精選文檔《大學物理教程習題答案》上海交通大學出版社

〖精選文檔〗《大學物理教程習題答案》上海交通大學出版社〖精選文檔〗《大學物理教程習題答案》上海交通大學出版社PAGE56/56PAGE56〖精選文檔〗《大學物理教程習題答案》上海交通大學出版社習題11-1．已知質(zhì)點位矢隨時間變化的函數(shù)形式為其中為常量．求：（1）質(zhì)點的軌道；(2)速度和速率。解：(1)由，知：，消去t可得軌道方程：∴質(zhì)點的軌道為圓心在（0，0）處，半徑為R的圓；（2）由，有速度：而，有速率：。1-2．已知質(zhì)點位矢隨時間變化的函數(shù)形式為，式中的單位為m，的單位為s。求：（1）質(zhì)點的軌道；（2）從到秒的位移；（3）和秒兩時刻的速度。解：（1）由，可知，消去t得軌道方程為：，∴質(zhì)點的軌道為拋物線。（2）由，有速度：從到秒的位移為：（3）和秒兩時刻的速度為：，。1-3．已知質(zhì)點位矢隨時間變化的函數(shù)形式為，式中的單位為m，的單位為s.求：（1）任一時刻的速度和加速度；（2）任一時刻的切向加速度和法向加速度。解：(1)由，有：，，有：；（2）而，有速率：∴，利用有：。1-4．一升降機以加速度上升，在上升過程中有一螺釘從天花板上松落，升降機的天花板與底板相距為，求螺釘從天花板落到底板上所需的時間。解法一：以地面為參照系，坐標如圖，設同一時間內(nèi)螺釘下落的距離為，升降機上升的高度為，運動方程分別為（1）（2）（3）（注意到為負值，有）聯(lián)立求解，有：。解法二：以升降機為非慣性參照系，則重力加速度修正為，利用，有：。1-5．一質(zhì)量為的小球在高度處以初速度水平拋出，求：（1）小球的運動方程；（2）小球在落地之前的軌跡方程；（3）落地前瞬時小球的，，。解：（1）如圖，可建立平拋運動學方程：，，∴；（2）聯(lián)立上面兩式，消去t得小球軌跡方程：（為拋物線方程）；（3）∵，∴，即：，在落地瞬時，有：，∴又∵，∴。1-6．路燈距地面的高度為，一身高為的人在路燈下以勻速沿直線行走。試證明人影的頂端作勻速運動，并求其速度.證明：設人向路燈行走，t時刻人影中頭的坐標為，足的坐標為，由相似三角形關系可得：，∴兩邊對時間求導有：，考慮到：，知人影中頭的速度：（常數(shù)）。1-7．一質(zhì)點沿直線運動，其運動方程為(m)，在t從0秒到3秒的時間間隔內(nèi)，則質(zhì)點走過的路程為多少？解：由于是求質(zhì)點通過的路程，所以可考慮在0~3s的時間間隔內(nèi)，質(zhì)點速度為0的位置：若解得，。1-8．一彈性球直落在一斜面上，下落高度，斜面對水平的傾角，問它第二次碰到斜面的位置距原來的下落點多遠(假設小球碰斜面前后速度數(shù)值相等，碰撞時人射角等于反射角)。解：小球落地時速度為，建立沿斜面的直角坐標系，以小球第一次落地點為坐標原點如圖示，→（1）→（2）第二次落地時：，代入（2）式得：，所以：。1-9．地球的自轉角速度最大增加到若干倍時，赤道上的物體仍能保持在地球上而不致離開地球?已知現(xiàn)在赤道上物體的向心加速度約為，設赤道上重力加速度為。解：由向心力公式：，赤道上的物體仍能保持在地球必須滿足：，而現(xiàn)在赤道上物體的向心力為：∴1-10．已知子彈的軌跡為拋物線，初速為，并且與水平面的夾角為。試分別求出拋物線頂點及落地點的曲率半徑。解：（1）拋物線頂點處子彈的速度，頂點處切向加速度為0，法向加速度為。因此有：，；（2）在落地點時子彈的，由拋物線對稱性，知法向加速度方向與豎直方向成角，則：，有：則：。1-11．一飛行火箭的運動學方程為，其中b是與燃料燃燒速率有關的量，u為燃氣相對火箭的噴射速度。求：（1）火箭飛行速度與時間的關系；（2）火箭的加速度。解：一維運動，直接利用公式：，有：（1），（2）1-12．飛機以的速度沿水平直線飛行，在離地面高時，駕駛員要把物品投到前方某一地面目標上，問：投放物品時，駕駛員看目標的視線和豎直線應成什么角度?此時目標距飛機下方地點多遠?解：設此時飛機距目標水平距離為有：┄①，┄②聯(lián)立方程解得：，∴。1-13．一物體和探測氣球從同一高度豎直向上運動，物體初速為，而氣球以速度勻速上升，問氣球中的觀察者在第二秒末、第三秒末、第四秒末測得物體的速度各多少？解：物體在任意時刻的速度表達式為：故氣球中的觀察者測得物體的速度代入時間t可以得到第二秒末物體速度：，（向上）第三秒末物體速度：第四秒末物體速度：（向下）。思考題11-1．質(zhì)點作曲線運動，其瞬時速度為，瞬時速率為，平均速度為，平均速率為，則它們之間的下列四種關系中哪一種是正確的?（A）；（B）；（C）；（D）答：（C）1-2．沿直線運動的物體，其速度大小與時間成反比，則其加速度的大小與速度大小的關系是：（A）與速度大小成正比；（B）與速度大小平方成正比；（C）與速度大小成反比；（D）與速度大小平方成反比。答：B1-3．如圖所示為A，B兩個質(zhì)點在同一直線上運動的圖像，由圖可知（A）兩個質(zhì)點一定從同一位置出發(fā)（B）兩個質(zhì)點都始終作勻加速運動（C）在末兩個質(zhì)點相遇（D）在時間內(nèi)質(zhì)點B可能領先質(zhì)點A答：D1-4．質(zhì)點的關系如圖，圖中，，三條線表示三個速度不同的運動．問它們屬于什么類型的運動?哪一個速度大？哪一個速度??？答：勻速直線運動；。1-5．如圖所示，兩船和相距，分別以速度和勻速直線行駛，它們會不會相碰?若不相碰，求兩船相靠最近的距離．圖中和為已知。答：方法一：如圖，以A船為參考系，在該參考系中船A是靜止的，而船B的速度。是船B相對于船A的速度,從船B作一條平行于方向的直線BC,它不與船A相交,這表明兩船不會相碰.由A作BC垂線AC,其長度就是兩船相靠最近的距離作FD//AB,構成直角三角形DEF，故有：，在三角形BEF中,由余弦定理可得：。方法二：兩船在任一時刻的位置矢量分別為：任一時刻兩船的距離為：令：。1-6．若質(zhì)點限于在平面上運動，試指出符合下列條件的各應是什么樣的運動？（A），；（B），；（C），答：(1)質(zhì)點作圓周運動；(2)質(zhì)點作勻速率曲線運動；(3)質(zhì)點作拋體運動。1-7．如圖所示，質(zhì)點在t=0時刻由原點出發(fā)作斜拋運動，其速度，回到x軸的時刻為t，則（A）（B）（C）（D）答：A（注意：題目中各處的v應為矢量！須加上箭頭。）1-8．一質(zhì)點作斜拋運動，用代表落地時，（1）說明下面三個積分的意義：；（2）用和代表拋出點和落地點位置，說明下面三個積分的意義：。答：表示物體落地時x方向的距離，表示物體落地時y方向的距離，表示物體在時間內(nèi)走過的幾何路程，拋出點到落地點的位移，拋出點到落地點位移的大小，拋出點到落地點位移的大小。習題22-1質(zhì)量為16kg的質(zhì)點在平面內(nèi)運動，受一恒力作用，力的分量為，，當時，，，。當時，求：(1)質(zhì)點的位矢；(2)質(zhì)點的速度。解：由，有：，（1），。于是質(zhì)點在時的速度：（2）2-2質(zhì)量為2kg的質(zhì)點在xy平面上運動，受到外力的作用，t=0時，它的初速度為，求t=1s時質(zhì)點的速度及受到的法向力。解：解：由于是在平面運動，所以考慮矢量。由：，有：，兩邊積分有：，∴，考慮到，，有由于在自然坐標系中，，而（時），表明在時，切向速度方向就是方向，所以，此時法向的力是方向的，則利用，將代入有，∴。2-3．如圖，物體A、B質(zhì)量相同，B在光滑水平桌面上．滑輪與繩的質(zhì)量以及空氣阻力均不計，滑輪與其軸之間的摩擦也不計．系統(tǒng)無初速地釋放，則物體A下落的加速度是多少？解：分別對A，B進行受力分析，可知：則可計算得到：。2-4．如圖，用質(zhì)量為的板車運載一質(zhì)量為的木箱，車板與箱底間的摩擦系數(shù)為，車與路面間的滾動摩擦可不計，計算拉車的力為多少才能保證木箱不致滑動？解法一：根據(jù)題意，要使木箱不致于滑動，必須使板車與木箱具有相同的加速度，且上限車板與箱底間為最大摩擦。即：可得：解法二：設木箱不致于滑動的最大拉力為，列式有：聯(lián)立得：，有：。2-5．如圖所示一傾角為的斜面放在水平面上，斜面上放一木塊，兩者間摩擦系數(shù)為。為使木塊相對斜面靜止，求斜面加速度的范圍。解法一：在斜面具有不同的加速度的時候，木塊將分別具有向上和向下滑動的趨勢，這就是加速度的兩個范圍，由題意，可得：（1）當木塊具有向下滑動的趨勢時（見圖a），列式為：可計算得到：此時的（2）當木快具有向上滑動的趨勢時（見圖b），列式為：可計算得到：此時的，所以：。