2019-2020學(xué)年江蘇省南通市啟東市啟東中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

2019-2020學(xué)年江蘇省南通市啟東市啟東中學(xué)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題_、單選題圓x2+r-2x=0和圓亍+F+4y=0的位置關(guān)系是()A.內(nèi)切B.外切C.相交D.外離答案C把兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，分別找出圓心坐標(biāo)和半徑，求出兩圓心的距離d,然后求出R-r和R+I的值，判斷d與R-r及R+r的大小關(guān)系即可得到兩圓的位置關(guān)系.解：把圓x2+v2-2x=0與圓x2+y2+4y=0分別化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：(x-1)2+y2=l,x2+(y+2)2=4,故圓心坐標(biāo)分別為(1,0)和(0,-2),半徑分別為R=2和r=l,圓心之間的距離d=J(1-0)，+(0+2)，=>/孑,則R+r=3,R-r=l,/.R-r<d<R+r,???兩圓的位置關(guān)系是相交.故選：C.點(diǎn)評(píng)：本題考查兩圓的位置關(guān)系，比較兩圓的圓心距，兩圓的半徑之和，之差的大小是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.“〃7=4”是“加為2與8的等比中項(xiàng)”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案A利用等比中項(xiàng)公式及充分必要條件判斷求解.解：解：???/是兩個(gè)正數(shù)2和8的等比中項(xiàng)，/.m=±5/2x8=±4?故加=4是m=±4的充分不必要條件，即“加="是57為2與8的等比中項(xiàng)”的充分不必要條件，故選A.點(diǎn)評(píng)：本題考查兩個(gè)正數(shù)的等比中項(xiàng)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意兩個(gè)正數(shù)的等比中項(xiàng)有兩個(gè).下列命題中，不正確的是（）A.若a>b,c>dt^Aa-d>b—cB.^a2x>a2y,則x〉-、’C.若d>b,則^"Y〉丄D.若丄K!）ab<b2a-baab答案C根據(jù)不等式的性質(zhì)、特姝值法可判斷出各選項(xiàng)中不等式的正誤.解：對(duì)于A選項(xiàng)，\'c>d,/.-d>-c?又'：a>b>由不等式的性質(zhì)得a-d>b-c?A選項(xiàng)中的不等式正確：對(duì)于B選項(xiàng)，若a2x>a2y,則亍〉0，???兀>〉‘，E選項(xiàng)中的不等式正確：對(duì)于C選項(xiàng)，取b=o,則丄=丄，C選項(xiàng)中的不等式不成立：a-ba對(duì)于D選項(xiàng)，?.?丄v2<°,.?.—丄>一*>0,則-b>-a>0,則bv°v0,abab:.b2>ab,D選項(xiàng)中的不等式正確.故選C.點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式正誤的判斷，常見(jiàn)的方法有：不等式的基本性質(zhì)、特殊值法、比較法，在判斷時(shí)可根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)選擇合適的方法，考查推理能力，屬于中等題.在等差數(shù)列｛?｝中，首項(xiàng)勺>0,公差dHO,前〃項(xiàng)和為SgNj,且滿足5,則s“的最大項(xiàng)為（）A.S]B.S3c.s9D.510答案C由已知結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可得,4+他+?+兔5=0,由等差數(shù)列的性質(zhì)可知,為+珂0=0,結(jié)合己知可得&9>0,竹0<0,即可判斷.解:

