一次函數(shù)與方程不等式

關于一次函數(shù)與方程不等式第一頁，共四十九頁，2022年，8月28日自主探究1(1)解方程2x+20=0

(2)當自變量x為何值時，函數(shù)y=2x+20的值為0？

解：(1)2x+20=0

(2)當y=0時，即從“函數(shù)值”角度看兩個問題實際上是同一個問題．第二頁，共四十九頁，2022年，8月28日序號一元一次方程問題一次函數(shù)問題1解方程3x-2=0

當x為何值時，

y=3x-2的值為0?2解方程8x-3=03

當x為何值時，

y=-7x+2的值為0?4解方程8x-3=2舉一反三當x為何值時，___________的值為0?解方程-7x+2=08x-5=0y=8x-3當x為何值時，___________的值為0?y=8x-5第三頁，共四十九頁，2022年，8月28日下面3個方程有什么共同點和不同點？你能從函數(shù)的角度對解這個方程進行解釋嗎？(1)2x+1=3(2)2x+1=0(3)2x+1=-1共同點：方程的左邊相同不同點：方程的右邊不同從函數(shù)的角度看，解這3個方程相當于在一次函數(shù)y=2x+1的函數(shù)值分別為3,0，-1時，求自變量x的值。或者說，在直線y=2x+1上取縱坐標分別為3,0，-1的點，看它們的橫坐標分別為多少第四頁，共四十九頁，2022年，8月28日自主探究2（3）畫出函數(shù)y=2x+20的圖象，并確定它與x軸的交點坐標.0xy20－10y=2x+20（思考：直線y=2x+20與x軸交點坐標為（____,_____），這說明方程2χ＋20＝0的解是x=_____）從“函數(shù)圖像”上看-100第五頁，共四十九頁，2022年，8月28日從“函數(shù)值”看，“解方程ax+b=0(a，b為常數(shù)，a≠0)”與“求自變量x為何值時，一次函數(shù)y=ax+b的值為0”有什么關系？從圖象上看呢？合作交流求一元一次方程ax+b=0(a，b是常數(shù)，a≠0)的解，從“函數(shù)值”看就是x為何值時函數(shù)y=ax+b的值為0．求一元一次方程ax+b=0(a,b是常數(shù)，a≠0)的解，從“函數(shù)圖象”看就是求直線y=ax+b與x軸交點的橫坐標．第六頁，共四十九頁，2022年，8月28日求ax+b=0（a≠0）的解x為何值時，y=ax+b的值為0？確定直線y=ax+b與x軸的橫坐標

從形的角度看：

從數(shù)的角度看:

求ax+b=0（a≠0）的解第七頁，共四十九頁，2022年，8月28日1、根據(jù)下列圖像，你能說出哪些一元一次方程的解？并直接寫出相應方程的解？5x=0的解其解為X=0X+2=0的解其解為X=-23x+6=0的解其解為X=2X-1=0的解其解為X=1第八頁，共四十九頁，2022年，8月28日2、已知方程ax+b=0的解是-2，下列圖像肯定不是直線y=ax+b的是（

）

ABCDB第九頁，共四十九頁，2022年，8月28日求ax+b=0(a，b是常數(shù)，a≠0)的解．

歸納一次函數(shù)與一元一次方程的關系

x為何值時

函數(shù)y=ax+b的值為0．

從“函數(shù)值”看求ax+b=0(a,b是常數(shù)，a≠0)的解．

求直線y=ax+b與x軸交點的橫坐標．

從“函數(shù)圖象”看第十頁，共四十九頁，2022年，8月28日例題例1一個物體現(xiàn)在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再過幾秒它的速度為17m/s？（要求用兩種方法解題）

解法1：設再過x秒物體的速度為17米/秒．列方程

2x+5=17．解得x=6．解法2：速度y(單位：m/s)是時間x(

單位：s)的函數(shù)

y=2x+5．

0xy6-12y=2x－12(6,0)由圖看出直線y=2x?12與x軸的交點為（6，0），得x=6．由2x+5=17得2x?12=0．

第十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日練一練1．根據(jù)圖象你能直接說出一元一次方程x+3=0的解嗎？

