2020高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.2.2 三角函數(shù)線練習(xí)（含解析）4

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE15-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第4課時三角函數(shù)線對應(yīng)學(xué)生用書P7知識點一三角函數(shù)線的定義1．對于三角函數(shù)線,下列說法正確的是()A．對任何角都能作出正弦線、余弦線和正切線B．有的角的正弦線、余弦線和正切線都不存在C．任何角的正弦線、正切線總是存在，但余弦線不一定存在D．任何角的正弦線、余弦線總是存在,但是正切線不一定存在答案D解析當(dāng)角的終邊落在y軸上時，正切線不存在,但對任意角來說，正弦線、余弦線都存在．2．若角α的余弦線是單位長度的有向線段，那么角α的終邊在()A．y軸上B．x軸上C．直線y＝x上D．直線y＝－x上答案B解析由題意得｜cosα｜＝1,即cosα＝±1，角α終邊在x軸上,故選B．知識點二比較大小3．sin1，cos1，tan1的大小關(guān)系為（)A．sin1>cos1>tan1B．sin1>tan1〉cos1C．tan1>sin1>cos1D．tan1〉cos1>sin1答案C解析設(shè)1rad角的終邊與單位圓的交點為P（x，y)，∵eq\f(π,4）<1〈eq\f(π，2)，∴0〈x<y<1，從而cos1<sin1〈1<tan1．4．設(shè)a＝sin（－1）,b＝cos(－1），c＝tan（－1)，則有（)A．a(chǎn)〈b〈cB．b〈a<cC．c〈a<bD．a(chǎn)<c<b答案C解析作α＝－1的正弦線、余弦線、正切線，可知：b＝OM>0,a＝MP<0,c＝AT〈0，且MP>AT．∴c<a〈b．5．若α為第二象限角，則下列各式恒小于零的是(）A．sinα＋cosαB．tanα＋sinαC．cosα－tanαD．sinα－tanα答案B解析如圖，作出sinα，cosα，tanα的三角函數(shù)線．顯然△OPM∽△OTA，且|MP|<|AT|．∵M(jìn)P>0,AT〈0，∴MP<－AT．∴MP＋AT〈0，即sinα＋tanα〈0．6．已知MP，OM,AT分別是75°角的正弦線、余弦線、正切線,則這三條線從小到大的排列順序是________．答案OM<MP〈AT解析如圖，在單位圓中,∠POA＝75°〉45°，由圖可以看出OM<MP<AT．7．利用三角函數(shù)線比較下列各組數(shù)的大?。?1）taneq\f（4π，3)與taneq\f(7π,6）；（2)coseq\f（11π，6）與coseq\f（5π，3)．解（1）如圖1所示，設(shè)點A為單位圓與x軸正半軸的交點，角eq\f（4π,3）和角eq\f(7π，6）的終邊與單位圓的交點分別為P，P′,PO，P′O的延長線與單位圓的過點A的切線的交點分別為T，T′,則taneq\f(4π,3)＝AT，taneq\f（7π，6)＝AT′．由圖可知AT〉A(chǔ)T′>0，所以taneq\f(4π,3)〉taneq\f(7π,6）．（2)如圖2所示，設(shè)角eq\f(5π，3）和角eq\f(11π,6)的終邊與單位圓的交點分別為P，P′，過P，P′分別作x軸的垂線，分別交x軸于點M，M′，則coseq\f(11π，6）＝OM′，coseq\f（5π,3)＝OM．由圖可知0<OM<OM′，所以coseq\f（5π，3）〈coseq\f（11π,6)．知識點三解三角不等式8．若0≤θ〈2π，則使tanθ≤1成立的角θ的取值范圍是________．答案0，eq\f（π，4）∪eq\f(π，2),eq\f(5π,4)∪eq\f（3π,2），2π解析由0≤θ<2π且tanθ≤1，利用三角函數(shù)線可得θ的取值范圍是0，eq\f(π,4）∪eq\f(π，2）,eq\f(5π,4)∪eq\f(3π,2），2π．9．在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊的范圍，并由此寫出角α的集合．(1）sinα≥eq\f(\r（3)，2）；(2）cosα≤－eq\f（1,2）；(3)tanα≥－1．