矩陣單元綜合測試題

一、填空題(每小題1分，滿分14分)1□設1□設A,BODOF上的兩個矩陣，如果A與B能夠相加，則A與BOO同型矩陣。2.設A,B,C為n階方陣且可逆，則當AB=C時，B=A1C.3若A■0,B■0,則AB可能等于0.4.設A,B是數(shù)域F上的兩個孔階可逆矩陣，下列矩陣kA,AB,A■B,AtB,A*B*中一定可逆的有AB,AtB和A*B*.■3015.三階初等矩陣6.設AODOf(A)是數(shù)域TOC\o"1-5"\h\zT⑶O105.三階初等矩陣6.設AODOf(A)是數(shù)域12■■001■■F上的n階方陣，f(x)■a■ax■…■axn,則01nF上的n階方陣，且f(A)■aj?a1A■…■aAn01n.若A為對合矩陣(即A2■I)，則AJO可逆，且A■■A..若A的秩為r,則A的標準型為A0H11.若AA*■A*A■AI,且A■0,貝|A-i■__A*,(A*)?■_A.TOC\o"1-5"\h\z.設AOn階矩陣，則A可逆的充要條件r(A)=n、或A■0或A■I或A可以表示成一些初等矩陣的乘積口11□設■■(1,2,3,2),A■■t■,其中■t是哪轉(zhuǎn)置，貝IJA■0r(A)■1。12．設AJ■1飛2■AB■I，則B12．設■011.001

131如果向量組丁…」線性無關，那么它的任意一個非TOC\o"1-5"\h\z12s空部分組線性無關；如果..丁…,■電一部分向量線性12s相關，那么整個向量組■，■。，…,■■相關。12s14.設向量組■■,■,■■線性無關，向量組■■,■,■■可由向量123123組■■,■,■■線性表出，且123■■■■4B■■,■■2B■■■,■■■■3B,112321233則向量組■■,■,■■線性無關。123二、判斷題(每小題1分，滿分14分).若方陣A對任意的同階方陣B都有AB=B,則必有.設A■0,B■0,則AB■0..mnnp.設A,B為n階方陣，則有(A■B)2■A2■2AB■B2..若AB=AC,且A10,則B=C。.上(下)三角矩陣可逆的充要條件是它的所有主對角線上的元13A=IDDDDDDDDDDDDDDDD6.可逆的對稱矩陣的逆矩陣仍是對稱矩陣。.設T(k13A=IDDDDDDDDDDDDDDDD6.可逆的對稱矩陣的逆矩陣仍是對稱矩陣。.設T(k)是第三類初等矩陣，則有ij.若r(A)=r，則.AB=B的充要條件是.對于分塊矩陣A至少有一個A=I。DDDT(k)-■T(*).(DDijijDDDDDD(D)r-1口子式不等于零。C■[B,1有r(C)=r(A)+r(B)..若A+B與A-B均可逆，則.可逆矩陣與不可逆矩陣之和必為不可逆矩陣。A,B一定可逆。DDDDDD.設向量組■1,■2,■3,■4線性無關，則組TOC\o"1-5"\h\z■■,■■的秩為3.(DD3441■■(a,a,a,a,a),i■1,2,3;■■(a,a,a),2j3jDDD14.設ii1i2i3i4i2j3jDDDj■1,2,3.如果一■.，■J性相關，則—，■?線性相關。123123三、單項選擇題(每小題2分，滿分24分)1.下列結論正確的是(CD(AD兩個矩陣可相加一定可乘；(BD兩個矩陣可乘一定可相加；(CD兩個矩陣既可相加又可相乘，這兩個矩陣一定是方陣；(DD在M(F)中可普遍施行矩陣的加法和乘法。m?2．以下結論正確的只有(BD(AD初等矩陣的逆矩陣是本身；(BD初等矩陣的逆矩陣是同類初等矩陣；(CD初等矩陣的乘積仍是初等矩陣；(DD任一個n階矩陣都可以寫成初等矩陣的乘積形式。3．下列結論不正確的是((ADn階矩陣M可逆的充要條件是|M|■0；(BDn階矩陣M可逆的充要條件是存在可逆矩陣P使得(ADn階矩陣M可逆的充要條件是|M|■0；(BDn階矩陣M可逆的充要條件是存在可逆矩陣P使得MP=I；(CDn階矩陣M可逆的充要條件是它可以表成初等矩陣的乘積；DDDn階矩陣M可逆的充要條件是它可以表成初等矩陣的和?！酢蹩诳冢诰鶠榭谏系目赡婢仃?，口(BD(A)(AB)■AB■(B)(AB)■■B■(A■)■(C)(A■B)?■A?■B?(D)(kA)?■kA■(k■0)Kos?■sinIinIKos?■sinIinIcosIDDDDDDA)os?■sin■6DDADBDnDDDDD6DDADBDnDDDDDDDC)(A)k<r;(B)k口r;.DDnDDDDDDDDDDDDDDDDC)DA)r(A)=0;(B)(C)r(A)<n;(D).設ADBDDDnDDDDDDAQQDDB=r<n,DDDAB)=k，則(C)k=r;(D)r<k<n.n2.nDDDDDD)DDr(A)=n-1;r(A)DQDQn.D)DA)r(AB)=max{r(A),r(B)};(B)r(AB)=min{r(A),r(B)};(C)r(AB)=r(BA)(D)DDDDDDDDDDD19DD3DDDADDDDA.2，A■為A的逆矩陣，A*為A/1aDDDDDDDA*(5A)-1?(D).27127DA)0；DB)-3DDC)-41DD)■-41