解法二：考慮物體m放在與斜面固連的非慣性系中，將物體m受力沿和方向分解，如圖示，同時考慮非慣性力，隔離物塊和斜面體，列出木塊平衡式：方向：方向：考慮到，有：，解得：?！嗟娜≈捣秶?。2-6．質(zhì)量為的子彈以速度水平射入沙土中，設子彈所受阻力與速度反向，大小與速度成正比，比例系數(shù)為，忽略子彈的重力，求：(1)子彈射入沙土后，速度隨時間變化的函數(shù)式；(2)子彈進入沙土的最大深度。解：（1）由題意，子彈射入沙土中的阻力表達式為：又由牛頓第二定律可得：，則分離變量，可得：，兩邊同時積分，有：，所以：（2）子彈進入沙土的最大深度也就是的時候子彈的位移，則：考慮到，，可推出：，而這個式子兩邊積分就可以得到位移：。2-7．質(zhì)量為的物體可以在劈形物體的斜面上無摩擦滑動，劈形物質(zhì)量為，放置在光滑的水平面上，斜面傾角為，求釋放后兩物體的加速度及它們的相互作用力。解：利用隔離體方法，設方形物相對于劈形物沿斜面下滑的加速度為，劈形物水平向左的加速度為，分析受力有：方形物受力：，，（慣性力）；劈形物受力：，，，如圖；對于，有沿斜面平行和垂直的方程為：①②對于，有：③將③代入有②：，∴，代入①，有：再將在水平和豎直兩方向上分解，有：∴而相互作用力：2-8．在光滑的水平面上設置一豎直的圓筒，半徑為，一小球緊靠圓筒內(nèi)壁運動，摩擦系數(shù)為，在時，球的速率為，求任一時刻球的速率和運動路程。解：利用自然坐標系，法向：，而：切向：，則：，得：2-9．如圖，一質(zhì)點在幾個力作用下沿半徑為的圓周運動，其中有一恒力N，求質(zhì)點從A開始沿逆時針方向經(jīng)3/4圓周到達B的過程中，力所做的功。解：本題為恒力做功，考慮到B的坐標為（，），∴，再利用：，有：（焦耳）2-10．質(zhì)量為m=0.5kg的質(zhì)點，在xOy坐標平面內(nèi)運動，其運動方程為x=5t2,y=0.5(SI),從t=2s到t=4s這段時間內(nèi)，外力對質(zhì)點的功為多少？解：由功的定義：，題意：，∴。2-11．一質(zhì)量為的物體，在力的作用下，由靜止開始運動，求在任一時刻此力所做功的功率為多少。解：由，要求功率就必須知道力和速度的情況，由題意：所以功率為：。2-12．一彈簧并不遵守胡克定律，其彈力與形變的關系為，其中和單位分別為和。（1）計算當將彈簧由拉伸至過程中，外力所做之功；（2）此彈力是否為保守力?解：（1）由做功的定義可知：（2）∵，按保守力的定義：∴該彈力為保守力。2-13．如圖，一質(zhì)量為m的質(zhì)點，在半徑為R的半球形容器中，由靜止開始自邊緣上的A點滑下，到達最低點B時，它對容器的正壓力數(shù)值為N，求質(zhì)點自A滑到B的過程中，摩擦力對其做的功。分析：直接求解顯然有困難，所以使用動能定理，那就要知道它的末速度的情況。解：求在B點的速度：，可得：由動能定理：∴2-14．在密度為的液面上方，懸掛一根長為，密度為的均勻棒，棒的端剛和液面接觸如圖所示，今剪斷細繩，設細棒只在浮力和重力作用下運動，在的條件下，求細棒下落過程中的最大速度，以及細棒能進入液體的最大深度。解：（1）分析可知，棒下落的最大速度是受合力為零的時候，所以：，即，則：。利用功能原理：，有：可解得：（2）當均勻棒完全進入液體中時，浮力不變，到最大深度時，速度為零，設：，由能量守恒有：，即：∴。2-15．一鏈條放置在光滑桌面上，用手撳住一端，另一端有四分之一長度由桌邊下垂，設鏈條長為，質(zhì)量為，試問將鏈條全部拉上桌面要做多少功？解：直接考慮垂下的鏈條的質(zhì)心位置變化，來求做功，則：2-16．在光滑水平面上，平放一輕彈簧，彈簧一端固定，另一端連一物體、邊上再放一物體，它們質(zhì)量分別為和，彈簧勁度系數(shù)為，原長為．用力推，使彈簧壓縮，然后釋放。求：（1）當與開始分離時，它們的位置和速度；（2）分離之后，還能往前移動多遠?解：（1）當與開始分離時，兩者具有相同的速度，但的加速度為零，此時彈簧和都不對產(chǎn)生作用力，即為彈簧原長位置時刻，根據(jù)能量守恒，可得到：，有：，；（2）分離之后，的動能又將逐漸的轉化為彈性勢能，所以：，則：。2-17．已知地球對一個質(zhì)量為的質(zhì)點的引力為（為地球的質(zhì)量和半徑)。（1）若選取無窮遠處勢能為零，計算地面處的勢能；（2）若選取地面處勢能為零，計算無窮遠處的勢能．比較兩種情況下的勢能差．解：（1）取無窮遠處勢能為零，地面處的勢能為：；（2）若選取地面處勢能為零，計算無窮遠處的勢能為：∴兩種情況下勢能差是完全一樣的。2-18．如圖所示的圓錐擺，繩長為l，繩子一端固定，另一端系一質(zhì)量為m的質(zhì)點，以勻角速ω繞鉛直線作圓周運動，繩子與鉛直線的夾角為θ。在質(zhì)點旋轉一周的過程中，試求：（1）質(zhì)點所受合外力的沖量；（2）質(zhì)點所受張力T的沖量。解：（1）設周期為，因質(zhì)點轉動一周的過程中，速度沒有變化，，由，∴旋轉一周的沖量；（2）如圖該質(zhì)點受的外力有重力和拉力，且，∴張力T旋轉一周的沖量：所以拉力產(chǎn)生的沖量為，方向豎直向上。2-19．質(zhì)量為的質(zhì)點在平面內(nèi)運動，運動學方程為，求：（1）質(zhì)點在任一時刻的動量；（2）從到的時間內(nèi)質(zhì)點受到的沖量。解：（1）根據(jù)動量的定義：，而，∴；（2）由，所以沖量為零。2-20．質(zhì)量為M=2.0kg的物體（不考慮體積），用一根長為l=1.0m的細繩懸掛在天花板上。今有一質(zhì)量為m=20g的子彈以=600m/s的水平速度射穿物體。剛射出物體時子彈的速度大小=30m/s，設穿透時間極短。求：（1）子彈剛穿出時繩中張力的大小；（2）子彈在穿透過程中所受的沖量。解：（1）解：由碰撞過程動量守恒可得：∴根據(jù)圓周運動的規(guī)律：，有：；（2）根據(jù)沖量定理可得：。2-21．一靜止的原子核經(jīng)放射性衰變產(chǎn)生出一個電子和一個中微子，巳知電子的動量為，中微子的動量為，兩動量方向彼此垂直。（1）求核反沖動量的大小和方向；（2）已知衰變后原子核的質(zhì)量為，求其反沖動能。解：由碰撞時，動量守恒，分析示意圖，有：（1）又∵，∴，所以，；（2）反沖的動能為：。2-22．有質(zhì)量為的彈丸，從地面斜拋出去，它的落地點為。如果它在飛行到最高點處爆炸成質(zhì)量相等的兩碎片。其中一碎片鉛直自由下落，另一碎片水平拋出，它們同時落地。問第二塊碎片落在何處。解：利用質(zhì)心運動定理，在爆炸的前后，質(zhì)心始終只受重力的作用，因此，質(zhì)心的軌跡為一拋物線，它的落地點為。，而，，∴。2-23．如圖，光滑斜面與水平面的夾角為，輕質(zhì)彈簧上端固定．今在彈簧的另一端輕輕地掛上質(zhì)量為的木塊，木塊沿斜面從靜止開始向下滑動．當木塊向下滑時，恰好有一質(zhì)量的子彈，沿水平方向以速度射中木塊并陷在其中。設彈簧的勁度系數(shù)為。求子彈打入木塊后它們的共同速度。解：由機械能守恒條件可得到碰撞前木快的速度，碰撞過程中子彈和木快沿斜面方向動量守恒，可得：(碰撞前木快的速度)再由沿斜面方向動量守恒定律，可得：。2-24．以初速度0將質(zhì)量為m的質(zhì)點以傾角從坐標原點處拋出。設質(zhì)點在Oxy平面內(nèi)運動，不計空氣阻力，以坐標原點為參考點，計算任一時刻：（1）作用在質(zhì)點上的力矩；（2）質(zhì)點的角動量。解：（1）（2）2-25．人造地球衛(wèi)星近地點離地心r1=2R，（R為地球半徑），遠地點離地心r2=4R。求：（1）衛(wèi)星在近地點及遠地點處的速率和（用地球半徑R以及地球表面附近的重力加速度g來表示）；（2）衛(wèi)星運行軌道在近地點處的軌跡的曲率半徑ρ。解：（1）利用角動量守恒：，得，同時利用衛(wèi)星的機械能守恒，這里，萬有引力勢能表達式為：，所以：，考慮到：，有：，；（2）利用萬有引力提供向心力，有：，可得到：。2-26．火箭以第二宇宙速度沿地球表面切向飛出，如圖所示。在飛離地球過程中，火箭發(fā)動機停止工作，不計空氣阻力，求火箭在距地心4R的A處的速度。解：第二宇宙速度時，由機械能守恒：再由動量守恒：，代入：。2-27．如圖，一輕繩跨過兩個質(zhì)量為、半徑為的均勻圓盤狀定滑輪，繩的兩端分別掛著質(zhì)量為和的重物，繩與滑輪間無相對滑動，滑輪軸光滑，兩個定滑輪的轉動慣量均為，將由兩個定滑輪以及質(zhì)量為和的重物組成的系統(tǒng)從靜止釋放，求重物的加速度和兩滑輪之間繩內(nèi)的張力。解：受力分析如圖，可建立方程：┄①┄②┄③┄④，┄⑤聯(lián)立，解得：，。2-28．如圖所示，一均勻細桿長為，質(zhì)量為，平放在摩擦系數(shù)為的水平桌面上，設開始時桿以角速度繞過中心且垂直與桌面的軸轉動，試求：（1）作用于桿的摩擦力矩；（2）經(jīng)過多長時間桿才會停止轉動。