解：等差數(shù)列｛%｝中，且滿足53=S15,/.674+?5+---+?15=0,由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，偽+?0=0,???首項(xiàng)4>0,公差d#0,???dv0,a9>0,al0<0,則S”的最大項(xiàng)為故選：C.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題.若兩個(gè)正實(shí)數(shù)小y滿足=且不等式滬-3〃?有解，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是（）A.(-1,4)C.(-4,1)B.Y廠l)U(4,*o)A.(-1,4)C.(-4,1)D.(-oo.0]U[3,+<x))答案E利用“1”的代換的思想進(jìn)行構(gòu)造，運(yùn)用基本不等式求解最值，最后解出關(guān)于加的一元二次不等式的解集即町得到答案.解：解：V4x+y=xy,y4x當(dāng)且僅氣〒即*2,y=8時(shí)等號(hào)成立,

y4x當(dāng)且僅氣〒即*2,y=8時(shí)等號(hào)成立,4<nf-3m，即(加一4)(加+1)>0,解得77?<-b或加>4,故選：E?點(diǎn)評(píng):本題主要考查基本不等式及其應(yīng)用，考查“廠的代換，屬于基礎(chǔ)題.6.在三棱錐P—ABC中，PA丄平面ABC,ZBAC=90°,D>E、F分別是棱AB、BC、CP的中點(diǎn)，AB=AC=1,PA=2,則直線PA與平面DEF所成角的正弦值為（）A.-B??C.並D.込5555答案C試題分析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系易知：A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,0,2),硝,0,0),E(ppO),F(0,l1),111AP=(0,0,2),￡>E=(0,-,0),DF=1),設(shè)斤=(X,”Z)是平面DEF的一個(gè)法向量，則k亦JQd*取X=1,則n=(l,01),乙設(shè)PA與平面DEF所成的角為0,則sin9=則sin9=耳齊【考點(diǎn)】本題主要考查立體幾何中的垂直關(guān)系，角的計(jì)算.點(diǎn)評(píng)：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離的計(jì)算.在計(jì)算問(wèn)題中，有“幾何法毎「向量法二利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟，利用向量則簡(jiǎn)化了證明過(guò)程.7.雙曲線二-￡=1（°>0上>0）的一個(gè)焦點(diǎn)F與拋物線）—4x的焦點(diǎn)重合，若這兩cr\y曲線的一個(gè)交點(diǎn)P滿足PF丄x軸，則。=（）A.V2-1B?V2+1C?ID.2V2-2答案A根據(jù)拋物線方程得F點(diǎn)坐標(biāo)，得c；根據(jù)FF丄x軸可知『尸|既是拋物線通徑長(zhǎng)的一半,又是雙曲線通徑長(zhǎng)的一半，從而可得a,b的關(guān)系；通過(guò)，構(gòu)造出關(guān)于a的方程，解方程求得結(jié)果.解：由題意得：F（1,O）,即c=[PF丄x軸為拋物線通徑長(zhǎng)的一半|PF|=2又|"|為雙曲線通徑長(zhǎng)的一半，即—=2.?方=2。a由ci2+b2=c2得：a'+2d=1‘解得：a=—1—5/2（舍）或a=—1+JT本題正確選項(xiàng)：A點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線和拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.&已知F是橢圓C：y+v2=l的左焦點(diǎn)，P為橢圓C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q（4,3）,則|PQ|+|PF|的最大值為（）A.5邁B?3忑C.5/34D.4V2答案A由題意，設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F'（1,O）,由已知條件推導(dǎo)出|PQ|+|PF|=|PQ|+2>/2-|PF|,利用Q,F，P共線，可得|PQ|+|PF|取最大值.解：由題意,點(diǎn)F為橢圓C：y+y2=l的左焦點(diǎn)，.??F（—1,O）,???點(diǎn)p為橢圓c上任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4,3）,設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F（1,O）,

