2020高中數(shù)學(xué) 第章 統(tǒng)計案例 2 獨立性檢驗學(xué)案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE14-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2.1獨立性檢驗2.2獨立性檢驗的基本思想2.3獨立性檢驗的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標核心素養(yǎng)1。了解獨立性檢驗的基本思想方法．（重點)2．了解獨立性檢驗的初步應(yīng)用．(難點)通過對獨立性檢驗的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)“邏輯推理”、“數(shù)學(xué)抽象”、“數(shù)學(xué)運算”的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。1．獨立性檢驗設(shè)A，B為兩個變量，每一個變量都可以取兩個值，變量A：A1，A2＝eq\x\to(A）1;變量B：B1，B2＝eq\x\to（B）1，有下面2×2列聯(lián)表：ABB1B2總計A1aba＋bA2cdc＋d總計a＋cb＋dn＝a＋b＋c＋d其中，a表示變量A取A1，且變量B取B1時的數(shù)據(jù)；b表示變量A取A1，且變量B取B2時的數(shù)據(jù)；c表示變量A取A2,且變量B取B1時的數(shù)據(jù);d表示變量A取A2，且變量B取B2時的數(shù)據(jù)．2．獨立性檢驗的基本思想在2×2列聯(lián)表中，令χ2＝eq\f(nad－bc2，a＋bc＋da＋cb＋d）。當(dāng)數(shù)據(jù)量較大時，在統(tǒng)計中，用以下結(jié)果對變量的獨立性進行判斷．（1)當(dāng)χ2≤2.706時，沒有充分的證據(jù)判定變量A，B有關(guān)聯(lián)，可以認為變量A，B是沒有關(guān)聯(lián)的;（2）當(dāng)χ2>2.706時，有90%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)；(3）當(dāng)χ2〉3。841時，有95%的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)；（4）當(dāng)χ2〉6.635時，有99％的把握判定變量A，B有關(guān)聯(lián)．思考：當(dāng)χ2≤2.706時，能否確定A,B一定沒有關(guān)聯(lián)？［提示］不能．χ2實質(zhì)上是一個可信度問題,當(dāng)χ2≤2。706時沒有充分的證據(jù)判定變量A，B有關(guān)聯(lián),但不能確定A，B一定沒有關(guān)聯(lián)．1．在一項中學(xué)生近視情況的調(diào)查中,某校男生150名中有80名近視，女生140名中有70名近視，在檢驗這些中學(xué)生眼睛近視是否與性別有關(guān)時用什么方法最有說服力（）A．平均數(shù)與方差 B．回歸分析C．獨立性檢驗 D．概率C［判斷兩個分類變量是否有關(guān)的最有效方法是進行獨立性檢驗，故選C.］2．對分類變量X與Y的統(tǒng)計量χ2的值說法正確的是（)A．χ2越大，“X與Y有關(guān)系”的把握性越小B．χ2越小，“X與Y有關(guān)系”的把握性越小C．χ2越接近于0，“X與Y無關(guān)系”的把握性越小D．χ2越接近于0,“X與Y無關(guān)系”的把握性越大B[χ2越大,X與Y越不獨立，所以關(guān)聯(lián)越大；相反,χ2越小，關(guān)聯(lián)越小．]3．在一個2×2列聯(lián)表中，通過數(shù)據(jù)計算χ2＝8。325，則這兩個變量間有關(guān)系的可能性為________．[答案]99%4.下面是2×2列聯(lián)表:yxy1y2總計x1a2173x222527總計b46100則a＋b＝__________________.106［a＝73－21＝52,b＝100－46＝54.故a＋b＝106。]2×2列聯(lián)表【例1】在調(diào)查的480名男性中有38名患有色盲，520名女性中有6名患有色盲,試作出性別與色盲的列聯(lián)表．[解]根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)作出如下的列聯(lián)表：患色盲情況性別患色盲不患色盲總計男38442480女6514520總計4495610001．作2×2列聯(lián)表時,關(guān)鍵是對涉及的變量分清類別．注意應(yīng)該是4行4列，計算時要準確無誤．2．