解：（1）設桿的線密度為：，在桿上取一小質(zhì)元，有微元摩擦力：，微元摩擦力矩：，考慮對稱性，有摩擦力矩：；（2）根據(jù)轉動定律，有：，，∴。或利用：，考慮到，，有：。2-29．如圖所示，滑輪轉動慣量為，半徑為；物體的質(zhì)量為，用一細繩與勁度系數(shù)的彈簧相連，若繩與滑輪間無相對滑動，滑輪軸上的摩擦忽略不計。求：（1）當繩拉直、彈簧無伸長時使物體由靜止而下落的最大距離；（2）物體的速度達最大值時的位置及最大速率。解：（1）設彈簧的形變量為，下落最大距離為。由機械能守恒：，有：；（2）當物體下落時，由機械能守恒：，考慮到，有：，欲求速度最大值，將上式兩邊對求導，且令，有：，將代入，有：，∴當m時物體速度達最大值，有：，代入數(shù)值可算出：。2-30．如圖所示，長為l的輕桿，兩端各固定質(zhì)量分別為和的小球，桿可繞水平光滑固定軸O在豎直面內(nèi)轉動，轉軸O距兩端分別為和．輕桿原來靜止在豎直位置。今有一質(zhì)量為的小球，以水平速度與桿下端小球作對心碰撞，碰后以的速度返回，試求碰撞后輕桿所獲得的角速度。解：根據(jù)角動量守恒，有：有：∴思考題2-1．質(zhì)量為m的小球，放在光滑的木板和光滑的墻壁之間，并保持平衡，如圖所示．設木板和墻壁之間的夾角為，當逐漸增大時，小球對木板的壓力將怎樣變化？解：以小球為研究對象，設墻壁對小球的壓力為N1，方向水平向右，木板對小球的壓力為N2，方向垂直于木板，小球受重力為mg，建立平衡方程：，所以當增大，小球對木板的壓力N2將減?。恍∏驅Ρ诘膲毫σ矞p小。2-2．質(zhì)量分別為m1和m2的兩滑塊A和B通過一輕彈簧水平連結后置于水平桌面上，滑塊與桌面間的摩擦系數(shù)均為μ，系統(tǒng)在水平拉力F作用下勻速運動，如圖所示．如突然撤消拉力，則剛撤消后瞬間，二者的加速度aA和aB分別為多少？解：由于系統(tǒng)在拉力F作用下做勻速運動，對A進行受力分析，知：，對B進行受力分析，知：突然撤消拉力時，對A有：，所以，對B有：，所以。2-3．如圖所示，用一斜向上的力(與水平成30°角)，將一重為的木塊壓靠在豎直壁面上，如果不論用怎樣大的力F，都不能使木塊向上滑動，則說明木塊與壁面間的靜摩擦系數(shù)的大小為多少？解：假設墻壁對木塊的壓力為N，由受力分析圖可知：整理上式，并且根據(jù)題意，如果不論用怎樣大的力F，都不能使木塊向上滑動，則說明：即：（此式中F無論為多大，總成立），則可得：。2-4．如圖所示，假設物體沿著豎直面上圓弧形軌道下滑，軌道是光滑的，在從A至C的下滑過程中，下面哪個說法是正確的？(A)它的加速度大小不變，方向永遠指向圓心。(B)它的速率均勻增加。(C)它的合外力大小變化，方向永遠指向圓心。(D)它的合外力大小不變。(E)軌道支持力的大小不斷增加。解：在下滑過程中，物體做圓周運動。并且v在增大，所以它既有法向加速度，又有切向加速度，A的說法不對；速率的增加由重力沿切線方向的分力提供，由于切線方向始終在改變，所以速率增加不均勻，B的說法不對；外力有重力和支持力，后者的大小和方向都在變化，所以合力的大小方向也在變化。C，D的說法都不對。下滑過程中的θ和v都在增大，所以N也在增大，則E的說法正確。2-5．和兩物體放在水平面上，它們受到的水平恒力一樣，位移也一樣，但一個接觸面光滑，另一個粗糙．力做的功是否一樣?兩物體動能增量是否一樣?答：根據(jù)功的定義：所以當它們受到的水平恒力一樣，位移也一樣時，兩個功是相等的；但由于光滑的接觸面摩擦力不做功，粗糙的接觸面摩擦力做功，所以兩個物體的總功不同，動能的增量就不相同。2-6．按質(zhì)點動能定理，下列式子：是否成立?這三式是否是質(zhì)點動能定理的三個分量式?試作分析。答：不成立，因為功是標量，不分方向，沒有必要這么寫。2-7．在勁度系數(shù)為的彈簧下，如將質(zhì)量為的物體掛上慢慢放下，彈簧伸長多少?如瞬間掛上讓其自由下落彈簧又伸長多少?答：如將質(zhì)量為的物體掛上慢慢放下，彈簧伸長為，所以；如瞬間掛上讓其自由下落，彈簧伸長應滿足能量守恒：，所以。2-8．一粒子初時沿軸負向以速度運動，后被位于坐標原點的金核所散射，使其沿與軸成的方向運動(速度大小不變)．試用矢量在圖上表出粒子所受到的沖量的大小和方向。解：由：，考慮到，見右圖示。2-9．試用所學的力學原理解釋逆風行舟的現(xiàn)象。解：可用動量定理來解釋。設風沿與航向成角的方向從右前方吹來，以風中一小塊沿帆面吹過來的空氣為研究對象，表示這塊空氣的質(zhì)量，和分別表示它吹向帆面和離開帆面時的速度，由于帆面比較光滑，風速大小基本不變，但是由于的速度方向改變了，所以一定是受到帆的作用力，根據(jù)牛頓第三定律，必然對帆有一個反作用力，此力的方向偏向船前進的方向，將分解為兩個分量，垂直船體的分量與水對船的阻力相平衡，與船的航向平行的分量就是推動帆及整個船體前進的作用力。2-10．當質(zhì)量為的人造衛(wèi)星在軌道上運動時，常常列出下列三個方程：，，，試分析上述三個方程各在什么條件下成立。解：（1）機械能守恒；（2）角動量守恒；（3）萬有引力提供向心力。2-11．在水平冰面上以一定速度向東行駛的炮車，向東南（斜向上）方向發(fā)射一炮彈，對于炮車和炮彈這一系統(tǒng)，在此過程中（忽略冰面摩擦力及空氣阻力）哪些量守恒？答：對于這個系統(tǒng)，（1）動量守恒；（2）能量守恒，因為沒有外力做功。2-12．體重相同的甲乙兩人，分別用雙手握住跨過無摩擦滑輪的繩子兩端，當他們由同一高度向上爬時，相對于繩子，甲的速度是乙的兩倍，則到達頂點情況是：（A）甲先到達；（B）乙先到達；（C）同時到達；（D）誰先到達不能確定。答：本題測試的是剛體系統(tǒng)的角動量定理和角動量守恒的概念.當兩小孩質(zhì)量相等時，M=0。則系統(tǒng)角動量守恒，兩人的實際的速度相同，將同時到達滑輪處，與誰在用力，誰不在用力無關。選擇C。2-13．一圓盤繞過盤心且與盤面垂直的軸以角速度按圖示方向轉動，若如圖所示的情況那樣，將兩個大小相等方向相反但不在同一條直線的力沿盤面方向同時作用到盤上，則盤的角速度怎樣變化？答：增大2-14．一個人站在有光滑固定轉軸的轉動平臺上,雙臂伸直水平地舉起二啞鈴,在該人把此二啞鈴水平收縮到胸前的過程中，人、啞鈴與轉動平臺組成的系統(tǒng)的：（A）機械能守恒，角動量守恒；（B）機械能守恒，角動量不守恒；（C）機械能不守恒，角動量守恒；（D）機械能不守恒，角動量不守恒。答：（C）習題33-1．原長為的彈簧，上端固定，下端掛一質(zhì)量為的物體，當物體靜止時，彈簧長為．現(xiàn)將物體上推，使彈簧縮回到原長，然后放手，以放手時開始計時，取豎直向下為正向，寫出振動式。（g取9.8）解：振動方程：，在本題中，，所以；∴。取豎直向下為x正向，彈簧伸長為0.1m時為物體的平衡位置，所以如果使彈簧的初狀態(tài)為原長，那么：A=0.1m，當t=0時，x=-A，那么就可以知道物體的初相位為π。所以：即：。3-2．有一單擺，擺長，小球質(zhì)量，時，小球正好經(jīng)過處，并以角速度向平衡位置運動。設小球的運動可看作簡諧振動，試求：（1）角頻率、頻率、周期；（2）用余弦函數(shù)形式寫出小球的振動式。（g取9.8）解：振動方程：我們只要按照題意找到對應的各項就行了。（1）角頻率：，頻率：，周期：；（2）振動方程可表示為：，∴根據(jù)初始條件，時：，可解得：，所以得到振動方程：。3-3．一質(zhì)點沿軸作簡諧振動，振幅為，周期為。當時，位移為，且向軸正方向運動。求：（1）振動表達式；（2）時，質(zhì)點的位置、速度和加速度；（3）如果在某時刻質(zhì)點位于，且向軸負方向運動，求從該位置回到平衡位置所需要的時間。解：（1）由題已知A=0.12m，T=2s，∴又∵t=0時，，，由旋轉矢量圖，可知：故振動方程為：；（2）將t=0.5s代入得：，，，方向指向坐標原點，即沿x軸負向；（3）由題知，某時刻質(zhì)點位于，且向軸負方向運動，如圖示，質(zhì)點從位置回到平衡位置處需要走，建立比例式：，有：。3-4．兩質(zhì)點作同方向、同頻率的簡諧振動，振幅相等。當質(zhì)點1在處，且向左運動時，另一個質(zhì)點2在處，且向右運動。求這兩個質(zhì)點的位相差。解：由旋轉矢量圖可知：當質(zhì)點1在處，且向左運動時，相位為，而質(zhì)點2在處，且向右運動，相位為。所以它們的相位差為。3-5．當簡諧振動的位移為振幅的一半時，其動能和勢能各占總能量的多少？物體在什么位置時其動能和勢能各占總能量的一半？解：由，，有：，，（1）當時，由，有：，，∴，；（2）當時，有：∴，。