2020高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明 反證法課后鞏固提升 2-2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE7-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3反證法［A組基礎(chǔ)鞏固]1．命題“關(guān)于x的方程ax＝b（a≠0）的解是唯一的”的結(jié)論的否定是（)A．無解 B．兩解C．至少兩解 D．無解或至少兩解解析：解是唯一的否定應(yīng)為“無解或至少兩解”．答案:D2．有下列敘述：①“a>b”的反面是“a<b";②“x＝y(tǒng)"的反面是“x>y或x〈y"；③“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形內(nèi)”;④“三角形的內(nèi)角中最多有一個鈍角”的反面是“三角形的內(nèi)角沒有鈍角”．其中正確的敘述有()A．0個 B．1個C．2個 D．3個解析：①錯，應(yīng)為a≤b；②對;③錯，應(yīng)為“三角形的外心在三角形內(nèi)或三角形的邊上”；④錯,應(yīng)為三角形的內(nèi)角中有2個或2個以上的鈍角．答案：B3．用反證法證明命題“若整系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0）有有理數(shù)根,那么a，b，c中至少有一個是偶數(shù)”時，下列假設(shè)正確的是（）A．假設(shè)a，b,c都是偶數(shù)B．假設(shè)a，b,c都不是偶數(shù)C．假設(shè)a，b，c至多有一個是偶數(shù)D．假設(shè)a，b，c至多有兩個是偶數(shù)解析：對“至少有一個”的否定應(yīng)為“一個也沒有”，故選B。答案：B4．若a，b，c是不全相等的正數(shù),給出下列判斷:①(a－b）2＋(b－c）2＋(c－a)2≠0；②a＞b與a＜b及a＝b中至少有一個成立；③a≠c，b≠c，a≠b不能同時成立．其中判斷正確的個數(shù)是（）A．0 B．1C．2 D．3解析：因為a，b，c不全相等,所以①正確；②顯然正確，③中的a≠c，b≠c，a≠b可以同時成立，所以③錯，故選C。答案：C5．已知x＞0，y＞0，z＞0,a＝x＋eq\f（1,y）,b＝y(tǒng)＋eq\f(1,z)，c＝z＋eq\f(1，x），則a，b,c三個數(shù)(）A．至少有一個不大于2B．都小于2C．至少有一個不小于2D．都大于2解析:假設(shè)a，b，c都小于2，則a＋b＋c＜6.而事實上a＋b＋c＝x＋eq\f（1，x)＋y＋eq\f(1,y)＋z＋eq\f（1，z）≥2＋2＋2＝6，與假設(shè)矛盾，所以a，b，c中至少有一個不小于2。答案:C6．用反證法證明命題“若a2＋b2＝0,則a，b全為0（a，b為實數(shù))"，其反設(shè)為________．解析：“a，b全為0”即是“a＝0且b＝0”，因此它的反設(shè)為“a≠0或b≠0”，即a,b不全為0。答案：a，b不全為07．用反證法證明命題“若p1p2＝2(q1＋q2），則關(guān)于x的方程x2＋p1x＋q1＝0與x2＋p2x＋q2＝0中，至少有一個方程有實數(shù)根”時，應(yīng)假設(shè)為________________．答案:兩個方程都沒有實數(shù)根8．用反證法證明命題“若x2－(a＋b）x＋ab≠0，則x≠a且x≠b”時，應(yīng)假設(shè)為________________．解析：對“且"的否定應(yīng)為“或”,所以“x≠a且x≠b"的否定應(yīng)為“x＝a或x＝b”．答案：x＝a或x＝b9．求證：一個三角形中至少有一個內(nèi)角不小于60°.解析：已知：∠A、∠B、∠C為△ABC的三個內(nèi)角．求證：∠A、∠B、∠C中至少有一個不小于60°.證明：假設(shè)△ABC的三個內(nèi)角∠A、∠B、∠C都小于60°，即∠A〈60，∠B〈60°,∠C〈60°,三式相加得∠A＋∠B＋∠C〈180°.這與三角形內(nèi)角和定理矛盾,∴∠A、∠B、∠C都小于60°的假設(shè)不能成立．∴一個三角形中，至少有一個內(nèi)角不小于60°。10．