江蘇高考數(shù)學(xué)信息卷

PAGE2010屆高考數(shù)學(xué)模擬信息題集錦一、選擇題1、定義一種運算，將函數(shù)的圖象向左平移個單位，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值是AA．B．C．D．2、設(shè)表示不超過的最大整數(shù)(如,),對于給定的,定義,,則當(dāng)時,函數(shù)的值域是D3、定義行列式運算：將函數(shù)的圖象向左平移個單位，若所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值是AA． B． C． D．4、定義行列式運算=.將函數(shù)的圖象向左平移（）個單位,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則的最小值為(C) A． B． C． D．5、設(shè)函數(shù)，表示不超過的最大整數(shù)，則函數(shù)的值域為BA.B.C.D.6、在實數(shù)集R中定義一種運算“*”，對任意為唯一確定的實數(shù)，且具有性質(zhì)：（1）對任意 （2）對任意（3）對任意 關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)，有如下說法：①函數(shù)的最小值為3；②函數(shù)為奇函數(shù)；③函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為。其中所有正確說法的個數(shù)為 （B） A．0 B．1 C．2 D．37、設(shè)a，b，m為正整數(shù)，若a和b除以m的余數(shù)相同，則稱a和b對m同余．記作，已知，則b的值可以是（C）A．1012 B．1286 C．2009 D．80018、給出定義：若（其中為整數(shù)），則叫做離實數(shù)最近的整數(shù)，記作，在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)的四個命題：①函數(shù)=的定義域為，值域為；學(xué)科網(wǎng)②函數(shù)=在上是增函數(shù)；學(xué)科網(wǎng)③函數(shù)=是周期函數(shù)，最小正周期為1；學(xué)科網(wǎng)④學(xué)函數(shù)=的圖象關(guān)于直線（）對稱.科網(wǎng)其中正確命題的序號是網(wǎng)DDDDDD(A)①③ (B)③④學(xué) (C)①②③ (D)①③④學(xué)科9、將3個相同的黑球和3個相同的白球自左向右排成一排，如果滿足：從任何一個位置（含這個位置）開始向左數(shù)，黑球的個數(shù)總是不小于白球的個數(shù)，就稱這種排列為“有效排列”，則出現(xiàn)“有效排列”的概率為（B）A．B．C．D．10、、對于非零向量，定義運算“#”：，其中為的夾角．有兩兩不共線的三個向量，下列結(jié)論：①若，則；②；③若，則；④；⑤．其中正確的個數(shù)有CA．１個B．２個C．３個D．４個11、定義集合運算:，設(shè),則集合的真子集個數(shù)為A A． B． C． D．12、函數(shù)的定義域為，若滿足①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)，②存在，使在上的值域為，那么叫做閉函數(shù)，為使是閉函數(shù)，那么的取值范圍是BA. B. C. D.13、集合，則運算eq\o\ac(○,+)可能是B A．加法減法乘法B加法乘法 C．加法減法除法 D．乘法除法14、設(shè)集合，定義集合，已知,則的子集為(D)A. B. C. D.15、對于一個有限數(shù)列，的蔡查羅和（蔡查羅為一數(shù)學(xué)家）定義為，其中，若一個99項的數(shù)列（的蔡查羅和為1000，那么100項數(shù)列（的蔡查羅和為（A）A．991 B．992 C．993 D．99916、對于使成立的所有常數(shù)M中，我們把M的最小值1叫做的上確界，若，且，則的上確界為（B）A． B． C． D．-417已知集合，，定義，則集合的所有真子集的個數(shù)為（B）A.32B.31C.30D.以上都不對18、定義運算：的值是(D)(A)(B)(C)(D)二、填空題1、對任意正整數(shù)，定義的雙階乘如下：當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，.現(xiàn)有四個命題：①（2009！?。ぃ?008?。。?2009??；②2008·2008??！=2009?。。?008?。?；③2009??！的個位數(shù)字為5； ④（a+b）!!=a!!+b!!（a、bN*）其中所有正確命題的序號是①③.2、在計算機(jī)的運行中，常常要進(jìn)行二進(jìn)制數(shù)與十進(jìn)制數(shù)的轉(zhuǎn)換與運算。