3-6．兩個同方向的簡諧振動曲線(如圖所示)（1）求合振動的振幅。（2）求合振動的振動表達式。 解：通過旋轉矢量圖做最為簡單。由圖可知，兩個振動同頻率，且初相：，初相：，表明兩者處于反相狀態(tài)，（反相，）∵，∴合成振動的振幅：；合成振動的相位：；合成振動的方程：。3-7．兩個同方向，同頻率的簡諧振動，其合振動的振幅為，與第一個振動的位相差為。若第一個振動的振幅為。則（1）第二個振動的振幅為多少？（2）兩簡諧振動的位相差為多少？解：如圖，可利用余弦定理：由圖知=0.01m∴A２=0.1m再利用正弦定理：，有：，∴。說明A１與A２間夾角為π/2，即兩振動的位相差為π/2。3-8.質(zhì)點分別參與下列三組互相垂直的諧振動：（1）；（2）；（3）。試判別質(zhì)點運動的軌跡。解：質(zhì)點參與的運動是頻率相同，振幅相同的垂直運動的疊加。對于，的疊加，可推得：（1）將，代入有：，則方程化為：，軌跡為一般的橢圓；（2）將，代入有：則方程化為：，即，軌跡為一直線；（3）將，代入有：則方程化為：，軌跡為圓心在原點，半徑為4m的圓3-9．沿一平面簡諧波的波線上，有相距的兩質(zhì)點與，點振動相位比點落后，已知振動周期為，求波長和波速。解：根據(jù)題意，對于A、B兩點，，而相位和波長之間滿足關系：，代入數(shù)據(jù)，可得：波長=24m。又∵T=2s，所以波速。3-10．已知一平面波沿軸正向傳播，距坐標原點為處點的振動式為，波速為，求：（1）平面波的波動式；（2）若波沿軸負向傳播，波動式又如何?解：（1）設平面波的波動式為，則點的振動式為：，與題設點的振動式比較，有：，∴平面波的波動式為：；（2）若波沿軸負向傳播，同理，設平面波的波動式為：，則點的振動式為：，與題設點的振動式比較，有：，∴平面波的波動式為：。3-11．一平面簡諧波在空間傳播，如圖所示，已知點的振動規(guī)律為，試寫出：（1）該平面簡諧波的表達式；（2）點的振動表達式（點位于點右方處）。解：（1）仿照上題的思路，根據(jù)題意，設以點為原點平面簡諧波的表達式為：，則點的振動式：題設點的振動式比較，有：，∴該平面簡諧波的表達式為：（2）B點的振動表達式可直接將坐標，代入波動方程：3-12．已知一沿正方向傳播的平面余弦波，時的波形如圖所示，且周期為。（1）寫出點的振動表達式；（2）寫出該波的波動表達式；（3）寫出點的振動表達式；（4）寫出點離點的距離。解：由圖可知：，，而，則：，，，∴波動方程為：點的振動方程可寫成：由圖形可知：時：，有：考慮到此時，∴，（舍去）那么：（1）點的振動表達式：；（2）波動方程為：；（3）設點的振動表達式為：由圖形可知：時：，有：考慮到此時，∴（或）∴A點的振動表達式：，或；（4）將A點的坐標代入波動方程，可得到A的振動方程為：，與（3）求得的A點的振動表達式比較，有：，所以：。3-13．一平面簡諧波以速度沿軸負方向傳播。已知原點的振動曲線如圖所示。試寫出：（1）原點的振動表達式；（2）波動表達式；（3）同一時刻相距的兩點之間的位相差。解：這是一個振動圖像！由圖可知A=0.5cm，設原點處的振動方程為：（1）當時，，考慮到：，有：，當時，，考慮到：，有：，，∴原點的振動表達式：；（2）沿軸負方向傳播，設波動表達式：而，∴；（3）位相差：。3-14．一正弦形式空氣波沿直徑為的圓柱形管行進，波的平均強度為，頻率為，波速為。問波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少？每兩個相鄰同相面間的波段中含有多少能量？解：（1）已知波的平均強度為：，由有：；（2）由，∴。3-15．一彈性波在媒質(zhì)中傳播的速度，振幅，頻率。若該媒質(zhì)的密度為，求：（1）該波的平均能流密度；（2）1分鐘內(nèi)垂直通過面積的總能量。解：（1）由：，有：；（2）1分鐘為60秒，通過面積的總能量為：。3-16．設與為兩個相干波源，相距波長，比的位相超前。若兩波在在、連線方向上的強度相同且不隨距離變化，問、連線上在外側各點的合成波的強度如何？又在外側各點的強度如何？解：（1）如圖，、連線上在外側，∵，∴兩波反相，合成波強度為0；（2）如圖，、連線上在外側，∵，∴兩波同相，合成波的振幅為，合成波的強度為：。3-17．圖中所示為聲音干涉儀，用以演示聲波的干涉。為聲源，為聲音探測器，如耳或話筒。路徑的長度可以變化，但路徑是固定的。干涉儀內(nèi)有空氣，且知聲音強度在的第一位置時為極小值100單位，而漸增至距第一位置為的第二位置時，有極大值單位。求：（1）聲源發(fā)出的聲波頻率；（2）抵達探測器的兩波的振幅之比。解：根據(jù)駐波的定義，相鄰兩波節(jié)(腹)間距：，相鄰波節(jié)與波腹的間距：，可得：。（1）聲音的速度在空氣中約為340m/s（2）∵，，，依題意有：，那么。3-18．蝙蝠在洞穴中飛來飛去，是利用超聲脈沖來導航的。假定蝙蝠發(fā)出的超聲頻率為39000Hz。當它以空氣中聲速的的運動速率朝著墻壁飛撲過程中，試問它自己聽到的從墻壁反射回來的脈沖頻率是多少？解：根據(jù)多普勒效應，3-19．一聲源的頻率為1080Hz，相對于地以30m/s的速度向右運動，在其右方有一反射面相對于地以65m/s的速率向左運動，設空氣中的聲速為331m/s，求：（1）聲源在空氣中發(fā)出聲音的波長；（2）每秒鐘到達反射面的波數(shù)；（3）反射波的波速；（4）反射波的波長。解：（1）在聲源前方靜止接收器接收到的頻率聲音的波長（2）每秒鐘到達反射面的波數(shù)（等于反射波的頻率）為（3）波速只取決于媒質(zhì)的性質(zhì)，因此反射波的波速仍為（4）反射波的波長為3-20．試計算：一波源振動的頻率為，以速度向墻壁接近（如圖所示），觀察者在點聽得拍音的頻率為，求波源移動的速度，設聲速為。解：根據(jù)觀察者不動，波源運動，即：，，觀察者認為接受到的波數(shù)變了：，其中，，，分別代入，可得：。思考題3-1．試說明下列運動是不是簡諧振動：（1）小球在地面上作完全彈性的上下跳動；（2）小球在半徑很大的光滑凹球面底部作小幅度的擺動。答：要使一個系統(tǒng)作諧振動，必須同時滿足以下三個條件：描述系統(tǒng)的各種參量，如質(zhì)量、轉動慣量、擺長……等等在運動中保持為常量；系統(tǒng)是在自己的穩(wěn)定平衡位置附近作往復運動；在運動中系統(tǒng)只受到內(nèi)部的線性回復力的作用?；蛘哒f，若一個系統(tǒng)的運動微分方程能用描述時，其所作的運動就是諧振動。那么，（1）拍皮球時球的運動不是諧振動。第一、球的運動軌道中并不存在一個穩(wěn)定的平衡位置；第二、球在運動中所受的三個力：重力，地面給予的彈力，擊球者給予的拍擊力，都不是線性回復力。要使一個系統(tǒng)作諧振動，必須同時滿足以下三個條件：一、描述系統(tǒng)的各種參量，如質(zhì)量、轉動慣量、擺長……等等在運動中保持為常量；二、系統(tǒng)是在自己的穩(wěn)定平衡位置附近作往復運動；三、在運動中系統(tǒng)只受到內(nèi)部的線性回復力的作用。或者說，若一個系統(tǒng)的運動微分方程能用描述時，其所作的運動就是諧振動。（2）小球在圖所示的情況中所作的小弧度的運動，是諧振動。顯然，小球在運動過程中，各種參量均為常量；該系統(tǒng)(指小球凹槽、地球系統(tǒng))的穩(wěn)定平衡位置即凹槽最低點，即系統(tǒng)勢能最小值位置點O；而小球在運動中的回復力為。題中所述，，故，所以回復力為。（式中負號表示回復力的方向始終與角位移的方向相反）即小球在O點附近的往復運動中所受回復力為線性的。若以小球為對象，則小球在以O′為圓心的豎直平面內(nèi)作圓周運動，由牛頓第二定律，在凹槽切線方向上有mR，令，則有：。3-2．簡諧振動的速度和加速度在什么情況下是同號的?在什么情況下是異號的?加速度為正值時，振動質(zhì)點的速率是否一定在增加？反之，加速度為負值時，速率是否一定在減小?答：簡諧振動的速度：；加速度：；要使它們同號，必須使質(zhì)點的振動相位在第一象限。其他象限的相位兩者就是異號的。加速度為正值時，振動質(zhì)點的速率不一定在增加，反之，加速度為負值時，速率也不一定在減小。只有當速度和加速度是同號時，加速度才能使速率增加；反之，兩者異號時，加速度使速率減小。3-3．分析下列表述是否正確，為什么?（1）若物體受到一個總是指向平衡位置的合力，則物體必然作振動，但不一定是簡諧振動；（2）簡諧振動過程是能量守恒的過程，凡是能量守恒的過程就是簡諧振動。答：（1）的表述是正確的，原因參考7-1；（2）的表述不正確，比如自由落體運動中能量守恒，但不是簡諧振動。3-4．用兩種方法使某一彈簧振子作簡諧振動。方法1：使其從平衡位置壓縮，由靜止開始釋放。