1983年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版

1983年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第一試1．選擇題(此題滿分32分，每題答對者得4分，答錯者得0分，不答得1分)⑴設(shè)p、q是自然數(shù)，條件甲：p3－q3是偶數(shù)；條件乙：p+q是偶數(shù)．那么A．甲是乙的充分而非必要條件

B．甲是乙的必要而非充分條件C．甲是乙的充要條件

D．甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件⑵x=+的值是屬于區(qū)間A．(－2，－1)

B．(1，2)

C．(－3，－2)

D．(2，3)⑶已知等腰三角形ABC的底邊BC及高AD的長都是整數(shù)，那么，sinA和cosA中A．一個是有理數(shù)，另一個是無理數(shù)

B．兩個都是有理數(shù)C．兩個都是無理數(shù)

D．是有理數(shù)還是無理數(shù)要根據(jù)BC和AD的數(shù)值來確定⑷已知M={(x，y)|y≥x2}，N={(x，y)|x2+(y－a)2≤1}．那么，使M∩N=N成立的充要條件是A．a(chǎn)≥1B．a(chǎn)=1C．a(chǎn)≥1D．0<a<1⑸已知函數(shù)f(x)=ax2－c，滿足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5．那么，f(3)應(yīng)滿足A．7≤f(3)≤26B．－4≤f(3)≤15C．－1≤f(3)≤20D．－≤f(3)≤⑹設(shè)a，b，c，d，m，n都是正實數(shù)，P=+，Q=·，那么A．P≥QB．P≤QC．P<QD．P、Q的大小關(guān)系不確定，而與m，n的大小有關(guān)．⑺在正方形ABCD所在平面上有點P，使△PAB、△PBC、△PCD、△PDA都是等腰三角形，那么具有這樣性質(zhì)的點P的個數(shù)有A．9個

B．17個

C．1個

D．5個⑻任意△ABC，設(shè)它的周長、外接圓半徑長與內(nèi)切圓半徑長分別為l、R與r，那么A．l>R+rB．l≤R+rC．<R+r<6lD．A、B、C三種關(guān)系都不對2．填充題(此題滿分18分，每題6分)⑴在△ABC中，sinA=，cosB=，那么cosC的值等于．⑵三邊均為整數(shù)，且最大邊長為11的三角形，共有個．⑶一個六面體的各個面和一個正八面體的各個面都是邊長為a的正三角形，這樣兩個多面體的內(nèi)切球半徑之比是一個既約分數(shù)，那么積m?n是．第二試1．(此題滿分8分)求證：arcsinx+arccosx=，其中x∈[－1，1]2．(此題滿分16分)函數(shù)f(x)在[0，1]上有定義，f(0)=f(1)．如果對于任意不同的x1，x2∈[0，1]，都有|f(x1)－f(x2)|<|x1－x2|．求證：|f(x1)－f(x2)|<．

3．(此題滿分16分)在四邊形ABCD中，⊿ABD、⊿BCD、⊿ABC的面積比是3∶4∶1，點M、N分別在AC、CD上滿足AM∶AC=CN∶CD，并且B、M、N三點共線．求證：M與N分別是AC與CD的中點．4.(此題滿分16分)在在六條棱長分別為2，3，3，4，5，5的所有四面體中，最大體積是多少？證明你的結(jié)論．5．(此題滿分18分)函數(shù)F(x)=|cos2x+2sinxcosx－sin2x+Ax+B|在0≤x≤π上的最大值M與參數(shù)A、B有關(guān)，問A、B取什么值時，M為最?。孔C明你的結(jié)論．1983年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽解答第一試1．選擇題(此題滿分32分，每題答對者得4分，答錯者得0分，不答得1分)⑴設(shè)p、q是自然數(shù)，條件甲：p3－q3是偶數(shù)；條件乙：p+q是偶數(shù)．那么A．甲是乙的充分而非必要條件

B．甲是乙的必要而非充分條件C．甲是乙的充要條件

D．甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件解：p3－q3=(p－q)(p2+pq+q2)．又p+q=p－q+2q，故p+q與p－q的奇偶性相同．∴p+q為偶數(shù)，?p－q為偶數(shù)，?p3－q3為偶數(shù)．p+q為奇數(shù)，?p、q一奇一偶，?p3－q3為奇數(shù)．故選C．⑵x=+的值是屬于區(qū)間A．(－2，－1)