?3y=x+3Oxy解：由圖象可知x+3=0的解為x=?3．

2．利用函數(shù)圖象解出x:5x?1=2x+5

解：

由5x?1=2x+5，得3x?6=0．

xy?6O

y=3x?6

２（1）由圖看出直線y=3x?6與x軸的交點為（２，0），得x=２．

第十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日

解法２：畫出兩個函數(shù)y=5x?1和y=2x+5的圖象．

由圖象知，兩直線交于點(2，9)，所以原方程的解為x=2．Oy=5x?1y=2x+592xy快樂升級2．利用函數(shù)圖象解出x:5x?1=2x+5

第十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日收獲解一元一次方程ax+b=0

(a

，b為常數(shù))可以轉化為：當某個一次函數(shù)的值為0時，求相應的自變量的值．從圖象上看，這相當于已知直線y=ax+b，確定它與x軸交點的橫坐標的值第十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日做給你看1、直線y=3x+9與x軸的交點是（）

A．（0，-3）B．（-3，0）C．（0，3）D．（0，-3）

2、直線y=x+3與x軸的交點坐標為（，），所以相應的方程x+3=0的解是x=.B-30-33．直線y=3x+6與x軸的交點的橫坐標x的值是方程2x+a=0的解，則a的值是______4第十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日4.已知一次函數(shù)y=2x+1，根據(jù)它的圖象回答x取什么值時，函數(shù)的值為1？為0？為－3？第十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日4.已知一次函數(shù)y=2x+1，根據(jù)它的圖象回答x取什么值時，函數(shù)的值為1？為0？為－3？解：由圖像可知（1）當x=0時，函數(shù)值為1（2）當x=-0.5時，函數(shù)值為0（3）當x=-2時，函數(shù)值為-3-3-21-10你認為利用圖象怎樣求方程2x+1=－3的解？你有幾種方法？第十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日5.畫出函數(shù)y=-x+2的圖象，利用圖象回答問題：（1）求x=-1當時，y的值；（2）求當y=-1，對應的的值；（3）求方程-x+2=0的解；（4）求方程-x+2=3的解第十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日一次函數(shù)與一元一次不等式第十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日下面3個不等式有什么共同點和不同點？你能從函數(shù)的角度對解這些不等式進行解釋嗎？(1)x+1>2(2)x+1<0(3)x+1<-1共同點：不等式的左邊相同不同點：不等號和不等號的右邊不同從函數(shù)的角度看，解這3個不等式相當于在一次函數(shù)y=x+1的函數(shù)值分別大于2,小于0，小于-1時，求自變量x的取值范圍。或者說，在直線y=x+1上取縱坐標分別滿足大于2,小于0，小于-1的點，看它們的橫坐標分別滿足什么條件第二十頁，共四十九頁，2022年，8月28日畫出y=x+1的函數(shù)圖象1-1x0yy=x+1x+1>2x+1<1x+1<021從圖象上看不等式的解x>1x<0x<-1第二十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日作直線ｙ＝ｘ＋３ｘｙ００３－３ｙ＝ｘ＋３觀察圖象：ｘ＿＿時，ｙ＞３ｘ＿＿時，ｙ＜３ｘ＿＿時，ｙ＝３＝０＞０＜０第二十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日作直線ｙ＝ｘ＋３ｘｙ００３－３ｙ＝ｘ＋３觀察圖象：ｘ＿＿時，ｙ＞２ｘ＿＿時，ｙ＜２ｘ＿＿時，ｙ＝２＝－１＞－１＜－１作直線y=２

第二十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日已知一次函數(shù)y=２x－２,根據(jù)它的圖象回答下列問題.(1)x取什么值時,函數(shù)值y為4?(2)x取什么值是,函數(shù)值y大于4?(3)x取什么值時,函數(shù)值y小于4?及直線y=４