方法2：使其從平衡位置壓縮2，由靜止開始釋放。若兩次振動的周期和總能量分別用和表示，則它們滿足下面那個關系？（A）（B）（C）（D）答：根據(jù)題意，這兩次彈簧振子的周期相同，振幅相差一倍。所以能量不同。選擇（B）。3-5．一質(zhì)點沿x軸作簡諧振動，周期為T，振幅為A，質(zhì)點從運動到處所需要的最短時間為多少？答：質(zhì)點從運動到處所需要的最短相位變化為，所以運動的時間為：。3-6．一彈簧振子，沿軸作振幅為的簡諧振動，在平衡位置處，彈簧振子的勢能為零，系統(tǒng)的機械能為，問振子處于處時；其勢能的瞬時值為多少？答：由題意，在平衡位置處，彈簧振子的勢能為零，系統(tǒng)的機械能為，所以該振子的總能量為，當振子處于處時；其勢能的瞬時值為：。3-7.圖（a）表示沿軸正向傳播的平面簡諧波在時刻的波形圖，則圖（b）表示的是：（A）質(zhì)點的振動曲線；（B）質(zhì)點的振動曲線；（C）質(zhì)點的振動曲線；（D）質(zhì)點的振動曲線。答：圖（b）在t=0時刻的相位為，所以對應的是質(zhì)點n的振動曲線，選擇B。3-8．從能量的角度討論振動和波動的聯(lián)系和區(qū)別。.答：（1）在波動的傳播過程中，任意時刻的動能和勢能不僅大小相等而且相位相同，同時達到最大，同時等于零。而振動中動能的增加必然以勢能的減小為代價，兩者之和為恒量。（2）在波傳動過程中，任意體積元的能量不守恒。質(zhì)元處在媒質(zhì)整體之中，沿波的前進方向，每個質(zhì)元從后面吸收能量，又不停的向前面的質(zhì)元釋放能量，能量得以不斷地向前傳播。而一個孤立振動系統(tǒng)總能量是守恒的。3-9.當兩列波干涉時，是否會有能量損失？答：否。當兩列波干涉時，波的能量只是進行了重新分布，并不會有損失。3-10.一衛(wèi)星發(fā)射恒定頻率的無線電波。地面上的探測器測到了這些無線電波，并使它們與某一標準頻率形成拍，然后將拍頻輸入揚聲器，人們就“聽”到了衛(wèi)星的信號。試描述當衛(wèi)星趨近地面探測器、通過探測器上空以及離開探測器時聲音的變化情況。答：由于多普勒效應，當衛(wèi)星趨近地面探測器、通過探測器上空以及離開探測器時，地面上探測器測到的來自衛(wèi)星的無線電波頻率將大于、等于和小于其發(fā)射頻率（），它們與標準頻率()形成拍的拍頻將隨著增大（若>）或減?。ㄈ簦?，揚聲器發(fā)出的拍音也隨之變短或變長。習題44-1．在容積的容器中盛有理想氣體，氣體密度為=1.3g/L。容器與大氣相通排出一部分氣體后，氣壓下降了0.78atm解：根據(jù)題意，可知：，，。由于溫度不變，∴，有：，那么，逃出的氣體在下體積為：，這部分氣體在下體積為：則排除的氣體的質(zhì)量為：。根據(jù)題意，可得：，4-2．有一截面均勻的封閉圓筒，中間被一光滑的活塞分割成兩邊。如果其中的一邊裝有0.1kg解：平衡時，兩邊氫、氧氣體的壓強、體積、溫度相同，利用，知兩氣體摩爾數(shù)相同，即：，∴，代入數(shù)據(jù)有：。4-3．如圖所示，兩容器的體積相同，裝有相同質(zhì)量的氮氣和氧氣。用一內(nèi)壁光滑的水平細玻璃管相通，管的正中間有一小滴水銀。要保持水銀滴在管的正中間，并維持氧氣溫度比氮氣溫度高30oC，則氮氣的溫度應是多少？解：已知氮氣和氧氣質(zhì)量相同，水銀滴停留在管的正中央，則體積和壓強相同，如圖。由：，有：，而：，，可得：。4-4．高壓氧瓶：，，每天用，，為保證瓶內(nèi)，能用幾天？解：由，可得：，∴；而：，有：，那么：能用的天數(shù)為天。4-5．氫分子的質(zhì)量為，如果每秒有個氫分子沿著與容器器壁的法線成角的方向以的速率撞擊在面積上(碰撞是完全彈性的)，則器壁所承受的壓強為多少？解：由：，再根據(jù)氣體壓強公式：，有：。4-6．一容器內(nèi)儲有氧氣，其壓強，溫度，求容器內(nèi)氧氣的（1）分子數(shù)密度；（2）分子間的平均距離；（3）分子的平均平動動能；（4）分子的方均根速度。解：（1）由氣體狀態(tài)方程得：；（2）分子間的平均距離可近似計算：；（3）分子的平均平動動能：；（4）分子的方均根速度：。4-7．已知某種理想氣體，其分子方均根率為，當其壓強為時，求氣體的密度。解：∵，由氣體方程：，又∵，∴。4-8．金屬導體中的電子，在金屬內(nèi)部作無規(guī)則運動（與容器中的氣體分子類似），設金屬中共有大速率電子速率在之間的概率為：，式中為常數(shù)．則電子的平均速率為多少？解：由平均速率的定義：，考慮到：，有：。4-9．大量粒子（個）的速率分布函數(shù)圖象如圖所示，試求：（1）速率小于的分子數(shù)約為多少？（2）速率處在到之間的分子數(shù)約為多少？（3）所有個粒子的平均速率為多少？（4）速率大于的那些分子的平均速率為多少？解：根據(jù)圖像信息，注意到。圖形所圍的面積為分子的全部數(shù)目，有：，所以，利用，有：，。（1）速率小于的分子數(shù)：個；（2）速率處在到之間的分子數(shù)：個；【或：】（3）所有個粒子的平均速率：先寫出這個分段函數(shù)的表達式：由平均速率定義：，有：；（4）速率大于的那些分子的平均速率：。4-10．在麥克斯韋分布下，（1）計算溫度和時氧氣分子最可幾速率和；（2）計算在這兩溫度下的最可幾速率附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率；（3）計算時氧分子在處單位速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子的比率。解：根據(jù)最可幾速率的定義：（1）溫度：，：；（2）在最可幾速率附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率就是麥克斯韋分布函數(shù)：，代入：，代入：；（3）計算時氧分子在處單位速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子的比率。將，代入：得：。4-11．在標準狀態(tài)下，若氧氣（視為剛性雙原子分子的理想氣體）和氦氣的體積比，則其內(nèi)能之比為多少？解：根據(jù)，有：，因題設條件為，，可得：，又∵氦氣是單原子分子，知：，那么內(nèi)能之比為：。4-12．水蒸氣分解為同溫度的氫氣和氧氣，即H2O→H2+0.5O2，內(nèi)能增加了多少？解：水蒸氣分解后，一份的三原子的內(nèi)能變成了1.5份的雙原子的內(nèi)能，而水分子的自由度為6，氫氣和氧氣作為剛性雙原子分子，其自由度均為5，利用氣體內(nèi)能公式：，所以內(nèi)能的變化為：。4-13．體積為的鋼瓶中盛有氧氣（視為剛性雙原子氣體），使用一段時間后，測得瓶中氣體的壓強為，此時氧氣的內(nèi)能為多少？解：由理想氣體狀態(tài)方程：，以及雙原子氣體內(nèi)能公式：，可得到：。思考題4-1．氣體在平衡狀態(tài)時有何特征？平衡態(tài)與穩(wěn)定態(tài)有什么不同？氣體的平衡態(tài)與力學中所指的平衡有什么不同？答：平衡態(tài)的特征：（1）系統(tǒng)與外界在宏觀上無能量和物質(zhì)的交換（2）系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不隨時間改變。熱平衡態(tài)是指：在無外界的影響下，不論系統(tǒng)初始狀態(tài)如何，經(jīng)過足夠長的時間后，系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不隨時間改變的穩(wěn)定狀態(tài)。它與穩(wěn)定態(tài)或力學中的平衡不是一個概念。1．平衡態(tài)是一種熱動平衡狀態(tài)。處在平衡態(tài)的大量分子并不是靜止的，它們?nèi)栽谧鳠徇\動，而且因為碰撞，每個分子的速度經(jīng)常在變，但是系統(tǒng)的宏觀量不隨時間改變。例如：粒子數(shù)問題：箱子假想分成兩相同體積的部分，達到平衡時，兩側粒子有的穿越界線，但兩側粒子數(shù)相同。2．平衡態(tài)是一種理想狀態(tài)。4-2．對一定量的氣體來說，當溫度不變時，氣體的壓強隨體積的減小面增大；當體積不變時，壓強隨溫度的升高而增大。從宏觀來看，這兩種變化同樣使壓強增大；從微觀來看，它們是否有區(qū)別?答：有區(qū)別。從微觀上看：當溫度不變時，氣體的壓強隨體積的減小而增大是因為：當一定時，體積減小，n越大，即單位時間內(nèi)碰撞到器壁的分子越多，則P就越大；當體積不變時，壓強隨溫度的升高而增大是因為：當n一定時，越大，即單位時間內(nèi)分子對器壁的碰撞越厲害，則P就越大。