2020高中數(shù)學(xué) 第章 不等式 .2 基本不等式與最大（?。┲到贪?5

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE13-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3。2基本不等式與最大（?。┲祵W(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大（?。┲祮?wèn)題．(重點(diǎn))2．會(huì)用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題．（重點(diǎn)、難點(diǎn))1。通過(guò)利用基本不等式求解最值問(wèn)題提升邏輯素養(yǎng)．2．利用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題提升數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)。不等式與最大（?。┲甸喿x教材P90～P91“例2”以上部分,完成下列問(wèn)題．x，y都為正數(shù)時(shí)，下面的命題成立(1)若x＋y＝s(和為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，積xy取得最大值eq\f(s2，4);(2）若xy＝p(積為定值），則當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，和x＋y取得最小值2eq\r(p）.思考：（1)函數(shù)y＝x＋eq\f（1，x)的最小值是2嗎？［提示］不是，只有當(dāng)x＞0時(shí),才有x＋eq\f(1,x）≥2,當(dāng)x＜0時(shí)，沒(méi)有最小值．(2）設(shè)a＞0,2a＋eq\f（3，a）取得最小值時(shí)，a的值是什么？［提示]2a＋eq\f(3,a）≥2eq\r（2a×\f(3，a)）＝2eq\r(6)，當(dāng)且僅當(dāng)2a＝eq\f(3，a)，即a＝eq\f（\r（6），2）時(shí),取得最小值．1．下列函數(shù)中，最小值為4的函數(shù)是(）A．y＝x＋eq\f（4，x） B．y＝sinx＋eq\f（4，sinx）(0＜x＜π）C．y＝ex＋4e－x D．y＝log3x＋logx81C［A中x＝－1時(shí),y＝－5＜4,B中y＝4時(shí),sinx＝2,D中x與1的關(guān)系不確定，選C．]2．當(dāng)x＞0時(shí)，x＋eq\f（9，x)的最小值為________．6[因?yàn)閤＞0,所以x＋eq\f(9，x）≥2eq\r（x×\f(9，x)）＝6,當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f（9，x），即x＝3時(shí)等號(hào)成立．]3．當(dāng)x∈（0，1)時(shí)，x（1－x)的最大值為________．eq\f(1,4）[因?yàn)閤∈(0，1）,所以1－x＞0，故x(1－x）≤eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（x＋1－x，2)））2＝eq\f（1，4)，當(dāng)x＝1－x，即x＝eq\f(1,2）時(shí)等號(hào)成立．］4．若點(diǎn)A（－2，－1)在直線mx＋ny＋1＝0上，其中mn>0,則eq\f（1,m）＋eq\f（2，n)的最小值為________．8［由已知點(diǎn)A在直線mx＋ny＋1＝0上所以2m＋n＝1，所以eq\f(1,m)＋eq\f（2，n）＝eq\f(2m＋n,m)＋eq\f（22m＋n，n）＝4＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（n,m）＋\f(4m,n)））≥8.]利用基本不等式求最值【例1】（1)已知x〉2,則y＝x＋eq\f(4,x－2)的最小值為________．（2)若0<x<eq\f（1,2),則函數(shù)y＝eq\f（1，2）x（1－2x)的最大值是________．(1）6(2)eq\f（1，16)［（1)因?yàn)閤〉2,所以x－2>0,所以y＝x＋eq\f（4，x－2)＝x－2＋eq\f(4,x－2）＋2≥2eq\r（x－2·\f（4,x－2）)＋2＝6，當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝eq\f（4,x－2），即x＝4時(shí)，等號(hào)成立．所以y＝x＋eq\f(4,x－2）的最小值為6.(2)因?yàn)?