利用2×2列聯(lián)表分析兩變量間的關(guān)系時，首先要根據(jù)題中數(shù)據(jù)獲得2×2列聯(lián)表,然后根據(jù)頻率特征,即將eq\f(a,a＋b)與eq\f(c，c＋d)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(或\f(b，a＋b）與\f(d,c＋d）))的值相比,直觀地反映出兩個分類變量間是否相互影響,但方法較粗劣．1．某學(xué)校對高三學(xué)生作一項調(diào)查后發(fā)現(xiàn)：在平時的模擬考試中，性格內(nèi)向的426名學(xué)生中有332名在考前心情緊張，性格外向的594名學(xué)生中在考前心情緊張的有213人．試作出2×2列聯(lián)表．［解]列聯(lián)表如下:性格情況考前心情是否緊張性格內(nèi)向性格外向總計考前心情緊張332213545考前心情不緊張94381475總計4265941020獨立性檢驗【例2】在500人身上試驗?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用,把他們一年中的感冒記錄與另外500名未用血清的人的感冒記錄作比較，結(jié)果如表所示．問：能否在犯錯誤的概率不超過1％的前提下認為該種血清能起到預(yù)防感冒的作用。未感冒感冒總計使用血清258242500未使用血清216284500總計4745261000[解］由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，求得χ2＝eq\f(1000×258×284－242×2162，474×526×500×500)≈7.075。χ2＝7.075≥6.635，查表得P（χ2≥6。635)＝0。01，故我們在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，即有99%的把握認為該種血清能起到預(yù)防感冒的作用．1．熟練掌握χ2統(tǒng)計量的數(shù)值計算，根據(jù)計算得出χ2值,對比三個臨界值2。706，3。841和6.635，作出統(tǒng)計推斷．2．獨立性檢驗的一般步驟:（1）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)列2×2列聯(lián)表;(2)計算χ2＝eq\f（nad－bc2，a＋bc＋da＋cb＋d)的值;（3）將χ2的值與臨界值進行比較，若χ2大于臨界值，則認為X與Y有關(guān)，否則沒有充分的理由說明這個假設(shè)不成立．2．為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助,用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下：性別是否需要志愿者男女需要4030不需要160270（1)估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例;（2）能否有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？[解]（1)調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此在該地區(qū)老年人中,需要幫助的老年人的比例的估計值為eq\f(70,500）×100%＝14%.（2）χ2＝eq\f（500×40×270－30×1602，200×300×70×430）≈9。967。因為9。967〉6.635，所以有99％的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)．獨立性檢驗的應(yīng)用[探究問題］1．當(dāng)χ2＞3.841時，我們有多大的把握認為事件A與B有關(guān)?[提示］由臨界值表可知當(dāng)χ2＞3.841時，我們有95％的把握認為事件A與B有關(guān)．2．在研究打鼾與患心臟病之間的關(guān)系中,通過收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得到“打鼾與患心臟病有關(guān)"的結(jié)論，并且在犯錯誤的概率不超過0。01的前提下認為這個結(jié)論是成立的．我們是否可以判定100個心臟病患者中一定有打鼾的人？［提示]這是獨立性檢驗,在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“打鼾與患心臟病有關(guān)”．這只是一個概率，即打鼾與患心臟病有關(guān)的可能性為99%。根據(jù)概率的意義可知100個心臟病患者中可能一個打鼾的人都沒有．【例3】為了解某市創(chuàng)建文明城市過程中，學(xué)生對創(chuàng)建工作的滿意情況，相關(guān)部門對某中學(xué)的100名學(xué)生進行調(diào)查，其中有50名男生對創(chuàng)建工作表示滿意，有15名女生對創(chuàng)建工作表示不滿意．