4-3．在推導理想氣體壓強公式的過程中，什么地方用到了理想氣體的分子模型?什么地方用到了平衡態(tài)的概念?什么地方用到了統(tǒng)計平均的概念？壓強的微觀統(tǒng)計意義是什么?答：壓強的求解公式中用到了理想氣體的分子模型，把分子作為質(zhì)點來研究；對每個分子狀態(tài)的假定用到了平衡態(tài)的概念；從一個分子對器壁的作用力推廣到所有分子對器壁的作用力，計算分子的平均速度都用到了統(tǒng)計平均的概念；壓強的微觀統(tǒng)計意義是壓強是大量分子碰撞器壁的平均效果，是對大量分子對時間對面積的一個統(tǒng)計平均值。對一個分子而言，它對器壁的碰撞是偶然的，但就大量分子而言，其碰撞的統(tǒng)計平均效果就表現(xiàn)為持續(xù)的均勻壓強。4-4．容器內(nèi)有質(zhì)量為，摩爾質(zhì)量為的理想氣體，設容器以速度作定向運動，今使容器突然停止，問：（1）氣體的定向運動機械能轉化什么形式的能量？（2）下面兩種氣體分子速度平方的平均值增加多少？eq\o\ac(○,1)單原子分子；②雙原子分子；（3）如果容器再從靜止加速到原來速度，那么容器內(nèi)理想氣體的溫度是否還會改變?為什么?答：（1）一般來說，氣體的宏觀運動不會影響其微觀的內(nèi)動能，但是當容器忽然停止運動時，大量分子的定向運動的動能將通過與器壁的以及分子間的碰撞而轉換為熱運動的能量，會使容器內(nèi)氣體的問題有所升高。（2），所以：，溫度增加多少，其速度平方的平均值也做相應的增加。（3）宏觀量溫度是一個統(tǒng)計概念，是大量分子無規(guī)則熱運動的集體表現(xiàn)，是分子平均平動動能的量度，分子熱運動是相對質(zhì)心參照系的，平動動能是系統(tǒng)的內(nèi)動能．溫度與系統(tǒng)的整體運動無關．所以當容器再從靜止加速到原來速度，那么容器內(nèi)理想氣體的溫度不會改變。4-5．敘述下列式的物理意義：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.答：（1）在平衡態(tài)下，分子熱運動能量平均地分配在分子每一個自由度上的能量均為；（2）在平衡態(tài)下，分子平均平動動能；（3）在平衡態(tài)下，自由度為i的分子平均總能量；（4）1摩爾自由度為i的分子組成的系統(tǒng)內(nèi)能為；（5）由質(zhì)量為M，摩爾質(zhì)量為Mmol，自由度為i的分子組成的系統(tǒng)的內(nèi)能為。（6）由質(zhì)量為m，摩爾質(zhì)量為M，自由度為i的分子組成的系統(tǒng)的內(nèi)能的變化為。4-6．氦氣、氧氣分子數(shù)均為，，速率分布曲線如圖，且陰影面積為，求：（1）哪條是氦氣的速率分布曲線？（2）；（3）的意義？（4）為多少？對應的物理意義是什么？答：（1）由可知，對于氧氣和氦氣，即使，氦氣的還是大于氧氣，所以圖形中，大的曲線是氦氣，即B圖是氦氣的；（2）；（3）的意義：在這速率附近、速率區(qū)間dv內(nèi)的氦氣和氧氣的分子數(shù)相同；（4）為在v0右邊的兩曲線的面積差乘以N，對應的物理意義是v0→∞的速率區(qū)間內(nèi)氦氣分子比氧氣分子多多少個。4-7．兩種理想氣體分子數(shù)分別為和，某一溫度下，速率分布函數(shù)分別為和，問此溫度下和組成系統(tǒng)的速率分布函數(shù)如何？答：。習題55-1．容器的體積為2V0，絕熱板C將其隔為體積相等的A、B兩個部分，A內(nèi)儲有1mol單原子理想氣體，B內(nèi)儲有2mol雙原子理想氣體，A、B兩部分的壓強均為p0。（1）求A、B兩部分氣體各自的內(nèi)能；（2）現(xiàn)抽出絕熱板C，求兩種氣體混合后達到平衡時的壓強和溫度。解：（1）由理想氣體內(nèi)能公式：A中氣體為1mol單原子理想氣體：，B中氣體為2mol雙原子理想氣體：；（2）混合前總內(nèi)能：，由于，，∴，則：；混合后內(nèi)能不變，設溫度為，有：∴；。5-2．1mol單原子理想氣體從300K加熱至350K，問在以下兩個過程中各吸收了多少熱量？增加了多少內(nèi)能？對外做了多少功？（1）容積保持不變；（2）壓強保持不變。解：（1）等容升溫過程做功：內(nèi)能變化：吸熱：（2）等壓升溫過程做功：內(nèi)能變化：吸熱：5-3．1g氦氣中加進1J的熱量，若氦氣壓強無變化，它的初始溫度為200K，求它的溫度升高多少？解：等壓過程5-4．如圖所示，、是絕熱過程，是等溫過程，是任意過程，組成一個循環(huán)。若圖中所包圍的面積為，所包圍的面積為，CEA過程中系統(tǒng)放熱，求過程中系統(tǒng)吸熱為多少？解：由題意可知在整個循環(huán)過程中內(nèi)能不變，圖中為正循環(huán)，所包圍的面積為，則意味著這個過程對外作功為；為逆循環(huán)，所包圍的面積為，則意味著這個過程外界對它作功為，所以整個循環(huán)中，系統(tǒng)對外作功是。而在這個循環(huán)中，、是絕熱過程，沒有熱量的交換，所以如果CEA過程中系統(tǒng)放熱，由熱力學第一定律，則過程中系統(tǒng)吸熱為：。5-5．如圖所示，已知圖中畫不同斜線的兩部分的面積分別為和。（1）如果氣體的膨脹過程為a─1─b，則氣體對外做功多少？（2）如果氣體進行a─2─b─1─a的循環(huán)過程，則它對外做功又為多少？解：根據(jù)作功的定義，在P—V圖形中曲線圍成的面積就是氣體在這一過程所作的功。則：（1）如果氣體的膨脹過程為a─1─b，則氣體對外做功為S1+S2。（2）如果氣體進行a─2─b─1─a的循環(huán)過程，此循環(huán)是逆循環(huán)，則它對外做功為：－S1。5-6．一系統(tǒng)由如圖所示的狀態(tài)沿到達狀態(tài)，有熱量傳入系統(tǒng)，系統(tǒng)做功。（1）經(jīng)過程，系統(tǒng)做功，問有多少熱量傳入系統(tǒng)?（2）當系統(tǒng)由狀態(tài)沿曲線返回狀態(tài)時，外界對系統(tǒng)做功為，試問系統(tǒng)是吸熱還是放熱？熱量傳遞了多少?解：（1）由acb過程可求出b態(tài)和a態(tài)的內(nèi)能之差：，adb過程，系統(tǒng)作功：，則：，系統(tǒng)吸收熱量；（2）曲線ba過程，外界對系統(tǒng)作功：，則：，系統(tǒng)放熱。5-7某單原子分子理想氣體在等壓過程中吸熱QP=200J。求在此過程中氣體對外做的功W。解：氣體在等壓過程中吸熱：內(nèi)能變化為：由熱力學第一定律：那么，∴，對于單原子理想氣體，，有。5-8．溫度為25℃、壓強為1atm的1mol剛性雙原子分子理想氣體，經(jīng)等溫過程體積膨脹至原來的3倍。（1）計算該過程中氣體對外的功；（2）假設氣體經(jīng)絕熱過程體積膨脹至原來的3倍，那么氣體對外的功又是多少？解：（1）在等溫過程氣體對外作功：；（2）在絕熱過程中氣體對外做功為：由絕熱過程中溫度和體積的關系，考慮到，可得溫度：代入上式：5-9．汽缸內(nèi)有2mol氦氣，初始溫度為27℃，體積為20L（1）在該過程中氦氣吸熱多少？（2）氦氣的內(nèi)能變化是多少？（3）氦氣所做的總功是多少？解：（1）在定壓膨脹過程中，隨著體積加倍，則溫度也加倍，所以該過程吸收的熱量為：而接下來的絕熱過程不吸收熱量，所以本題結果如上；（2）理想氣體內(nèi)能為溫度的單值函數(shù)。由于經(jīng)過剛才的一系列變化，溫度回到原來的值，所以內(nèi)能變化為零。（3）根據(jù)熱力學第一定律，那么氦氣所做的總功就等于所吸收的熱量為：。5-10．一側面絕熱的氣缸內(nèi)盛有1mol的單原子分子理想氣體，氣體的溫度，活塞外氣壓，活塞面積，活塞質(zhì)量(活塞絕熱、不漏氣且與氣缸壁的摩擦可忽略)。由于氣缸內(nèi)小突起物的阻礙，活塞起初停在距氣缸底部為處．今從底部極緩慢地加熱氣缸中的氣體，使活塞上升了的一段距離，如圖所示。試通過計算指出：（1）氣缸中的氣體經(jīng)歷的是什么過程？（2）氣缸中的氣體在整個過程中吸了多少熱量？解：（1）可分析出起初氣缸中的氣體的壓強由于小于P2（P2=外界壓強+活塞重力產(chǎn)生的壓強），所以體積不會變，是一個等容升溫的過程，當壓強達到P2時，它將繼續(xù)做一個等壓膨脹的過程，則氣缸中的氣體的過程為：等容升溫+等壓膨脹；（2），，等容升溫：，等壓膨脹：，∴。5-11．一定量的理想氣體，從態(tài)出發(fā)，經(jīng)圖中所示的過程到達態(tài)，試求在這過程中，該氣體吸收的熱量。