〈x〈eq\f（1，2），所以1－2x>0，所以y＝eq\f(1,2)x·（1－2x）＝eq\f（1,4)×2x×（1－2x）≤eq\f（1,4)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(2x＋1－2x，2))）2＝eq\f(1,4）×eq\f(1,4)＝eq\f（1,16），當(dāng)且僅當(dāng)2x＝1－2x,即當(dāng)x＝eq\f（1，4）時(shí)，ymax＝eq\f（1,16）。]在利用基本不等式求最值時(shí)要注意三點(diǎn):一是各項(xiàng)均為正;二是尋求定值,求和式最小值時(shí)應(yīng)使積為定值,求積式最大值時(shí)應(yīng)使和為定值(恰當(dāng)變形,合理拆分項(xiàng)或配湊因式是常用的解題技巧）;三是考慮等號(hào)成立的條件．1．(1)已知t〉0，則函數(shù)y＝eq\f(t2－4t＋1,t）的最小值為________．（2）設(shè)0<x≤2,則函數(shù)?(x）＝eq\r（x8－2x)的最大值為________．（1)－2(2）2eq\r(2)［（1）依題意得y＝t＋eq\f(1，t）－4≥2eq\r(t·\f(1,t)）－4＝－2，等號(hào)成立時(shí)t＝1，即函數(shù)y＝eq\f（t2－4t＋1,t）（t>0）的最小值是－2.(2)因?yàn)?<x≤2，所以0<2x≤4，8－2x≥4〉0，故?（x）＝eq\r(x8－2x）＝eq\r(\f(1,2）·2x·8－2x）＝eq\r（\f(1，2)）·eq\r(2x·8－2x）≤eq\r(\f(1，2)）×eq\f（8，2)＝2eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝8－2x，即x＝2時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)x＝2時(shí)，?(x）＝eq\r（x8－2x）的最大值為2eq\r(2）.］利用基本不等式解實(shí)際應(yīng)用題【例2】如圖,要設(shè)計(jì)一張矩形廣告牌,該廣告牌含有大小相等的左右兩個(gè)矩形欄目(如圖中陰影部分)，這兩欄的面積之和為18000cm2，四周空白的寬度為10cm,兩欄之間的中縫空白的寬度為5cm.怎樣確定廣告牌的高與寬的尺寸(單位：cm),能使矩形廣告牌面積最??？［解]法一：設(shè)矩形廣告牌的高為xcm，寬為ycm，則每欄的高和寬分別為（x－20）cm,eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（y－25，2）))cm，其中x>20，y>25,則兩欄面積之和為2（x－20)×eq\f(y－25，2)＝18000,由此得y＝eq\f(18000,x－20)＋25，所以廣告牌的面積S＝xy＝xeq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（18000,x－20)＋25)）＝eq\f（18000x,x－20）＋25x，整理得S＝eq\f（360000,x－20）＋25(x－20)＋18500.因?yàn)閤－20〉0，所以S≥2eq\r(\f(360000，x－20）×25x－20）＋18500＝24500。當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(360000，x－20)＝25(x－20)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)有(x－20)2＝14400，解得x＝140，代入y＝eq\f(18000，x－20）＋25，得y＝175。即當(dāng)x＝140,y＝175時(shí)，S取得最小值24500.故當(dāng)廣告牌的高為140cm，寬為175cm時(shí),可使矩形廣告牌的面積最?。ǘ涸O(shè)矩形欄目的高為acm，寬為bcm,則ab＝9000,其中a>0，b>0。易知廣告牌的高為(a＋20）cm，寬為（2b＋25)cm.廣告牌的面積S＝（a＋20)（2b＋25)＝2ab＋40b＋25a＋500＝18500＋25a＋40b≥18500＋2eq\r(25a·40b）＝24500，當(dāng)且僅當(dāng)25a＝40b時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)b＝eq\f（5,8)a,代入ab＝9000得a＝120,b＝75。即當(dāng)a＝120，b＝75時(shí),S取得最小值24500。故當(dāng)廣告牌的高為140cm，寬為175cm時(shí)，可使矩形廣告牌的面積最?。趹?yīng)用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要注意以下四點(diǎn)：（1)先理解題意，設(shè)變量時(shí)一般把要求最值的變量定為函數(shù);(2）建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問(wèn)題抽象為函數(shù)的最值問(wèn)題；(3）在定義域內(nèi),求出函數(shù)的最值；（4）寫出正確答案．