定積分-微積分基本公式

第二講微積分基本公式內(nèi)容提要

1.變上限的定積分；2.牛頓－萊布尼茲公式。教學(xué)要求1.理解作為變上限的函數(shù)的定積分及求導(dǎo)方法；2.熟悉牛頓－萊布尼茲公式。定積分——微積分基本公式共18頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第1頁!一、變上限的定積分一般地，若?設(shè)物體作直線運動，

其速度，

則在時間間隔

若已知路程函數(shù)的路程也可表示為在解決這個問題之前，先討論原函數(shù)存在問題.內(nèi)所經(jīng)過的路程為則在時間間隔

內(nèi)經(jīng)過定積分——微積分基本公式共18頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第2頁!記為稱它為變上限定積分所確定的函數(shù),(變上限定積分)定積分——微積分基本公式共18頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第3頁!關(guān)于定理的說明：即任何一個連續(xù)函數(shù)必存在原函數(shù)。定積分——微積分基本公式共18頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第4頁!解定積分——微積分基本公式共18頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第5頁!證二、牛頓—萊布尼茲公式令定理2再令牛頓：英國數(shù)學(xué)家萊布尼茲：德國數(shù)學(xué)家定積分——微積分基本公式共18頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第6頁!解定積分——微積分基本公式共18頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第7頁!解定積分——微積分基本公式共18頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第8頁!于是定積分——微積分基本公式共18頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第9頁!牛頓（1642.12.25—1727.3.20）生平簡介牛頓是英國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和天文學(xué)家。祖父和父親都是農(nóng)民。牛頓的幼年是不幸的，他是個遺腹子，又是早產(chǎn)兒，生下來只有3磅重，人們都擔(dān)心他活不長久，可誰料到，就在這個小的可憐的頭腦里孕育著非凡的才智，他的思想影響了人類數(shù)百年。牛頓一生為近代自然科學(xué)奠定了重要的基礎(chǔ)，被益為“有史以來最偉大的科學(xué)家”。在60多年的科學(xué)生涯中，牛頓共撰寫專著12本，其中科學(xué)著作6本，年代學(xué)2本，宗教著作4本。作為數(shù)學(xué)家，牛頓從二項式定理到微積分，從代數(shù)和數(shù)論到古典幾何和解析幾何，有限差分、曲線分類、計算方法和逼近論，甚至在概率論等方面，都有創(chuàng)造性的成就和貢獻(xiàn)。萊布尼茲曾說：“在從世界開始到牛頓生活的時代的全部數(shù)學(xué)中，牛頓的工作超過一半?！?/p>

牛頓以國葬禮埋在威斯敏斯特大教堂內(nèi)，參加吊唁的法國大文豪伏爾泰評論說，英國紀(jì)念一位數(shù)學(xué)家就象其他國家紀(jì)念國王一樣隆重。牛頓墓碑上的拉丁碑銘的最后一句是：“他是人類的真正驕傲，讓我們?yōu)橹畾g呼吧！”定積分——微積分基本公式共18頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第10頁!定理1則定積分——微積分基本公式共18頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第11頁!解由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，解：定積分——微積分基本公式共18頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第12頁!例4求極限解定積分——微積分基本公式共18頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第13頁!說明：這樣，牛頓萊布尼茲公式又可寫成或解解牛頓萊布尼茲公式定積分——微積分基本公式共18頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第14頁!解定積分——微積分基本公式共18頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第15頁!例6

設(shè)

解解：將和式改寫為定積分——微積分基本公式共18頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第16頁!3.牛頓—萊布尼茲公式1.變上限定積分2.變上限定積分的導(dǎo)數(shù)小結(jié)牛頓－萊布尼茲公式揭示了定積分與原函數(shù)之間的關(guān)系．定積分——微積分基本公式共18頁，您現(xiàn)在瀏覽的是第17頁!萊布尼茲是德國數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家，萊布尼茲出身于書香門第，父親是萊比錫大學(xué)的道德哲學(xué)教授，母親也出身于教授家庭。父母親自做孩子的啟蒙教師，耳濡目染，使萊布尼茲從小就十分好學(xué)，并有很高的天賦。不幸的是，父親在他六歲時去世，卻給他留下了比金錢更寶貴的豐富藏書。從此，知書達(dá)理的母親擔(dān)負(fù)起兒子的幼年教育。1661年，15歲的萊布尼茲入萊比錫大學(xué)學(xué)法律，1663年5月獲學(xué)士學(xué)位；1664年1月獲哲學(xué)碩士學(xué)位；1667年2月，獲法學(xué)博士學(xué)位。萊布尼茲是一位百科全書式的杰出學(xué)者，他的研究領(lǐng)域及成果遍及數(shù)學(xué)、物理學(xué)、邏輯學(xué)、生物學(xué)、地理學(xué)、航海學(xué)、法學(xué)、解剖學(xué)、哲學(xué)、歷史和外交，等等。其中以數(shù)學(xué)和哲學(xué)最為著名。萊布尼茲一生沒有結(jié)婚，沒有在大學(xué)當(dāng)過教授。但他的工作領(lǐng)域是廣泛的，他的業(yè)余活動的范圍是龐大的。1716年他無聲無息的死去。直到1793年，漢諾威人才為他