解（1)作直線y＝eq\f(\r（3），2)交單位圓于A，B兩點,連接OA，OB，則OA與OB圍成的區(qū)域即為角α的終邊的范圍，故滿足條件的角α的集合為α2kπ＋eq\f(π，3)≤α≤2kπ＋eq\f(2π，3），k∈Z．（2）作直線x＝－eq\f(1,2）交單位圓于C，D兩點,連接OC,OD,則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分）即為角α終邊的范圍．故滿足條件的角α的集合為eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1（α\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f（2π,3）≤α≤2k＋\f(4π,3），k∈Z））)）．（3)在單位圓過點A（1，0)的切線上取AT＝－1，連接OT，OT所在直線與單位圓交于P1,P2兩點,則圖中陰影部分即為角α終邊的范圍，所以α的取值集合是eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\（\a\vs4\al\co1（－\f(π,4)＋kπ≤α〈\f(π，2)＋kπ，k∈Z）))），如圖．對應(yīng)學(xué)生用書P8一、選擇題1．已知α（0〈α<2π）的正弦線與余弦線的長度相等，且方向相同,那么α的值為（）A．eq\f(5π,4)或eq\f(7π,4)B．eq\f（π,4）或eq\f(3π,4）C．eq\f（π，4)或eq\f（5π,4)D．eq\f（π，4）或eq\f(7π,4)答案C解析因為角α的正弦線與余弦線長度相等，方向相同,所以角α的終邊在第一或第三象限，且角α的終邊是象限的角平分線,又0〈α<2π,所以α＝eq\f(π，4）或eq\f（5π,4),選C．2．若α是三角形的內(nèi)角，且sinα＋cosα＝eq\f（2，3）,則這個三角形是（)A．等邊三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．鈍角三角形答案D解析當(dāng)0〈α≤eq\f（π,2）時，由單位圓中的三角函數(shù)線知，sinα＋cosα≥1，而sinα＋cosα＝eq\f（2,3)，∴α必為鈍角．3．如果π<θ〈eq\f（5π，4),那么下列各式中正確的是（)A．cosθ<tanθ<sinθB．sinθ〈cosθ<tanθC．tanθ〈sinθ<cosθD．cosθ<sinθ<tanθ答案D解析本題主要考查利用三角函數(shù)線比較三角函數(shù)值的大?。捎讦?lt;θ<eq\f（5π，4），如圖所示，正弦線MP、余弦線OM、正切線AT，由此容易得到cosθ<sinθ〈0〈tanθ，故選D．4．若0<α〈2π，且sinα〈eq\f(\r（3)，2），cosα>eq\f(1，2）,則角α的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（π,3），\f(π,3）)）B．eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f（π，3）)）C．eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(5π,3）,2π))D．eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（0，\f（π，3））)∪eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（5π,3)，2π））答案D解析由圖1知當(dāng)sinα〈eq\f(\r(3)，2)時，α∈eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f(π，3))）∪eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（2π,3），2π)）．由圖2知當(dāng)cosα〉eq\f（1，2)時,α∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（0，\f(π,3）））∪eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(5π，3），2π）)，∴α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π，3)）)∪eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（5π，3)，2π)）．