如：十進(jìn)制數(shù)8轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制是1000，記做；二進(jìn)制數(shù)111轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)是7，記做，二進(jìn)制的四則運算，如：請計算：100100（）3、閱讀下列材料，然后解答問題；對于任意實數(shù),符號[]表示“不超過的最大整數(shù)”，在數(shù)軸上，當(dāng)是整數(shù)，[]是，當(dāng)不是整數(shù)時，[]是左側(cè)的第一個整數(shù)，這個函數(shù)叫做“取整函數(shù)”，也叫高斯()函數(shù)，如[-2]=-2、[-1.5]=-2、[2.5]=2定義函數(shù){}==[]，給出下列四個命題；①函數(shù)[]的定義域是，值域為[0，1]②方程{}=有無數(shù)個解；③函數(shù){}是周期函數(shù)④函數(shù){}是增函數(shù)。其中正確命題的序號是_②③____________（寫出所有正確結(jié)論的序號）4、對任意非零實數(shù)a、b，若ab的運算原理如圖所示，則lgl000=_________1_____________。5、定義運算法則如下：若則。6、定義集合A*B＝｛x|xA,且xB｝，若A＝｛1，3，5，7｝，B＝｛2，3，5｝，則A*B=．7、如果一條直線和一個平面垂直，則稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”，在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成“正交線面對”的概率為________8、如果若干個函數(shù)的圖象經(jīng)過平移后能夠重合，則這些函數(shù)為“互為生成”函數(shù)。給出下列函數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中“互為生成”函數(shù)有（1）（2）（5）（把所有可能的函數(shù)的序號都填上）9、在技術(shù)工程上，常用到雙曲線正弦函數(shù)和雙曲線余弦函數(shù)，而雙曲線正弦函數(shù)和雙曲線余弦函數(shù)與我們學(xué)過的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)有關(guān)類似的性質(zhì)，比如關(guān)于正、余弦函數(shù)有成立，而關(guān)于雙曲正、余弦函數(shù)滿足。請你用類比的思想，寫出關(guān)于雙曲正弦、雙曲余弦很熟的一個新關(guān)系試10、“漸升數(shù)”是指每個數(shù)字比它左邊的數(shù)字大的正整數(shù)(如1458)，若把四位“漸升數(shù)”按從小到大的順序排列，則第30個數(shù)為1359．11、若數(shù)列{}滿足，則數(shù)列{}為“調(diào)和數(shù)列”，已知數(shù)列{}為“調(diào)和數(shù)列”，且，則的最大值是___100____。12、定義：稱為個正數(shù)的“平均倒數(shù)”。若正項數(shù)列的前項的“平均倒數(shù)”為，則數(shù)列的通項公式為=_4n－113、第29屆奧運會在北京舉行.設(shè)數(shù)列=，定義使為整數(shù)的實數(shù)k為奧運吉祥數(shù)，則在區(qū)間[1，2008]內(nèi)的所有奧運吉祥數(shù)之和為____2026____．14．給出定義：若（其中為整數(shù)），則叫做離實數(shù)最近的整數(shù)，記作，即.在此基礎(chǔ)上給出下列關(guān)于函數(shù)的四個命題：

①函數(shù)的定義域是R，值域是[0，]；②函數(shù)的圖像關(guān)于直線(k∈Z)對稱；③函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期是1；④函數(shù)在上是增函數(shù)；則其中真命題是__①②③．15、若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，那么函數(shù)解析式為y=x2，值域為{1，4}的“同族函數(shù)”共有__9_____個16、定義“等和數(shù)列”:在一個數(shù)列中,如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列,這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列是等和數(shù)列,且a1=2,公和為5,那么a18的值為3，,且這個數(shù)列的前21項和S21的值為52.17、設(shè)函數(shù)的定義域為，若存在常數(shù)，使對一切實數(shù)均成立，則稱為“海寶”函數(shù).給出下列函數(shù)：①；②；③；④其中是“海寶”函數(shù)的序號為③．三、解答題1、已知函數(shù)（I）求函數(shù)的極值；（Ⅱ）對于曲線上的不同兩點，如果存在曲線上的點，且，使得曲線在點處的切線，則稱為弦的伴隨切線，特別地，當(dāng)時，又稱為的伴隨切線。（i）求證：曲線的任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的；（ii）是否存在曲線，使得曲線的任意一條弦均有伴隨切線？若存在，給出一條這樣的曲線，并證明你的結(jié)論；若不存在，說明理由。解法一：（I）

