山西省長治市2020屆高三數(shù)學(xué)9月統(tǒng)一聯(lián)考試題文含解析

PAGE21-山西省長治市2020屆高三數(shù)學(xué)9月統(tǒng)一聯(lián)考試題文（含解析）第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知集合A={x|x<1}，B={x|}，則A. B.C. D.【答案】A【解析】∵集合∴∵集合∴，故選A2.已知為虛數(shù)單位，若，則（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算得到，再由復(fù)數(shù)相等的概念得到參數(shù)值，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】為虛數(shù)單位，若，根據(jù)復(fù)數(shù)相等得到.故答案為：C.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)相等的概念，復(fù)數(shù)與相等的充要條件是且．復(fù)數(shù)相等的充要條件是化復(fù)為實(shí)的主要依據(jù)，多用來求解參數(shù)的值或取值范圍．步驟是：分別分離出兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，利用實(shí)部與實(shí)部相等、虛部與虛部相等列方程（組）求解．3.已知，，，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等中間值區(qū)分各個(gè)數(shù)值的大小?！驹斀狻浚?，，故，所以。故選A。【點(diǎn)睛】本題考查大小比較問題，關(guān)鍵選擇中間量和函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較。4.函數(shù)（且）圖象可能為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，故函?shù)是奇函數(shù)，所以排除A，B；取，則，故選D.考點(diǎn)：1.函數(shù)的基本性質(zhì)；2.函數(shù)的圖象.5.設(shè)函數(shù)，在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由,得,即,根據(jù)幾何概型的概率公式可得從區(qū)間內(nèi)隨機(jī)選取一個(gè)實(shí)數(shù),的概率為,故選D.6.已知向量，，，若，則實(shí)數(shù)A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)表示求解即可【詳解】因?yàn)?，，所以，又，所以，即，解?故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，熟記運(yùn)算法則即可，屬于?？碱}型.7.如圖所示的程序框圖的算法思路來源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”，執(zhí)行該程序框圖，若輸入的，分別為14，18，則輸出的為（）A.4 B.2 C.0 D.14【答案】B【解析】【分析】根據(jù)循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，先判斷、再根據(jù)框圖中的程序依次執(zhí)行，分別計(jì)算出的值，即可得到結(jié)論．【詳解】依次運(yùn)行框圖中的程序：①由于，滿足，故；②由于，滿足，故；③由于，滿足，故；④由于，滿足，故；⑤由于，滿足，故．此時(shí)，故輸出．故選B．【點(diǎn)睛】程序框圖的填充和判斷算法的功能是算法問題在高考中的主要考查形式，和函數(shù)、數(shù)列的結(jié)合是算法問題的常見載體，解決問題的關(guān)鍵是搞清算法的實(shí)質(zhì)，模擬運(yùn)行算法以得到結(jié)果，考查理解和運(yùn)用能力．8.已知點(diǎn)A,B,C在圓上運(yùn)動(dòng)，且ABBC，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0），則的最大值為（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】B【解析】由題意，AC為直徑，所以,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)B為（-1，0）時(shí)，取得最大值7，故選B.考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系、平面向量的運(yùn)算性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】與圓有關(guān)的最值問題是命題的熱點(diǎn)內(nèi)容，它著重考查數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想.由平面幾何知識知，圓上的一點(diǎn)與圓外一定點(diǎn)距離最值在定點(diǎn)和圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取到．圓周角為直角的弦為圓的半徑，平面向量加法幾何意義這些小結(jié)論是轉(zhuǎn)化問題的關(guān)鍵.9.設(shè)函數(shù),定義,其中,則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】試題分析：，，，因?yàn)?所以．兩式相加可得:,．故選C．考點(diǎn)：1．?dāng)?shù)列求和；2．函數(shù)的性質(zhì)．10.如圖所示，有一條長度為1線段，其端點(diǎn)，在邊長為3的正方形的四邊上滑動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)繞著正方形的四邊滑動(dòng)一周時(shí)，的中點(diǎn)所形成軌跡的長度為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】當(dāng)，分別在兩條邊上時(shí)，形成半徑為的圓，當(dāng)，在同一邊上時(shí)，形成長度為2的線段，計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：當(dāng)，分別在兩條邊上時(shí)：，到頂點(diǎn)的距離為，故形成以頂點(diǎn)為圓點(diǎn)，半徑為的圓.當(dāng)，在同一邊上時(shí)：易知形成長度為2的線段.軌跡長度為故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了軌跡長度，根據(jù)條件得到形成半徑為的圓是解題的關(guān)鍵.11.已知是球的球面上兩點(diǎn),,為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐體積的最大值為36,則球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時(shí)，故，則球的表面積為，故選C．