5．已知sinα>sinβ，那么下列命題正確的是（)A．若α，β是第一象限的角,則cosα〉cosβB．若α,β是第二象限的角，則tanα〉tanβC．若α，β是第三象限的角，則cosα>cosβD．若α,β是第四象限的角，則tanα>tanβ答案D解析解法一:（特殊值法）取α＝60°，β＝30°，滿足sinα〉sinβ，此時cosα<cosβ，所以A不正確;取α＝120°，β＝150°，滿足sinα>sinβ，這時tanα〈tanβ,所以B不正確；取α＝210°,β＝240°，滿足sinα〉sinβ，這時cosα〈cosβ,所以C不正確．解法二：如圖，P1，P2為單位圓上的兩點，設(shè)P1(x1，y1），P2（x2，y2）,且y1>y2．若α，β是第一象限角，又sinα〉sinβ,則sinα＝y(tǒng)1，sinβ＝y(tǒng)2，cosα＝x1，cosβ＝x2．∵y1>y2，∴α〉β．∴cosα〈cosβ．∴A不正確．若α，β是第二象限角，由圖知P1′（x1′，y1′)，P2′（x2′，y2′)，其中sinα＝y(tǒng)1′，sinβ＝y(tǒng)2′，則tanα－tanβ＝eq\f（y1′,x1′）－eq\f（y2′，x2′）＝eq\f（x2′y1′－x1′y2′,x1′x2′)．而y1′>y2′>0，x2′〈x1′<0，∴－x2′〉－x1′〉0,∴x1′x2′〉0,x2′y1′－x1′y2′〈0，即tanα<tanβ．∴B不正確．同理,C不正確．故選D．二、填空題6．若α是第一象限角,則sin2α，coseq\f(α,2），taneq\f(α，2）中一定為正值的個數(shù)為________．答案2解析由α是第一象限角,得2kπ〈α〈eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，所以kπ<eq\f(α,2)〈eq\f（π,4)＋kπ，k∈Z，所以eq\f(α,2）是第一或第三象限角，則taneq\f(α，2)〉0，coseq\f（α,2）的正負(fù)不確定；4kπ〈2α<π＋4kπ，k∈Z，2α的終邊在x軸上方，則sin2α〉0．故一定為正值的個數(shù)為2．7．若0≤θ<2π,且不等式cosθ<sinθ和tanθ<sinθ成立，則角θ的取值范圍是________．答案eq\f(π,2)，π解析由三角函數(shù)線知，在[0，2π）內(nèi)使cosθ〈sinθ的角θ∈eq\f(π，4），eq\f（5π,4），使tanθ<sinθ的角θ∈eq\f（π,2），π∪eq\f（3π，2）,2π，故θ的取值范圍是eq\f(π,2），π．8．若函數(shù)f(x）的定義域是(－1，0），則函數(shù)f(sinx）的定義域是________．答案－π＋2kπ，－eq\f（π，2)＋2kπ∪－eq\f（π,2）＋2kπ，2kπ(k∈Z)解析f（x)的定義域為(－1，0），則f（sinx)若有意義，需－1〈sinx<0，利用三角函數(shù)線可知－π＋2kπ<x〈2kπ，且x≠－eq\f（π，2）＋2kπ(k∈Z)．三、解答題9．比較下列各組數(shù)的大?。海?）sin1和sineq\f(π，3）；（2）coseq\f(4π,7)和coseq\f(5π,7);（3）taneq\f（9π,8)和taneq\f（9π，7)；（4)sineq\f(π,5）和taneq\f（π,5)．解(1)sin1〈sineq\f(π,3)．如圖1所示,sin1＝MP〈M′P′＝sineq\f（π,3）．（2）coseq\f（4π，7)>coseq\f(5π,7)．如圖2所示,coseq\f（4π,7)＝OM〉OM′＝coseq\f（5π,7)．(3)taneq\f（9π，8）<taneq\f（9π,7)．如圖3所示，taneq\f(9π,8）＝AT<AT′＝taneq\f(9π,7）．(4）sineq\f（π，5)<taneq\f(π,5)．如圖4所示，sineq\f（π,5)＝MP〈AT＝taneq\f(π,5)．10．設(shè)θ是第二象限角,試比較sineq\f(θ,2)，coseq\f（θ,2）,taneq\f(θ，2）的大?。狻擀仁堑诙笙藿?∴2kπ＋eq