2022年高考全國(guó)乙卷文科數(shù)學(xué)試卷及答案

年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)乙卷）文科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)框涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)框?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．集合，則（）A．B．C．D．2．設(shè)，其中為實(shí)數(shù)，則（）A．B．C．D．3．已知向量，則（）A．2B．3C．4D．54．分別統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩位同學(xué)16周的各周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)（單位：h），得如下莖葉圖：則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A．甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本中位數(shù)為7.4B．乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本平均數(shù)大于8C．甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于8的概率的估計(jì)值大于0.4D．乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于8的概率的估計(jì)值大于0.65．若x，y滿足約束條件則的最大值是（）A．B．4C．8D．126．設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)，若，則（）A．2B．C．3D．7．執(zhí)行右邊的程序框圖，輸出的（）A．3B．4C．5D．68．右圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間的大致圖像，則該函數(shù)是（）A．B．C．D．9．在正方體中，分別為的中點(diǎn)，則（）A．平面平面B．平面平面C．平面平面D．平面平面10．已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則（）A．14B．12C．6D．311．函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（）A．B．C．D．12．已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）A．B．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則公差_______．14．從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為_(kāi)_______．15．過(guò)四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為_(kāi)_____．16．若是奇函數(shù)，則_____，______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c﹐已知．（1）若，求C；（2）證明：.18．（12分）如圖，四面體中，，E為AC的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面ACD；（2）設(shè)，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求三棱錐的體積．19．（12分）某地經(jīng)過(guò)多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計(jì)一林區(qū)某種樹(shù)木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹(shù)木，測(cè)量每棵樹(shù)的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：樣本號(hào)i12345678910總和根部橫截面積0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計(jì)算得，，．（1）估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；（2）求該林區(qū)這種樹(shù)木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；（3）現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹(shù)木的根部橫截面積，并得到所有這種樹(shù)木的根部橫截面積總和為．已知樹(shù)木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量的估計(jì)值．附：相關(guān)系數(shù)，．20．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值；（2）若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．21．（12分）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過(guò)兩點(diǎn)．（1）求E的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過(guò)M且平行于x軸的直線與線段交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中選定一題作答，并用2B鉛筆在答題卡上將所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)方框涂黑。按所涂題號(hào)進(jìn)行評(píng)分，不涂、多涂均按所答第一題評(píng)分；多答按所答第一題評(píng)分。22．[選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線l的極坐標(biāo)方程為．（1）寫(xiě)出l的直角坐標(biāo)方程；（2）若l與C有公共點(diǎn)，求m的取值范圍．23．[選修4—5：不等式選講]（10分）已知a，b，c都是正數(shù)，且，證明：（1）；（2）．2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)框涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)框，回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可解出．【詳解】因?yàn)?，，所以．故選：A.2.設(shè)，其中為實(shí)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則以及復(fù)數(shù)相等的概念即可解出．【詳解】因?yàn)镽，，所以，解得：．故選：A.3.已知向量，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】先求得，然后求得.【詳解】因?yàn)椋?故選：D4.分別統(tǒng)計(jì)了甲、乙兩位同學(xué)16周的各周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)（單位：h），得如下莖葉圖：則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本中位數(shù)為7.4B.乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本平均數(shù)大于8C.甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于8的概率的估計(jì)值大于0.4D.乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于8的概率的估計(jì)值大于0.6【答案】C【解析】【分析】結(jié)合莖葉圖、中位數(shù)、平均數(shù)、古典概型等知識(shí)確定正確答案.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本中位數(shù)為，A選項(xiàng)結(jié)論正確.對(duì)于B選項(xiàng)，乙同學(xué)課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)的樣本平均數(shù)為：，B選項(xiàng)結(jié)論正確.對(duì)于C選項(xiàng)，甲同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于的概率的估計(jì)值，C選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤.對(duì)于D選項(xiàng)，乙同學(xué)周課外體育運(yùn)動(dòng)時(shí)長(zhǎng)大于的概率的估計(jì)值，D選項(xiàng)結(jié)論正確.故選：C5.若x，y滿足約束條件則的最大值是（）A. B.4 C.8 D.12【答案】C【解析】【分析】作出可行域，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】由題意作出可行域，如圖陰影部分所示，轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為，上下平移直線，可得當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線截距最小，z最大，所以.故選：C.6.設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)，若，則（）A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離相等，從而求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到答案.【詳解】由題意得，，則，即點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，代入得，，所以.故選：B7.執(zhí)行下邊的程序框圖，輸出的（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)框圖循環(huán)計(jì)算即可.【詳解】執(zhí)行第一次循環(huán)，，，；執(zhí)行第二次循環(huán)，，，；執(zhí)行第三次循環(huán)，，，，此時(shí)輸出.故選：B8.如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間的大致圖像，則該函數(shù)是（）

A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)圖像的特征結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.【詳解】設(shè)，則，故排除B;設(shè)，當(dāng)時(shí)，，所以，故排除C;設(shè)，則，故排除D.故選：A.9.在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（）A.平面平面 B.平面平面C.平面平面 D.平面平面【答案】A【解析】【分析】證明平面，即可判斷A；如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，分別求出平面，，的法向量，根據(jù)法向量的位置關(guān)系，即可判斷BCD.【詳解】解：在正方體中，且平面，又平面，所以，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，則，，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，同理可得平面的法向量為，平面的法向量為，平面的法向量為，則，所以平面與平面不垂直，故B錯(cuò)誤；因?yàn)榕c不平行，所以平面與平面不平行，故C錯(cuò)誤；因?yàn)榕c不平行，所以平面與平面不平行，故D錯(cuò)誤，故選：A.10.已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則（）A.14 B.12 C.6 D.3【答案】D【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，易得，根據(jù)題意求出首項(xiàng)與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)即可得解.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾，所以，則，解得，所以.故選：D.11.函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出在區(qū)間上的最小值和最大值.【詳解】，所以在區(qū)間和上，即單調(diào)遞增；在區(qū)間上，即單調(diào)遞減，又，，，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.故選：D12.已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先證明當(dāng)四棱錐頂點(diǎn)O到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí)，底面ABCD面積最大值為，進(jìn)而得到四棱錐體積表達(dá)式，再利用均值定理去求四棱錐體積的最大值，從而得到當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)其高的值.【詳解】設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r，設(shè)四邊形ABCD對(duì)角線夾角為，則（當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)等號(hào)成立）即當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí)，底面ABCD面積最大值為又則當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則公差_______．【答案】2【解析】【分析】轉(zhuǎn)化條件為，即可得解.【詳解】由可得，化簡(jiǎn)得，即，解得.故答案為：2.14.從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為_(kāi)___________．【答案】##0.3【解析】【分析】根據(jù)古典概型計(jì)算即可【詳解】從5名同學(xué)中隨機(jī)選3名的方法數(shù)為甲、乙都入選的方法數(shù)為，所以甲、乙都入選的概率故答案為：15.過(guò)四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為_(kāi)___________．【答案】或或或；【解析】【分析】設(shè)圓的方程為，根據(jù)所選點(diǎn)的坐標(biāo)，得到方程組，解得即可；【詳解】解：依題意設(shè)圓的方程為，若過(guò)，，，則，解得，所以圓的方程為，即；若過(guò)，，，則，解得，所以圓的方程為，即；若過(guò)，，，則，解得，所以圓的方程為，即；若過(guò)，，，則，解得，所以圓的方程為，即；故答案為：或或或；16.