解：分析A、B兩點的狀態(tài)函數(shù)，很容易發(fā)現(xiàn)A、B兩點的溫度相同，所以A、B兩點的內(nèi)能相同，那么，在該過程中，該氣體吸收的熱量就等于這一過程對外界所做的功，也就是ACDB曲線所圍成的面積。則：。5-12．設一動力暖氣裝置由一臺卡諾熱機和一臺卡諾制冷機組合而成。熱機靠燃料燃燒時釋放的熱量工作并向暖氣系統(tǒng)中的水放熱，同時，熱機帶動制冷機。制冷機自天然蓄水池中吸熱，也向暖氣系統(tǒng)放熱。假定熱機鍋爐的溫度為，天然蓄水池中水的溫度為，暖氣系統(tǒng)的溫度為，熱機從燃料燃燒時獲得熱量，計算暖氣系統(tǒng)所得熱量。解：由題中知已知條件：，，，。那么，由卡諾效率：，有：，得：；而制冷機的制冷系數(shù)：，有：考慮到則：，得：，有制冷機向暖氣系統(tǒng)放熱為：∴暖氣系統(tǒng)所得熱量：。5-13．如圖，abcda為1mol單原子分子理想氣體的循環(huán)過程，求：（1）氣體循環(huán)一次，在吸熱過程中從外界共吸收的熱量；（2）氣體循環(huán)一次做的凈功；（3）證明TaTc=TbTd。解：（1）過程ab與bc為吸熱過程，吸熱總和為：；（2）循環(huán)過程對外所作總功為圖中矩形面積：；（3）由理想氣體狀態(tài)方程：，有：，，，，∴，，有：；5-14如圖所示，一摩爾單原子理想氣體經(jīng)等壓、絕熱、等容和等溫過程組成的循環(huán)abcda，圖中a、b、c、d各狀態(tài)的溫度、、、均為已知，abo包圍的面積和ocd包圍的面積大小均為A。在等溫過程中系統(tǒng)吸熱還是放熱？其數(shù)值為多少？解：如圖，循環(huán)過程abcda可看成兩個循環(huán)，abo為正循環(huán)，ocd為逆循環(huán)，由于abo包圍的面積和ocd包圍的面積大小均為A，∴循環(huán)過程abcda對外做功為零，則系統(tǒng)完成一個循環(huán)過程后，熱量的代數(shù)和亦為零，即：（1）a→b等壓過程：由圖可見，，溫度升高，吸熱：（2）b→c絕熱過程：（3）c→d等容過程：由圖可見，，溫度升高，吸熱：（4）d→a等溫過程：∴，負號表明放熱。答：在等溫過程d→a中系統(tǒng)是放熱，數(shù)值為。答案：放熱，。5-15．一可逆卡諾機的高溫熱源溫度為127℃，低溫熱源溫度為27℃，其每次循環(huán)對外做的凈功為8000J。今維持低溫熱源溫度不變，提高高溫熱源的溫度，使其每次循環(huán)對外做的凈功為10000J，若兩個卡諾循環(huán)都工作在相同的兩條絕熱線之間。求：（1）第二個熱循環(huán)機的效率；（2）第二個循環(huán)高溫熱源的溫度。解：根據(jù)卡諾循環(huán)效率公式：，而：，有：，由于在同樣的絕熱線之間，且維持低溫熱源溫度不變，他們向低溫熱源吸收的熱量相等，所以第二個熱機的效率為：，再考慮到它是通過提高高溫熱源的溫度達到目的的，可利用，有：5-16．1mol理想氣體沿如圖所示的路徑由體積變?yōu)?，計算各過程氣體的熵變。其中a為等溫過程，b由等壓過程和等容過程構成，c由絕熱過程和等壓過程構成。解：(a)等溫過程，理想氣體內(nèi)能不變，(b)13為等容過程，32為等壓過程，，所以(3)14為絕熱過程，42為等壓過程狀態(tài)4、1在同一條絕熱線上，狀態(tài)4、2的壓強相等，利用絕熱過程方程后可得由上可見，沿三個過程的熵變相等。5-17.一絕熱容器被銅片分成兩部分，一邊盛有80°C的水，另一邊盛解：5-18.把質(zhì)量為5kg、比熱容（單位質(zhì)量物質(zhì)的熱容）為544J/(kg?°C)的鐵棒加熱到300°C，然后浸入一大桶解：假設一個準靜態(tài)降溫過程，-1760J/K5-19.兩個體積相同的容器分別盛有1mol不同的理想氣體，它們的壓強與溫度都相同，將兩個容器連通后氣體將相互擴散，求最終系統(tǒng)的總熵變。解：氣體擴散是不可逆過程，但是由于擴散后氣體的溫度將保持不變，因此可以假設兩種氣體各自經(jīng)歷一個等溫膨脹過程，體積從V變?yōu)?V。氣體經(jīng)歷等溫膨脹過程，熵變?yōu)樽罱K系統(tǒng)的總熵變?yōu)樗伎碱}5-1．一定量的理想氣體，開始時處于壓強，體積，溫度分別為，，的平衡態(tài)，后來變到壓強，體積，溫度分別為，，的終態(tài)。若已知>，且=，則以下各種說法中正確的是：(A)不論經(jīng)歷的是什么過程，氣體對外凈作的功一定為正值；(B)不論經(jīng)歷的是什么過程，氣體從外界凈吸的熱一定為正值；(C)若氣體從始態(tài)變到終態(tài)經(jīng)歷的是等溫過程，則氣體吸收的熱量最少；(D)如果不給定氣體所經(jīng)歷的是什么過程，則氣體在過程中對外凈作功和從外界凈吸熱的正負皆無法判斷。答：如果不給定過程，我們只能根據(jù)=，得知這一過程中內(nèi)能不變，但是作功情況無法由>得出，因為作功的計算與過程的選擇有關，本題選擇D。10-2．一定量理想氣體，從同一狀態(tài)開始把其體積由壓縮到，分別經(jīng)歷以下三種過程：（1）等壓過程；（2）等溫過程；（3）絕熱過程。其中：什么過程外界對氣體作功最多；什么過程氣體內(nèi)能減小最多；什么過程氣體放熱最多？答：由畫圖可以直接看出：（3）絕熱過程中，外界對氣體作功最多；（3）絕熱過程中，氣體內(nèi)能減小最多；（2）等溫過程中，氣體放熱最多。5-3．一定量的理想氣體，從圖上初態(tài)經(jīng)歷（1）或（2）過程到達末態(tài)，已知、兩態(tài)處于同一條絕熱線上（圖中虛線是絕熱線），則氣體在（A）（1）過程中吸熱，（2）過程中放熱；（B）（1）過程中放熱，（2）過程中吸熱；（C）兩種過程中都吸熱；（D）兩種過程中都放熱。答：從題意可以知道，、兩態(tài)處于同一條絕熱線上，圖中虛線是絕熱線，所以這條虛線圍成的面積。對應（1）過程，，從圖上可以看出：，所以，也就是，這就是放熱過程。對應（2）過程，，從圖上可以看出：，所以，也就是，這就是吸熱過程。所以本題選擇B。5-4．試說明為什么氣體熱容的數(shù)值可以有無窮多個？什么情況下氣體的熱容為零?什么情況下氣體的熱容是無窮大?什么情況下是正值?什么情況下是負值?答：根據(jù)氣體熱容的定義：系統(tǒng)在某一無限小過程中吸收熱量dQ與溫度變化dT的比值稱為系統(tǒng)在該過程的熱容量。而從T1的溫度變化到T2可以經(jīng)歷無窮多個過程，每個過程的吸收熱量都可能不同。所以就不一樣。當氣體溫度變化而不吸收熱量時，氣體的熱容為零，比如絕熱膨脹。當氣體的溫度不變而吸收熱量時，氣體的熱容無窮大，比如等溫變化。當氣體溫度升高，但為放熱過程時，熱容為負值。5-5．一卡諾機，將它作熱機使用時，如果工作的兩熱源的溫度差愈大，則對做功就愈有利；如將它當作制冷機使用時，如果兩熱源的溫度差愈大，對于制冷機是否也愈有利？為什么？答：卡諾熱機：所以溫差越大，就越小，就越大；但是對于制冷機：卡諾逆循環(huán)的致冷系數(shù)：，溫差越大，則越小，提取同樣的熱量，則所需作功也越多，對致冷是不利的．5-6．卡諾循環(huán)1、2，如圖所示.若包圍面積相同，功、效率是否相同？答：封閉曲線所包圍的面積表示循環(huán)過程中所做的凈功．若包圍面積相同，則兩次循環(huán)所做的功相同。但由于，面積相同，效率不一定相同，因為還與吸熱有關。5-7．一條等溫線和一條絕熱線有可能相交兩次嗎?為什么？答：不可能。（1）由熱力學第一定律有：，若有兩個交點a和b，則：經(jīng)等溫a→b過程有：，經(jīng)絕熱a→b過程：，，從上得出，這與a，b兩點的內(nèi)能變化應該相同矛盾。（2）若兩條曲線有兩個交點，則組成閉合曲線而構成了一循環(huán)過程，這循環(huán)過程只有吸熱，無放熱，且對外做正功，熱機效率為100％，違背了熱力學第二定律。5-8．所謂第二類永動機是指什么？它不可能制成是因為違背了什么關系？答：第二類永動機：從一個熱源吸熱并全部變?yōu)楣Α＿`背熱力學第二定律，所以無法造成。5-9.在日常生活中，經(jīng)常遇到一些單方向的過程，如（1）桌子熱餐變涼；（2）無支持的物體自由下落；（3）木頭或其他燃料的燃燒。它們是否都與熱力學第二定律有關？在這些過程中熵變是否存在？如果存在，是增大還是減小？答：這些過程都是不可逆過程，遵守熱力學第二定律，系統(tǒng)的熵都增大了。5-10.一杯熱水放在空氣中，它總是冷卻到與周圍環(huán)境相同的溫度，因為處于比周圍溫度高或低的概率都較小，而與周圍同溫度的平衡卻是最概然狀態(tài)，但是這杯水的熵卻是減小了，這與熵增加原理有無矛盾？答：周圍環(huán)境的熵增大了，且水和環(huán)境組成系統(tǒng)的總熵一定增加了，因此與熵增加原理不矛盾。