考點(diǎn)：外接球表面積和椎體的體積．12.將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖像，若對滿足的，，有，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】試題分析：向右平移個(gè)單位后，得到，又∵，∴不妨，，∴，又∵，∴，故選D.考點(diǎn)：三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題，高考題對于三角函數(shù)的考查，多以為背景來考查其性質(zhì)，解決此類問題的關(guān)鍵：一是會(huì)化簡，熟悉三角恒等變形，對三角函數(shù)進(jìn)行化簡；二是會(huì)用性質(zhì)，熟悉正弦函數(shù)的單調(diào)性，周期性，對稱性，奇偶性等.第Ⅱ卷二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分把答案填在答卷紙的相應(yīng)位置上）13.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在曲線y=lnx上，且該曲線在點(diǎn)A處的切線經(jīng)過點(diǎn)（-e，-1)(e為自然對數(shù)的底數(shù)），則點(diǎn)A的坐標(biāo)是____.【答案】.【解析】【分析】設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，得到切線方程，然后求解方程得到橫坐標(biāo)的值可得切點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】設(shè)點(diǎn)，則.又，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)A在曲線上的切線為，即，代入點(diǎn)，得，即，考查函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，且，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，注意到，故存在唯一的實(shí)數(shù)根，此時(shí)，故點(diǎn)坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及切線的理解應(yīng)注意的問題：一是利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆．二是直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的公共點(diǎn)．14.已知直線經(jīng)過點(diǎn)，則的最小值為______.【答案】【解析】【分析】直線經(jīng)過點(diǎn)得到，再利用均值不等式得到答案.【詳解】直線經(jīng)過點(diǎn)，代入得到當(dāng)時(shí)等號成立故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了均值不等式，屬于常考題型，需要同學(xué)們熟練掌握.15.在中，，。若以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則該橢圓的離心率?！敬鸢浮俊窘馕觥拷Y(jié)合余弦定理求，即，解得，然后結(jié)合橢圓的定義和焦距求離心率。16.已知定義在R上的函數(shù)滿足條件，且函數(shù)為奇函數(shù)，給出以下四個(gè)命題：①函數(shù)是周期函數(shù)；②函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；③函數(shù)為R上的偶函數(shù)；④函數(shù)為R上的單調(diào)函數(shù)．其中真命題的序號為______________．【答案】①②③【解析】【分析】由“f（x）＝﹣f（x）”可得周期為3，由“且函數(shù)y＝f（x）為奇函數(shù)”可得y＝f（x）的對稱性，然后兩者結(jié)合以及利用代數(shù)變換或圖象變換對四個(gè)選項(xiàng)作出判斷．【詳解】因?yàn)椋?，即，①正確因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，②正確且，根據(jù)，有所以，即函數(shù)為R上的偶函數(shù)，③正確根據(jù)周期性與偶函數(shù)知④錯(cuò)綜上所述：①②③正確，④錯(cuò)誤故填①②③【點(diǎn)睛】本題綜合考查了抽象函數(shù)的奇偶性、周期性，因?yàn)闆]有具體的解析式，所以準(zhǔn)確理解每個(gè)關(guān)系式的意義是解題關(guān)鍵，能結(jié)合圖象理解的盡量結(jié)合圖象，使問題直觀化，具體化．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）本題考察的是求數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)所給條件先求出首項(xiàng)，然后仿寫，作差即可得到的通項(xiàng)公式（2）根據(jù)（1）求出的通項(xiàng)公式，觀察是由一個(gè)等差數(shù)列乘以一個(gè)等比數(shù)列得到，要求其前項(xiàng)和，需采用錯(cuò)位相減法，即可求出前項(xiàng)和．試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即：，數(shù)列為以2為公比的等比數(shù)列（2）兩式相減，得考點(diǎn)：求數(shù)列的通項(xiàng)和前項(xiàng)和18.如圖，四棱錐中，底面為矩形，面，為的中點(diǎn)。（1）證明：平面;（2）設(shè)，，三棱錐的體積，求A到平面PBC的距離?！敬鸢浮浚?）證明見解析（2）到平面的距離為【解析】【詳解】試題分析：（1）連結(jié)BD、AC相交于O，連結(jié)OE，則PB∥OE，由此能證明PB∥平面ACE．（2）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出A到平面PBD的距離試題解析：(1）設(shè)BD交AC于點(diǎn)O，連結(jié)EO。因?yàn)锳BCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)。又E為PD的中點(diǎn)，所以EO∥PB又EO平面AEC，PB平面AEC所以PB∥平面AEC。（2）由，可得.作交于。由題設(shè)易知，所以故，又所以到平面的距離為法2：等體積法由，可得.由題設(shè)易知,得BC假設(shè)到平面的距離為d，又因?yàn)镻B=所以又因?yàn)?或)，，所以考點(diǎn)：線面平行的判定及點(diǎn)到面的距離19.如圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖：（Ⅰ）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明（Ⅱ）建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預(yù)測2020年我國生活垃圾無害化處理量附注：參考數(shù)據(jù)：，，，參考公式：相關(guān)系數(shù)，回歸方程中斜率和截距最小二乘估計(jì)公式分別為，【答案】（Ⅰ）y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系；（Ⅱ）y關(guān)于t的回歸方程為，預(yù)測2020年我國生活垃圾無害化處理量將約為2.22億噸．【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)題意求出，，，，的值再代入即可。（Ⅱ）代入數(shù)據(jù)計(jì)算出，，即可得，再計(jì)算當(dāng)時(shí)的值即可?！驹斀狻浚á瘢┯烧劬€圖中數(shù)據(jù)和附注中參考數(shù)據(jù)得，，，，，因?yàn)閥與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系．（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，所以y關(guān)于t的回歸方程為．將2020年對應(yīng)的代入回歸方程得．所以預(yù)測2020年我國生活垃圾無害化處理量將約為2.22億噸．【點(diǎn)睛】本題考查相關(guān)系數(shù)，線性回歸方程，屬于基礎(chǔ)題。20.已知拋物線C：，其焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作拋物線C的切線，交于點(diǎn)M（Ⅰ）求拋物線C的方程（Ⅱ）若，求三角形面積的最小值【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）4.【解析】【分析】（Ⅰ）焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，等價(jià)于，即可得出答案。（Ⅱ）設(shè)出，兩點(diǎn)，分別寫出其切線，與點(diǎn)，由可得到，再設(shè)出直線l的方程，聯(lián)立直線與直線l，由可得直線l為，最后求出到直線l的距離，與，即可用表示出的面積，即可求出其最小值?！驹斀狻浚á瘢┙裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，即，所以求拋物線C的方程為（Ⅱ）拋物線的方程為，即，所以設(shè)，，：，：由于，所以，即設(shè)直線l方程為，與拋物線方程聯(lián)立，得所以，，，所以，即l：聯(lián)立方程得，即：M點(diǎn)到直線l的距離所以當(dāng)時(shí)，面積取得最小值4．【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線與直線位置關(guān)系，屬于中檔題。21.已知是函數(shù)的極值點(diǎn).（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；（Ⅱ）求證：函數(shù)存在唯一的極小值點(diǎn)，且.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)見證明【解析】【分析】(Ⅰ)根據(jù)求得；通過導(dǎo)數(shù)驗(yàn)證函數(shù)單調(diào)性，可知時(shí)極值點(diǎn)為，滿足題意；(Ⅱ)根據(jù)(Ⅰ)可知極小值點(diǎn)位于，此時(shí)的零點(diǎn)，且此時(shí)為極小值點(diǎn)，代入得到關(guān)于的二次函數(shù)，求解二次函數(shù)值域即可證得結(jié)論.【詳解】(Ⅰ)因?yàn)?，且是極值點(diǎn)所以，所以此時(shí)設(shè)，則則當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)又當(dāng)時(shí)，，則為增函數(shù)當(dāng)時(shí)，，則為減函數(shù)此時(shí)為的極大值點(diǎn)，符合題意(Ⅱ)由(Ⅰ)知，時(shí)，不存在極小值點(diǎn)當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，且，所以存在結(jié)合(Ⅰ)可知當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；時(shí)，，為增函數(shù)，所以函數(shù)存在唯一的極小值點(diǎn)又，所以且滿足.所以由二次函數(shù)圖象可知：又，【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)關(guān)系的綜合應(yīng)用問題，解決本題的關(guān)鍵是能夠利用零點(diǎn)存在定理確定零點(diǎn)所處的范圍，從而可將證明問題轉(zhuǎn)化為在某一區(qū)間內(nèi)二次函數(shù)值域問題的求解.（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.直角坐標(biāo)系中曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）經(jīng)過點(diǎn)作直線交曲線于兩點(diǎn)（在上方），且滿足，求直線的方程.【答案】（1）;（2）.【解析】試題分析:（1）運(yùn)用同角的三角函數(shù)關(guān)系消去參數(shù)即可;(2)把直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程中,根據(jù)的幾何意義解出傾斜角,從而得到直線方程.試題解析:（1）由題意：曲線的直角坐標(biāo)方程為：.（2）設(shè)直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）代入曲線的方程有：，設(shè)點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為，則，則，，∴，∴直線的方程為：.選修4－5：不等式選講23.已知函數(shù)f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)當(dāng)a＝－3時(shí)，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范圍．【答案】(1){x|x≥4或x≤1}；(2)[－3，0].【解析】試題分析：（1）解絕對值不等式首先分情況去掉絕對值不等式組，求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集即得所求．（2）原命題等價(jià)于-2-x≤a≤2-x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范圍試題