?.|PQ|+|PF|=|PQ|+2a/2-|PF|=2>/2+|PQ|-|PF|,v|PQ|-|PF|<|QF|=3>/2,.\|PQ|+|PF|<5>/2,即最大值為5近,此時(shí)Q,F,P共線，故選A.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、定義及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、定義和簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)，合理應(yīng)用是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想以及推理與運(yùn)算能力?二多選題9.在下列函數(shù)中，最小值是2的函數(shù)有（）B./(x)=cosx+B./(x)=cosx+0<x<-cosxI2C?/（"）=十呂D?/W=3'+y-2答案AD根據(jù)基本不等式成立的條件，可分別判斷四個(gè)選項(xiàng)是否滿足最小值為2.解：n11對(duì)于a,x2>0.—>且亍?—=1，滿足都是正數(shù)且乘積為定值?由基本不等式可知*Q=2,當(dāng)且僅當(dāng)=2,當(dāng)且僅當(dāng)F=—?即X=±l時(shí)取等號(hào)，所以A正確;對(duì)于Bcosx>0.cosx，且cosx?丄對(duì)于Bcosx>0.cosxCOSX值.由基本不等式可知f（x）=cosx+—-—>2./C0SX—-—=2?當(dāng)且僅當(dāng)TOC\o"1-5"\h\zCOSXVCOSXcosX=丄，即X二0時(shí)取等號(hào)，因?yàn)?GV等所以取不到等號(hào)，即B錯(cuò)誤；cosX2\o"CurrentDocument"對(duì)于C,/（山匸=尋=廠+亠,丙>0,￡>0.Jjr+3Jjt+3Jr+3心+3且曲+3?1=1.滿足都是正數(shù)且乘積為定值.由基本不等式可知7廠+3f(x)=Jx'+3+1J?+3f(x)=Jx'+3+1J?+3=2.當(dāng)且僅當(dāng)后耳片即F+2=0時(shí)取等號(hào),因?yàn)榉匠虩o(wú)解，所以取不到等號(hào)，即C錯(cuò)誤；44對(duì)于D.3v>0,y>0且3"?手=4,滿足都是正數(shù)且乘積為定值.由基本不等式可知f（x）=3x+~2>2^3x~-2=2.當(dāng)且僅當(dāng)3*=右，即3”=2,*愿2時(shí)取等號(hào)，所以D正確；綜上可知最小值是2的函數(shù)有AD故答案為:AD點(diǎn)評(píng)：本題考查了根據(jù)基本不等式求函數(shù)的最值，注意”一正二定三相等”的成立條件，屬于基礎(chǔ)題.10.下面命題正確的是（）">1”是“丄<1”的充分不必要條件a命題“任意xeR,則疋+x+lvO”的否定是“存在xwR,則x2+x+l>0n-設(shè)兀ywR,則m2且）72”是+）F24”的必要而不充分條件設(shè)a,bwR,貝曠。工0”是“”工0,啲必要不充分條件答案AED分別判斷充分性與必要性，即可得出選項(xiàng)ACD的正誤：根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，判斷選項(xiàng)E的正誤.解：解：對(duì)于A,丄<10"^>000（0—1）〉00°<0或°>1,貝lj“d>l”是“丄V1”aaa

的充分不必要條件，故A對(duì);對(duì)于E,全稱命題的否定是特稱命題，“任意xeR,則疋+兀+1<0啲否定是“存在xwR,則好+x+inO”，故B對(duì)；對(duì)于C,-X>2且=>+r>4>?,m2且是+的充分條件，故C錯(cuò)；對(duì)于D,dbHOOaHO,且bHO,則“gHO”是“。/?工0”的必要不充分條件，故D對(duì);故選：ABD.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查命題真假的判斷，考查充分條件與必要條件的判斷，考查不等式的性質(zhì)與分式不等式的解法，屬于易錯(cuò)的基礎(chǔ)題.如圖，在棱長(zhǎng)均相等的四棱錐P—4BCD中，O為底面正方形的中心，M,N分別為側(cè)棱PA,PB的中點(diǎn)，有下列結(jié)論正確的有：（）A.PD〃平面A.PD〃平面OMNB.平面PCD〃平面OM/VC.直線PD與直線MN所成角的大小為90D.ONIPB答案ABD選項(xiàng)A,利用線面平行的判定定理即可證明；選項(xiàng)B,先利用線面平行的判定定理證明CD〃平面OMN,再利用面面平行的判定定理即可證明；選項(xiàng)C,平移直線，找到線面角，再計(jì)算：選項(xiàng)D,因?yàn)镺N〃PD,所以只需證明PD丄PB,利用勾股定理證明即可.