一線三等角模型

關(guān)于一線三等角模型第一頁，共二十二頁，2022年，8月28日考試過程中學(xué)生若能遇到自己平時(shí)非常熟悉的題型，快速找到解決問題的突破口，就能減輕思維量，提高做題速度，緩解考試緊張情緒，取得理想的成績。因此，平時(shí)教學(xué)中模型的滲透就非常重要。一線三等角解題理念:有邊相等證全等;沒邊相等證相似.第二頁，共二十二頁，2022年，8月28日建立模型2013一調(diào)13如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-2x+2與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)A、B，四邊形ABCD是正方形，曲線在第一象限經(jīng)過點(diǎn)D.則________．第三頁，共二十二頁，2022年，8月28日2013一調(diào)22題圖1圖2第四頁，共二十二頁，2022年，8月28日（2）問題探究如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q.試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.圖3第五頁，共二十二頁，2022年，8月28日（3）拓展延伸如圖4，△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點(diǎn)H.若AB=kAE，AC=kAF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.圖4第六頁，共二十二頁，2022年，8月28日模型應(yīng)用（2012南充）19．矩形ABCD中，AB=2AD，E為AD的中點(diǎn)．EF⊥EC交AB于點(diǎn)F．連接FC.

（1）求證：△AEF∽△DCE；（2）求tan∠ECF的值．第七頁，共二十二頁，2022年，8月28日已知：在矩形AOBC中，OB=3，OA=2．分別以O(shè)B、OA所在直線為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．若點(diǎn)F是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合），過F點(diǎn)的反比例函數(shù)（k＞0）的圖象與邊交于點(diǎn)E．

（1）直接寫出線段AE、BF的長（用含k的代數(shù)式表示）；（2）設(shè)△AOE與△FOB的面積分別為S1，S2，求證：S1=S2；

（3）記△OEF的面積為S．

①求出S與k的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量k的取值范圍；

②以O(shè)F為直徑作⊙N，若點(diǎn)E恰好在⊙N上，請(qǐng)求出此時(shí)△OEF的面積S．

（4）當(dāng)點(diǎn)F在BC上移動(dòng)時(shí)，△OEF與△ECF的面積差記為S，求當(dāng)k為何值時(shí)，S有最大值，最大值是多少？（5）請(qǐng)?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點(diǎn)E，使得將△CEF沿EF對(duì)折后，C點(diǎn)恰好落在OB上？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．第八頁，共二十二頁，2022年，8月28日3．如圖，已知y1=k1x+k1（k1≠0）與反比例函數(shù)(k2≠0)的圖象交于點(diǎn)A、C，其中A點(diǎn)坐標(biāo)（1，1）．

（1）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）根據(jù)圖象寫出在第一象限內(nèi)，當(dāng)取何值時(shí)，y1＜y2？

（3）若一次函數(shù)y1=k1x+k1與x軸交于B點(diǎn)，連接OA，求△AOB的面積：

（4）在（3）的條件下，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P，使△AOP是等腰三角形？若存在，請(qǐng)寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．第九頁，共二十二頁，2022年，8月28日2013一調(diào)23題(11分)如圖，矩形OABC中，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，8），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，0）．拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與AB邊交于點(diǎn)D．（Ⅰ）求拋物線的解析式；（Ⅱ）動(dòng)點(diǎn)P從C出發(fā)，沿線段CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從A出發(fā)，沿線段AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度均為每秒1個(gè)單位長度，連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△CPQ的面積為S．（1）求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式，并求出t為何值時(shí)，S取得最大值；（2）當(dāng)S最大時(shí)，從以下①、②中任選一題作答，若兩題都做只以第①題計(jì)分．①在拋物線y=x2+bx+c的對(duì)稱軸l上，是否存在點(diǎn)F，使△FDQ為直角三角形，若存在,請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；否則請(qǐng)說明理由．第十頁，共二十二頁，2022年，8月28日第十一頁，共二十二頁，2022年，8月28日（2011河南）23.（11分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為－8.（1）求該拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為C，交直線AB于點(diǎn)D，作PE⊥AB于點(diǎn)E.①設(shè)△PDE的周長為l，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，求l關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出l的最大值；②連接PA，以PA為邊作圖示一側(cè)的正方形APFG.隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小、位置也隨之改變.當(dāng)頂點(diǎn)F或G恰好落在y軸上時(shí)，直接寫出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo).第十二頁，共二十二頁，2022年，8月28日第十三頁，共二十二頁，2022年，8月28日模型拓展一線三銳角第十四頁，共二十二頁，2022年，8月28日模型應(yīng)用.如圖，已知RtΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)（不能到達(dá)B，C），過D作∠BAC=45°，DE交AC于E.(1）求證：ΔABD∽ΔDCE；(2）設(shè)BD=x，AE=y，求y關(guān)于x得函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x得取值范圍；(3）當(dāng)ΔADE是等腰三角形時(shí)，求AE的長．第十五頁，共二十二頁，2022年，8月28日模型應(yīng)用（2012湖北天門、仙桃、潛江、江漢油田10分）△ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，以D為頂點(diǎn)作∠MDN=∠B（1）如圖（1）當(dāng)射線DN經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，DM交AC邊于點(diǎn)E，不添加輔助線，寫出圖中所有與△ADE相似的三角形．（2）如圖（2），將∠MDN繞點(diǎn)D沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，DM，DN分別交線段AC，AB于E，F(xiàn)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合），不添加輔助線，寫出圖中所有的相似三角形，并證明你的結(jié)論．（3）在圖（2）中，若AB=AC=10，BC=12，當(dāng)△DEF的面積等于△ABC的面積的時(shí)，求線段EF的長．第十六頁，共二十二頁，2022年，8月28日已知如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，點(diǎn)M是AD的中點(diǎn)，△MBC是等邊三角形．（1）求證：梯形ABCD是等腰梯形；（2）動(dòng)點(diǎn)P、Q分別在線段BC和MC上運(yùn)動(dòng)，且∠MPQ=60°保持不變．設(shè)PC=x，MQ=y求y與x的函數(shù)關(guān)系式.（3）在（2）中，當(dāng)取最小值時(shí)，判斷△PQC的形狀，并說明理由．ADCBPMQ60°第十七頁，共二十二頁，2022年，8月28日

（2012成都）(本小題滿分10分)如圖，△ABC和△DEF是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的頂點(diǎn)E與△ABC的斜邊BC的中點(diǎn)重合．將△DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，線段DE與線段AB相交于點(diǎn)P，線段EF與射線CA相交于點(diǎn)Q．（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)Q在線段AC上，且AP=AQ時(shí)，求證：△BPE≌△CQE；（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)Q在線段CA的延長線上時(shí)，求證：△BPE∽△CEQ；并求當(dāng)BP=a，CQ=時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離(用含a的代數(shù)式表示)．第十八頁，共二十二頁，2022年，8月28日一線三鈍角第十九頁，共二十二頁，2022年，8月28日模型應(yīng)用如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC.AB=DC=AD=6,ABC=700,點(diǎn)E,F分別在線段AD,DC上，且