若是奇函數(shù)，則_____，______．【答案】①.；②.．【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出．【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．由可得，，所以，解得：，即函數(shù)的定義域?yàn)椋儆煽傻?，．即，在定義域內(nèi)滿足，符合題意．故答案為：；．三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c﹐已知．（1）若，求C；（2）證明：【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可解出；（2）由題意利用兩角差的正弦公式展開(kāi)得，再根據(jù)正弦定理，余弦定理化簡(jiǎn)即可證出．【小問(wèn)1詳解】由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．【小問(wèn)2詳解】由可得，，再由正弦定理可得，，然后根據(jù)余弦定理可知，，化簡(jiǎn)得：，故原等式成立．18.如圖，四面體中，，E為AC的中點(diǎn)．

（1）證明：平面平面ACD；（2）設(shè)，點(diǎn)F在BD上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明詳見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）通過(guò)證明平面來(lái)證得平面平面.（2）首先判斷出三角形的面積最小時(shí)點(diǎn)的位置，然后求得到平面的距離，從而求得三棱錐的體積.【小問(wèn)1詳解】由于，是的中點(diǎn)，所以.由于，所以，所以，故，由于，平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.【小問(wèn)2詳解】依題意，，三角形是等邊三角形，所以，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.，所以，由于，平面，所以平面.由于，所以，由于，所以，所以，所以，由于，所以當(dāng)最短時(shí)，三角形的面積最小值.過(guò)作，垂足為，在中，，解得，所以，所以過(guò)作，垂足為，則，所以平面，且，所以,所以.

19.某地經(jīng)過(guò)多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計(jì)一林區(qū)某種樹(shù)木的總材積量，隨機(jī)選取了10棵這種樹(shù)木，測(cè)量每棵樹(shù)的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：樣本號(hào)ｉ12345678910總和根部橫截面積0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材積量0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并計(jì)算得．（1）估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；（2）求該林區(qū)這種樹(shù)木的根部橫截面積與材積量的樣本相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；（3）現(xiàn)測(cè)量了該林區(qū)所有這種樹(shù)木的根部橫截面積，并得到所有這種樹(shù)木的根部橫截面積總和為．已知樹(shù)木的材積量與其根部橫截面積近似成正比．利用以上數(shù)據(jù)給出該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量的估計(jì)值．附：相關(guān)系數(shù)．【答案】（1）；（2）（3）【解析】【分析】（1）計(jì)算出樣本的一棵根部橫截面積的平均值及一棵材積量平均值，即可估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積與平均一棵的材積量；（2）代入題給相關(guān)系數(shù)公式去計(jì)算即可求得樣本的相關(guān)系數(shù)值；（3）依據(jù)樹(shù)木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，列方程即可求得該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量的估計(jì)值．小問(wèn)1詳解】樣本中10棵這種樹(shù)木的根部橫截面積的平均值樣本中10棵這種樹(shù)木的材積量的平均值據(jù)此可估計(jì)該林區(qū)這種樹(shù)木平均一棵的根部橫截面積為，平均一棵的材積量為小問(wèn)2詳解】則【小問(wèn)3詳解】設(shè)該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量的估計(jì)值為，又已知樹(shù)木的材積量與其根部橫截面積近似成正比，可得，解之得．則該林區(qū)這種樹(shù)木的總材積量估計(jì)為20.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的最大值；（2）若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得解；（2）求導(dǎo)得，按照、及結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的極值，即可得解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以；【小問(wèn)2詳解】，則，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；又，當(dāng)x趨近正無(wú)窮大時(shí)，趨近于正無(wú)窮大，所以僅在有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；此時(shí)，又，當(dāng)n趨近正無(wú)窮大時(shí)，趨近負(fù)無(wú)窮，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，在無(wú)零點(diǎn)，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；綜上，a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性，把函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與極值的問(wèn)題.21.已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過(guò)兩點(diǎn)．（1）求E的方程；（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過(guò)M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過(guò)定點(diǎn)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將給定點(diǎn)代入設(shè)出的方程求解即可；（2）設(shè)出直線方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，分情況討論斜率是否存在，即可得解.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)橢圓E的方程為，過(guò)，則，解得，，所以橢圓E的方程為：.【小問(wèn)2詳解】，所以，①若過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在，直線.