（如圖）y=２x－２y=４從圖中可知：用函數(shù)觀點看不等式一次函數(shù)與一元一次不等式解：作出函數(shù)y=２x－２的圖象（1）當x=３時，函數(shù)值y為４。（2）當x>３時，函數(shù)值y＞４。（3）當x<３時，函數(shù)值y＜４。第二十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日例題:用畫函數(shù)圖象的方法

解不等式5x+4＜2x+10解法1:原不等式化為:3x-6<0,畫出直線y=3x-6

(如圖)即這時y=3x-6

<0用函數(shù)觀點看不等式一次函數(shù)與一元一次不等式所以不等式的解集為:x<2x<2第二十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日解法二：畫出函數(shù)y=2x+10和y=5x+4圖象從圖中看出：即直線y=5x+4在y=2x+10的___方

不等式5x+4<2x+10∴不等式5x+4<2x+10的解集是x<2x<2用函數(shù)觀點看不等式一次函數(shù)與一元一次不等式思路：不等式5x+4＜2x+10可以看成是兩個函數(shù)值y之間的大小比較，具體在圖象上是兩條直線間的位置關系。下第二十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日y1y2當y1=y2時，x___觀察圖象得出結論當y1>y2時，x___當y1<y2時，x___看兩直線的交點y1在y2的上方y(tǒng)1在y2的下方>1<1=1y1y2<1>1第二十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日一次函數(shù)與二元一次方程組第二十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日你知道y=2x-1是什么？ax+by+c=0(a≠

0,b≠0)二元一次方程的一般式:一次函數(shù)的解析式:y=kx+b(k≠0)轉化過(0,

),(

,0)點的直線。b直線一次函數(shù)二元一次方程直線圖像是

.知識園第二十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日1號探測氣球從海拔5m處出發(fā)，以1m/min的速度上升。與此同時，2號探測氣球從海拔15m處出發(fā)，以0.5m/min的速度上升。兩個氣球都上升了1h。（1）用式子分別表示兩個氣球所在位置的海拔y關于上升時間x的函數(shù)關系（2）在某時刻兩個氣球能否位于同一高度？如果能，這時氣球上升了多長時間？位于什么高度？解：（1）對于1號氣球，y關于x的函數(shù)解析式為：y=x+5對于2號氣球，y關于x的函數(shù)解析式為：y=0.5x+150《x《60（2）在某時刻兩個氣球位于同一高度，即兩個氣球對應的函數(shù)值相等。在同一坐標系中畫出兩個函數(shù)的圖象，如圖。由圖可知，兩條直線的交點坐標為（20,25），說明當氣球上升20分鐘時，兩個氣球都位于海拔25米的高度。25200xyy=x+5y=0.5x+15第三十頁，共四十九頁，2022年，8月28日用圖象法解方程組:把方程組化為:即：兩直線無交點∴方程組無解在直角坐標系中畫出這兩條直線的圖像由圖得，兩直線平行探究園第三十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日鞏固練習:用圖象法解:解:原方程組可轉化為兩個函數(shù):兩個函數(shù)圖象的交點就是原方程組的解.yx01-22如圖:兩函數(shù)圖象的交點是(3,0)所以原方程組的解是第三十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日圖象法解方程組：解得：(2,1)對應關系:二元一次方程組解兩個一次函數(shù)圖象交點坐標圖象法解方程組的步驟:(1)轉化(2)畫圖(3)找交點畫出兩個函數(shù)圖象交點坐標為（2，1）即x=2,ｙ＝１即:yx0112第三十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日bxyk的解是bxky2211?íì+=+=方程組即：方程組的解兩條直線的交點歸納直線y1=k1x1+b1和直線y2=k2x2+b2的交點（m,n)第三十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日一、二元一次方程的解與相應的一次函數(shù)圖象上點對應。二、因為函數(shù)和方程有以上關系，所以我們就可以用圖象法解決方程問題，也可以用方程的方法解決圖象問題。三、用圖象法解二元一次方程組的一般步驟:1.把兩個方程都化成函數(shù)表達式的形式。2.畫出兩個函數(shù)的圖象。3.找出交點坐標，交點坐標即為方程組的解。第三十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日你一定能行的！隨堂練習1234x2341-1y0-1l1l21.右圖中的兩直線l1、l2的交點坐標可以看作方程組的解做一做第三十六頁，共四十九頁，2022年，8月28日思考題：2.已知方程組，所對應的一次函數(shù)的圖象表示如圖，試求出a-b的值。01/2-1XY第三十七頁，共四十九頁，2022年，8月28日

