2020高中數(shù)學(xué) 第七章 復(fù)數(shù) 7.1.2 復(fù)數(shù)的幾何意義 復(fù)數(shù)的幾何意義學(xué)案 第二冊

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE18-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精7．1。2復(fù)數(shù)的幾何意義考點學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)復(fù)平面了解復(fù)平面的概念數(shù)學(xué)抽象復(fù)數(shù)的幾何意義理解復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點、復(fù)平面內(nèi)的向量之間的對應(yīng)關(guān)系直觀想象復(fù)數(shù)的模掌握復(fù)數(shù)的模的概念，會求復(fù)數(shù)的模數(shù)學(xué)運算共軛復(fù)數(shù)掌握共軛復(fù)數(shù)的概念，并會求一個復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)數(shù)學(xué)運算問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材P70－P72的內(nèi)容，思考以下問題：1．復(fù)平面是如何定義的?2．復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點及向量的關(guān)系如何？復(fù)數(shù)的模是實數(shù)還是虛數(shù)？3．復(fù)數(shù)z＝a＋bi的共軛復(fù)數(shù)是什么？1．復(fù)平面建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸．實軸上的點都表示實數(shù)；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)．2．復(fù)數(shù)的兩種幾何意義(1）復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a,b∈R）eq\o（←→,\s\up7(一一對應(yīng)）)復(fù)平面內(nèi)的點Z（a，b)．（2）復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a,b∈R）eq\o(←→,\s\up7（一一對應(yīng)）)平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→））.■名師點撥（1)復(fù)平面內(nèi)的點Z的坐標(biāo)是(a，b)，而不是(a，bi）．也就是說，復(fù)平面內(nèi)的虛軸上的單位長度是1,而不是i.（2)當(dāng)a＝0，b≠0時,a＋bi＝0＋bi＝bi是純虛數(shù),所以虛軸上的點(0,b)(b≠0）都表示純虛數(shù)．（3）復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)中的z，書寫時應(yīng)小寫；復(fù)平面內(nèi)的點Z（a,b)中的Z，書寫時應(yīng)大寫．3．復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R）對應(yīng)的向量為eq\o（OZ,\s\up6（→）），則eq\o（OZ，\s\up6（→)）的模叫做復(fù)數(shù)z的?；蚪^對值，記作｜z|或|a＋bi|，即｜z|＝｜a＋bi｜＝eq\r(a2＋b2）．■名師點撥如果b＝0,那么z＝a＋bi是一個實數(shù)a,它的模等于|a|（a的絕對值）．4．共軛復(fù)數(shù)（1）一般地，當(dāng)兩個復(fù)數(shù)的實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)．（2)虛部不等于0的兩個共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)．(3)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用eq\o(z，\s\up6(－））表示，即如果z＝a＋bi，那么eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi．■名師點撥復(fù)數(shù)z＝a＋bi在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(a，b），復(fù)數(shù)eq\o(z，\s\up6(－))＝a－bi在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為（a，－b），所以兩個互為共軛復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)，它們所對應(yīng)的點關(guān)于x軸對稱．判斷（正確的打“√”，錯誤的打“×”)（1)原點是實軸和虛軸的交點．（)（2）實軸上的點表示實數(shù)，虛軸上的點表示純虛數(shù)．（)（3)若|z1|＝|z2｜,則z1＝z2。()（4)若z1與z2互為共軛復(fù)數(shù),則｜z1|＝|z2|。()答案:（1)√（2）×(3）×(4）√復(fù)數(shù)1－2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案：D復(fù)數(shù)z＝1＋3i的模等于()A．2 B．4C。eq\r（10） D．2eq\r(2）答案：C復(fù)數(shù)z＝－2＋5i的共軛復(fù)數(shù)eq\o（z,\s\up6（－))＝________．答案:－2－5i復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點已知復(fù)數(shù)z＝(a2－1)＋(2a－1)i,其中a∈R。當(dāng)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點Z滿足下列條件時，求a的值(或取值范圍）．（1）在實軸上；（2）在第三象限．【解】（1）若z對應(yīng)的點在實軸上，則有2a－1＝0，解得a＝eq\f（1,2).(2)若z對應(yīng)的點在第三象限，則有eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(a2－1<0，，2a－1<0，））解得－1〈a〈eq\f(1,2).故a的取值范圍是eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－1，\f（1，2））)。