再說(shuō)啦，咱們不是好歹還賺得了一掛騾車回來(lái)了嗎！而且你也看到了，這左鄰右舍親戚朋友的，沒(méi)有人笑話咱們啊，對(duì)咱們還是那樣好。以后啊，咱們只管安心種地就是了。別人能活，咱也能活啊