已知在全部100名學(xué)生中隨機抽取1人，其對創(chuàng)建工作表示滿意的概率為eq\f(4，5）.是否有充足的證據(jù)說明，學(xué)生對創(chuàng)建工作的滿意情況與性別有關(guān)？思路探究：解決本題首先根據(jù)對工作滿意的概率，確定對工作滿意的男女生人數(shù)，再畫出2×2列聯(lián)表，最后根據(jù)2×2列聯(lián)表計算χ2，并進行判斷．[解]由題意得2×2列聯(lián)表如下：滿足情況性別滿意不滿意總計男生50555女生301545總計8020100χ2＝eq\f(100×50×15－30×52,80×20×55×45）≈9.091＞6。635，∴我們有99%的把握認為學(xué)生對創(chuàng)建工作的滿意情況與性別有關(guān)．1．獨立性檢驗的基本思想是要確認兩個變量有關(guān)系這一結(jié)論成立的可信程度,首先假設(shè)結(jié)論“兩個變量沒有關(guān)系"成立，在該假設(shè)下我們構(gòu)造的統(tǒng)計量χ2應(yīng)該很小，如果用觀測數(shù)據(jù)計算的統(tǒng)計量χ2很大，則在一定程度上說明假設(shè)不合理．由χ2與臨界值的大小關(guān)系，作出判斷．2．獨立性檢驗仍然屬于用樣本估計總體，由于樣本抽取具有隨機性,因而作出的推斷可能正確,也可能錯誤,有95％（或99％）的把握認為事件A與B有關(guān),則推斷結(jié)論為錯誤的可能性僅為5%(或1%)．3．有兩個變量x與y，其一組觀測值如下2×2列聯(lián)表所示：yxy1y2x1a20－ax215－a30＋a其中a，15－a均為大于5的整數(shù)，則a取何值時,有95％的把握認為x與y之間有關(guān)系？［解］由題意χ2＝eq\f(65[a30＋a－20－a15－a］2，20×45×15×50)＝eq\f(6565a－3002，20×45×15×50）＝eq\f(1313a－602,5400）.∵有95％的把握認為x與y之間有關(guān)系，∴χ2〉3。841，∴eq\f（1313a－602，5400）〉3.841，∴a〉7.7或a<1。5。又a>5，15－a>5,∴7。7<a<10。又a∈N，∴a＝8或a＝9。1．獨立性檢驗是一種假設(shè)檢驗，在對總體的估計中,通過抽取樣本，構(gòu)造合適的統(tǒng)計量，對假設(shè)的正確性進行判斷．2．使用χ2統(tǒng)計量作2×2列聯(lián)表的獨立性檢驗時，一般要求表中的4個數(shù)據(jù)都大于5,數(shù)據(jù)越大，越能說明結(jié)果的普遍性．3．獨立性檢驗的基本步驟:(1)列出2×2列聯(lián)表．（2)求出χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋ca＋bb＋dc＋d）。(3)判斷是否有關(guān)聯(lián),得出事件有關(guān)的可能性大小。1．下面是一個2×2列聯(lián)表：則表中a，b處的值分別為（)y1y2總計x1a2153x282533總計b46A．32,40 B．42,50C．74，82 D．64,72A[a＝53－21＝32,b＝a＋8＝40.]2．為了研究高中學(xué)生對鄉(xiāng)村音樂的態(tài)度(喜歡和不喜歡兩種態(tài)度）與性別的關(guān)系，運用2×2列聯(lián)表進行獨立性檢驗，經(jīng)計算χ2＝8。01，則認為“喜歡鄉(xiāng)村音樂與性別有關(guān)系”的把握性約為（）χ20.1000。0500。0250.0100。001k02.7063.8415。0246。63510.828A．0。1% B．1%C．99% D．99。9％C［因為χ2>6.635，所以有99%以上的把握認為“喜歡鄉(xiāng)村音樂與性別有關(guān)系”．］3．在2×2列聯(lián)表中，兩個比值eq\f（a，a＋b)與________相差越大，兩個分類變量有關(guān)系的可能性越大．eq\f（c,c＋d)［根據(jù)2×2列聯(lián)表可知，比值eq\f（a，a＋b)與eq\f(c,c＋d）相差越大,則|ad－bc|就越大，那么兩個分類變量有關(guān)系的可能性就越大．]4．以下關(guān)于獨立性檢驗的說法中,正確的是________．(填序號)①獨立性檢驗依據(jù)小概率原理；②獨立性檢驗得到的結(jié)論一定正確；③樣本不同，獨立性檢驗的結(jié)論可能有差異；④獨立性檢驗不是判斷兩分類變量是否相關(guān)的唯一方法．①③④[獨立性檢驗得到的結(jié)論不一定正確,故②錯,①③④正確．]5．某大學(xué)餐飲中心為了解新生的飲食習(xí)慣，在全校一年級學(xué)生中進行了抽樣調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表所示：喜歡甜品不喜歡甜品總計南方學(xué)生602