小明和小慧在長為50m的游泳池內練習游泳,小明每分游50m,小慧每分游20m,他們同時從一邊出發(fā)游向對面,并且到達對面后立即轉身返回(轉身時間不計)。問：小慧游完一個來回與小明在途中共相遇幾次?小明小慧由圖象得小慧與小明在途中共相遇4次實踐題2.5“數(shù)形結合”思想o1234550y(m)x(分)探究園第三十八頁，共四十九頁，2022年，8月28日

小東從A地出發(fā)以某一速度向B地前進，同時小明從B地出發(fā)以另一速度向A地前進(見下圖)，圖中的線段y1,y2分別表示小東、小明離B地的距離(km)與所用時間(h)的關系.(1)試用文字說明：交點P所表示的實際意義.(2)試求出A,B兩地之間的距離.(小東)解：（1）小東和小明出發(fā)2.5小時相遇，并且離B地7.5千米解：（2）設直線y1=kx+b(k≠0）∵過（2.5，7.5），（4，0）∴7.5=2.5k+b0=4k+b∴k=－5b=20∴y1=－5x+20當x=0時，y1=20∴A，B兩地的距離為20千米綜合題(小明)探究園第三十九頁，共四十九頁，2022年，8月28日基礎練習，提高能力（4，0）x>4x<4x>64<x<6y=2y=-1第四十頁，共四十九頁，2022年，8月28日基礎練習，提高能力x<-2X>-2X>-2第四十一頁，共四十九頁，2022年，8月28日議一議：

A、B兩地相距150千米，甲、乙兩人騎自行車分別從A、B兩地相向而行。假設他們都保持勻速行駛，則他們各自到A地的距離s(千米)都是騎車時間t(時)的一次函數(shù).1時后乙距A地120千米,2時后甲距A地40千米.問：經過多長時間兩人相遇?第四十二頁，共四十九頁，2022年，8月28日議一議：

A、B兩地相距150千米，甲、乙兩人騎自行車分別從A、B兩地相向而行。假設他們都保持勻速行駛，則他們各自到A地的距離s(千米)都是騎車時間t(時)的一次函數(shù).1時后乙距A地120千米,2時后甲距A地40千米.問：經過多長時間兩人相遇?

直線型圖表示B乙甲A120千米2時,40千米1時第四十三頁，共四十九頁，2022年，8月28日A、B兩地相距150千米，甲、乙兩人騎自行車分別從A、B兩地相向而行。假設他們都保持勻速行駛，則他們各自到A地的距離s(千米)都是騎車時間t(時)的一次函數(shù).1時后乙距A地120千米,2時后甲距A地40千米.問經過多長時間兩人相遇?用圖象法解行程問題04123l1l2ts14012010080604020150圖象表示(A)(B)

可以分別作出兩人

s

與t之間的關系圖象，找出交點的橫坐標就行了！

你明白他的想法嗎？用他的方法做一做，看看和你的結果一致嗎？

小明的方法求出的結果準確嗎？123第四十四頁，共四十九頁，2022年，8月28日A、B兩地相距150千米，甲、乙兩人騎自行車分別從A、B兩地同時相向而行。假設他們都保持勻速行駛，則他們各自到A地的距離s(千米)都是騎車時間t(時)的一次函數(shù).1時后乙距A地120千米,2時后甲距A地40千米.問經過多長時間兩人相遇?用方程解行程問題小彬1時后乙距A地

120千米,即乙的速度是30千米/時,2時后甲距A地40千米,故甲的速度是20千米/時,由此可求出甲、乙兩人的速度,以及……

你明白他的想法嗎？用他的方法做一做，看看和你的結果一致嗎？t=3第四十五頁，共四十九頁，2022年，8月28日A、B兩地相距150千米