2．（1)某公司購(gòu)買一批機(jī)器投入生產(chǎn)，據(jù)市場(chǎng)分析，每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)y(單位：萬(wàn)元)與機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間x(單位:年）的關(guān)系為y＝－x2＋18x－25(x∈N＋），則當(dāng)每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)________年時(shí),年平均利潤(rùn)最大，最大值是________萬(wàn)元．(2)用一段長(zhǎng)為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？(1)58［每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)x年的年平均利潤(rùn)為eq\f（y,x）＝18－eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(x＋\f（25,x））)，且x〉0，故eq\f（y，x）≤18－2eq\r（25）＝8，當(dāng)且僅當(dāng)x＝5時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)年平均利潤(rùn)最大，最大值為8萬(wàn)元．］(2）[解］設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為xm、寬為ym,則2(x＋y）＝36，x＋y＝18,矩形菜園的面積為xym2。由eq\r(xy)≤eq\f(x＋y,2）＝eq\f（18，2)＝9，可得xy≤81，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)，即x＝y(tǒng)＝9時(shí)，等號(hào)成立．因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為9m時(shí)，菜園的面積最大，最大面積為81m2?；静坏仁降木C合應(yīng)用［探究問(wèn)題]1．(1）當(dāng)x＞0時(shí)，eq\f（x2＋1，x)有最大值,還是最小值?（2)當(dāng)x＞0時(shí)，eq\f（x,x2＋1）有最大值，還是最小值?[提示](1）當(dāng)x＞0時(shí)，eq\f(x2＋1,x）＝x＋eq\f(1，x)≥2eq\r(x×\f(1,x）)＝2,當(dāng)x＝1時(shí)等號(hào)成立,即eq\f(x2＋1，x）有最小值2。（2)當(dāng)x＞0時(shí)，eq\f（x,x2＋1)＝eq\f（1,x＋\f(1，x))，因?yàn)閤＋eq\f（1,x)≥2，所以eq\f（x,x2＋1)≤eq\f(1,2），故eq\f（x，x2＋1)有最大值eq\f（1,2).2．（1)設(shè)a＞0，b＞0，（a＋b)eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f（2，b)））的最小值是什么？（2）設(shè)a＞0，b＞0，且a＋b＝1，eq\f(1,a）＋eq\f(2，b）的最小值是什么?［提示］(1)(a＋b）eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（1,a)＋\f（2,b)))＝3＋eq\f（b，a)＋eq\f（2a，b）≥3＋2eq\r（2），當(dāng)b＝eq\r(2）a時(shí)等號(hào)成立；(2）由于a＋b＝1，所以eq\f（1，a)＋eq\f(2，b）＝（a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b）））≥2eq\r（2）＋3，當(dāng)b＝eq\r（2）a，即a＝eq\r(2）－1,b＝2－eq\r（2)時(shí)，eq\f(1，a）＋eq\f(2,b）的最小值為3＋2eq\r(2）.【例3】(1）若對(duì)任意的x＞0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立,求a的取值范圍．(2)設(shè)a＞0，b＞0，若eq\r(3)是3a與3b的等比中項(xiàng)，求eq\f(1,a）＋eq\f(1，b）的最小值．思路探究:（1）在eq\f(x,x2＋3x＋1）中，分子、分母同時(shí)除以x，求得eq\f(x,x2＋3x＋1)的最大值，可得a的范圍．