2020高中數學 第一章 立體幾何初步 4.2.2 空間圖形的公理（二）學案 2

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE14學必求其心得，業(yè)必貴于專精4.2空間圖形的公理(二)［學習目標]1.掌握公理4及等角定理．2。掌握異面直線所成角的概念及異面直線垂直的概念，能求出一些較特殊的異面直線所成的角?！局鞲勺蕴睢?．公理4（1）文字表述：eq\o（□,\s\up3(01)）平行于同一直線的兩條直線互相平行．(2)符號表述：eq\o（□,\s\up3(02））a∥b且b∥c?a∥c.（3）含義:揭示了空間平行線的eq\o（□,\s\up3（03））傳遞性．2．等角定理（1）研究對象：在空間中的兩個角．(2)條件：兩邊分別eq\o（□,\s\up3(04)）對應平行．（3）結論：這兩個角eq\o(□，\s\up3(05））相等或互補．3．異面直線所成的角【即時小測】1．思考下列問題(1）兩條互相垂直的直線一定相交嗎？提示:不一定．只要兩直線所成的角是90°，這兩直線就垂直，因此，兩直線也可能異面．（2）公理4及等角定理的作用是什么？提示:公理4又叫平行線的傳遞性．作用主要是證明兩條直線平行．等角定理的主要作用是證明空間兩個角相等．2．一條直線與兩條平行線中的一條成為異面直線，則它與另一條（）A．相交 B．異面C．相交或異面 D．平行提示：C如圖所示的長方體ABCD－A1B1C1D1中,直線AA1與直線B1C1是異面直線，與B1C1平行的直線有A1D1，AD，BC，顯然直線AA1與A1D1，AD相交，3．空間中有兩個角α，β，且角α,β的兩邊分別平行．若α＝60°，則β＝________.提示：60°或120°因為α與β兩邊對應平行，但方向不確定,所以α與β相等或互補．例1如圖,已知E，F(xiàn),G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB,BC，CD，DA的中點．（1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形；（2）若四邊形EFGH是矩形,求證：AC⊥BD。[證明］（1)如題圖,在△ABD中，∵EH是△ABD的中位線，∴EH∥BD，EH＝eq\f(1,2）BD.又FG是△CBD的中位線，∴FG∥BD，F(xiàn)G＝eq\f（1，2）BD，∴FG∥EH，∴E，F(xiàn)，G，H四點共面，又FG＝EH，∴四邊形EFGH是平行四邊形．（2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.又∵四邊形EFGH是矩形,∴EH⊥GH，∴AC⊥BD。類題通法空間中證明兩直線平行的方法(1）借助平面幾何知識證明，如三角形中位線性質、平行四邊形的性質、用成比例線段證平行等．(2）利用公理4證明，即證明兩直線都與第三條直線平行．eq\a\vs4\al（[變式訓練1])已知棱長為a的正方體ABCD－A′B′C′D′中，M，N分別為CD，AD的中點．求證：四邊形MNA′C′是梯形．證明連接AC?！進,N為CD，AD的中點,∴MN綊eq\f（1,2)AC。由正方體性質可知AC綊A′C′,∴MN綊eq\f（1,2)A′C′?！嗨倪呅蜯NA′C′是梯形.例2如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中,E，F(xiàn)，E1，F(xiàn)1分別是棱AB，AD，B1C1,C1D1的中點．求證:∠EA1F＝∠F1[證明］如圖，取A1B1的中點M,連接F1M,BM，則MF1綊B1C1，又B1C1綊BC，所以MF1所以四邊形BMF1C為平行四邊形,所以BM∥CF1因為A1M＝eq\f（1,2）A1B1,BE＝eq\f(1,2)AB，且A1B1綊AB，所以A1M綊BE，所以四邊形BMA1E為平行四邊形所以BM∥A1E,所以A1E∥CF1.同理可證A1F∥CE1因為∠EA1F的兩邊與∠F1CE1的兩邊分別對應平行，且方向都相反,所以∠EA1F＝∠F1CE類題通法求證兩角相等的兩種方法（1）應用等角定理,在證明的過程中常用到公理4，注意兩角對應邊方向的討論．(2)應用三角形全等或相似．eq\a\vs4\al([變式訓練2]）長方體ABCD－A1B1C1D1中，E,F分別為棱AA1，CC1的中點．求證：(1)D1E∥BF；（2)∠B1BF＝∠D1EA1。