線代課件2013程版-第十八次課二次型

第6.3第6.3

含有n個(gè)變1

x1

x2

xn的二次齊次函x 稱為二次當(dāng)aij是復(fù)數(shù)時(shí),當(dāng)aij是實(shí)數(shù)時(shí)

f稱為復(fù)二次f稱為實(shí)二次yy只含有平方項(xiàng)的二次yyyk2f yk2

2 2nn稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形（或法式2nn例f

,

,x3

2x2

4x2

5

4x1123fx1,x2,x3123

x1x2

x1x3

x2x都為二次型xf

,

,x3

4x2

4x2231為二次型的標(biāo)準(zhǔn)2311．,x)n ,x)n x2 x2 x2

2a1nx12a23x2

2a24x2

2a2nx2

(n1)n二、二次二、二次型的表示方取aija則2aijxix a1na2na1na2n2xfx

x1x2 xx x2

二次型用和號(hào)表x2nx2an1xn

an2xn

i,

aijxixa1nx1(a11x1a12a1nx2(a21xn(an1

a22x2 annan2ann

a2nxn)

a1n (x,

,x)

2n n ann xann

n2

a1nx1

x(x,x ,x

2n 2

x

nn n

a1n

x1

A

2n

X 2

nn

n則f

XT

二次型的矩陣表示（重點(diǎn)

為對(duì)稱矩陣注xi注xi

aii

2

3xix

aji

可保證aij

aji例１寫出二次型x1f x1

2x2

3x2

4x1

6x223的矩陣23解

1,

2,

3,a23

a21

2,

0, 0 A 3.033 033 例如：二次

f(x,x,x)x23x24xxx 0x1(x,x,

)- 1/2x

2 -3x 3注：二次 對(duì)稱矩定義

二次

fXT把對(duì)稱矩

A稱為二次型

的矩也把二次

稱為對(duì)稱矩陣

的二次對(duì)稱矩A的秩稱為二次f的

c11

c12

ynx c21x

c22

c2n

ynxn cn1y1cn2y2cnnyn記C

(cij),則上述可逆線性變換可記x將其代

AxfxT

y.定義1 設(shè)A,B是n階方陣,若有可逆矩陣C使BCTB記做B

AC,則稱矩陣A與B自反性：A與A傳遞性：若A與B合同B與C合同，則A與C合同命題任給可逆矩陣C令

CT

AC,如果矩陣,則B也為對(duì)稱矩陣,且RBRA證明A為對(duì)稱矩陣,即有AAT,于BT

CTAT

CT

B,即B為對(duì)稱矩陣BCTAC

RB

RAC

又ACT1BC1

RA

RBC1

RB.RA說(shuō)二次型經(jīng)可逆變換

Cy后其秩不變的矩陣由A變?yōu)?/p>

CT

要使二次型f經(jīng)可逆變換

Cy變成標(biāo)準(zhǔn)形就是要使yTCT

yk yk

2kn (y,

,,

k1yy2n k22n

yy1 y1y2, n

也就是要使

AC成為對(duì)角矩陣

n n也就是要使CTAC

對(duì)角矩陣對(duì)于實(shí)對(duì)存在正交

P1AP

p1C=P由于對(duì)任意的實(shí)對(duì)稱矩陣A,總有正交矩陣P,使P1AP,即PTAP.把此結(jié)論應(yīng)用于二次型,有n定理6.11（主軸定理任給二次型

i,j

aijxixj

aij

aji總有正交變換x

Py

f化為標(biāo)準(zhǔn)yy22f1 yy22

2

y2nn其中nn

,

,n

f的矩陣A

的特征值用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步將二次型表成矩陣形式

Ax,求出求出A的所有特征值1,2,,n; 對(duì)每一個(gè)特征值λi,解方程(λiE-A)x=0,求出基礎(chǔ)解系利 正交化方法將基礎(chǔ)解系正交化，然后單位化將特征向量12

n12n記C

12n

作正交變換

Cy,則得f的標(biāo)準(zhǔn)形f

y2y2 例3求一個(gè)正交變換x

Py,把二次f

x1x2

2

x3

2

x4

2x2x3化為標(biāo)準(zhǔn)形.

2x2

x4

2x3x4

1二次型的矩

A

1, 1 它的特征多項(xiàng)式為 0111111111111111111111111111111A

把二,三,四行分別減去第一行,A

11101110202000

(1)2(2

3)

3)(1)3于是A的特征值為1

3,2

3

4當(dāng)1

3時(shí),解方程A

3E)x

1

1得基礎(chǔ)解系1

1

單位化即p1

12

1.11

1當(dāng)2

3

4時(shí),解方程A

E)x可得正交的基礎(chǔ)解系1 0 1 1,

0,

1, 0

1

1 0

1

11單位化即p2于是正交變x1 x2x3 且有例3已知二次f(x例3已知二次

)3

ax2

x22bx

2x

2x通過(guò)正交變換x＝Ｐx

f

4

，求ab的及正交矩陣解：f的矩陣Ａ及 陣Λ分別為：

即：-(b-1)2 1 A 1

0 0

解得 特征值為λ1=0，λ2=1,λ3=4． 故Ａ相似于對(duì)角陣Λ，所tr(A)=

對(duì)于λ1=0，解方程(0E-得基礎(chǔ)解T1(1,0,T例3已知二次型fxxx3x2ax2x22bxx2xx2x fy24y2通過(guò)正交變換x＝Ｐx化為 ，求a,b的 及相似變換矩陣

對(duì)應(yīng)于λ３=４的單位特征向量為 (1,0,1

3

類似可得對(duì)應(yīng)于

=１的單

所求的正交矩陣 P(,,特征向量為

1

6 ,

2 6 1 6 （正交變換

x=(x1,x2,…,xn)Ty=(y1,y2,…,yn)T,如果Q證明設(shè) 設(shè)x1=Qy1，于是，x

yTQT

yT

y,y 正交變換保持向量?jī)?nèi)積不變特別地，令x=x

xTxQyTQy yyT 得

判別下面方程的幾何圖形是什2x2作旋轉(zhuǎn)變

3xy

y2

xyy

6代入(1)左邊，化為 5x21

1x2 y2 1 見圖所示算更快的可逆變換．下一節(jié)，介紹另一種求一正交變換，將二次fx1,化為，并

fx1,x2,x3

表示何種二 3 解二次型的矩陣為A

3,333 333 可求得detA

E)

(4)(于是A的特征值為1對(duì)應(yīng)特征向量為1

0,2