（2)由條件求得a與b的關(guān)系式，可求eq\f（1,a)＋eq\f(1，b)的最小值．[解](1)設(shè)f(x）＝eq\f(x,x2＋3x＋1)＝eq\f(1,x＋\f（1，x)＋3)，∵x＞0，∴x＋eq\f(1，x)≥2，∴f（x）≤eq\f(1，5），即f(x）max＝eq\f（1,5)，∴a≥eq\f（1，5）.(2）由題意得，3a·3b＝(eq\r（3)）2，即a＋b＝1，∴eq\f(1，a）＋eq\f(1，b)＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1，a）＋\f（1,b)））(a＋b）＝2＋eq\f(b，a）＋eq\f(a，b）≥2＋2eq\r（\f（b,a）·\f(a,b）)＝4，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f（b，a)＝eq\f（a，b），即a＝b＝eq\f（1，2)時(shí)，等號(hào)成立．1．（變條件)（1）在例3（2）中，若3是3a與3b的等比中項(xiàng)，求eq\f(1,a)＋eq\f（1，b)的最小值．(2)在例3(2）中，把條件換為“eq\f(2，a)和eq\f(1，b）的等差中項(xiàng)是eq\f(1，2）”，求2a＋b的最小值．[解](1)由3是3a與3b的等比中項(xiàng)，得3a＋b＝32，即a＋b＝2，故eq\f（1,2)（a＋b)＝1，所以eq\f（1，a）＋eq\f(1，b）＝eq\f（1,2）(a＋b)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,a）＋\f（1,b））)＝eq\f(1，2）eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（2＋\f（b,a）＋\f(a，b）)）≥eq\f（1,2）eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋2\r（\f（b,a)×\f(a,b)）））＝2，當(dāng)a＝b＝1時(shí)等號(hào)成立．(2）由于eq\f（2,a)和eq\f（1，b)的等差中項(xiàng)是eq\f（1，2)，則eq\f(2，a)＋eq\f（1,b)＝1，故2a＋b＝(2a＋b)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（2,a）＋\f(1,b）))＝5＋eq\f（2b,a)＋eq\f(2a,b）≥5＋2eq\r（\f(2b,a)×\f（2a,b）)＝9.當(dāng)a＝b＝3時(shí)等號(hào)成立．2．（變條件）把例3(2）的條件換為“a＞0,b＞0，且a＋b＋ab＝1”，求a＋b的最小值．［解]a＋b＋ab＝1，得b＝eq\f（1－a,a＋1）＞0，故0＜a＜1，故a＋b＝a＋eq\f（1－a,a＋1)＝a＋eq\f（－1－a＋2,a＋1）＝a＋eq\f（2,a＋1)－1＝a＋1＋eq\f(2,a＋1）－2≥2eq\r（a＋1×\f（2，a＋1)）－2＝2eq\r（2）－2，當(dāng)a＋1＝eq\f(2，a＋1)，即a＝eq\r（2)－1時(shí)等號(hào)成立．最值法解答恒成立問(wèn)題將不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問(wèn)題的處理方法,其一般類型有：（1）f（x）＞a恒成立?a＜f（x）min。（2)f（x)＜a恒成立?a＞f（x）max.1．利用基本不等式求最值必須滿足“一正、二定、三相等”三個(gè)條件,并且和為定值，積有最大值;積為定值，和有最小值．2．使用基本不等式求最值時(shí),若等號(hào)取不到，則考慮用函數(shù)單調(diào)性求解．3．解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題,關(guān)鍵在于弄清問(wèn)題的各種數(shù)量關(guān)系，抽象出數(shù)學(xué)模型，利用基本不等式解應(yīng)用題，既要注意條件是否具備，還要注意有關(guān)量的實(shí)際含義．1．判斷正誤(正確的打“√",錯(cuò)誤的打“×”)(1）兩個(gè)正數(shù)的積為定值,它們的和一定能在兩個(gè)數(shù)相等時(shí)取得最小值．(）（2）函數(shù)y＝sinx＋eq\f(1,sinx)的最小值為2。()（3)函數(shù)y＝eq\r(x2＋4)＋eq\f(1,\r(x2＋4))的最小值為2。（)［答案](1)×(2)×(3)×[提示］(1）錯(cuò)誤，這兩個(gè)數(shù)可能不相等，如當(dāng)x∈(0，π)時(shí),sinx與eq\f(4，sinx)的積為定值，但sinx≠eq\f（4,sinx)；(2)錯(cuò)誤，sinx＜0時(shí)，函數(shù)不存在最小值．