當(dāng)時，，函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù)，函數(shù)沒有極值當(dāng)時，令得當(dāng)變化時，與變化情況如下表：+0-單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減當(dāng)時，取得極大值綜上，當(dāng)時，沒有極值；當(dāng)時，的極大值為，沒有極小值（Ⅱ）（i）設(shè)是曲線上的任意兩點，要證明有伴隨切線，只需證明存在點使得，且點不在上。即證存在，使得即成立，且點不在上以下證明方程在內(nèi)有解。記則令在內(nèi)是減函數(shù)，取則，即同理可證函數(shù)在（）內(nèi)有零點即方程在內(nèi)有解又對于函數(shù)取，則，可知即點不在上。又是增函數(shù)，的零點是唯一的，即方程在內(nèi)有唯一解綜上，曲線上的任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的（ii）取曲線，則曲線的任意一條弦均有伴隨切線。證明如下：設(shè)是曲線上任意兩點，則即曲線的任意一條弦均有伴隨切線注：只要考生給出一條滿足條件的曲線，并給出正確證明，均給滿分，若只給曲線，沒有給出正確的證明，不給分。解法二：（I）同解法一。（Ⅱ）（i）設(shè)是曲線上的任意兩點，要證明有伴隨切線，只需證明存在點，，使得且點不在上即證存在，使得即成立，且點不在上以下證明方程在內(nèi)有解設(shè)則記在內(nèi)是增函數(shù)，同理方程在內(nèi)有解又對于函數(shù)可知即點不在上。又在內(nèi)是增函數(shù)。方程在內(nèi)有唯一解綜上，曲線上的任意一條弦均有伴隨切線，并且伴隨切線是唯一的（ii）同解法一。2下述數(shù)陣稱為“森德拉姆篩”，記為S．其特點是每行每列都是等差數(shù)列，第i行第j列的數(shù)記為Aij.1471013…48121620…712172227…1016222834…1320273441……………（1）證明：存在常數(shù)，對任意正整數(shù)i、j，總是合數(shù)；（2）設(shè)

S中主對角線上的數(shù)1，8，17，28，41，…組成數(shù)列.試證不存在正整數(shù)k和m，使得成等比數(shù)列；（3）對于（2）中的數(shù)列，是否存在正整數(shù)p和r

，使得成等差數(shù)列．若存在，寫出的一組解（不必寫出推理過程）；若不存在，請說明理由．（1）【證明】因為第一行數(shù)組成的數(shù)列{A1j}(j=1,2，…)是以1為首項，公差為3的等差數(shù)列，所以A1j＝1+(j－1)×3＝3j－2，第二行數(shù)組成的數(shù)列{A2j}(j＝1,2，…)是以4為首項，公差為4的等差數(shù)列，所以A2j＝4+(j－1)×4＝4j………2分所以A2j－A1j＝4j－(3j－2)＝j(luò)＋2，所以第j列數(shù)組成的數(shù)列{Aij}(i＝1,2，…)是以3j－2為首項，公差為j＋2的等差數(shù)列，所以Aij＝3j－2＋(i－1)×(j＋2)＝ij＋2i＋2j－4＝(i＋3)(j＋2)8．……………5分故Aij＋8=(i＋3)(j＋2)是合數(shù)．所以當(dāng)＝8時，對任意正整數(shù)i、j，總是合數(shù)…………6分（2）【證明】(反證法)假設(shè)存在k、m，，使得成等比數(shù)列，即……………7分∵bn＝Ann＝(n+2)2－4∴得，即，10分又∵，且k、m∈N，∴k≥2、m≥3，∴，這與∈Z矛盾，所以不存在正整數(shù)k和m，使得成等比數(shù)列．……………12分（3）【解】假設(shè)存在滿足條件的，那么即.………14分不妨令得所以存在使得成等差數(shù)列．……16分（注：第（3）問中數(shù)組不唯一，例如也可以）3、如果對任意一個三角形，只要它的三邊長a，b，c都在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某個三角形的三邊長，則稱f(x)為“保三角形函數(shù)”.