解：選項(xiàng)A,連接ED,顯然O為ED的中點(diǎn)，又N為PE的中點(diǎn)，所以〃ON,由線面平行的判定定理可得，PD〃平面OMN;選項(xiàng)E,由M，N分別為側(cè)棱FA，陽(yáng)的中點(diǎn),得MN〃AE,又底面為正方形，所以MN〃CD,由線面平行的判定定理可得，CD〃平面OMN,又選項(xiàng)A得PQ〃平面OM7V,由面面平行的判定定理可得，平面PCD〃平面OMN;選項(xiàng)C,因?yàn)镸N〃CD,所以ZPDC為直線PD與直線/WV所成的角，又因?yàn)樗欣忾L(zhǎng)都相等，所以ZPDC=60J故直線PD與直線A/N所成角的人小為60°;選項(xiàng)D,因底面為正方形，所以ab2+ad2=bd2,又所有棱長(zhǎng)都相等，所以PB，+PD‘=BD'，故P3丄PD、又P￡)〃ON,所以O(shè)N丄故ABD均正確.點(diǎn)評(píng)：解決平行關(guān)系基本問(wèn)題的3個(gè)注意點(diǎn)注意判定定理與性質(zhì)定理中易忽視的條件，如線面平行的條件中線在面外易忽視.結(jié)合題意構(gòu)造或繪制圖形，結(jié)合圖形作出判斷.會(huì)舉反例或用反證法推斷命題是否正確.將〃'個(gè)數(shù)排成川行〃列的一個(gè)數(shù)陣，如下圖：5血…?…%①2幻……冬”^31?……6”CI心①3…?…ann該數(shù)陣第一列的"個(gè)數(shù)從上到下構(gòu)成以〃?為公差的等差數(shù)列，每一行的“個(gè)數(shù)從左到右構(gòu)成以加為公比的等比數(shù)列(其中加＞0)?已知尙=2,q嚴(yán)％+1，記這〃'個(gè)數(shù)的和為S.下列結(jié)論正確的有()A.777=3B.^67=17x3’C.知=(311)x3鬥d.S=〉K3"+1)(3”—1)答案ACD根據(jù)題設(shè)中的數(shù)陣，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，逐項(xiàng)求解，即可得到答案.解：由題意，該數(shù)陣第一列的“個(gè)數(shù)從上到下構(gòu)成以〃7為公差的等差數(shù)列，每一行的"個(gè)數(shù)從左到右構(gòu)成以〃7為公比的等比數(shù)列，且?]=2,43=41+1，可得an=a^m2=2m2,a6l=an+5d=2+5mf所以2龍=2+5加+1，解得777=3或加=一丄(舍去)，所以選項(xiàng)A是正確的；2又由如=a6lm6=(2+5X3)X36=17X36,所以選項(xiàng)B不正確；又由編=adnij~l=[(如+(Z-l)xm]xmj~l二[2+(Z-l)x3]x3y_1=⑶_1)x3y_1,所以選項(xiàng)c是正確的;又由這〃'個(gè)數(shù)的和為s,則S=(an+an+…++(a21+如+??+務(wù))+…+(①】+%+???+%)勺(1一3”兒宀(1-3”)_11)(2+3—1)〃1-31-31-322=-n(3w+l)(3w-l),所以選項(xiàng)D是正確的,4故選：ACD.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)表、數(shù)陣數(shù)列的求解，以及等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，其中解答中合理利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于中檔試題?三、填空題命題^XoGR,4可—弧+1<0”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.答案[-4,4]由題得“VxoWR,4可-0￥。+1?0"為真命題，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)得到關(guān)于。的不等式，解不等式即得解.解：由題得“VxoER,4x°‘—QXo+inO"為真命題，所以a2-16<0>所以-4<?<4-故答案為：[7,4]點(diǎn)評(píng)：本題主要考查特稱命題的否定，考查二次函數(shù)的圖彖和性質(zhì)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.點(diǎn)P(x,刃滿足7(x-2/+(y-2)2="雹」6，則點(diǎn)P的軌跡為離心率為.答案橢圓丄2直接根據(jù)橢圓的第二定義即可得出結(jié)論.