證明（1)取BB1的中點M，連接EM，C1M在矩形ABB1A1中易得EM綊A1B1,∵A1B1綊C1D1，∴EM綊C1D1，∴四邊形EMC1D1為平行四邊形，∴D1E∥C1M在矩形BCC1B1中,易得MB綊C1F∴BF∥C1M，∴D1E∥BF(2）∵ED1∥BF，BB1∥EA1,又∠B1BF與∠D1EA1的對應邊方向相同，∴∠B1BF＝∠D1EA1。例3如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是A1B1、B1C1的中點，求異面直線DB1與［解]解法一:如圖所示，連接A1C1，B1D1,并設它們相交于點O，取DD1的中點G，連接OG，A1G,C則OG∥B1D，EF∥A1C1∴∠GOA1為異面直線DB1與EF所成的角或其補角．∵GA1＝GC1，O為A1C1的中點，∴GO⊥A1C∴異面直線DB1與EF所成的角為90°。解法二：如圖所示，連接A1D,取A1D的中點H，連接HE，則HE綊eq\f（1，2)DB1。于是∠HEF為所求異面直線DB1與EF所成的角或其補角．連接HF，設AA1＝1,則EF＝eq\f(\r(2),2），HE＝eq\f(\r(3），2)，取A1D1的中點I，連接HI，IF,則HI⊥IF?！郒F2＝HI2＋IF2＝eq\f(5,4).又∵EF2＋HE2＝eq\f（5，4），∴HF2＝EF2＋HE2.∴∠HEF＝90°.∴異面直線DB1與EF所成的角為90°.類題通法求兩條異面直線所成的角的一般步驟（1)構造：根據異面直線的定義,用平移法（常用三角形中位線、平行四邊形性質)作出異面直線所成的角或其補角．（2)證明：證明作出的角就是要求的角或其補角．(3）計算:求角度,常利用三角形．（4）結論：若求出的角是銳角或直角，則它就是所求異面直線所成的角;若求出的角是鈍角，則它的補角就是所求異面直線所成的角．eq\a\vs4\al([變式訓練3］)如圖所示，空間四邊形ABCD中，AB＝CD,AB⊥CD，E、F分別為BC、AD的中點，求EF和AB所成的角．解如圖所示，取BD的中點G，連接EG、FG?！逧、F分別為BC、AD的中點，∴EG綊eq\f(1，2)CD，GF綊eq\f(1，2）AB，∴∠GFE或其補角就是異面直線EF與AB所成的角．∵AB⊥CD，∴EG⊥GF，∴∠EGF＝90°。∵AB＝CD,∴EG＝GF,∴△EFG為等腰直角三角形．∴∠GFE＝45°,即異面直線EF與AB所成的角為45°.易錯點?不能從空間考慮圖形致誤[典例]在空間中有三條線段AB、BC和CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直線AB與CD的位置關系是（）A．AB∥CDB．AB與CD是異面直線C．AB與CD相交D．AB∥CD或AB與CD異面或AB與CD相交［錯解］如圖,∠ABC＝∠BCD，∴AB∥CD。故選A。[錯因分析]錯解的原因在于，認為線段AB，BC，CD在同一個平面內，考慮問題不全面．［正解]D構造圖形：（1)在同一個平面內∠ABC＝∠BCD（如圖（1））;(2)在同一個平面內∠ABC＝∠BCD（如圖(2)）；（3)將圖(2）中直線CD繞著BC旋轉，使∠ABC＝∠BCD.由（1）知AB∥CD，由（2)知AB與CD相交，由（3）知AB與CD是異面直線．課堂小結1。平行公理又稱平行線的傳遞性,它表明空間中平行于同一條直線的所有直線都互相平行．它給出了判斷空間兩條直線平行的依據，其主導思想是利用第三條直線作為聯(lián)系兩條直線的中間環(huán)節(jié).2。要正確運用等角定理，必須抓住“角的兩邊分別平行”這個條件.1．空間四邊形的兩條對角線長度相等，順次連接四條邊的中點得到的四邊形是()A．梯形B．平行四邊形C．菱形D．矩形答案C解析因為空間四邊形的兩條對角線長度相等，所以根據三角形中位線的性質可知，得到的四邊形的四條邊相等且對邊互相平行，故選C.2．設P是直線l外一定點，過點P且與l成30°角的異面直線（)A．有無數條 B．有兩條C．至多有兩條 D．有一條答案A解析我們現(xiàn)在研究的平臺是錐空間．如圖所示，過點P作直線l′∥l,以l′為軸，與l′成30°角的圓錐面的所有母線都與l成30°角．滿足條件的直線有無數條,故選A。3．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中,E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1的中點，則異面直線EF與B1D1答案60°解析連接BC1，BD，DC1,因為EF∥BC1，B1D1∥BD,所以∠C1BD即為異面直線EF與B1D1所成的角或其補角．因為△C1BD為正三角形，所以∠C1BD＝60°，即異面直線EF與B1D1所成的角為60°.4．在正方體ABCD－A