?1110口設3DDDA■■■21310a12a22a32a13a23a33IIa11■B■.■aI1?1110口設3DDDA■■■21310a12a22a32a13a23a33IIa11■B■.■aI131a1121a12a■a3212a22a13a■a3313a230!則必有，C)TOC\o"1-5"\h\z1221122111.DDDD■］，■■JDDDDDD■可由一■.，■JD1231可由123DDDD■ddd■］，■■JDDDDDDDDDDDk,必2112.且2A■X■BT.且2A■X■BT,求矩陣X.IDDADD(ADDBD(ADDBDDCDDDDX乙理DDDDD,■,■,■■k■12312,■,■,■■k■,■,■,■■k■12312,■,■,■■k■12312DDDDDDDDDD12.DDDDDDDDDDDDDDDDDAD(A)(2,-3,4,1),(5,2,7,1),(-1,-3,5,5)(B)(12,0,2),(1,1,1),(3,2,1),(4,78,16)(C)(2,3,1,4),(3,1,2,4),(0,0,0,0)(D)(1,2,-3,1),(3,6,-9,3),(3,0,7,7).2.已知.2.已知A■-4I2rara1112X■iaa2122■■aa313213■a■由2A■X■Bt,有.231a■?■a4■a1112?■a4■a1112■a8■a2122■2■a4■a31322■a13a236■a33213罌解得4I.1-21|

X■■6-70■■3-1-212DDDDDI42DDDDDI4||為對稱矩陣與反對口矩陣之和口解令B■（A■A??||；]c?）A-A■■|0011則BDCDDDD3DDDb3DDDb工21:利用初等變換求B-1.■431.231解"210U430.231解"210U43010■■■叩■2011，■23100J■5■210■■6■3011001310■_001310■_20113■31-2!

?i■■13所以b■■■_1124DDDDDD解■解■25■1■0,所以133卜*北T3II?匍21啕H815.DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD(1,0,1,0,1)J■(0,1,0,0,0)J■(1,2,3,4,5)123■■(4,6,4,5,4),?■(6,7,8,9,10)45解DDDDDDDDDD.解DDDDDDDDDD.01的12,A■，03?04，05.014&126B■，010■0001勖0001121314OOOOOODDDDDDD乙Jl,DDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDDD4.461678:對ADDDDD910，67?1■DDDDDDDD10BD1,2,3,41向五、證明下列各題（本題滿分分）1口設1口設A,B1是nDDDDDDD若ABDDD則A和BDDDD(5(5DD證□因為ABDDDDD以A和BDDDD2口設A,BDDDDDDDDDABaA|B.0-A.0且B.0，所DDDAB+BADDDDDDAB-BA

DDDDDDD15DD證明???A?IA,B?BB■(AB■BA)^B■■AB■(AB■BA)(AB■BA)^B?■AB■?AB■BA)DDAB+BADDDDDDAB-BADDDDDDDDDAB+BADDDDDDAB-BADDDDDDD3DDQQADDa3■3a2■71■0DDDAQQQ15DD證明由■3■3■2■71■0可得（A■31）■2■聞I,兩邊同取行列式得(■■31)■2■■71■0■■■0■■可逆。4.DDD■DDDDD，■「,,,,'DDDDDDDDDTOC\o"1-5"\h\z123r■j，，，...,■,DDDDDDD■DD,B.，^，B.D123rIHr123rIU■DDDDD16DDDDDD■DDD■■八■，.?,■.