解:解:???點(diǎn)P到定點(diǎn)（2,2）的距離與到定直線3.x-4y-6=0的距離之比為*w（O,l）,???點(diǎn)P的軌跡為橢圓，其離心率為;，2故答案為：橢圓，丁.2本題主要考查橢圓的第二定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15.設(shè)雙曲線匚一其=1（0>0">0）的左右焦點(diǎn)分別為F\、F、,過(guò)仟的直線分別交crb"雙曲線左右兩支于點(diǎn)M、N.若以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)&且\MF2\=\NF2\f則雙曲線的離心率為?答案婦由題意可得AA/N耳為等腰直角三角形，設(shè)\MF2\=\NF2\=m,則|MN|=J亦，結(jié)合雙曲線的定義可得|M7V|=4a,再由勾股定理可得離心率.解：解：如圖，設(shè)H為線段A/N的中點(diǎn)，由題意可得△A/N&為等腰直角三角形，\眄耳為直角三角形,設(shè)月==M\MN\=41m由雙曲線的定義可^■\MF2\-\MFl\=2a,|N川—|N月=2°,又可,?：MM=4。，.：=4ci?則m=2邁a????=\MF21-2a=2近a-2ci，:.\HF\=\MF\+\MH\=2邁a,\HF2\=^\MN\=2a,在R臨HF化中，由勾股定理可得(2丁1打+4亍=4，，即3a—?c=*a，???離心率wa故答案為：y/3.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查雙曲線的定義和離心率的求法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.16.已知圓O：x2+y2=4,點(diǎn)P是圓(x-l)2+(y-l)2=r2±一動(dòng)點(diǎn),若在圓0上存在點(diǎn)0,使得ZQPO=30。,則正數(shù)廠的最大值為?答案4-逅分析可得戶(X,y)滿足X2+r<16,結(jié)合條件可得圓(X-1)2+(y-1)2=尸與圓x2+y2=16內(nèi)切，從而可得答案.解：當(dāng)直線P0與圓O相切時(shí)，ZQPO有最人值，???券嶋沁3。。斗即沖,則Pg)滿足宀g6,又點(diǎn)P是圓(X-1)2+(y-1)2=r上一動(dòng)點(diǎn),由圖可知,圓(x_1)2+(y_1)2=尸與圓x2+y2=16內(nèi)切,+F=4-r，即r=4-，故答案為：4—?點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系，考查推理能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.四、解答題已知集合A={x|-1K3},集合3={x|(x-a)(x—a—l)vO},aeR?若“1丘3”是真命題，求實(shí)數(shù)"取值范圍；若“是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.答案(1)0<?<1(2)[-1,2]解不等式即得a的取值范圍；(2)先化簡(jiǎn)B={x\a<x<a+1},由題得3是4的a>-l真子集，解不等式組{得解.a+1<3解：解：(1)若“上3”是真命題，則一。(1一。)<0,得Ovc/vl.F={x(x-<7)(x-t7-l)<o|={x|avxva+1},若是“xS啲必要不充分條件，則B是4的真子集，a>-l必2'得J",即實(shí)數(shù)。的取值范閑是[—1,2].點(diǎn)評(píng)：本題主要考查元素與集合的關(guān)系，考查充要條件和集合的關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.已知橢圓C:二+賽=l@>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8,短軸長(zhǎng)為4?crb~⑴求橢圓方程；⑵過(guò)陀,1)作弦且弦被P平分，求此弦所在的直線方程及弦長(zhǎng).