求證:拋物線上任取四點所組成的四邊形不可能是平行四邊形．證明：如圖，設(shè)拋物線方程為y2＝ax(a〉0）,設(shè)A(x1，y1),B（x2，y2），C(x3，y3)，D(x4，y4)是拋物線上不同的四點,則有yeq\o\al(2，i)＝axi，xi＝eq\f（y\o\al（2,i）,a）(i＝1,2，3，4），于是kAB＝eq\f（y2－y1,x2－x1）＝eq\f(y2－y1,\f（y\o\al（2,2),a）－\f(y\o\al（2，1),a)）＝eq\f（a，y2＋y1)，同理kBC＝eq\f（a，y3＋y2)，kCD＝eq\f（a，y4＋y3），kDA＝eq\f（a,y1＋y4）.假設(shè)四邊形ABCD是平行四邊形，則kAB＝kCD，kBC＝kDA，從而得y1＝y(tǒng)3，y2＝y(tǒng)4，進(jìn)而得x1＝x3，x2＝x4，于是點A，C重合,點B，D重合,這與假設(shè)A，B，C，D是拋物線上不同的四點相矛盾．故四邊形ABCD不可能是平行四邊形．［B組能力提升]1．在數(shù)列11,111，1111，…中（）A．有完全平方數(shù) B．沒有完全平方數(shù)C．有偶數(shù) D．沒有3的倍數(shù)解析：顯然沒有偶數(shù),有3的倍數(shù)，故C、D錯誤,假設(shè)有完全平方數(shù)，它必為奇數(shù)的平方，設(shè)11…1m個1＝(2n＋1）2(m，n為正整數(shù)）,則11…10（m－1）個1＝4n（n＋1），兩邊同除以2得，55…5（m－1)個5＝2n(n＋1)，此式左端為奇數(shù),右端為偶數(shù)，矛盾．答案：B2．如果兩個數(shù)之和為正數(shù),則這兩數(shù)________．解析：假設(shè)兩個都為負(fù)數(shù),則這兩個數(shù)之和為負(fù)數(shù)與題設(shè)矛盾．兩個數(shù)均為正數(shù)明顯符合題意，若一正一負(fù)，且正數(shù)的絕對值大于負(fù)數(shù)的絕對值，也符合題意．答案：至少有一個是正數(shù)3．如果△A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值分別等于△A2B2C2的三個內(nèi)角的正弦值,則△A1B1C1為________三角形,△A2B解析：由已知△A1B1C1的三個內(nèi)角的余弦值均大于0，則△A1B1C1為銳角三角形,則由題意，知△A2B2C2為銳角三角形或鈍角三角形．假設(shè)△A2B2C2是銳角三角形，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（sinA2＝cosA1＝sin\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（π,2）－A1））,，sinB2＝cosB1＝sin\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(π,2)－B1）），,sinC2＝cosC1＝sin\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(π,2）－C1）），)）得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（A2＝\f（π,2）－A1，,B2＝\f（π,2)－B1,，C2＝\f(π，2）－C1，))所以A2＋B2＋C2＝eq\f（π,2）與A2＋B2＋C2＝π矛盾，所以△A2B2C2是鈍角三角形．答案：銳角鈍角4．a(chǎn)、b∈R，用反證法證明a2＋ab與b2＋ab中至少有一個因式為非負(fù)數(shù)．證明：假設(shè)a2＋ab與b2＋ab都是負(fù)數(shù)，即a2＋ab<0，b2＋ab〈0，則a2＋ab＋b2＋ab<0，即a2＋2ab＋b2<0，也就是（a＋b）2<0，這與（a＋b)2≥0矛盾．所以假設(shè)錯誤，原結(jié)論正確．5．已知函數(shù)f（x)在區(qū)間［1，＋∞)上是增函數(shù)，設(shè)當(dāng)x0≥1，f（x0)≥1時，有f［f(x0)］＝x0,求證:f（x0）＝x0.證明:假設(shè)f（x0）≠x0,則必有f(x0）〉x0或f(x0)〈x0。若f(x0）〉x0≥1,由f（x）在［