［變條件］本例中復(fù)數(shù)z不變，若點Z在拋物線y2＝4x上，求a的值．解:若z對應(yīng)的點（a2－1,2a－1)在拋物線y2＝4x上，則有(2a－1）2＝4(a2－1），即4a2－4a＋1＝4a2－4，解得a＝eq\f（5,4)。eq\a\vs4\al()利用復(fù)數(shù)與點的對應(yīng)解題的步驟(1)找對應(yīng)關(guān)系:復(fù)數(shù)的幾何表示法即復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)可以用復(fù)平面內(nèi)的點Z(a，b）來表示，是解決此類問題的根據(jù)．(2）列出方程：此類問題可建立復(fù)數(shù)的實部與虛部應(yīng)滿足的條件,通過解方程(組)或不等式(組)求解．在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2）i（m∈R）的對應(yīng)點在虛軸上和實軸負(fù)半軸上，分別求復(fù)數(shù)z。解:(1）若復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點在虛軸上,則m2－m－2＝0，所以m＝－1或m＝2，所以z＝6i或z＝0。(2)若復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點在實軸負(fù)半軸上，則eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（m2－m－2<0,,m2－3m＋2＝0，)）所以m＝1，所以z＝－2。復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的向量在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)i，1，4＋2i對應(yīng)的點分別是A，B，C.求平行四邊形ABCD的頂點D所對應(yīng)的復(fù)數(shù)．【解】法一：由復(fù)數(shù)的幾何意義得A(0,1)，B(1，0）,C（4，2)，則AC的中點為eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2））)，由平行四邊形的性質(zhì)知該點也是BD的中點,設(shè)D(x,y)，則eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（\f(x＋1，2)＝2，,\f(y＋0,2）＝\f（3，2），））所以eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(x＝3，，y＝3，））即點D的坐標(biāo)為（3，3），所以點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3＋3i.法二：由已知得eq\o(OA，\s\up6(→))＝(0,1)，eq\o(OB，\s\up6（→)）＝(1，0），eq\o(OC,\s\up6（→))＝（4，2），所以eq\o（BA,\s\up6(→））＝（－1，1)，eq\o（BC,\s\up6（→))＝(3,2)，所以eq\o（BD，\s\up6(→）)＝eq\o（BA，\s\up6（→))＋eq\o(BC,\s\up6(→））＝（2，3)，所以eq\o(OD,\s\up6（→）)＝eq\o（OB，\s\up6(→))＋eq\o（BD，\s\up6（→))＝（3，3)，即點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3＋3i。eq\a\vs4\al（)復(fù)數(shù)與平面向量的對應(yīng)關(guān)系(1)根據(jù)復(fù)數(shù)與平面向量的對應(yīng)關(guān)系，可知當(dāng)平面向量的起點在原點時,向量的終點對應(yīng)的復(fù)數(shù)即為向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)，反之復(fù)數(shù)對應(yīng)的點確定后，從原點引出的指向該點的有向線段,即為復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量．(2)解決復(fù)數(shù)與平面向量一一對應(yīng)的問題時，一般以復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點一一對應(yīng)為工具，實現(xiàn)復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點、向量之間的轉(zhuǎn)化．1．已知平面直角坐標(biāo)系中O是原點,向量eq\o(OA,\s\up6（→)），eq\o（OB，\s\up6(→））對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2－3i，－3＋2i，那么向量eq\o(BA，\s\up6(→）)對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A．－5＋5i B．5－5iC．5＋5i D．－5－5i解析:選B。向量eq\o(OA,\s\up6(→)），eq\o（OB,\s\up6（→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別記作z1＝2－3i，z2＝－3＋2i，根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點一一對應(yīng)，可得向量eq\o（OA，\s\up6（→））＝（2，－3)，eq\o（OB,\s\up6(→））＝（－3，2）．由向量減法的坐標(biāo)運算可得向量eq\o(BA,\s\up6(→)）＝eq\o(OA,\s\up6(→）)－eq\o(OB，\s\up6(→))＝（2＋3，－3－2)＝(5，－5)，根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點一一對應(yīng),可得向量eq\o(BA，\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)是5－5i。2．在復(fù)平面內(nèi),O為原點,向量eq\o（OA,\s\up6(→））表示的復(fù)數(shù)為－1＋2i，若點A關(guān)于直線y＝－x的對稱點為B,則向量eq\o(OB,\s\up6（→))表示的復(fù)數(shù)為(）A．－2－i B．－2＋iC．1＋2i D．－1＋2i解析：選B。由題意得A(－1，2），則B(－2，1），所以向量eq\o（OB,\s\up6(→））表示的復(fù)數(shù)為－2＋i。