習題66-1．直角三角形的點上，有電荷，點上有電荷，試求點的電場強度(設，)。解：在C點產(chǎn)生的場強：，在C點產(chǎn)生的場強：，∴點的電場強度：；點的合場強：，方向如圖：。6-2．用細的塑料棒彎成半徑為的圓環(huán)，兩端間空隙為，電量為的正電荷均勻分布在棒上，求圓心處電場強度的大小和方向。解：∵棒長為，∴電荷線密度：可利用補償法，若有一均勻帶電閉合線圈，則圓心處的合場強為0，有一段空隙，則圓心處場強等于閉合線圈產(chǎn)生電場再減去長的帶電棒在該點產(chǎn)生的場強，即所求問題轉化為求缺口處帶負電荷的塑料棒在點產(chǎn)生的場強。解法1：利用微元積分：，∴；解法2：直接利用點電荷場強公式：由于，該小段可看成點電荷：，則圓心處場強：。方向由圓心指向縫隙處。6-3．將一“無限長”帶電細線彎成圖示形狀，設電荷均勻分布，電荷線密度為，四分之一圓弧的半徑為，試求圓心點的場強。解：以為坐標原點建立坐標，如圖所示。①對于半無限長導線在點的場強：有：②對于半無限長導線在點的場強：有：③對于圓弧在點的場強：有：∴總場強：，，得：。或寫成場強：，方向。6-4．一個半徑為的均勻帶電半圓形環(huán)，均勻地帶有電荷，電荷的線密度為，求環(huán)心處點的場強E。解：電荷元dq產(chǎn)生的場為：；根據(jù)對稱性有：，則：，方向沿軸正向。即：。6-5．一半徑為的半球面，均勻地帶有電荷，電荷面密度為，求球心處的電場強度。解：如圖，把球面分割成許多球面環(huán)帶，環(huán)帶寬為，所帶電荷：。利用例11-3結論，有：∴，化簡計算得：，∴。6-6．圖示一厚度為的“無限大”均勻帶電平板，電荷體密度為。求板內(nèi)、外的場強分布，并畫出場強隨坐標變化的圖線，即圖線(設原點在帶電平板的中央平面上，軸垂直于平板)。解：在平板內(nèi)作一個被平板的中間面垂直平分的閉合圓柱面為高斯面，當時，由和，有：；當時，由和，有：。圖像見右。6-7．在點電荷的電場中，取一半徑為的圓形平面(如圖所示)，平面到的距離為，試計算通過該平面的的通量.解：通過圓平面的電通量與通過與為圓心、為半徑、圓的平面為周界的球冠面的電通量相同。【先推導球冠的面積：如圖，令球面的半徑為，有，球冠面一條微元同心圓帶面積為：∴球冠面的面積：】∵球面面積為：，通過閉合球面的電通量為：，由：，∴。6-8．半徑為和（）的兩無限長同軸圓柱面，單位長度分別帶有電量和，試求：（1）；（2）；（3）處各點的場強。解：利用高斯定律：。（1）時，高斯面內(nèi)不包括電荷，所以：；（2）時，利用高斯定律及對稱性，有：，則：；（3）時，利用高斯定律及對稱性，有：，則：；即：。6-9．電荷量Q均勻分布在半徑為R的球體內(nèi)，試求：離球心處（）P點的電勢。解：利用高斯定律：可求電場的分布。（1）時，；有：；（2）時，；有：；離球心處（）的電勢：，即：。6-10．圖示為一個均勻帶電的球殼，其電荷體密度為，球殼內(nèi)表面半徑為，外表面半徑為．設無窮遠處為電勢零點，求空腔內(nèi)任一點的電勢。解：當時，因高斯面內(nèi)不包圍電荷，有：，當時，有：，當時，有：，以無窮遠處為電勢零點，有：。6-11．電荷以相同的面密度分布在半徑為和的兩個同心球面上，設無限遠處電勢為零，球心處的電勢為。（1）求電荷面密度；（2）若要使球心處的電勢也為零，外球面上電荷面密度為多少？（）解：（1）當時，因高斯面內(nèi)不包圍電荷，有：，當時，利用高斯定理可求得：，當時，可求得：，∴那么：（2）設外球面上放電后電荷密度，則有：，∴則應放掉電荷為：。6-12．如圖所示，半徑為的均勻帶電球面，帶有電荷，沿某一半徑方向上有一均勻帶電細線，電荷線密度為，長度為，細線左端離球心距離為。設球和線上的電荷分布不受相互作用影響，試求細線所受球面電荷的電場力和細線在該電場中的電勢能（設無窮遠處的電勢為零）。解：（1）以點為坐標原點，有一均勻帶電細線的方向為軸，均勻帶電球面在球面外的場強分布為：（）。取細線上的微元：，有：，∴（為方向上的單位矢量）（2）∵均勻帶電球面在球面外的電勢分布為：（，為電勢零點）。對細線上的微元，所具有的電勢能為：，∴。6-13．如圖所示，一個半徑為的均勻帶電圓板，其電荷面密度為(＞0)今有一質(zhì)量為，電荷為的粒子(＞0)沿圓板軸線(軸)方向向圓板運動，已知在距圓心（也是軸原點）為的位置上時，粒子的速度為，求粒子擊中圓板時的速度(設圓板帶電的均勻性始終不變)。解：均勻帶電圓板在其垂直于面的軸線上處產(chǎn)生的電勢為：，那么，，由能量守恒定律，，有：6-14．一半徑為米的孤立導體球，已知其電勢為(以無窮遠為零電勢)，計算球表面的面電荷密度。解：由于導體球是一個等勢體，導體電荷分布在球表面，∴電勢為：，則：。6-15．半徑，帶電量的金屬球，被一同心導體球殼包圍，球殼內(nèi)半徑，外半徑，帶電量。試求距球心r處的P點的場強與電勢。（1）（2）（3）。解：由高斯定理，可求出場強分布：∴電勢的分布為：當時，，當時，，當時，，當時，，∴（1），適用于情況，有：，；（2），適用于情況，有：，；（3），適用于情況，有：，。6-16．兩塊帶有異號電荷的金屬板和，相距，兩板面積都是，電量分別為，板接地，略去邊緣效應，求：（1）板的電勢；（2）間離板處的電勢。解：（1）由有：，則：，而，∴，離板處的電勢：6-17．同軸傳輸線是由兩個很長且彼此絕緣的同軸金屬圓柱(內(nèi))和圓筒(外)構成，設內(nèi)圓柱半徑為，電勢為，外圓筒的內(nèi)半徑為，電勢為.求其離軸為處(<<)的電勢。解：∵<<處電場強度為：，∴內(nèi)外圓柱間電勢差為：則：同理，處的電勢為：（*）∴?！咀ⅲ荷鲜揭部梢宰冃螢椋海c書后答案相同，或將（*）式用：計算，結果如上】6-18．半徑分別為a和b的兩個金屬球，它們的間距比本身線度大得多，今用一細導線將兩者相連接，并給系統(tǒng)帶上電荷Q，求：（1）每個求上分配到的電荷是多少？（2）按電容定義式，計算此系統(tǒng)的電容。解：（1）首先考慮a和b的兩個金屬球為孤立導體，由于有細導線相連，兩球電勢相等：┄①，再由系統(tǒng)電荷為Q，有：┄②兩式聯(lián)立得：，；（2）根據(jù)電容的定義：（或），將（1）結論代入，有：。6-19.利用電場能量密度計算均勻帶電球體的靜電能，設球體半徑為R，帶電量為Q。解：首先求出場強分布：∴。6-20．球形電容器內(nèi)外半徑分別為和，充有電量。（1）求電容器內(nèi)電場的總能量；（2）證明此結果與按算得的電容器所儲電能值相等。解：（1）由高斯定理可知，球內(nèi)空間的場強為：，（）利用電場能量密度，有電容器內(nèi)電場的能量：；（2）由，則球形電容器的電容為：，那么，。（與前面結果一樣）思考題66-1．兩個點電荷分別帶電和，相距，試問將第三個點電荷放在何處它所受合力為零?答：由，解得：，即離點電荷的距離為。6-2．下列幾個說法中哪一個是正確的？（A）電場中某點場強的方向，就是將點電荷放在該點所受電場力的方向；（B）在以點電荷為中心的球面上，由該點電荷所產(chǎn)生的場強處處相同；（C）場強方向可由定出，其中為試驗電荷的電量，可正、可負，為試驗電荷所受的電場力；（D）以上說法都不正確。答：（C）6-3．真空中一半徑為的的均勻帶電球面,總電量為(＜0)，今在球面面上挖去非常小的一塊面積(連同電荷)，且假設不影響原來的電荷分布，則挖去后球心處的電場強度大小和方向.答：題意可知：，利用補償法，將挖去部分看成點電荷，有：，方向指向小面積元。6-4．三個點電荷、和在一直線上，相距均為，以與的中心作一半徑為的球面，為球面與直線的一個交點，如圖。求：(1)通過該球面的電通量；(2)點的場強。解：(1)；(2)。6-5．有一邊長為的正方形平面，在其中垂線上距中心點處，有一電荷為的正點電荷，如圖所示，則通過該平面的電場強度通量為多少？解：設想一下再加5個相同的正方形平面將圍在正方體的中心，通過此正方體閉合外表面的通量為：，那么，通過該平面的電場強度通量為：。6-6．對靜電場高斯定理的理解，下列四種說法中哪一個是正確的？(A)如果通過高斯面的電通量不為零，則高斯面內(nèi)必有凈電荷；(B)如果通過高斯面的電通量為零，則高斯面內(nèi)必無電荷；(C)如果高斯面內(nèi)無電荷，則高斯面上電場強度必處處為零；(D)如果高斯面上電場強度處處不為零，則高斯面內(nèi)必有電荷。答：(A)6-7．由真空中靜電場的高斯定理可知下面哪個說法是正確的？(A)閉合面內(nèi)的電荷代數(shù)和為零時，閉合面上各點場強一定為零；(B)閉合面內(nèi)的電荷代數(shù)和不為零時，閉合面上各點場強一定都不為零；(C)閉合面內(nèi)的電荷代數(shù)和為零時，閉合面上各點場強不一定都為零；(D