（1）判斷下列函數(shù)是不是“保三角形函數(shù)”，并證明你的結(jié)論：①f(x)＝eq\r(x)；②g(x)＝sinx(x∈(0，π)).（2）若函數(shù)h(x)＝lnx(x∈［M，＋∞))是保三角形函數(shù)，求M的最小值.（1）【答】f(x)＝eq\r(x)是保三角形函數(shù)，g(x)＝sinx(x∈(0，π))不是保三角形函數(shù).【證明】①f(x)＝eq\r(x)是保三角形函數(shù).對任意一個三角形的三邊長a，b，c，則a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，f(a)＝eq\r(a)，f(b)＝eq\r(b)，f(c)＝eq\r(c).因為(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝a＋2eq\r(ab)＋b＞c＋2eq\r(ab)＞(eq\r(c))2，所以eq\r(a)＋eq\r(b)＞eq\r(c).同理可以證明：eq\r(b)＋eq\r(c)＞eq\r(a)，eq\r(c)＋eq\r(a)＞eq\r(b).所以f(a)、f(b)、f(c)也是某個三角形的三邊長，故f(x)＝eq\r(x)是保三角形函數(shù).………………4分②g(x)＝sinx(x∈(0，π))不是保三角形函數(shù).取，顯然這三個數(shù)能作為一個三角形的三條邊的長.而sin＝1，sin＝eq\f(1,2)，不能作為一個三角形的三邊長.所以g(x)＝sinx(x∈(0，π))不是保三角形函數(shù).……………8分(2)【解】M的最小值為2.…………10分(i)首先證明當(dāng)M≥2時，函數(shù)h(x)＝lnx(x∈［M，＋∞))是保三角形函數(shù).對任意一個三角形三邊長a，b，c∈［M，＋∞)，且a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，則h(a)＝lna，h(b)＝lnb，h(c)＝lnc.因為a≥2，b≥2，a＋b＞c，所以(a－1)(b－1)≥1，所以ab≥a＋b＞c，所以lnab＞lnc，即lna＋lnb＞lnc.同理可證明lnb＋lnc＞lna，lnc＋lna＞lnb.所以lna，lnb，lnc是一個三角形的三邊長.故函數(shù)h(x)＝lnx(x∈［M，＋∞)，M≥2)，是保三角形函數(shù).………13分(ii)其次證明當(dāng)0<M＜2時，h(x)＝lnx(x∈［M，＋∞))不是保三角形函數(shù).當(dāng)0<M＜2時，取三個數(shù)M，M，M2∈［M，＋∞)，因為0＜M＜2，所以M＋M＝2M＞M2，所以M，M，M2而lnM＋lnM＝2lnM＝lnM2，所以lnM，lnM，lnM2不能為某個三角形的三邊長，所以h(x)＝lnx不是保三角形函數(shù).所以，當(dāng)M＜2時，h(x)＝lnx(x∈［M，＋∞))不是保三角形函數(shù).綜上所述：M的最小值為2.…………16分4、若有窮數(shù)列是正整數(shù)），滿足即（是正整數(shù)，且）就稱該數(shù)列為“對稱數(shù)列”已知數(shù)列是項數(shù)為7的對稱數(shù)列，且成等差數(shù)列，試寫出的每一項；已知是項數(shù)的對稱數(shù)列，且構(gòu)成首項為70，公差為-4的等差數(shù)列，數(shù)列的前項和為取到最大值并求此最大值；對于給定的正整數(shù)，試寫出所有項數(shù)不超過的對稱數(shù)列，使得1，2，22，……2m-1稱謂數(shù)列中的連續(xù)項；當(dāng)，試求其中該數(shù)列的前2009項的和解（I）設(shè)公差為，由得數(shù)列為3，5，7，9，7，5，3，……2分（II）……3分又=……4分（III）所有可能的“對稱數(shù)列”是①1，2，22②③④……9分當(dāng)對于②當(dāng)當(dāng)對于③當(dāng)時，當(dāng)分對于④當(dāng)時，當(dāng)5、如圖，已知橢圓的焦點和上頂點分別為、、，我們稱為橢圓的特征三角形.如果兩個橢圓的特征三角形是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，且三角形的相似比即為橢圓的相似比.（1）已知橢圓和，判斷與是否相似，如果相似則求出與的相似比，若不相似請說明理由；（2）已知直線,與橢圓相似且半短軸長為的橢圓的方程，在橢圓上是否存在兩點、關(guān)于直線對稱，若存在，則求出函數(shù)的解析式.（3）根據(jù)與橢圓相似且半短軸長為的橢圓的方程，提出你認(rèn)為有價值的相似橢圓之間的三種性質(zhì)（不需證明）；、解：（1）橢圓與相似.………2分因為的特征三角形是腰長為4，底邊長為的等腰三角形，而橢圓的特征三角形是腰長為2，底邊長為的等腰三角形，因此兩個等腰三角形相似，且相似比為………6分（2）橢圓的方程為：.……8分假定存在，則設(shè)、所在直線為，中點為.則.