復(fù)數(shù)的模(1）設(shè)復(fù)數(shù)z1＝a＋2i，z2＝－2＋i且｜z1|〈｜z2|，則實數(shù)a的取值范圍是()A．－1〈a〈1 B．a(chǎn)<－1或a>1C．a(chǎn)〉1 D．a(chǎn)>0（2)（2019·貴州遵義貴龍中學(xué)期中測試)已知復(fù)數(shù)z滿足|z｜2－2|z｜－3＝0，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的集合是（）A．1個圓 B．線段C．2個點 D．2個圓【解析】（1)由題意得eq\r(a2＋22)〈eq\r（（－2)2＋12)，即eq\r（a2＋4）<eq\r（5)（a∈R）,所以－1<a〈1。（2）由題意知（｜z|－3）（｜z|＋1）＝0，即|z|＝3或｜z|＝－1，因為|z｜≥0，所以|z|＝3,所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的集合是1個圓．【答案】(1)A（2）Aeq\a\vs4\al(）求解復(fù)數(shù)的模的思路解決復(fù)數(shù)的模的求解問題，應(yīng)先把復(fù)數(shù)表示成標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的定義求解．1．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列選項中正確的是（）A．z1>z2 B．z1<z2C．|z1｜〉|z2｜ D．|z1｜<|z2｜解析：選D。|z1｜＝|5＋3i｜＝eq\r（52＋32)＝eq\r(34)，|z2|＝|5＋4i｜＝eq\r（52＋42）＝eq\r（41）。因為eq\r(34)<eq\r(41），所以|z1｜〈｜z2|.2．已知復(fù)數(shù)z＝3＋ai（a∈R），且｜z｜<4，求實數(shù)a的取值范圍．解：法一：因為z＝3＋ai(a∈R)，所以｜z｜＝eq\r(32＋a2），由已知得32＋a2〈42，所以a2<7,所以a∈(－eq\r(7)，eq\r（7))．法二：由|z｜〈4知z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在以原點為圓心，以4為半徑的圓內(nèi)（不包括邊界)，由z＝3＋ai知z對應(yīng)的點在直線x＝3上,所以線段AB（除去端點)為動點Z(3，a）的集合，由圖可知－eq\r(7）<a<eq\r（7）。1．已知z＝(m＋3)＋（m－1）i（m∈R）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，則實數(shù)m的取值范圍是（)A．（－3，1) B．(－1，3）C．（1，＋∞) D．（－∞，－3)解析:選A。由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋3〉0，，m－1〈0，））解得－3〈m<1.2．在復(fù)平面內(nèi),O為原點，向量eq\o（OA,\s\up6(→）)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為－1－2i，若點A關(guān)于實軸的對稱點為B，則向量eq\o(OB，\s\up6(→)）對應(yīng)的復(fù)數(shù)為（)A．－2－i B．2＋iC．1＋2i D．－1＋2i解析:選D。由題意可知，點A的坐標(biāo)為(－1，－2），則點B的坐標(biāo)為(－1,2），故向量eq\o(OB，\s\up6(→))對應(yīng)的復(fù)數(shù)為－1＋2i。3．已知0＜a＜2，復(fù)數(shù)z的實部為a，虛部為1，則｜z｜的取值范圍是____________．解析:依題意,可知z＝a＋i（a∈R），則|z｜2＝a2＋1。因為0＜a＜2，所以a2＋1∈(1，5)，即|z|∈(1，eq\r(5)）．答案：(1，eq\r(5））4．若復(fù)數(shù)z1＝2＋bi與復(fù)數(shù)z2＝a－4i互為共軛復(fù)數(shù)，則a＝________,b＝________．解析：因為z1與z2互為共軛復(fù)數(shù),所以a＝2，b＝4.答案:24［A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)］1．已知復(fù)數(shù)z＝a＋a2i（a<0），則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：選B.因為a〈0，所以復(fù)數(shù)z＝a＋a2i對應(yīng)的點(a,a2）位于第二象限．2．已知i是虛數(shù)單位,在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)－2＋i和1－3i對應(yīng)的點之間的距離是（）A.eq\r（5） B。eq\r（10）C．5 D．25解析：選C。由于復(fù)數(shù)－2＋i和1－3i對應(yīng)的點分別為（－2，1），（1，－3),因此由兩點間的距離公式，得這兩點間的距離為eq\r(（－2－1）2＋［1－（－3）]2）＝5，故選C.3．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第四象限，對應(yīng)的向量的模為3，且實部為eq\r（5),則復(fù)數(shù)z＝(）A．3－eq\r(5）i B.eq\r（5)－3iC．2－eq\r(5）i D。eq\r(5）－2i解析：選D。由題意可設(shè)復(fù)數(shù)z＝eq\r(5）＋yi（y∈R，y〈0),則eq\r(（\r(5））2＋y2)＝3，所以y＝－2，復(fù)數(shù)z＝eq\r(5)－2i。故選D。4．（2019·黑龍江齊齊哈爾模擬）若|4＋2eq\r(5）i｜＋x＋（3－2x）i＝3＋(y＋5）i(i為虛數(shù)單位），其中x,y是實數(shù)，則|x＋yi｜＝(）A．5 B。eq\r(13)C．2eq\r（2) D．2解析：選A.由已知，得6＋x＋(3－2x)i＝3＋（y＋5）i，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋6＝3,,3－2x＝y(tǒng)＋5，））解得eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（x＝－3，，y＝4，））所以｜x＋yi｜＝｜－3＋4i|＝5，故選A.5．（2019·昆明檢測)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝eq\f（1,2)＋eq\f(\r（3),2)i對應(yīng)的點為Z,將點Z繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到點Z′,則Z′對應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A．