B．(1，2)

C．(－3，－2)

D．(2，3)解：x=log32+log35=log310∈(2，3)，選D．⑶已知等腰三角形ABC的底邊BC及高AD的長都是整數(shù)，那么，sinA和cosA中A．一個是有理數(shù)，另一個是無理數(shù)

B．兩個都是有理數(shù)C．兩個都是無理數(shù)

D．是有理數(shù)還是無理數(shù)要根據(jù)BC和AD的數(shù)值來確定解：tan為有理數(shù)，?sinA、cosA都是有理數(shù)．選B．⑷已知M={(x，y)|y≥x2}，N={(x，y)|x2+(y－a)2≤1}．那么，使M∩N=N成立的充要條件是A．a(chǎn)≥1B．a(chǎn)=1C．a(chǎn)≥1D．0<a<1解：M∩N=N的充要條件是圓x2+(y－a)2≤1在拋物線y=x2內(nèi)部(上方)．即a≥1，且方程y2－(2a－1)y+a2－1=0的△=(2a－1)2－4(a2－1)≤0，?a≥1，選A．⑸已知函數(shù)f(x)=ax2－c，滿足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5．那么，f(3)應(yīng)滿足A．7≤f(3)≤26B．－4≤f(3)≤15C．－1≤f(3)≤20D．－≤f(3)≤解：f(1)=a－c，f(2)=4a－c，f(3)=9a－c．令9a－c=λ(a－c)+μ(4a－c)，∴λ+4μ=9，λ+μ=1．∴λ=－，μ=．即f(3)=－f(1)+f(2)．但≤－f(1)≤，－≤f(2)≤，∴－1≤－f(1)+f(2)≤20.．選C．⑹設(shè)a，b，c，d，m，n都是正實數(shù)，P=+，Q=·，那么A．P≥QB．P≤QC．P<QD．P、Q的大小關(guān)系不確定，而與m，n的大小有關(guān)．解：由柯西不等式，Q≥P．選B．⑺在正方形ABCD所在平面上有點P，使△PAB、△PBC、△PCD、△PDA都是等腰三角形，那么具有這樣性質(zhì)的點P的個數(shù)有A．9個

B．17個

C．1個

D．5個解：如圖，以正方形的頂點為圓心，邊長為半徑作4個圓，其8個交點滿足要求，正方形的中心滿足要求，共有9個點．選A．⑻任意△ABC，設(shè)它的周長、外接圓半徑長與內(nèi)切圓半徑長分別為l、R與r，那么A．l>R+rB．l≤R+rC．<R+r<6lD．A、B、C三種關(guān)系都不對解：R=，當(dāng)A→180°時，a最大，而R可大于任意指定的正數(shù)M．從而可有R<6l，否定A、C．又正三角形中，R+r=a<l，否定B．故選D．2．填充題(此題滿分18分，每題6分)⑴在△ABC中，sinA=，cosB=，那么cosC的值等于．解：cosA=±，sinB=，但若cosA=－，則A>135°，cosB=<cos60°，B>60°，矛盾．故cosA=．∴cosC=cos(π－A－B)=－cosAcosB+sinAsinB=－·+·=．⑵三邊均為整數(shù)，且最大邊長為11的三角形，共有個．解：設(shè)另兩邊為x，y，且x≤y．則得x≤y≤11，x+y>11，在直角坐標(biāo)系內(nèi)作直線y=x，y=11，x=11，x+y=11，則所求三角形數(shù)等于由此四條直線圍成三角形內(nèi)的整點數(shù)．(含y=11，y=x上的整點，不含x+y=11上的整點)共有122÷4=36個．即填36．⑶一個六面體的各個面和一個正八面體的各個面都是邊長為a的正三角形，這樣兩個多面體的內(nèi)切球半徑之比是一個既約分數(shù)，那么積m?n是．

解：此六面體可看成是由兩個正四面體粘成．每個正四面體的高h1=a，于是，利用體積可得Sh1=3Sr1，r1=a．同樣，正八面體可看成兩個四棱錐粘成，每個四棱錐的高h2=a，又可得a2h2=4×a