答案U）—+^-=1;（2）x+2y—4=0,2a/5?164（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)列方程組解出a,b,c即可；（2）設(shè)以點(diǎn)P（2.1）為中點(diǎn)的弦與橢圓交于A（Xi,八），B（%2,J：）,利用點(diǎn)差法求出R,然后求出直線方程，聯(lián)立解方程組，求出A,B,再求出解：⑴由橢圓C:二+其=l（a>b>0）長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8,短軸長(zhǎng)為4，crZ?"得2a=&”=4,所以a=^b=2,22所以橢圓方程為—+—=1?164（2）設(shè)以點(diǎn)P（2」）為中點(diǎn)的弦與橢圓交于如X，牙）,3（兀,兒），則兀+兀=4,兒+兒=2.164???A（x,,）J）在橢圓上,所以乞+164164兩式相減可得（X+x2）（xl-x2）+4（開(kāi)+兒）（開(kāi)一兒）=0,y—y1所5的斜率為心==巧,???點(diǎn)P（2,I）為中點(diǎn)的弦所在直線方程為x+2y-4=0.由]話+才1由]話+才1[x+2y-4=0得才_(tái)4開(kāi)=0,所以或I）'=2[y=o所以|AB|=Ja2+2,=2\/5?點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程，直線方程的求法，弦長(zhǎng)公式，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用.19.某企業(yè)用180萬(wàn)元購(gòu)買(mǎi)一套新設(shè)備，該套設(shè)備預(yù)計(jì)平均每年能給企業(yè)帶來(lái)100萬(wàn)元的收入，為了維護(hù)設(shè)備的正常運(yùn)行，第一年需要各種維護(hù)費(fèi)用10萬(wàn)元，且從第二年開(kāi)始，每年比上一年所需的維護(hù)費(fèi)用要增加10萬(wàn)元（1）求該設(shè)備給企業(yè)帶來(lái)的總利潤(rùn)V（萬(wàn)元）與使用年數(shù)的函數(shù)關(guān)系；（2）試計(jì)算這套設(shè)備使用多少年，可使年平均利潤(rùn)最大？年平均利潤(rùn)最大為多少萬(wàn)元?

答案（1）），=—5（F—19x+36）,xgN*（2）這套設(shè)備使用6年，可使年平均利潤(rùn)最人，最人利潤(rùn)為35萬(wàn)元（1）運(yùn)用等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式可以求出x年的維護(hù)費(fèi)，這樣可以由題意可以求出該設(shè)備給企業(yè)帶來(lái)的總利潤(rùn)V（萬(wàn)元）與使用年數(shù)的函數(shù)關(guān)系；（2）利用基本不等式可以求出年平均利潤(rùn)最人值.解：解：（1）由題意知，x年總收入為lOOx萬(wàn)元x年維護(hù)總費(fèi)用為10（l+2+3+???+x）=5x（x+l）萬(wàn)元./.總利潤(rùn)y=100x一5x(x+1)-180,xwN°即y=-5(x2-19x+36),xgN*(36、x+95x丿Tx>0,/.x+——>x36當(dāng)且僅當(dāng)x=—，即x=6時(shí)取vx???企35X答：這套設(shè)備使用6年，可使年平均利潤(rùn)最人，最人利潤(rùn)為35萬(wàn)元.點(diǎn)評(píng)：本題考查了應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決生活實(shí)際問(wèn)題的能力，考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)建模能力，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.20.如圖,長(zhǎng)方體ABCD-AiBiCiDi的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱44】上,BELEC,.（1）證明：BE丄平面EBC；（2）若AEMiE,求二面角B-EC-G的正弦值.