－eq\f（1,2）＋eq\f（\r(3）,2)i B。eq\f（1，2)－eq\f(\r（3),2)iC．－eq\f（\r(3)，2)＋eq\f（1，2)i D.eq\f(\r（3）,2）－eq\f(1，2)i解析：選C。｜OZ|＝｜z|＝1,故Z點坐標(biāo)為(cos60°，sin60°），逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到點Z′，所以Z′(cos150°,sin150°)＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（\r（3),2)，\f（1,2)）)，則Z′對應(yīng)的復(fù)數(shù)是－eq\f（\r(3)，2)＋eq\f（1,2）i。6．已知復(fù)數(shù)z＝1－2mi（m∈R）,且|z｜≤2，則實數(shù)m的取值范圍是____________．解析：|z｜＝eq\r(1＋4m2）≤2，解得－eq\f(\r(3）,2）≤m≤eq\f（\r(3)，2).答案：eq\b\lc\［\rc\］(\a\vs4\al\co1(－\f（\r（3）,2），\f（\r(3）,2）))7．若復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在直線y＝2x上，且|z|＝eq\r(5），則復(fù)數(shù)z＝____________．解析：依題意可設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋2ai(a∈R），由|z｜＝eq\r(5），得eq\r（a2＋4a2)＝eq\r(5）,解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i。答案:1＋2i或－1－2i8．若復(fù)數(shù)z1＝3－5i,z2＝1－i，z3＝－2＋ai在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在同一條直線上，則實數(shù)a＝________．解析:設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2,z3分別對應(yīng)點P1(3，－5),P2(1,－1），P3（－2,a），由已知可得eq\f(－5＋1，3－1)＝eq\f（a＋1，－2－1),從而可得a＝5.答案：59．實數(shù)m取什么值時，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z＝（m－3）＋(m2－5m－14）i的點:(1）位于第四象限；（2)位于第一、三象限；(3）位于直線y＝x上．解:（1)由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（m－3〉0，，m2－5m－14〈0，))解得3〈m<7，此時復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于第四象限．(2)由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（m－3>0,,m2－5m－14〉0)）或eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1(m－3〈0，,m2－5m－14<0。）)所以m〉7或－2<m<3，此時復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于第一、三象限．(3)要使復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在直線y＝x上，只需m2－5m－14＝m－3,所以m2－6m－11＝0,所以m＝3±2eq\r（5)，此時復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于直線y＝x上．10．在復(fù)平面內(nèi),O是原點，向量eq\o（OA，\s\up6（→)）對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2＋i.(1）如果點A關(guān)于實軸的對稱點為點B，求向量eq\o(OB，\s\up6（→)）對應(yīng)的復(fù)數(shù)；(2)如果(1）中的點B關(guān)于虛軸的對稱點為點C，求點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)．解：(1）設(shè)向量eq\o(OB,\s\up6(→）)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1＝x1＋y1i(x1,y1∈R)，則點B的坐標(biāo)為(x1，y1)，由題意可知，點A的坐標(biāo)為（2,1)．根據(jù)對稱性可知，x1＝2，y1＝－1，故z1＝2－i。(2)設(shè)點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z2＝x2＋y2i（x2，y2∈R），則點C的坐標(biāo)為（x2，y2)，由對稱性可知，x2＝－2，y2＝－1,故z2＝－2－i。[B能力提升]11．若θ∈eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（3,4）π，\f（5，4)π）），則復(fù)數(shù)(cosθ＋sinθ)＋(sinθ－cosθ)i在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在（)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：選B。由復(fù)數(shù)的幾何意義知（cosθ＋sinθ）＋(sinθ－cosθ)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)為(cosθ＋sinθ，sinθ－cosθ）．因為θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（3,4）π，\f（5,4)π）)，所以cosθ＋sinθ＝eq\r(2）sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（θ＋\f（π，4))）<0,sinθ－cosθ＝eq\r（2）sin（θ－eq\f（π，4)）>0，所以原復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限，故選B。12．已知復(fù)數(shù)z滿足｜z｜＝2，則｜z＋3－4i｜的最小值是()A．5 B．2C．7 D．3解析：選D.|z｜＝2表示復(fù)數(shù)z在以原點為圓心，以2