答案（1）證明見(jiàn)解析；（2）逅2（1）利用長(zhǎng)方體的性質(zhì)，可以知道QC］丄側(cè)面A^BA,利用線面垂直的性質(zhì)可以證明出dG丄這樣可以利用線面垂直的判定定理，證明出8E丄平面EB&；（2）以點(diǎn)B坐標(biāo)原點(diǎn)，以B（j,BA、BB；分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為B、B=b，求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用BE丄EC；,可以求出之間的關(guān)系，分別求出平面EBC、平面ECC；的法向量，利用空間向量的數(shù)量積公式求出二面角B-EC-C、的余弦值的絕對(duì)值，最后利用同角的三角函數(shù)關(guān)系，求出二面角B-EC-C,的正弦值.解:證明⑴因?yàn)锳BCD_AQCQl是長(zhǎng)方體，所以丄側(cè)面A^BA,而B(niǎo)Eu平面4004,所以BE丄又EE丄Eq,gcEG=G，平面EB&,因此BE丄平面Eg；（2）以點(diǎn)B坐標(biāo)原點(diǎn)，以B?bA,BB；分別為軸，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，3(0,0,0),c(d,0,0),C](d,0,b),E(0,d,彳),因?yàn)榀烢丄EC“所以

bb.b2BE?ECk=0=>(0.ci,-)?(a,-a,-)=0=>-cr+一=0=>b=2d22所以E(0,a,a),EC=(a,-a,-ci).CCL=(0、0、2g),BE=(0,a,a),設(shè)加=(Ap)[,zJ是平面BEC的法向量,所以{m-BE=0.?EC=所以{m-BE=0.?EC=0.=>Jd)l+網(wǎng)=0、2d乙=0.=>n=(1,1,0),2d乙=0.=>n=(1,1,0),c%一一az^=0.—7一一二面角B-EC-C,的余弦值的絕對(duì)值為J.2設(shè)n=(x2.y2.z2)是平面ECC；的法向量,[h-CC.=0,所以_1=><\nEC=0.所以二面角B-EC-C,的正弦值為#_($=￡.點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用線面垂直的性質(zhì)定理證明線線垂直，考查了利用空間向量求二角角的余弦值，以及同角的三角函數(shù)關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.設(shè)數(shù)列W”｝、｛化｝都有無(wú)窮項(xiàng)，｛an｝的前"項(xiàng)和為S”=+(3〃'+5〃)，｛bn｝是等乙比數(shù)列，5=4且Q=32.(1)求｛色｝和｛$｝的通項(xiàng)公式;⑵記c產(chǎn)牛,求數(shù)列匕｝的前〃項(xiàng)和為人?Un答案(1)勺=3〃+1答案(1)勺=3〃+1；b”=2"T,(*M)(2)14-3,7+7(1)Sy=1.S”一可求出仇，根據(jù)定義求出數(shù)列｛化｝的公比，從而可求出(2)由題意得c”=攀*,再用錯(cuò)位相減法求和即可.(2)解:解：(1)當(dāng)”=1時(shí)，q=S]=4；

a“=Sn-Sn_k=^(3/?2+5/?)-1[3(/?-1)2+5(n-1)]=|[3(2n-l)+5]=3n+1,且?=4亦滿足此關(guān)系，{a”}的通項(xiàng)為a”=3〃+1,(//wN"),設(shè)⑷的公比為9,則『=牛=8,則q=2,???化二肉.廣3=21(*//)；an3//+1(2)由題意，5=才=亍~'十47103/?-23?+1124…2心2"T710133〃+1兩式相減，有人=8+31124…2心2"T710133〃+1兩式相減，有人=8+311—242宀=8+3點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查錯(cuò)位相減法求和，屬于中檔題.在平面直角坐標(biāo)系xO)沖，橢圓C:^+^=l(a>b>0)的離心率為孚直線)'=x被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為跡?求橢圓C的方程；過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)(A,B不是橢圓C的頂點(diǎn))，